教師培訓《初中數(shù)學思想方法》課件

國培中西部項目－－－鄉(xiāng)村教師訪名校講座初中數(shù)學思想方法由此可見，思想是認識的高級階段，是事物本質的、抽象的、概括的認識.數(shù)學思想應是數(shù)學中的理性認識，是數(shù)學中高度抽象、概括的內(nèi)容，是從具體的數(shù)學內(nèi)容和對數(shù)學的認識過程中提煉上升的數(shù)學觀點，它既蘊藏于數(shù)學知識內(nèi)容之中，是數(shù)學知識的本質，又隱含于運用數(shù)學理論分析、處理和解決問題的過程之中．

數(shù)學思想既可以“泛指某些有重大意義的、內(nèi)容比較豐富、體系相當完整的數(shù)學成果”，如微積分思想、概率統(tǒng)計思想等，又包括對數(shù)學的起源與發(fā)展、數(shù)學的本質和特征、數(shù)學內(nèi)部各分支各體系之間對立統(tǒng)一關系、數(shù)學與現(xiàn)實世界的關系及地位作用的認識，如常量與變量之間的辯證關系的認識等．

什么是數(shù)學思想？1．數(shù)學思想的含義

現(xiàn)代漢語中，思想解釋為客觀存在反映在人的意識中經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結果．《辭?！贩Q思想為理性認識．《中國大百科全書》認為，思想是相對于感性認識的理性認識結果．2．數(shù)學方法的含義

方法是指人們?yōu)榱诉_到某種目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規(guī)則或模式，具有程序性、規(guī)則性、可操作性、模式性、指向性等特征．

方法因問題而生，因能解決問題而存．

數(shù)學方法是指在數(shù)學地提出問題、研究問題和解決問題（包括數(shù)學內(nèi)部問題和實際問題）的過程中，所采用的各種手段或途徑．

什么是數(shù)學方法？數(shù)學思想方法是對數(shù)學知識最高層次的提煉與概括，數(shù)學思想方法較之數(shù)學知識具有更高的層次，具有理性的地位，它是一種數(shù)學意識，屬于思維和能力的范疇，它是數(shù)學知識的精髓，是知識轉化為能力的橋梁。待定系數(shù)法換元法配方法割補法反證法定義法參數(shù)法消去法……數(shù)學思想方法的三個層次數(shù)學基本方法數(shù)學邏輯(思維)方法數(shù)學思想數(shù)學歸納法分析與綜合歸納與演繹比較與類比具體與抽象……數(shù)學思想方法的三個層次數(shù)學邏輯(思維)方法數(shù)學思想數(shù)學基本方法函數(shù)與方程的思想數(shù)形結合的思想分類與整合的思想化歸與轉化的思想特殊與一般的思想有限與無限的思想隨機思想……中學數(shù)學思想方法的三個層次數(shù)學邏輯(思維)方法數(shù)學思想數(shù)學基本方法人民教育出版社章建躍主持《中學數(shù)學核心概念、思想方法及其教學設計研究》課題調(diào)研心得：大量數(shù)學教師在課堂上沒有抓住數(shù)學概念的核心進行教學。教學中沒有前后一致、貫穿始終的數(shù)學思想主線。學生經(jīng)常在沒有對數(shù)學概念和思想方法有基本了解的情況下就盲目進行大運動量解題操練，導致教學缺乏必要的根基，教學活動不得要領。數(shù)學思想方法的教學現(xiàn)狀小學數(shù)學蘊涵的數(shù)學思想方法?課程標準對數(shù)學思想方法的要求2011九年制義務教育課程標準明確提出“四基”要求，即基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗(從兩基增加為四基）2007普通高中數(shù)學新課程標準的課程理念：

高中數(shù)學課程應注意提高學生的數(shù)學思維能力，這是數(shù)學教育的基本目標之一強調(diào)本質，注意適度形式化。...，使學生理解數(shù)學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法。

人教社課程教材研究所王永春對小學數(shù)學數(shù)學思想方法進行了梳理：1、符號化思想；2、化歸思想；3、類比思想；4、歸納思想；5、分類思想；6、方程思想；7、集合思想；8、函數(shù)思想；9、一一對應思想；10、模型思想；11、數(shù)形結合思想；12、演繹推理思想；13、變換思想；14、統(tǒng)計與概率思想；15、極限思想等。也是整個義務教育階段蘊涵的數(shù)學思想小學數(shù)學蘊涵的數(shù)學思想方法1、類比思想2、整體思想3、數(shù)形結合思想;4、分類討論思想5、轉化（化歸）思想;6、函數(shù)思想7、方程思想8、建模思想9、統(tǒng)計思想10、分解組合思想11、圖形運動思想12、用字母表示數(shù)13、換元思想14、消元思想15、一般到特殊和特殊到一般思想

初中數(shù)學數(shù)學思想方法方法有:配方法、換元法、待定系數(shù)法、參數(shù)法、構造法、特殊值法等。思想有:如何培養(yǎng)初中生的數(shù)學思想方法

一、數(shù)學思想方法的培養(yǎng)應遵循的原則：

滲透性原則、層次性原則、反復性原則

二、在知識的傳授全過程中，培養(yǎng)學生的數(shù)學思想

在概念形成過程中、在公式定理的證明過程中、在例題教學中、在練習過程中滲透和培養(yǎng)數(shù)學思想

三、培養(yǎng)學生自覺應用數(shù)學思想方法解決實際問題的能力常見初中數(shù)學思想方法的教學滲透類比聯(lián)想整體思想數(shù)形結合思想分類討論思想轉化與化歸思想方程與函數(shù)思想.........類比聯(lián)想

類比思想在初中數(shù)學教學中應用廣泛，類比的魅力在于它可以使數(shù)學學習更容易、更生動、更形象，有利于學生自主探索與創(chuàng)新思維的培養(yǎng)．通過概念的類比，理解概念的本質；通過知識結構的類比，構建起知識的網(wǎng)絡；通過思維的類比，突破學生學習思維難點．提高初中數(shù)學學習的有效性．著名教育家玻利亞曾形象地說過：“類比是一個偉大的領路人．”在初中數(shù)學學習中，類比思想是理解概念，鍛煉思維，構建知識網(wǎng)絡的重要手段．類比聯(lián)想類比法

類比法，是通過對兩個研究對象的比較，根據(jù)它們某些方面（屬性、關系、特征、形式等）的相同或相類似之處，推出它們在其它方面也可能相同或相類似的一種推理方法。類比法所獲得的結論是對兩個研究對象的觀察比較、分析聯(lián)想以至形成猜想來完成的，是一種由特殊到特殊的推理方法．一個類比包括目標問題和原問題兩個部分．目標問題是需要解決的問題，原問題是已經(jīng)解決的，并且是已經(jīng)掌握的、比較常見、比較熟悉、比較形象具體、比較容易明白的問題．原問題與目標問題之間是平行關系，類比原問題解決目標問題，通過類比學會目標問題．類比的作用機制類比的作用機制

類比法教學體現(xiàn)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)之間的學習思維的類比一元一次方程與一元二次方程之間的解法類比相似三角形判定方法的探索零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪的性質探索特殊平行四邊形性質和判定的探索直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系的探索整式除法運算法則探索求多邊形內(nèi)角和………1．概念類比，理解本質辯異同數(shù)學概念是數(shù)學思維的細胞，是形成數(shù)學知識體系的要素，是基礎知識的核心內(nèi)容．在初中數(shù)學教學中，數(shù)學概念的教學是重要的一環(huán)，對于概念本質的理解是學生學習數(shù)學的一個難點，如何有效的進行突破呢？進行概念的類比教學不失為一種有效的途徑與方法．

類比思想方法的滲透與引導1．1概念定義形式與形成過程類比在初中數(shù)學學習中有大量的概念，如果孤立地去理解與記憶這些概念，會成為學生學習的一個負擔，但從概念的定義形式上看，有一部分概念的定義形式是相似的，通過這些概念之間的類比，進一步理解概念的本質．例如：三角形、四邊形、多邊形概念分別為：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次連接所組成的圖形叫做三角形由在同一平面且不在同一條直線上的四條線段首尾順次連接所組成的圖形叫做四邊形．由在同一平面且不在同一直線上的多條線段首尾順次連結所組成的圖形叫做多邊形．從概念的定義形式上來看，是對一類圖形條件的限制，形式上是一致的，不同之處，一是三角形定義中沒有“在同一平面”，二是組成線段條數(shù)，其他都是相一致的．通過這樣的類比，學生能從一個新的角度與高度對這三個概念進行認識與理解，進一步理解概念的本質．類比思想方法的滲透與引導2．1整體性解決問題策略類比學生對新信息的接收是有意義的，是從已有的經(jīng)驗與知識出發(fā)來學習新知識的，在這一建構與認識過程中，類比起到了非常重要的作用，運用整體性解決問題策略類比的思想方法，能使學生輕松地掌握新的數(shù)學知識與方法，在探索中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，提高數(shù)學學習的效率．在教學反比例函數(shù)時，采用整體解決問題類比的思想，把正比例函數(shù)，一次函數(shù)圖像性質作為原問題，教師引導學生自主探究、動手操作、合作交流，學習目標問題——反比例函數(shù)的圖象與性質．教學流程設計如下．類比思想方法的滲透與引導2．策略類比，講究學法求效率反比例函數(shù)的圖象與性質．教學流程設計類比思想方法的滲透與引導2．2個體性解決問題策略類比在解決數(shù)學中的一個新問題時，學生可以通過聯(lián)想，搜索學過的知識與解決問題的策略，找到一個原問題，通過與原問題的解決策略進行類比，用原問題的解決策略去解決目標問題．例如教學“求多邊形內(nèi)角和”．學生通過聯(lián)想搜索，回憶求四邊形內(nèi)角和的策略——把四邊形分解為三角形，然后用三角形內(nèi)角和得到四邊形的內(nèi)角和．那么是否可以用同樣的策略來解決多邊形的內(nèi)角和呢？通過圖形的分割即從多邊形的一個頂點作對角線，把多邊形分割成（n-2）個三角形，在利用三角形內(nèi)角和就可以求的多邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°．類比思想方法的滲透與引導例如教學“求多邊形內(nèi)角和”．學生通過聯(lián)想搜索，回憶求四邊形內(nèi)角和的策略——把四邊形分解為三角形，然后用三角形內(nèi)角和得到四邊形的內(nèi)角和．那么是否可以用同樣的策略來解決多邊形的內(nèi)角和呢？通過圖形的分割即從多邊形的一個頂點作對角線，把多邊形分割成（n-2）個三角形，在利用三角形內(nèi)角和就可以求的多邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°類比思想方法的滲透與引導3．知識結構類比，構建網(wǎng)絡促升華知識只有構建成網(wǎng)絡后，才能從更高的角度整體地把握知識，而知識結構類比就是建立知識網(wǎng)絡的一種有效的好方法，它能揭示這些知識之間的內(nèi)在聯(lián)系．通過知識結構類比能使知識得到橫向拓寬，也能進行遞進的深化．3．1橫向類比如在講解平行四邊形的判定及性質時，可引導學生把一般的平行四邊形與矩形、菱形、正方形的性質列成表格進行知識結構類比，進一步明確它們之間的關系．邊角對角線平行四邊形對邊平行且相等對角相等互相平分矩形對邊平行且相等四個角都是直角互相平分且相等菱形四邊都相等對角相等互相平分且垂直正方形四邊都相等四個角都是直角互相平分、相等且垂直通過上面的表格，對平行四邊形、矩形、菱形、正方形從邊、角、對角線三個方面進行類比，指出它們之間的相同之處，同時也理解它們之間的不同之處，從知識結構的角度來把握特殊四邊形的性質，構建知識的體系與網(wǎng)絡．類比思想方法的滲透與引導3．2縱向類比圓臺、圓柱、圓錐這一知識點中有比較多的公式，是一個難點．這三者之間的知識本質通過縱向類比，學生就產(chǎn)生了一種豁然開朗的感覺．首先讓學生了解圓臺、圓柱、圓錐之間的關系，以圓臺為基礎，圓錐可以是看著圓臺的上底面縮小為一個點形成的，而圓柱就是上下兩個底面大小一樣的圓臺．在這個基礎之上，對于這三個幾何體的側面積公式就可以有一個重新的認識．這三個側面積公式分別為S圓臺側面積=π（R+r）l，S圓錐側面積=πRl，S圓柱側面積=2πRh，事實上通過公式的類比，我們可以發(fā)現(xiàn)這三個公式在本質上是一樣的，圓錐、圓柱的側面積公式都是圓臺側面積的特殊情況，即當r=0是就成了圓錐的側面積公式，當R=r時成為了圓柱的側面積公式．通過公式中數(shù)學本質的類比，進一步理清公式之間的關系，使知識成為一個縱向的知識鏈條，構建一個縱向的網(wǎng)絡結構，提高了學習的效率．類比思想方法的滲透與引導4．思維方式類比，突破難點會創(chuàng)新數(shù)學思維的呈現(xiàn)形式常常是隱蔽的，難以從教材中獲取，這就要求教師在數(shù)學教學中，有意識地、有目的地進行思維方法的滲透．通過數(shù)學思維的類比，不斷在解決問題的過程中深化引導，學生的數(shù)學思維能力就會得到相應的提高．4．1“由表及里”類比：在“合并同類項”一課中創(chuàng)設了如下情景：（1）實物歸類：教師把學習用品、玩具、零食（形狀有圓、方、三角形）混在一起，讓學生按照自己的標準進行分類，要求學生回答以下問題：①你的分類的標準是什么？②假如分類標準一樣，則分類是否唯一？③你有幾種分類方法？（2）多項式中項的歸類：觀察多項式-2x+8y–4z+x–y回答下列問題：①你想把哪些項歸為一類？②你是根據(jù)什么特征來分類的？那么3a2b–4ab2–3+5a2b+2ab2+2ab–6ab+8呢？（學生分小組進行討論，并由代表集中發(fā)言，其他組進行補充完善）類比思想方法的滲透與引導實物歸類的主要目的是讓學生感受生活中存在分類現(xiàn)象，并且通過實物分類，讓學生明確分類的標準與方法，事實上學生通過準確的實物分類理解了分類的意義與標準．再出示多項式，讓學生進行分類，學生一定會與實物分類進行類比，也會有不同的分類方法，比如對于-2x+8y–4z+x–y，有的學生利用系數(shù)的正負來進行分類，而同類項只是分類中的一種特殊情況．數(shù)學學習要充分利用學生所熟悉的生活背景，把數(shù)學知識的學習融入到學生的生活中，通過“由表及里”類比，獲得數(shù)學本質和模型．象上面生活中的分類方法與標準是原問題，是學生所熟悉的、了解的，由實物分類類比到數(shù)學分類，學生覺得數(shù)學并不是那樣的神秘與抽象，離學生的生活是那樣接近，把日常生活中普實的方法移植到比較抽象的數(shù)學中，從而更容易、更切實地理解數(shù)學思維，提高了學生學習的興趣，降低了數(shù)學學習的難度，加強了數(shù)學與實際的聯(lián)系．類比思想方法的滲透與引導4．2“由簡到難”，“由此及彼”類比在初中數(shù)學學習中存在較多的難題，但通過思維方法的類比，由簡到難，由此及彼也就變得容易解決了．勾股定理也可以表述為：分別以直角三角形兩條直角邊為邊長的兩個正方形的面積之和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積．即S1+S2=S3（如圖1）．那么如果以直角三角形的三條邊a，b，c為邊，向形外分別作正三角形（如圖2），那么是否存在S1+S2=S3呢？根據(jù)正三角形的性質和勾股定理，不難求得正三角形BCD的高為于是同理，類比思想方法的滲透與引導說明,分別以直角三角形的三條邊a，b，c為邊向形外作正三角形，也存在S1+S2=S3.類似的，上述結果是否適合其他圖形？其實在《幾何原本》第六卷命題31就曾介紹：“在一個直角三角形中，在斜邊上所畫的任何圖形的面積，等于在兩條直角邊上所畫的與其相似的圖形的面積之和．”，（如圖3）也存在S1+S2=S3．因為所以∴S1+S2=S3上面就是由學生熟悉的圖形正方形的解法類比正三角形，再到只要是相似圖形就可以，由此及彼的思維類比，突破了難點．4．2“由簡到難”，“由此及彼”類比類比思想方法的滲透與引導5．反思類比，提高思維深刻性利用類比方法可以深刻地理解概念、公式、定理的實質，分清新舊知識的聯(lián)系和區(qū)別，也可以數(shù)題一法，概括出一類問題的解法規(guī)律．但也要防止生搬硬套、發(fā)生定勢思維的錯誤．例如：一條線段上有n個點，問共有幾條線段?每個點出發(fā)可以畫（n-1）條線段，n個點就構成n（n-1）條線段，但是每2個點之間按照上述方法計算重復了一次，所以要除以2，所以共有n（n-1）條運用類比的思想可解決：一次聚會，出席的每位代表都和其他代表各握一次手，統(tǒng)計結果表明，一共握手45次，問參加聚會的代表有多少人？設參加聚會的代表有x人．每個人握手的次數(shù)是（x-1）次，x人就握了x（x－1）次,但是每2個人之間按照上述方法計算重復了一次．所以要除以2，則有x（x－1）＝45．類比思想方法的滲透與引導整體思想整體思想

整體思想

整體思想，就是在研究和解決有關數(shù)學問題時，通過研究問題的整體形式、整體結構、整體特征，從而對問題進行整體處理的解題方法．從整體上去認識問題、思考問題，常常能化繁為簡、變難為易，同時又能培養(yǎng)學生思維的靈活性、敏捷性．整體思想的主要表現(xiàn)形式有：整體代入、整體加減、整體代換、整體聯(lián)想、整體補形、整體改造等等．在初中數(shù)學中的數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)與圖象、幾何與圖形等方面，整體思想都有很好的應用，教學體現(xiàn)多項式與多項式相乘的法則探索二元一次方程組的解法代數(shù)式求值分解因式整式的相關計算教學體現(xiàn)一．數(shù)與式中的整體思想的值等于（）例1.已知，則分析：根據(jù)條件顯然無法計算出，的值，只能考慮在所求代數(shù)式中構造出的形式，再整體代入求解．說明：本題也可以將條件變形整體思想思想方法的滲透與引導再整體代入求解．例2．已知代數(shù)式當x=1時值為3可得當x=1時值為3，則當x=-1時,代數(shù)式的值為()例3．已知求多項式的值整體思想思想方法的滲透與引導注意到即可求得二．方程(組)與不等式（組）中的整體思想整體思想思想方法的滲透與引導整體思想思想方法的滲透與引導整體思想思想方法的滲透與引導說明：通過整體加減既避免了求復雜的未知數(shù)的值，又簡化了方程組（不等式組），解答直接簡便．整體思想思想方法的滲透與引導整體思想思想方法的滲透與引導整體思想思想方法的滲透與引導三．函數(shù)與圖象中的整體思想整體思想思想方法的滲透與引導整體思想思想方法的滲透與引導利用函數(shù)與圖象，整體考察，是解決涉及方程（不等式）有關根的問題最有效的方法在之一，在數(shù)學教學中應當引起足夠的重視．四．幾何與圖形中的整體思想整體思想思想方法的滲透與引導例10．如圖，說明：整體聯(lián)想待求式之間的關系并正確應用相關性質是解決此類問題的關鍵．整體思想思想方法的滲透與引導整體思想思想方法的滲透與引導整體思想思想方法的滲透與引導13、如圖，在高2米，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，則地毯的長度至少需要

米。14、如圖，⊙A，⊙B，⊙C兩兩不相交，且半徑都是0.5cm，則圖中的陰影面積為

。數(shù)形結合思想數(shù)形結合思想

數(shù)形結合思想是指將數(shù)（量）與（圖）形結合起來進行分析、研究、解決問題的一種思維策略。數(shù)形結合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即利用形的直觀加深對數(shù)量關系的理解或利用數(shù)的抽象性加深對圖形的認識，實現(xiàn)了抽象思維與形象思維的結合與轉換。數(shù)與形本是相倚依，怎能分作兩邊飛；數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休。

——華羅庚教學體現(xiàn)數(shù)軸平面直角坐標系函數(shù)空間與圖形勾股定理平方差公式、完全平方公式的幾何意義

每一個實數(shù)，數(shù)軸上都有唯一確定的點與它對應，因此，兩個實數(shù)大小的比較，是通過這兩個實數(shù)在數(shù)軸上的對應點的位置關系進行的，相反數(shù)、絕對值概念則是通過相應的數(shù)軸上的點與原點的位置關系來刻劃的。盡管我們學習的是（實）數(shù)，但要時刻牢記它的形（數(shù)軸上的點）

數(shù)形結合思想的滲透一、代數(shù)內(nèi)容體現(xiàn)的數(shù)形結合思想1：如圖所示，已知數(shù)軸上A、B、C、D四個點對應的實數(shù)都是整數(shù)，若A點對應實數(shù)a，B點對應實數(shù)b，且b-2a=7,那么數(shù)軸上的原點應是()ABCDA、A點B、B點C、C點D、D點C數(shù)形結合思想的滲透中位數(shù)2：a、b兩數(shù)在一條隱去原點的數(shù)軸上的位置如圖所示，下列4個式子中一定成立的是———（只填序號）

a-1b

A、a-b＜

0B、a+b＜

0C、ab＜

0D、ab+a+b+1＜

0代數(shù)內(nèi)容體現(xiàn)的數(shù)形結合思想中位數(shù)例1.解不等式組2(x+2)＜

x+53(x-2)+8＞2x①②解：解不等式①，得解不等式②，得x＜1

x＞-2

在數(shù)軸上表示不等式①，②的解集所以，原不等式的解集是-2＜

x＜1

代數(shù)內(nèi)容體現(xiàn)的數(shù)形結合思想閱讀下面材料并回答問題：我們已經(jīng)知道，完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積來表示，實際上還有一些代數(shù)恒等式也可以用這種形式來表示，例如(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用圖①或圖②的面積表示.

（1）請寫出圖③所表示的代數(shù)恒等式：

；（2）試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示：(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2；（3）請仿照上述方法另寫一個含有a、b的代數(shù)恒等式，并畫出與之對應的幾何圖形.代數(shù)內(nèi)容體現(xiàn)的數(shù)形結合思想中位數(shù)代數(shù)內(nèi)容體現(xiàn)的數(shù)形結合思想中位數(shù)二、幾何內(nèi)容體現(xiàn)數(shù)形結合思想

借助于數(shù)的精確性和嚴密性來闡明形的某些屬性，以使幾何問題代數(shù)化。勾股定理及其應用就很好地體現(xiàn)了這一思想。幾何內(nèi)容體現(xiàn)數(shù)形結合思想中位數(shù)如圖，圖1中正方形A的面積是________，圖2中B正方形的面積是

；

幾何內(nèi)容體現(xiàn)數(shù)形結合思想中位數(shù)

三、函數(shù)及其圖象內(nèi)容凸顯了數(shù)形結合思想

數(shù)形結合方法在解決與函數(shù)有關的問題時，常常畫出該函數(shù)的草圖或示意圖，即以形助數(shù)；如果給定了函數(shù)圖象，我們可以聯(lián)想到與之相對應的函數(shù)解析式，即由數(shù)思形.函數(shù)及其圖象內(nèi)容凸顯了數(shù)形結合思想中位數(shù)

1、已知二次函數(shù)y=x2+2x-3的圖象是

，它的開口方向

，頂點坐標是

，對稱軸是

，它與x軸有

個交點，交點坐標是

；在對稱軸的左側，y隨著x的增大而

；在對稱軸的右側，y隨著x的

；當x=

時，函數(shù)y有最

值，是

．

拋物線向上（-1，-4）直線x＝-1兩（-3，0），（1，0）減小增大而增大-1小-4函數(shù)及其圖象內(nèi)容凸顯了數(shù)形結合思想

2、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示,則點A(a,b)在A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

B函數(shù)及其圖象內(nèi)容凸顯了數(shù)形結合思想中位數(shù)3、對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c若a＞0，b＜0，c＜0，

則下面關于這個函數(shù)與x軸的交點情況正確的是（）

A.只有一個交點

B.有兩個，都在x軸的正半軸

C.有兩個，都在x軸的負半軸

D.一個在x軸的正半軸，一個在x軸的負半軸函數(shù)及其圖象內(nèi)容凸顯了數(shù)形結合思想中位數(shù)4、如圖,C為線段BD上一動點,分別過點B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,連接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,設CD=x.(1)用含x的代數(shù)式表示AC＋CE的長；(2)請問點C滿足什么條件時,AC＋CE的值最小?(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結論,請構圖求出代數(shù)式的最小值.EDCBAＣ函數(shù)及其圖象內(nèi)容凸顯了數(shù)形結合思想中位數(shù)

5如圖，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠A=900，BC和DE交于點P，若AC=3，AB=4，則P點到AB邊的距離是____________．

一般解法：經(jīng)過添加輔助線，利用相似三角形的判定和性質，解方程等步驟得到結果．函數(shù)及其圖象內(nèi)容凸顯了數(shù)形結合思想中位數(shù)解：如圖，建立平面直角坐標系，

x=啟示：運用坐標系和函數(shù)方法解題，思路簡捷，思維量少，方法易于掌握，特別是對那些數(shù)量關系比較確定的問題，運用坐標系解決問題的效率較理想，常常能出奇制勝的作用．

以數(shù)解形以形助數(shù)函數(shù)及其圖象內(nèi)容凸顯了數(shù)形結合思想(08湖北恩施州)如圖,C為線段BD上一動點,分別過點B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,連接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,設CD=x.(1)用含x的代數(shù)式表示AC＋CE的長；(2)請問點C滿足什么條件時,AC＋CE的值最小?(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結論,請構圖求出代數(shù)式的最小值.EDCBA函數(shù)及其圖象內(nèi)容凸顯了數(shù)形結合思想

如圖，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠A=900，BC和DE交于點P，若AC=3，AB=4，則P點到AB邊的距離是____________．

一般解法：經(jīng)過添加輔助線，利用相似三角形的判定和性質，解方程等步驟得到結果．函數(shù)及其圖象內(nèi)容凸顯了數(shù)形結合思想解：如圖，建立平面直角坐標系，

x=啟示：運用坐標系和函數(shù)方法解題，思路簡捷，思維量少，方法易于掌握，特別是對那些數(shù)量關系比較確定的問題，運用坐標系解決問題的效率較理想，常常能出奇制勝的作用．

以數(shù)解形以形助數(shù)函數(shù)及其圖象內(nèi)容凸顯了數(shù)形結合思想分類討論思想中位數(shù)所謂分類討論，就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，我們就需要對研究對象進行分類，然后對每一類分別進行研究，得出每一類的結論，最后綜合各類的結果，得到整個問題的解答．實質上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的策略.

簡單地說，把研究的對象，按照一定的標準，劃分成為幾種情況或幾個部分，逐一進行研究和解決的方法叫做分類討論法。一、分類思想方法定義與特點分類討論思想中位數(shù)二、分類討論思想

分類討論思想又稱邏輯劃分，即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點和要求，分成若干類，轉化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學思想。當數(shù)學問題中的條件、結論不明確或題意中含參數(shù)或圖形不確定時，就應分類討論。分類討論解題的實質，是將整體問題化為部分問題來解決,以增加題設條件。分類討論思想中位數(shù)

分類討論首先是分類，沒有正確的分類，就不可能有正確的討論，而分類本身是一種邏輯上的劃分。劃分是揭示概念外延的邏輯方法，邏輯劃分原則是進行邏輯劃分的依據(jù)，也是借以進行分類的標準。因此，弄清劃分的依據(jù)于規(guī)則是正確進行分類討論的基礎。分類討論法的理論依據(jù)：邏輯劃分原則三、分類討論法的理論依據(jù)分類討論思想中位數(shù)三、分類討論法的理論依據(jù)邏輯劃分原則是：

一是子項外延之和等于母項的外延；二是一個劃分過程只能有一個標準；三是劃分出的子項必須全部列出；四是劃分必須按屬種關系分層逐級進行，不可以越級。劃分的規(guī)則：1.劃分后各個子項應當互不相容（不重）。2.劃分后各個子項必須窮盡母項（不漏）。3.每次劃分都應按同一標準。分類討論思想中位數(shù)四、分類討論的步驟及原則1、明確討論對象，確定對象的全體，確立分類標準（標準統(tǒng)一，標準不同，結果也不相同）；2、恰當分類（結果無遺漏，無交叉重復）；3、逐類討論（逐級進行，不越級討論）；4、歸納總結，綜合得出結論。分類討論思想中位數(shù)

規(guī)則1：劃分后各個子項應當互不相容（不重）。從集合的角度看，劃分后的子集兩兩交集均為空集。

例如：矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，它們的關系如圖所示

如果把平行四邊形分為矩形、菱形、正方形三類，這其中就有三處重疊（交集不空），不符合規(guī)則1。劃分規(guī)則舉例：分類討論思想中位數(shù)規(guī)則2：劃分后各個子項必須窮盡母項（不漏）。從集合的角度看，劃分后所有的子集的并集應該等于是全集。

例如：自然數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類。如果把自然數(shù)分為素數(shù)與合數(shù)兩類，就漏掉了自然數(shù)1，因為1既不是素數(shù)也不是合數(shù)。從集合的角度看，劃分后兩個的子集的并不等于全集，因此，這樣分類不符合規(guī)則2。劃分規(guī)則舉例：分類討論思想中位數(shù)

規(guī)則3：每次劃分都應按同一標準。分類的標準直接影響到分類的結果，如果在一次分類中標準是變化的，那么這個分類就失去了意義。例如：三角形可以如下分類

銳角△

有兩邊相等的△直角△三邊都不等的△鈍角△

按邊分按角分

如果把三角形分為等邊三角形、等腰三角形和直角三角形，就沒有按同一標準進行劃分，不符合規(guī)則3。

劃分規(guī)則舉例：分類討論思想中位數(shù)五、分類思想方法的作用可化繁就簡，化難為易?？墒顾季S有序、有條理。可使思維全面、縝密。分類討論思想中位數(shù)教學體現(xiàn)|a|=

————實數(shù)的分類三角形的分類與圓有關的位置關系三角形判定方法的探索一元二次方程的解的情況中位數(shù)應用1、等腰三角形的一個角等于30°，腰長為20cm，求等腰三角形腰上的高的長；2、已知直角三角形兩邊x、y的長滿足，則第三邊長為

；3、A、B兩地相距450千米，甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行．已知甲車速度為120千米/時，乙車速度為80千米/時，則過t小時兩車相距50千米，則t的值是（）A、2或2．5B、2或10C、10或12．5D、2或12．5分類討論思想中位數(shù)4、在半徑為1的⊙O中，弦AB，AC分別為和，則∠BAC的度數(shù)為

；5、已知⊙O的半徑為2，點P是⊙O外一點，OP的長為3，那么以P為圓心，且與⊙O相切的圓的半徑一定是（）A．1或5B．1C．5D．16、一次函數(shù)y=kx+b的自變量的取值范圍是

-3≤x≤6，，相應的函數(shù)值的取值范圍是

-5≤y≤-2，則這個函數(shù)的解析式

。分類討論思想中位數(shù)1、對∠A進行討論2、對∠B進行討論3、對∠C進行討論CABACB20°20°20°20°CAB50°50°CAB80°80°20°CAB65°65°50°CAB35°35°110°ACB50°110°20°在三角形的邊上找出一點，使得該點與三角形的兩頂點構成等腰三角形！分類討論思想中位數(shù)勞技課上，老師要求學生在一張長17cm，寬16cm的長方形紙片上剪下一個腰長為10cm的等腰三角形，要求等腰三角形的一個頂點與長方形的頂點重合，其余兩個頂點在長方形的邊上。請幫助同學們計算一下所得等腰三角形的面積。分類討論思想中位數(shù)在平面直角坐標系中，已知點P（－2，－1）.xy0.PA（1）點T（t，0）是x軸上的一個動點。當t取何值時，△TOP是等腰三角形？情況一:OP=OT情況二:PO=PT情況三:TO=TPT3(-4,0)分類討論思想中位數(shù)(2)過P作y軸的垂線PA,垂足為A.點T為坐標系中的一點。以點A.O.P.T為頂點的四邊形為平行四邊形,請寫出點T的坐標?0.PA分類討論思想中位數(shù)xy0.PA(3)過P作y軸的垂線PA,垂足為A.點T為坐標軸上的一點。以P.O.T為頂點的三角形與△AOP相似,請寫出點T的坐標?分類討論思想中位數(shù)如圖，邊長為2的正方形ABCD中，頂點A的坐標是（0，2）.一次函數(shù)y＝x＋t的圖象l隨t的不同取值變化時，正方形中位于l的右下方部分的圖形面積為S．寫出S與t的函數(shù)關系式．分類討論思想中位數(shù)分類討論思想中位數(shù)（2011中考）22、如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設點D、E運動的時間是t秒（t＞0）.過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF.（1）求證：AE=DF；（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，說明理由.（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由.分類討論思想中位數(shù)人教版3.2解一元一次方程（一）中的例4如下：例4根據(jù)下面的兩種移動電話計費方式表，考慮下列問題。一個月內(nèi)在本地通話200分鐘和350分鐘，按方式一需交費多少元？按方式二呢？對于某個本地通話時間，會出現(xiàn)按兩種計費方式一樣多嗎？引申：怎樣選擇計費的方式？作用舉例:化繁就簡，化難為易。分類討論思想中位數(shù)

(1)確定同一分類標準；

(2)恰當?shù)匕褜ο笳w進行分類，按照標準對分類做到“既不重復又不遺漏”；

(3)逐類討論，按一定的層次討論，逐級進行；

(4)綜合概括小結，歸納得出問題結論．確定分類標準，是分類討論的重要一環(huán)。五、分類討論思想方法的步驟：分類討論思想中位數(shù)六、隱含分類思想方法的教學內(nèi)容1、數(shù)與式有理數(shù)的分類相反數(shù)絕對值有理數(shù)的大小比較有理數(shù)的運算法則（1）有理數(shù)（2）實數(shù)平方根、立方根無理數(shù)的形式（3）式

式的分類分式的加減實數(shù)的分類二次根式的化簡分類討論思想中位數(shù)六、隱含分類思想方法的教學內(nèi)容2、方程與不等式方程的分類不等式的性質分段函數(shù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖像性質不等式組的解集3、函數(shù)一元二次方程的解分類討論思想中位數(shù)六、隱含分類思想方法的教學內(nèi)容4、圖形的認識線的分類面的分類垂線性質三角形按邊、按角的分類角的分類圖形的分類三線八角三角形高的位置三角形外心的位置三角形全等的條件等腰三角形邊和角計算勾股定理的應用四邊形的分類弦、弧的分類與圓有關的位置關系圓周角定理分類討論思想中位數(shù)六、隱含分類思想方法的教學內(nèi)容5、圖形與變換相似三角形的對應關系列舉法6、統(tǒng)計與概率中位數(shù)七、初中階段分類思想方法教學

步驟：一、抓準時機，滲透分類的思想方法。三、深化提高，應用分類的思想方法研究問題。二、啟發(fā)誘導，揭示分類思想方法的本質。1.在概念的學習中，滲透分類的思想。2.在法則的探究中，滲透分類的方法。3.在圖形的求解中，滲透分類的意識。1.根據(jù)問題的需要，進行分類。2.分類要有明確的標準。1.根據(jù)字母的取值范圍分類2.根據(jù)幾何圖形的位置關系分類中位數(shù)七、初中階段分類思想方法教學

策略：1、根據(jù)字母的取值范圍分類二次根式的化簡方程的分類不等式的性質一元二次方程的解一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖像性質中位數(shù)3策略舉例中位數(shù)4、5.6.拋物線y＝ax2＋c與y軸交點到原點的距離為3，且過點（1，5）,求這個函數(shù)的解析式．策略舉例中位數(shù)七、初中階段分類思想方法教學

策略：2、根據(jù)幾何圖形的位置關系分類垂線性質三線八角三角形高的位置三角形外心的位置三角形全等的條件等腰三角形邊和角計算勾股定理的應用四邊形的分類與圓有關的位置關系圓周角定理相似三角形的對應關系中位數(shù)1.2.3.策略舉例中位數(shù)4.5.策略舉例中位數(shù)已知⊙O的半徑為5cm，AB、CD是⊙O的弦，且AB=8cm，CD=6cm，AB∥CD，則AB與CD之間的距離為__________．

（1cm或7cm）已知⊙O1和⊙O2相切于點P，半徑分別為1cm和3cm．則⊙O1和⊙O2的圓心距為______．（2cm或4cm）6.7.策略舉例中位數(shù)八、分類思想方法在新課探究中的應用舉例探究三角形全等的條件

問題：探究三角形全等的條件

標準：1、元素個數(shù)；2、元素內(nèi)容、位置

分類：6大類，14小類研究：證明

歸納：（1）判斷兩個三角形是否全等至少需要三個條件；（2）能夠判斷兩個三角形全等的方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS。

中位數(shù)九、分類思想方法在中考綜合題中的應用舉例已知關于的一元二次方程有實數(shù)根，為正整數(shù).（1）求k的值；（2）當此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關于x的二次函數(shù)的圖象向下平移8個單位，求平移后的圖象的解析式；（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象.請你結合這個新的圖象回答：當直線與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍.

09年北京中考第23題中位數(shù)09年湖北黃岡第20題轉化與化歸思想中位數(shù)轉化與化歸思想

化歸就是轉化與歸結的簡稱，所謂化歸就是將所要解決的問題轉化歸結為另一個比較容易解決的問題或已經(jīng)解決的問題。具體來說，就是把“新知識”轉化為“舊知識”，把“未知”轉化為“已知”，把“復雜問題”轉化為“簡單問題”。中位數(shù)具體來講：化歸轉化思想化歸思想是一種最基本的數(shù)學思想，用于解決問題時的基本思路是化未知為已知，把復雜的問題簡單化，把生疏的問題熟悉化，把非常規(guī)問題化為常規(guī)問題，把實際問題數(shù)學化，實現(xiàn)不同的數(shù)學問題間的相互轉化，這也體現(xiàn)了把不易解決的問題轉化為有章可循，容易解決的問題的思想.中位數(shù)未知向已知轉化；

復雜問題向簡單問題轉化，

空間向平面的轉化；

高維向低維轉化；

多元向一元轉化；

高次向低次轉化；

函數(shù)與方程的轉化；

無限向有限的轉化等；中位數(shù)教學體現(xiàn)多邊形內(nèi)角和的探索整式乘法運算法則探索直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系探索分式方程的解法、多元方程（組）的解法、一元二次方程的解法幾何實體與其三視圖中位數(shù)應用

1、如圖，“回”字形的道路寬為1米，整個“回”字形的長為8米，寬為7米，一個人從入口點A沿著道路中央走到終點B，他共走了

.8米7米BA中位數(shù)

2、如圖，是一塊在電腦屏幕上出現(xiàn)的矩形色塊圖，由6個顏色不同的正方形組成，設中間最小一個正方形邊長為1，則這個矩形色塊圖的面積為

.ＸＸ＋１Ｘ＋２Ｘ＋３Ｘ中位數(shù)

3、如圖所示，AB是半圓的直徑，AB=4，C、D為半圓的三等分點，求陰影部分的面積?中位數(shù)

4、如圖，A是半圓上一個三等分點，B是弧AN的中點，P是直徑MN上一動點，⊙O的半徑為1，求AP+BP的最小值。ABMNOPＰ中位數(shù)例計算換元法中位數(shù)換元法中位數(shù)消元法例.（a-1）:（b+1）:（c+2）=1:2:3配方法中位數(shù)例：(2009·泉州中考)如圖，等腰梯形花圃ABCD的底邊AD靠墻，另三邊用長為40米的鐵欄桿圍成，設該花圃的腰AB的長為x米.中位數(shù)(1)請求出底邊BC的長(用含x的代數(shù)式表示)；(2)若∠BAD=60°，該花圃的面積為S米2.①求S與x之間的函數(shù)關系式(要指出自變量x的取值范圍)，并求當S=時x的值；②如果墻長為24米，試問S有最大值還是最小值？這個值是多少？中位數(shù)【思路點撥】中位數(shù)【自主解答】(1)∵AB=CD=x米，∴BC=40-AB-CD=(40-2x)米.(2)①如圖，過點B、C分別作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，在Rt△ABE中，AB=x，∠BAE=60°，∴AE=x，BE=同理DF=x,CF=又EF=BC=40-2x,∴AD=AE+EF+DF=x+40-2x+x=40-x中位數(shù)解得：x1=6，x2=(舍去)，∴x=6.中位數(shù)②由題意，得40-x≤24，解得x≥16,結合①得16≤x＜20.由①得，∴函數(shù)圖象為開口向下的拋物線的一段，其對稱軸為x=∵16＞由上圖可知，中位數(shù)當16≤x＜20時，S隨x的增大而減小，∴當x=16時，S取得最大值.此時，S最大值=中位數(shù)2.(2011·涼山中考)我國古代數(shù)學的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例.如圖，這個三角形的構造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了(a+b)n(n為正整數(shù))的展開式(按a的次數(shù)由大到小的順序排列)的系數(shù)規(guī)律.例如，在三角形中第三行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應(a+b)2=a2+2ab+b2展開式中的系數(shù)；第四行的四個數(shù)1，3，3，1，恰好對應著(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展開式中的系數(shù)等等.中位數(shù)(1)根據(jù)上面的規(guī)律，寫出(a+b)5的展開式.(2)利用上面的規(guī)律計算：25-5×24+10×23-10×22+5×2-1.中位數(shù)【解析】(1)(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5(2)原式=25+5×24×(-1)+10×23×(-1)2+10×22×(-1)3+5×2×(-1)4+(-1)5=(2-1)5=1.中位數(shù)方程與函數(shù)思想函數(shù)的思想，就是用運動變化的觀點，分析和研究具體問題中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系，運用函數(shù)的知識，使問題得到解決.這種思想方法在于揭示問題的數(shù)量關系的本質特征，重在對問題的變量的動態(tài)研究，從變量的運動變化，聯(lián)系和發(fā)展角度拓寬解題思路要確定變化過程的某些量，往往要轉化為求出這些量滿足的方程，希望通過方程(組)來求得這些量.這就是方程的思想，方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系.中位數(shù)方程與函數(shù)思想函數(shù)的思想，就是用運動變化的觀點，分析和研究具體問題中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系，運用函數(shù)的知識，使問題得到解決.這種思想方法在于揭示問題的數(shù)量關系的本質特征，重在對問題的變量的動態(tài)研究，從變量的運動變化，聯(lián)系和發(fā)展角度拓寬解題思路要確定變化過程的某些量，往往要轉化為求出這些量滿足的方程，希望通過方程(組)來求得這些量.這就是方程的思想，方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系.中位數(shù)方程思想是指在求解數(shù)學問題時，從題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關系中找出相等關系，運用數(shù)學符號語言將相等關系轉化為方程組，然后解方程組，從而使問題獲解。方程思想是初中數(shù)學中一種基本的數(shù)學思想方法。方程可以清晰地反映已知量和未知量之間的關系，架起溝通已知量和未知量的橋梁。利用方程解決實際問題時，可將繁瑣的過程簡單化，特殊的問題一般化。中位數(shù)教學體現(xiàn)二次函數(shù)求最值解直角三角形的相關問題最大利潤問題最佳分配方案問題空間與圖形的相關問題根據(jù)相關信息求函數(shù)關系式中位數(shù)一、整式，三角函數(shù)中的方程思想

中位數(shù)例題1中位數(shù)例題2中位數(shù)例題3中位數(shù)二、幾何中的方程思想

中位數(shù)例題1中位數(shù)例題2中位數(shù)例題3中位數(shù)例題4中位數(shù)三、方程組與應用題

中位數(shù)例題1中位數(shù)1、如圖，中，BC＝4，

P為BC上一點，過點P作PD//AB，交AC于D。連結AP，問點P在BC上何處時，⊿APD面積最大？應用

x4-x中位數(shù)２、某學校有一段25米長的舊圍欄，（如圖用AB表示），現(xiàn)打算利用該圍欄（或它的一部分）為一邊，圍成一塊面積為100㎡的長方形草坪，如圖，其中CD＜CF。已知整修舊