平面向量知識點歸納及平面向量知識點整理

-1-平面向量2.1向量的基本概念和基本運算16、向量：既有大小，又有方向的量．數(shù)量：只有大小，沒有方向的量．有向線段的三要素：起點、方向、長度．零向量：長度為的向量．單位向量：長度等于個單位的向量．平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長度相等且方向相同的向量．17、向量加法運算：=1\*GB2⑴三角形法則的特點：首尾相連．=2\*GB2⑵平行四邊形法則的特點：共起點．=3\*GB2⑶三角形不等式：．=4\*GB2⑷運算性質(zhì)：=1\*GB3①交換律：；=2\*GB3②結(jié)合律：；=3\*GB3③．=5\*GB2⑸坐標運算：設，，則．18、向量減法運算：=1\*GB2⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量．=2\*GB2⑵坐標運算：設，，則．設、兩點的坐標分別為，，則．19、向量數(shù)乘運算：=1\*GB2⑴實數(shù)與向量的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘，記作．=1\*GB3①；=2\*GB3②當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，．=2\*GB2⑵運算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．=3\*GB2⑶坐標運算：設，則．20、向量共線定理：向量與共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使．設，，其中，則當且僅當時，向量、共線．2.2平面向量的基本定理及坐標表示21、平面向量基本定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)、，使．（不共線的向量、作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）22、分點坐標公式：設點是線段上的一點，、的坐標分別是，，當時，點的坐標是．（當2.3平面向量的數(shù)量積23、平面向量的數(shù)量積（兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和。）：=1\*GB2⑴．零向量與任一向量的數(shù)量積為．=2\*GB2⑵性質(zhì)：設和都是非零向量，則=1\*GB3①．=2\*GB3②當與同向時，；當與反向時，；或．=3\*GB3③．=3\*GB2⑶運算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．=4\*GB2⑷坐標運算：設兩個非零向量，，則．若，則，或．設，，則．設、都是非零向量，，，是與的夾角，則．知識鏈接：空間向量空間向量的許多知識可由平面向量的知識類比而得.下面對空間向量在立體幾何中證明，求值的應用進行總結(jié)歸納.1、直線的方向向量和平面的法向量⑴．直線的方向向量：

若A、B是直線上的任意兩點，則為直線的一個方向向量；與平行的任意非零向量也是直線的方向向量.

⑵．平面的法向量：

若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系數(shù)法）：①建立適當?shù)淖鴺讼担谠O平面的法向量為．③求出平面內(nèi)兩個不共線向量的坐標．④根據(jù)法向量定義建立方程組.⑤解方程組，取其中一組解，即得平面的法向量.（如圖）用向量方法判定空間中的平行關系⑴線線平行設直線的方向向量分別是，則要證明∥，只需證明∥，即.即：兩直線平行或重合兩直線的方向向量共線。

⑵線面平行①（法一）設直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明∥，只需證明，即.即：直線與平面平行直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外②（法二）要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可.⑶面面平行若平面的法向量為，平面的法向量為，要證∥，只需證∥，即證.即：兩平面平行或重合兩平面的法向量共線。

3、用向量方法判定空間的垂直關系

⑴線線垂直設直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即.即：兩直線垂直兩直線的方向向量垂直。

⑵線面垂直①（法一）設直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明，只需證明∥，即.②（法二）設直線的方向向量是，平面內(nèi)的兩個相交向量分別為，若即：直線與平面垂直直線的方向向量與平面的法向量共線直線的方向向量與平面內(nèi)兩條不共線直線的方向向量都垂直。⑶面面垂直若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證.即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直。

4、利用向量求空間角⑴求異面直線所成的角已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，

則⑵求直線和平面所成的角①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角②求法：設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，則為的余角或的補角

的余角.即有：⑶求二面角①定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點O，分別在兩個半平面內(nèi)作射線，則為二面角的平面角.如圖：OOABOABl②求法：設二面角的兩個半平面的法向量分別為，再設的夾角為，二面角的平面角為，則二面角為的夾角或其補角根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角：◆如果是銳角，則，即；如果是鈍角，則，即.5、利用法向量求空間距離⑴點Q到直線距離若Q為直線外的一點,在直線上，為直線的方向向量，=，則點Q到直線距離為⑵點A到平面的距離若點P為平面外一點，點M為平面內(nèi)任一點，平面的法向量為，則P到平面的距離就等于在法向量方向上的投影的絕對值.即⑶直線與平面之間的距離當一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為求直線上任一點到平面的距離，即轉(zhuǎn)化為點面距離。即⑷兩平行平面之間的距離利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為求點面距離。即⑸異面直線間的距離設向量與兩異面直線都垂直，則兩異面直線間的距離就是在向量方向上投影的絕對值。即6、三垂線定理及其逆定理⑴三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直推理模式： 概括為：垂直于射影就垂直于斜線.⑵三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直推理模式：概括為：垂直于斜線就垂直于射影.7、三余弦定理設AC是平面內(nèi)的任一條直線，AD是的一條斜線AB在內(nèi)的射影，且BD⊥AD，垂足為D.設AB與(AD)所成的角為，AD與AC所成的角為，AB與AC所成的角為．則.8、面積射影定理已知平面內(nèi)一個多邊形的面積為，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為，平面與平面所成的二面角的大小為銳二面角，則9、一個結(jié)論長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有.（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.

基礎練習一選擇題1．如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，則以圖中點A，B，C，D，E，F(xiàn)，O中的任意一點為起點，與起點不同的另一點為終點的所有向量中，除向量外，與向量共線的向量共有()A．6個 B．7個C．8個 D．9個解析：選D.與向量共線的向量有，，，，，，，，共9個，故選D.2．設不共線的兩個非零向量e1，e2，且k(e1＋e2)∥(e1＋ke2)，則實數(shù)k的值為()A．1B．－1C．±1D．0答案：A3．已知向量是不共線向量e1，e2，給出下列各組向量：①a＝2e1，b＝e1＋e2；②a＝2e1－e2，b＝－e1＋eq\f(1,2)e2；③a＝e1＋e2，b＝－2e1－2e2；④a＝e1＋e2，b＝e1－e2.其中共線的向量組共有()A．1個B．2個C．3個D．4個答案：B4．已知E、F分別為四邊形ABCD的邊CD、BC邊上的中點，設＝a，＝b，則＝()A.eq\f(1,2)(a＋b)B．－eq\f(1,2)(a＋b)C.eq\f(1,2)(a－b)D.eq\f(1,2)(b－a)答案：B5．下列計算正確的有()①(－7)×6a＝－42a；②a－2b＋(2a＋2b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.A．0個B．1個C．2個D．3個解析：①對，②對，③錯，因為a＋b－(a＋b)＝0.答案：C1．化簡－＋所得結(jié)果是()A.B.C．0D.答案：C2．在△ABC中，||＝||＝||＝1，則|－|的值為()A．0B．1C.eq\r(3)D．2答案：B3．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，則向量a＋b的方向()A．與向量a方向相同B．與向量a方向相反C．與向量b方向相同D．與向量b方向相反答案：A4．在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，＋＝λ，則λ＝________.答案：25．向量(＋)＋(＋)＋等于()A.B.C.D.解析：(＋)＋(＋)＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝.故選C.答案：C1．如果e1、e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，那么()A．若實數(shù)λ1、λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＝λ2＝0B．空間任一向量a可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2，這里λ1、λ2是實數(shù)C．對實數(shù)λ1、λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α內(nèi)D．對平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實數(shù)λ1、λ2有無數(shù)對答案：A2．如果3e1＋4e2＝a,2e1＋3e2＝b，其中a，b為已知向量，則e1＝________，e2＝________.答案：e1＝3a－4be2＝－2a＋3b3．設e1，e2是平面內(nèi)一組基底，如果＝3e1－2e2，＝4e1＋e2，＝8e1－9e2，則共線的三點是()A．A、B、CB．B、C、DC．A、B、DD．A、C、D答案：C4．設e1，e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1D．e2和e1＋e2解析：∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2與4e2－6e1共線，故選B.答案：B1．若＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3))，且點A的坐標為(1,2)，則點B的坐標為()A．(1,1)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，5))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，4))答案：C2．已知平行四邊形OABC(O為原點)，＝(2,0)，＝(3,1)，則OC等于()A．(1,1)B．(1，－1)C．(－1，－1)D．(－1,1)解析：＝＝－＝(3,1)－(2,0)＝(1,1)，故選A.答案：A3．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c等于()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)bB.eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)bC.eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)bD．－eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b答案：B1．若a＝(2,3)，b＝(4，－1＋y)，且a∥b，則y＝()A．6B．5C．7D．8答案：C2．已知點M是線段AB上的一點，點P是平面上任意一點，＝eq\f(3,5)＋eq\f(2,5)，若＝λ，則λ等于()A.eq\f(3,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,2)D.eq\f(2,3)解析：用，表示向量，.∵＝＋＝＋eq\f(3,5)＋eq\f(2,5)＝－eq\f(2,5)＋eq\f(2,5)，＝＋＝－＋＝－eq\f(3,5)＋eq\f(2,5)＋＝－eq\f(3,5)＋eq\f(3,5)，∴＝eq\f(2,3).答案：D1.若向量a、b滿足|a|＝|b|＝1，a與b的夾角為60°，則a·a＋a·b等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,2)C．1＋eq\f(\r(3),2) D．2解析：選B.a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos60°＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).2.設a，b，c是任意的非零向量，且相互不共線，則下列結(jié)論正確的是()A．(a·b)c－(c·a)b＝0B．a(chǎn)·b＝0?a＝0或b＝0C．(b·c)a－(a·c)b不與c垂直D．(3a＋4b)·(3a－4b)＝9|a|2－16|b|2解析：選D.由于數(shù)量積是實數(shù)，因此(a·b)c，(c·a)b分別表示與c，b共線的向量，運算結(jié)果不為0，故A錯誤；當a⊥b，a與b都不為零向量時，也有a·b＝0，故B錯誤；[(b·c)a－(a·c)b]·c＝(b·c)a·c－(a·c)b·c＝0，故C錯誤；(3a＋4b)·(3a－4b)＝9a2－16b2－12a·b＋12a·b＝9|a|2－16|b|2.1.a＝(－4，3)，b＝(5，6)，則3|a|2－4a·b等于()A．23 B．57C．63 D．83解析：選D.∵|a|＝eq\r(（－4）2＋32)＝5，a·b＝－4×5＋3×6＝－2，∴3|a|2－4a·b＝3×52－4×(－2)＝83.故選D.2.已知A(2，1)，B(3，2)，C(－1，4)，則△ABC是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．任意三角形解析：選B.·＝(1，1)·(－3，3)＝－3＋3＝0.故選B.1．設坐標原點為O，已知過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))的直線交函數(shù)y＝eq\f(1,2)x2的圖象于A、B兩點，則·的值為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(4,3)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)解析：選C.由題意知直線的斜率存在可設為k，則直線方程為y＝kx＋eq\f(1,2)，與y＝eq\f(1,2)x2聯(lián)立得eq\f(1,2)x2＝kx＋eq\f(1,2)，∴x2－2kx－1＝0，∴x1x2＝－1，x1＋x2＝2k，y1y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx1＋\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx2＋\f(1,2)))＝k2x1x2＋eq\f(1,4)＋eq\f(k(x1＋x2),2)＝－k2＋k2＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)，∴·＝x1x2＋y1y2＝－1＋eq\f(1,4)＝－eq\f(3,4).二填空題2．已知A，B，C是不共線的三點，向量m與向量是平行向量，與是共線向量，則m＝________.解析：∵A，B，C不共線，∴與不共線，又m與，都共線，∴m＝0.答案：06．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝120°，則|a＋b|＝________.答案：35．已知向量a，b不共線，實數(shù)x，y滿足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y＝________.解析：由題意，得3x－4y＝6且2x－3y＝3，解得x＝6，y＝3，∴x－y＝3.答案：36．如下圖所示，已知E、F分別是矩形ABCD的邊BC、CD的中點，EF與AC交于點G，若＝a，＝b，用a、b表示＝________.解析：∵E、F分別為相應邊中點，∴＝eq\f(3,4)＝eq\f(3,4)(a＋b)＝eq\f(3,4)a＋eq\f(3,4)b.答案：eq\f(3,4)a＋eq\f(3,4)b4．已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3))，實數(shù)x，y滿足xa＋yb＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，4))，則x＝________.答案：－15．若將向量a＝(eq\r(3)，1)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)eq\f(π,2)得到向量b，則b的坐標為________．答案：(－1，eq\r(3))6．已知平行四邊形ABCD中，A(1,1)，B(6,1)，C(8,5)，則點D的坐標為________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，5))7．作用于原點的兩個力F1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2))，F(xiàn)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3))，為使它們平衡，需加力F3＝________.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－5))3．已知?ABCD四個頂點的坐標為A(5,7)，B(3，x)，C(2,3)，D(4，x)，則x＝__________.答案：53.已知向量a，b滿足|b|＝2，a與b的夾角為60°，則b在a上的投影是________．解析：b在a上的投影是|b|cos〈a，b〉＝2cos60°＝1.答案：14.已知|a|＝2|b|≠0，且關于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有實根，則a與b的夾角的取值范圍是________．解析：由于|a|＝2|b|≠0，且關于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有實根，則|a|2－4a·b≥0，設向量a與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)≤eq\f(\f(1,4)|a|2,\f(1,2)|a|2)＝eq\f(1,2)，∴θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))4.在邊長為eq\r(2)的等邊三角形ABC中，設AB＝c，＝a，＝b，則a·b＋b·c＋c·a＝__________．解析：a·b＋b·c＋c·a＝eq\r(2)×eq\r(2)×cos120°×3＝－3.答案：－35.已知|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，則|3a＋b|＝________．解析：由已知|3a－2b|＝3，得9|a|2－12a·b＋4|b|2＝9，∴a·b＝eq\f(1,3).∴|3a＋b|＝eq\r(（3a＋b）2)＝eq\r(9|a|2＋6a·b＋|b|2)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)．在平面直角坐標系中，O為原點，已知兩點A(1，－2)，B(－1,4)，若點C滿足＝α＋β，其中0≤α≤1且α＋β＝1，則點C的軌跡方程為________．解析：∵α＋β＝1，∴β＝1－α，又∵＝α＋β＝α＋(1－α)，∴－＝α(－)，∴∥，又B與有公共點B，∴A、B、C三點共線，∵0≤α≤1，∴C點在線段AB上運動，∴C點的軌跡方程為3x＋y－1＝0(－1≤x≤1)．答案：3x＋y－1＝0(－1≤x≤1)三解答題平面向量知識點整理概念（1）向量：既有大小，又有方向的量．數(shù)量：只有大小，沒有方向的量．有向線段的三要素：起點、方向、長度．（2）單位向量：長度等于個單位的向量．（3）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；

②兩個向量平行與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；

③平行向量無傳遞性?。ㄒ驗橛辛阆蛄?④三點A、B、C共線共線（4）相等向量：長度相等且方向相同的向量．（5）相反向量：長度相等方向相反的向量。a的相反向量是-a（6）向量表示：幾何表示法；字母a表示；坐標表示：a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.（7）向量的模：設，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：.（。）（8）零向量：長度為的向量。a＝O｜a｜＝O.【例題】1.下列命題：（1）若，則。（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是_______（答：（4