高中數(shù)學(xué)北師大版必修一《換底公式》word同步測試

第三章§44.2換底公式一、選擇題1.eq\f(log89,log83)等于()A．3 B．8C．27 D．2[答案]D[解析]eq\f(log89,log83)＝log39＝2.2．在eq\f(1,logba)，eq\f(lga,lgb)，logeq\r(b)eq\r(a)，loganbn(a，b均為不等于1的正數(shù)，且ab≠1)其中與logab相等的有()A．4個 B．3個C．2個 D．1個[答案]C[解析]eq\f(1,logba)＝logab，eq\f(lga,lgb)＝logba，logeq\r(b)eq\r(a)＝logba，loganbn＝logab，故答案為C.3．已知lg2＝a，lg3＝b，則log312＝()A.eq\f(2a＋b,b) B.eq\f(2a＋b,a)C.eq\f(a,2a＋b) D.eq\f(b,2a＋b)[答案]A[解析]log312＝eq\f(lg12,lg3)＝eq\f(2lg2＋lg3,lg3)＝eq\f(2a＋b,b).4．若y＝log56·log67·log78·log89·log910，則()A．y∈(0,1) B．y∈(1,2)C．y∈(2,3) D．y∈(3,4)[答案]B[解析]原式＝eq\f(lg6,lg5)·eq\f(lg7,lg6)·eq\f(lg8,lg7)·eq\f(lg9,lg8)·eq\f(lg10,lg9)＝eq\f(lg10,lg5)＝lg510∈(1,2)．5．設(shè)log34·log48·log8m＝log416，則mA.eq\f(1,2) B．9C．18 D．27[答案]B[解析]原式可化為：eq\f(lg4,lg3)·eq\f(lg8,lg4)·eq\f(lgm,lg8)＝log442＝2，所以lgm＝2lg3＝lg9，所以m＝9.6．若log5eq\f(1,3)·log36·log6x＝2，則x等于()A．9 B.eq\f(1,9)C．25 D.eq\f(1,25)[答案]D[解析]由換底公式，得eq\f(－lg3,lg5)·eq\f(lg6,lg3)·eq\f(lgx,lg6)＝2，lgx＝－2lg5，x＝5－2＝eq\f(1,25).二、填空題7．設(shè)2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m＝________.[答案]eq\r(10)[解析]∵a＝log2m，b＝log5∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m2＝10.又∵m>0，∴m＝eq\r(10).8．2log510＋log50.25＋(eq\r(3,25)－eq\r(125))÷eq\r(4,25)＝________.[答案]eq\r(6,5)－3[解析]原式＝2(log510＋log50.5)＋(eq\f(\r(3,25),\r(4,25))－eq\f(\r(125),\r(4,25)))＝2log5(10×0.5)＋5eq\s\up4(\f(2,3))－eq\s\up4(\f(1,2))－5eq\s\up7(\f(3,2))－eq\s\up4(\f(1,2))＝2＋5eq\s\up7(\f(1,6))－5＝eq\r(6,5)－3.三、解答題9．計算：(1)lgeq\f(1,2)－lgeq\f(5,8)＋lg12.5－log89·log34；(2)(log25＋log40.2)(log52＋log250.5)．[解析](1)解法1：lgeq\f(1,2)－lgeq\f(5,8)＋lg12.5－log89·log34＝lg(eq\f(1,2)×eq\f(8,5)×12.5)－eq\f(2lg3,3lg2)·eq\f(2lg2,lg3)＝1－eq\f(4,3)＝－eq\f(1,3).解法2：lgeq\f(1,2)－lgeq\f(5,8)＋lg12.5－log89·log34＝lgeq\f(1,2)－lgeq\f(5,8)＋lgeq\f(25,2)－eq\f(lg9,lg8)·eq\f(lg4,lg3)＝－lg2－lg5＋3lg2＋(2lg5－lg2)－eq\f(2lg3,3lg2)·eq\f(2lg2,lg3)＝(lg2＋lg5)－eq\f(4,3)＝1－eq\f(4,3)＝－eq\f(1,3).(2)原式＝(log25＋eq\f(1,2)log2eq\f(1,5))(log52＋eq\f(1,2)log5eq\f(1,2))＝(log25＋eq\f(1,2)log25－1)(log52＋eq\f(1,2)log52－1)＝(log25－eq\f(1,2)log25)(log52－eq\f(1,2)log52)＝eq\f(1,4)·log25·log52＝eq\f(1,4).10．已知log142＝a，用a表示logeq\r(2)7.[解析]解法1：log142＝a，∴l(xiāng)og214＝eq\f(1,a).∴1＋log27＝eq\f(1,a).∴l(xiāng)og27＝eq\f(1,a)－1.∵由對數(shù)換底公式，得log27＝eq\f(log\r(2)7,log\r(2)2)＝eq\f(log\r(2)7,2)，∴l(xiāng)ogeq\r(2)7＝2log27＝2(eq\f(1,a)－1)＝eq\f(21－a,a).解法2：∵由對數(shù)換底公式，得log142＝eq\f(log\r(2)2,log\r(2)14)＝eq\f(2,log\r(2)7＋2)＝a，∴2＝a(logeq\r(2)7＋2)，即logeq\r(2)7＝eq\f(21－a,a).解法3：由對數(shù)換底公式，得logeq\r(2)7＝eq\f(log27,log2\r(2))＝eq\f(log27,\f(1,2))＝2log27＝2(log214－log22)＝2(eq\f(1,a)－1)＝eq\f(21－a,2).一、選擇題1.eq\f(1,eqlog\s\do8(\f(1,4))\f(1,9))＋eq\f(1,eqlog\s\do8(\f(1,5))\f(1,3))等于()A．lg3 B．－lg3C.eq\f(1,lg3) D．－eq\f(1,lg3)[答案]C[解析]eq\f(1,eqlog\s\do8(\f(1,4))\f(1,9))＋eq\f(1,eqlog\s\do8(\f(1,5))\f(1,3))＝eq\f(lg\f(1,4),lg\f(1,9))＋eq\f(lg\f(1,5),lg\f(1,3))＝eq\f(－2lg2,－2lg3)＋eq\f(－lg5,－lg3)＝eq\f(lg2,lg3)＋eq\f(lg5,lg3)＝eq\f(lg10,lg3)＝eq\f(1,lg3).2．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的兩個根，則(lgeq\f(a,b))2的值等于()A．2 B.eq\f(1,2)C．4 D.eq\f(1,4)[答案]A[解析]由根與系數(shù)的關(guān)系可知lga＋lgb＝2，lgalgb＝eq\f(1,2).于是(lgeq\f(a,b))2＝(lga－lgb)2＝(lga＋lgb)2－4lgalgb＝22－4×eq\f(1,2)＝2.二、填空題3．已知log23＝a，log37＝b，則log27＝________.(用a，b表示)[答案]ab[解析]由于log37＝eq\f(log27,log23)＝b，又log23＝a，所以log27＝ab.4．2008年5月12日，四川汶川發(fā)生里氏8.0級特大地震，給人民的生命財產(chǎn)造成了巨大的損失．里氏地震的等級最早是在1935年由美國加州理工學(xué)院的地震學(xué)家里特判定的．它與震源中心釋放的能量(熱能和動能)大小有關(guān)．震級M＝eq\f(2,3)lgE－3.2，其中E(焦耳)為以地震波的形式釋放出的能量．如果里氏6.0級地震釋放的能量相當(dāng)于1顆美國在二戰(zhàn)時投放在廣島的原子彈的能量，那么汶川大地震所釋放的能量相當(dāng)于________顆廣島原子彈．[答案]1000[解析]設(shè)里氏8.0級、6.0級地震釋放的能量分別為E2、E1，則8－6＝eq\f(2,3)(lgE2－lgE1)，即lgeq\f(E2,E1)＝3.∴eq\f(E2,E1)＝103＝1000，即汶川大地震所釋放的能量相當(dāng)于1000顆廣島原子彈．三、解答題5．化簡下列各式(1)(logeq\r(2)5＋log2eq\r(5))log52；(2)2log39＋log93－0.70－2－1＋25eq\s\up4(\f(1,2)).[解析](1)原式＝(log2eq\s\up4(\f(1,2))5＋log25eq\s\up4(\f(1,2)))·log52＝(2log25＋eq\f(1,2)log25)log52＝eq\f(5,2)log25·log52＝eq\f(5,2).(2)原式＝2log332＋log323－1－eq\f(1,2)＋5＝4＋eq\f(1,2)－1－eq\f(1,2)＋5＝8.6．設(shè)a>0，a≠1，x，y滿足logax＋3logxa－logxy＝3，用logax表示logay，并求當(dāng)x取何值時，logay取得最小值．[解析]∵由換底公式得logax＋eq\f(3,logax)－eq\f(logay,logax)＝3，整理得(logax)2＋3－logay＝3logax，∴l(xiāng)ogay＝(logax)2－3logax＋3＝(logax－eq\f(3,2))2＋eq\f(3,4).∴當(dāng)logax＝eq\f(3,2)，即x＝aeq\s\up7(\f(3,2))時，logay取得最小值eq\f(3,4).7．若a、b是方程2lg2x－lgx4＋1＝0的兩個實數(shù)根，求lg(ab)(logab＋logba)的值．[解析]原方程可化為2lg2