中考數學一輪復習精講精練(全國通用)第五講 二次函數圖象與系數a、b、c的關系-滿分之路（解析版）

模塊三函數第五講二次函數圖象與a、b、c的關系知識梳理夯實基礎二次函數圖象的特征與a，b，c的關系字母的符號圖象的特征aa>0開口向上a<0開口向下bb=0對稱軸為y軸ab>0（a與b同號）對稱軸在y軸左側ab<0（a與b異號）對稱軸在y軸右側cc=0經過原點c>0與y軸正半軸相交c<0與y軸負半軸相交b2–4acb2–4ac=0與x軸有唯一交點（頂點）b2–4ac>0與x軸有兩個交點b2–4ac<0與x軸沒有交點常用公式及方法：二次函數三種表達式：表達式頂點坐標對稱軸一般式頂點式交點式韋達定理：若二次函數圖象與x軸有兩個交點且交點坐標為（，0）和（，0），則，。賦值法：在二次函數中，令，則；令，則；令，則；令，則；利用圖象上對應點的位置來判斷含有、、的關系式的正確性。直擊中考勝券在握1．(2023·山東日照中考）拋物線的對稱軸是直線，其圖象如圖所示．下列結論：①；②；③若和是拋物線上的兩點，則當時，；④拋物線的頂點坐標為，則關于的方程無實數根．其中正確結論的個數是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】①由圖象開口方向，對稱軸位置，與軸交點位置判斷，，符號．②把分別代入函數解析式，結合圖象可得的結果符號為負．③由拋物線開口向上，距離對稱軸距離越遠的點值越大．④由拋物線頂點縱坐標為可得，從而進行判斷無實數根．【詳解】解：①拋物線圖象開口向上，，對稱軸在直線軸左側，，同號，，拋物線與軸交點在軸下方，，，故①正確．②，當時，由圖象可得，當時，，由圖象可得，，即，故②正確．③，，，點，到對稱軸的距離大于點，到對稱軸的距離，，故③錯誤．④拋物線的頂點坐標為，，，無實數根．故④正確，綜上所述，①②④正確，故選：B．【點睛】本題考查二次函數的圖象的性質，解題關鍵是熟練掌握二次函數中，，與函數圖象的關系．2．(2023·四川巴中中考）已知二次函數y＝ax2+bx+c的自變量x與函數y的部分對應值見表格，則下列結論：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的兩根為x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正確的有（）x…﹣3﹣2﹣112…y…1.8753m1.8750…A．①④ B．②③ C．③④ D．②④【答案】B【分析】由表格可以得到二次函數圖象經過點點（-3，1.875）和點（1，1.875），這兩點關于對稱軸對稱，由此得到對稱軸直線，設出二次函數頂點式，代入兩點，求解出二次函數解析式，得到a，b，c的值，依次代入到①②③④中進行判斷即可解決．【詳解】解：由表格可以得到，二次函數圖象經過點和點，點與點是關于二次函數對稱軸對稱的，二次函數的對稱軸為直線，設二次函數解析式為，代入點，得，，解得，二次函數的解析式為：，，，①是錯誤的，，②是正確的，方程為，即為，，，③是正確的，，④是錯誤的，②③是正確的，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數系數特征和二次函數解析式求法，利用待定系數法求解函數解析式是通法，由表格提煉出對稱軸的信息，是解題的突破口，此題，也可以通過二次函數系數特征來解決．3．(2023·牡丹江中考）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的頂點為（1，n），與x軸的一個交點B（3，0），與y軸的交點在（0，﹣3）和（0，﹣2）之間．下列結論中：①0；②﹣2＜b；③（a＋c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，則正確的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據二次函數的圖象和性質逐一進行判斷即可【詳解】解：∵拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的開口向上，∴a＞0，∵拋物線線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的頂點坐標為（1，n），∴對稱軸x=，∴b=-2a＜0，∵拋物線與y軸的交點在（0，﹣3）和（0，﹣2）之間∴-3＜c＜-2＜0，∴0；故①正確；∵拋物線線x軸的一個交點B（3，0），∴9a+3b+c=0，拋物線線x軸的一個交點（-1，0），∵b=-2a∴c=，∴-3＜＜-2，∴﹣2＜b，故②錯誤；∵拋物線線x軸的一個交點（-1，0），∴a-b+c=0，∴（a＋c）2﹣b2＝（a+b+c）（a-b+c）=0，故③正確；∵a＞0，∴-a＜0∵b=-2a∴3a+2b=-a＜0∴2c﹣a＞2（a+b+c），∵拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的頂點為（1，n），∴a+b+c=n，∴2c﹣a＞2n；故④錯誤；故選：B【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），明確以下幾點：①二次項系數a決定拋物線的開口方向和大?。寒攁＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；②一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；③常數項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（0，c）．4．(2023·湖北荊門中考）拋物線（a，b，c為常數）開口向下且過點，（），下列結論：①；②；③；④若方程有兩個不相等的實數根，則．其中正確結論的個數是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據已知條件可判斷，，據此逐項分析解題即可．【詳解】解：拋物線開口向下把，代入得①，故①正確；②，故②正確；③，故③正確；；④若方程有兩個不相等的實數根，即，故④正確，即正確結論的個數是4，故選：A．【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質、二次函數與系數a、b、c關系，涉及一元二次方程根的判別式，是重要考點，有難度，掌握相關知識是解題關鍵．5．(2023·遼寧丹東中考）已知拋物線，且．判斷下列結論：①；②；③拋物線與x軸正半軸必有一個交點；④當時，；⑤該拋物線與直線有兩個交點，其中正確結論的個數（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】由題意易得，則有，進而可判定①②，當x=1時，則，當x=-1時，則有，然后可判定③，由題意可知拋物線的對稱軸為直線，則有當時，y隨x的增大而增大，故可得④；聯立拋物線及直線解析式即可判斷⑤．【詳解】解：∵，∴兩式相減得，兩式相加得，∴，∵，∴，故①正確；∴，故②正確；∵當x=1時，則，當x=-1時，則有，∴當時，則方程的兩個根一個小于-1，一個根大于1，∴拋物線與x軸正半軸必有一個交點，故③正確；由題意可知拋物線的對稱軸為直線，∴當時，y隨x的增大而增大，∴當時，有最小值，即為，故④正確；聯立拋物線及直線可得：，整理得：，∴，∴該拋物線與直線有兩個交點，故⑤正確；∴正確的個數有5個；故選D．【點睛】本題主要考查二次函數的綜合，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．6．(2023·山東棗莊中考）二次函數的部分圖象如圖所示，對稱軸為，且經過點．下列說法：①；②；③；④若，是拋物線上的兩點，則；⑤（其中）．正確的結論有（）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】先根據拋物線開口向下、與軸的交點位于軸正半軸，再根據對稱軸可得，由此可判斷結論①；將點代入二次函數的解析式可判斷結論②③；根據二次函數的對稱軸可得其增減性，由此可判斷結論④；利用二次函數的性質可求出其最大值，由此即可得判斷結論⑤．【詳解】解：拋物線的開口向下，與軸的交點位于軸正半軸，，拋物線的對稱軸為，，，則結論①正確；將點代入二次函數的解析式得：，則結論③錯誤；將代入得：，則結論②正確；拋物線的對稱軸為，和時的函數值相等，即都為，又當時，隨的增大而減小，且，，則結論④錯誤；由函數圖象可知，當時，取得最大值，最大值為，，，即，結論⑤正確；綜上，正確的結論有①②⑤，共3個，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題關鍵．7．(2023·四川廣安中考）二次函數的圖象如圖所示，有下列結論：①，②，③，④，正確的有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據拋物線的開口方向，對稱軸，與y軸交點可得a，b，c的符號，從而判斷①；再根據二次函數的對稱性，與x軸的交點可得當x=-2時，y＞0，可判斷②；再根據x=-1時，y取最大值可得a-b+c≥ax2+bx+c，從而判斷③；最后根據x=1時，y=a+b+c，結合b=2a，可判斷④．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵對稱軸為直線x=-1，即，∴b=2a，則b＜0，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞0，∴abc＞0，故①正確；∵拋物線對稱軸為直線x=-1，與x軸的一個交點橫坐標在0和1之間，則與x軸的另一個交點在-2和-3之間，∴當x=-2時，y=4a-2b+c＞0，故②錯誤；∵x=-1時，y=ax2+bx+c的最大值是a-b+c，∴a-b+c≥ax2+bx+c，∴a-b≥ax2+bx，即a-b≥x（ax+b），故③正確；∵當x=1時，y=a+b+c＜0，b=2a，∴a+2a+c=3a+c＜0，故④正確；故選：C．【點睛】此題主要考查了二次函數的圖象與系數的關系，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小：當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；②一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③常數項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于（0，c）．8．(2023·湖南株洲中考）二次函數的圖像如圖所示，點在軸的正半軸上，且，設，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圖像可得，，當，，并與軸交于之間，得，據悉可得，據此求解即可．【詳解】解：由圖像可知，圖像開口向下，并與軸相交于正半軸，∴，，當，，∵，并由圖像可得，二次函數與軸交于之間，∴∴，故選：D．【點睛】本題考查二次函數圖象及性質，熟悉相關性質是解題的關鍵．9．(2023·齊齊哈爾中考）如圖，二次函數圖象的一部分與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為，結合圖象給出下列結論：①；②；③關于x的一元二次方程的兩根分別為-3和1；④若點，，均在二次函數圖象上，則；⑤（m為任意實數）．其中正確的結論有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據二次函數的圖像及性質逐項分析即可判斷．【詳解】解：∵二次函數圖象的一部分與x軸的一個交點坐標為，∴當x=1時，，故結論①正確；根據函數圖像可知，當，即，對稱軸為，即，根據拋物線開口向上，得，∴，∴，即，故結論②正確；根據拋物線與x軸的一個交點為，對稱軸為可知：拋物線與x軸的另一個交點為(-3，0)，∴關于x的一元二次方程的兩根分別為-3和1，故結論③正確；根據函數圖像可知：，故結論④錯誤；當時，，∴當時，，即，故結論⑤錯誤，綜上：①②③正確，故選：C．【點睛】本題主要考查二次函數圖像與系數的關系，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質，正確理解二次函數與方程的關系．10．(2023·湖北鄂州中考）二次函數的圖象的一部分如圖所示．已知圖象經過點，其對稱軸為直線．下列結論：①；②；③；④若拋物線經過點，則關于的一元二次方程的兩根分別為，5，上述結論中正確結論的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據二次函數的圖象與性質進行逐項判斷即可求解．【詳解】解：①由圖象可知，a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正確；②∵對稱軸為直線x==1，且圖象與x軸交于點（﹣1，0），∴圖象與x軸的另一個交點坐標為（3，0），b=﹣2a，∴根據圖象，當x=2時，y=4a+2b+c＞0，故②錯誤；③根據圖象，當x=﹣2時，y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③正確；④∵拋物線經過點，∴根據拋物線的對稱性，拋物線也經過點，∴拋物線與直線y=n的交點坐標為（﹣3，n）和（5，n），∴一元二次方程的兩根分別為，5，故④正確，綜上，上述結論中正確結論有①③④，故選：C．【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與系數之間的關系是解答的關鍵．11．(2023·江蘇宿遷·中考真題）已知二次函數的圖像如圖所示，有下列結論：①；②＞0；③；④不等式＜0的解集為1≤＜3，正確的結論個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據拋物線的開口方向、于x軸的交點情況、對稱軸的知識可判①②③的正誤，再根據函數圖象的特征確定出函數的解析式，進而確定不等式，最后求解不等式即可判定④．【詳解】解：∵拋物線的開口向上，∴a＞0，故①正確；∵拋物線與x軸沒有交點∴＜0，故②錯誤∵由拋物線可知圖象過（1,1），且過點（3,3）∴8a+2b=2∴4a+b=1，故③錯誤；由拋物線可知頂點坐標為（1,1），且過點（3,3）則拋物線與直線y=x交于這兩點∴＜0可化為，根據圖象，解得：1＜x＜3故④錯誤．故選A．【點睛】本題主要考查了二次函數圖象的特征以及解不等式的相關知識，靈活運用二次函數圖象的特征成為解答本題的關鍵．12．(2023·四川達州中考）如圖，已知拋物線（，，為常數，）經過點，且對稱軸為直線，有下列結論：①；②；③；④無論，，取何值，拋物線一定經過；⑤．其中正確結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】①根據圖像開口向上，對稱軸位置，與y軸交點分別判斷出a,b,c的正負②根據對稱軸公式，判斷的大小關系③根據時，，比較與0的大?。虎芨鶕佄锞€的對稱性，得到與時的函數值相等結合②的結論判斷即可⑤根據拋物線對稱軸找到頂點坐標的縱坐標，比較任意一點與頂點的縱坐標值，即比較函數值的大小即可判斷結論．【詳解】①圖像開口朝上，故，根據對稱軸“左同右異”可知，圖像與y軸交點位于x軸下方，可知c<0故①正確；②得故②錯誤；③經過又由①得c<0故③正確；④根據拋物線的對稱性，得到與時的函數值相等當時，即即經過，即經過故④正確；⑤當時,,當時,函數有最小值化簡得，故⑤正確．綜上所述：①③④⑤正確．故選D．【點睛】本題考查二次函數圖象與性質，二次函數解析式中系數與圖像的關系，結合圖像逐項分析,結已知條件得出結論是解題的關鍵．13．(2023·湖北隨州中考）如圖，已知拋物線的對稱軸在軸右側，拋物線與軸交于點和點，與軸的負半軸交于點，且，則下列結論：①；②；③；④當時，在軸下方的拋物線上一定存在關于對稱軸對稱的兩點，（點在點左邊），使得．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】依據拋物線的圖像和性質，根據題意結合二次函數圖象與系數的關系，逐條分析結論進行判斷即可【詳解】①從圖像觀察，開口朝上，所以，對稱軸在軸右側，所以，圖像與軸交點在x軸下方，所以，所以①不正確；②點和點，與軸的負半軸交于點，且設代入,得：，所以②正確；③，設拋物線解析式為：過，所以③正確；④如圖：設交點為P，對稱軸與x軸交點為Q，頂點為D，根據拋物線的對稱性，是等腰直角三角形，，，又對稱軸由頂點坐標公式可知由題意，解得或者由①知，所以④不正確．綜上所述：②③正確共2個故選B．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，利用了數形結合的思想，二次函數（a≠0），a的符號由拋物線的開口決定；b的符號由a及對稱軸的位置確定；c的符號由拋物線與y軸交點的位置確定，此外還有注意利用特殊點1，-1及2對應函數值的正負來解決是解題的關鍵．14．(2023·天津中考）已知拋物線（是常數，）經過點，當時，與其對應的函數值．有下列結論：①；②關于x的方程有兩個不等的實數根；③．其中，正確結論的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據函數與點的關系,一元二次方程根的判別式,不等式的性質，逐一計算判斷即可【詳解】∵拋物線（是常數，）經過點，當時，與其對應的函數值．∴c=1＞0，a-b+c=-1,4a-2b+c＞1，∴a-b=-2,2a-b＞0，∴2a-a-2＞0，∴a＞2＞0，∴b=a+2＞0，∴abc＞0，∵,∴△==＞0,∴有兩個不等的實數根；∵b=a+2，a＞2，c=1，∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，∵a＞2，∴2a＞4，∴2a+3＞4+3＞7，故選D．【點睛】本題考查了二次函數的性質，一元二次方程根的判別式，不等式的基本性質，熟練掌握二次函數的性質，靈活使用根的判別式，準確掌握不等式的基本性質是解題的關鍵．15．(2023·四川遂寧中考）已知二次函數的圖象如圖所示，有下列5個結論：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四個根，則這四個根的和為2，其中正確的結論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【分析】根據拋物線的開口向下，對稱軸方程以及圖象與y軸的交點得到a，b，c的取值，于是可對①進行判斷；根據拋物線與x軸的交點的個數可對②進行判斷；根據對稱軸可得，則，根據可得，代入變形可對③進行判斷；當時，的值最大，即當時，即>，則可對④進行判斷；由于方程ax2+bx+c=1有2個根，方程ax2+bx+c=-1有2個根，則利用根與系數的關系可對⑤進行判斷．【詳解】解：①∵拋物線開口方向向下，∴a＜0，∵拋物線與y軸交于正半軸