利用韋達定理求一元二次方程的根

利用韋達定理求一元二次方程的根一、關于韋達定理的性質1.韋達定理：假設一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根分別為x1、x2，則有x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).2.推導：（法一）根據(jù)一元二次方程的求根公式x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)不妨假設x1＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)不難得出x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).（法二）若一元二次方程的兩根分別為x1、x2，則方程可以寫成以下形式a(x－x1)(x－x2)＝0(a≠0)（雙根式）按照x的次數(shù)降冪排列，得ax2－a(x1＋x2)x＋ax1x2＝0對比一元二次方程的一般式ax2＋bx＋c＝0，得b＝－a(x1＋x2)，c＝ax1x2，∴x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).3.推論：（一）當二次項系數(shù)為1時，即一元二次方程滿足x2＋px＋q＝0的形式假設方程的兩根分別為x1、x2，則有x1＋x2＝－p，x1x2＝q.（二）已知一元二次方程兩根分別為x1、x2，則方程可以寫成以下形式x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0.4.實質：韋達定理告訴了我們一元二次方程的根與系數(shù)的關系.二、利用韋達定理求一元二次方程的根例如，求一元二次方程x2―2eq\r(2)x―6＝0的根.很明顯，根據(jù)我們所學習慣，首選方法是十字相乘法.（法一）因式分解，得(x－3eq\r(2))(x＋eq\r(2))＝0，解得，x1＝3eq\r(2)，x2＝－eq\r(2).當然，利用十字相乘法很難湊數(shù)時，我們就會選用求根公式法.（法二）a＝1，b＝－2eq\r(2)，c＝－6，∴b2－4ac＝8＋24＝32，∴x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq\f(2\r(2)±4\r(2),2)＝eq\r(2)±2eq\r(2)，于是有x1＝3eq\r(2)，x2＝－eq\r(2).結合以上兩種方法，我們發(fā)現(xiàn)，十字相乘法計算速度快，但是湊數(shù)的過程十分靈活，若每一個系數(shù)都是整數(shù)，且滿足x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0形式的方程可以很快算出來，但如果系數(shù)是分數(shù)、根式我們發(fā)現(xiàn)利用這種方法解方程是十分困難的，而且這種方法并不是對一切一元二次方程都適用.而利用求根公式解一元二次方程時，雖然是一種萬能的方法，但有時會給我們帶來無比的計算量.那有什么方法既可以減少計算量，使運算變得簡單快捷，同時又可以用來解一切的一元二次方程呢接下來，我們看以下解法.（法三）已知方程x2―2eq\r(2)x―6＝0，根據(jù)韋達定理有x1＋x2＝2eq\r(2)，x1x2＝―6.在方程有解的情況下，必然會存在某一個實數(shù)a（假定為正數(shù)），使得x1＝eq\r(2)＋a，x2＝eq\r(2)－a，（滿足條件x1＋x2＝2eq\r(2)）且(eq\r(2)＋a)(eq\r(2)－a)＝―6.（滿足條件x1x2＝―6）于是有2－a2＝―6，則a2＝8，因此a＝2eq\r(2)∴x1＝eq\r(2)＋2eq\r(2)＝3eq\r(2)，x2＝eq\r(2)－2eq\r(2)＝－eq\r(2).上述解法中a取正取負并不影響計算的最終結果，為了方便，習慣上可以假定a為正數(shù).觀察以上解法，我們可以發(fā)現(xiàn)，這種解法并不像十字相乘法需要有湊數(shù)的靈感，也不像求根公式法會帶來無比的計算量，反而還結合兩者的優(yōu)點，計算快捷且萬能通用.當然我們也可以看以下例子.例1：解方程x2―6x―25＝0，根據(jù)韋達定理有x1＋x2＝6，x1x2＝―25.在方程有解的情況下，必然會存在某一個實數(shù)a（假定為正數(shù)），使得x1＝3＋a，x2＝3－a，（滿足條件x1＋x2＝6）且(3＋a)(3－a)＝―25.（滿足條件x1x2＝―25）于是有9－a2＝―25，則a2＝34，因此a＝eq\r(34)∴x1＝3＋eq\r(34)，x2＝3－eq\r(34).例2：解方程x2＋24x―63＝0，根據(jù)韋達定理有x1＋x2＝－24，x1x2＝―63.在方程有解的情況下，必然會存在某一個實數(shù)a（假定為正數(shù)），使得x1＝－12＋a，x2＝－12－a，（滿足條件x1＋x2＝－24）且(－12＋a)(－12－a)＝―63.（滿足條件x1x2＝―63）于是有144－a2＝―63，則a2＝207，因此a＝eq\r(207)∴x1＝－12＋eq\r(207)，x2＝－12－eq\r(207).例3：解方程x2―14x＋48＝0，根據(jù)韋達定理有x1＋x2＝14，x1x2＝48.在方程有解的情況下，必然會存在某一個實數(shù)a（假定為正數(shù)），使得x1＝7＋a，x2＝7－a，（滿足條件x1＋x2＝14）且(7＋a)(7－a)＝48.（滿足條件x1x2＝48）于是有49－a2＝48，則a2＝1，因此a＝1∴x1＝7＋1＝8，x2＝7－1＝6.例4：解方程x2＋18x＋40＝0，根據(jù)韋達定理有x1＋x2＝－18，x1x2＝40.在方程有解的情況下，必然會存在某一個實數(shù)a（假定為正數(shù)），使得x1＝－9＋a，x2＝－9－a，（滿足條件x1＋x2＝－18）且(－9＋a)(－9－a)＝40（滿足條件x1x2＝40）于是有81－a2＝40，則a2＝41，因此a＝eq\r(41)∴x1＝－9＋eq\r(41)，x2＝－9－eq\r(41).通過以上4個例子，我們可以熟悉，若二次項系數(shù)為1時，利用韋達定理解一元二次方程的流程.實際上當一元二次方程二次項系數(shù)不為1時，我們也可以離此流程解一元二次方程.如例5：解方程2x2＋9x―5＝0，（法一）根據(jù)韋達定理有x1＋x2＝－eq\f(9,2)，x1x2＝―eq\f(5,2).在方程有解的情況下，必然會存在某一個實數(shù)a（假定為正數(shù)），使得x1＝－eq\f(9,4)＋a，x2＝－eq\f(9,4)－a，（滿足條件x1＋x2＝－eq\f(9,2)）且(－eq\f(9,4)＋a)(－eq\f(9,4)－a)＝―eq\f(5,2).（滿足條件x1x2＝―eq\f(5,2)）于是有eq\f(81,16)－a2＝―eq\f(5,2)，則a2＝eq\f(121,16)，因此a＝eq\f(11,4)∴x1＝－eq\f(9,4)＋eq\f(11,4)＝eq\f(1,2)，x2＝－eq\f(9,4)－eq\f(11,4)＝－5.（法二）a＝2，b＝9，c＝－5，∴b