黎曼積分概念與性質(zhì)

第四局部多變量積分學(xué)CH19

黎曼積分的定義和性質(zhì)§1.黎曼積分的概念§2.黎曼積分的性質(zhì)3/6/20241在一元函數(shù)積分學(xué)中,我們知道定積分是某種確定形式的和的極限.極限的概念推廣到定義在區(qū)域、曲線及曲面上多元函數(shù)的情形，便得到重積分、曲線積分及曲面積分的概念.這種和的將函數(shù)在這些區(qū)域、曲線及曲面上的積分統(tǒng)稱為黎曼積分.3/6/202421.物體質(zhì)量的計(jì)算設(shè)有一質(zhì)量非均勻分布的物體，其密度是點(diǎn)M的函數(shù)如果函數(shù)f，怎樣求物體的質(zhì)量呢？3/6/20243在定積分中，一根線密度為的細(xì)直棒AB，它的質(zhì)量可通過分割、近似、求和、取極限四個(gè)步驟化為定積分3/6/20244平面薄板的質(zhì)量

設(shè)它所占的平面區(qū)域?yàn)镈，其密度為在D上連續(xù)，類似于對(duì)直棒的處理------“化整為零”可按如下步驟計(jì)算它的質(zhì)量.3/6/20245【分割】【近似】把D任意劃分為n個(gè)子域示面積〕【求和】【取極限】〔也表3/6/20246薄板的質(zhì)量細(xì)棒的質(zhì)量均可由相同形式的和式極限來確定.一般地，設(shè)有一質(zhì)量非均勻分布在某一幾何形體Ω上的物體(Ω可以是直線段、平面或空間區(qū)域、一片曲面或一段曲線),其質(zhì)量可以按照以上四個(gè)步驟來計(jì)算：3/6/20247把Ω任意劃分為n個(gè)子域示度量〕〔也表【分割】【近似】【求和】【取極限】上質(zhì)量分布近似看作均勻3/6/20248定義設(shè)Ω表示一個(gè)有界的可度量幾何形體，2.黎曼積分的概念3/6/202493/6/202410被積函數(shù)元素積分域被積式或積分微元積分號(hào)積分和(黎曼和)3/6/202411當(dāng)Ω為不同的幾何形體時(shí)，對(duì)應(yīng)的積分有不同的名稱和表達(dá)式：〔1〕當(dāng)Ω是x軸上的閉區(qū)間[a,b],稱為定積分3/6/202412〔2〕當(dāng)Ω為平面有界閉區(qū)域〔常記為D〕時(shí)，〔3〕當(dāng)Ω為空間有界閉區(qū)域〔常記為V〕時(shí)，稱為二重積分稱為三重積分3/6/202413〔4〕當(dāng)Ω為平面有限曲線段〔常記為L(zhǎng)〕或空間有限曲線段（常記為）時(shí)，稱為第一類〔對(duì)弧長(zhǎng)的〕的曲線積分稱為積分路徑，ds稱為弧長(zhǎng)元素.3/6/202414〔5〕當(dāng)Ω為空間有限曲面片〔常記為S〕時(shí)，稱為第一類〔對(duì)面積的〕曲面積分S稱為積分曲面，dS稱為曲面面積元素.3/6/202415例1討論二重積分的幾何意義.解D任意劃分為n個(gè)子域曲頂柱體3/6/202416小平頂柱體體積高×底面積小柱體體積無限累加得到以曲面為頂，區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積V.3/6/202417二重積分的幾何意義二重積分是曲頂柱體的體積的負(fù)值.當(dāng)被積函數(shù)當(dāng)被積函數(shù)其投影D為底曲頂柱體的體積.二重積分是曲面3/6/2024183.黎曼積分的性質(zhì)多元積分的存在性與定積分類似：3/6/202419性質(zhì)1〔線性性質(zhì)〕3/6/202420性質(zhì)2〔區(qū)域可加性〕定積分二重積分3/6/202421性質(zhì)3對(duì)于二重積分來說〔積分區(qū)間的長(zhǎng)度〕定積分3/6/202422性質(zhì)4〔比較性〕二重積分：定積分3/6/202423性質(zhì)5(估值性〕定積分二重積分：3/6/202424性質(zhì)6〔積分中值定理〕二重積分：定積分3/6/202425

多元函數(shù)積分可看作定積分推廣為多元函數(shù)在不同幾何形體上的積分.n重積分

(多元函數(shù)在n維空間中的

有界閉區(qū)域上的積分)曲面積分〔多元函數(shù)在有限曲面片上的積分〕曲線積分〔多元函數(shù)在有限曲線段上的積分〕小結(jié)3/6/2024261.多元函數(shù)積分的定義定積分重積分3/6/202427對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分：對(duì)面積的曲面積分：3/6/202428幾種幾何形體上的積分：D閉區(qū)間[a,b]L(平面有界閉區(qū)域)〔平面有限曲線段〕〔有限曲面片〕(空間有界閉區(qū)域)(空間有限曲線段)二重積分三重積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)面積的曲面積分3/6/202429二、多元函數(shù)積分的性質(zhì)線性性、可加性、比較性、估值性、積分中值定理.3/6/202430若一個(gè)非均勻物體，其形狀如上述幾何形體G，其密度為G上的函數(shù)，則在G的元素dg上，其質(zhì)量應(yīng)是