2023年廣西柳州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）

2023年廣西柳州市高考數(shù)學(xué)二模試卷(文科)

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.已知集合4={-l,0,l,2},B={x∣-l<x≤l},則AnB=()

A.{0,l}B.{-l,l}C.{-l,O,l}D.[0,1,2)

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足z=2+3i,則z?3=()

A.-5B.9C.-13D.13

3.已知函數(shù)/'(x)=COS(X-金，則該函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(0,7τ)B.(H)C.(π,2π)D.6,2兀)

4.己知函數(shù)y=/(x)的部分圖象如圖所示，則下列可能是/Q)的解析

式的是()

A./(%)=%÷Cosx

B./(x)=x—Cosx

C.f(X)=-?-

D./(x)=?

八，COSX

5.若雙曲線C：會(huì)，=1缶>0,6>0)的一條漸近線被圓/+3-2)2=4所截得的弦長(zhǎng)

為2，弓，則C的離心率為()

A.>Γ2B.IC.2D.3

6.下列說(shuō)法正確的是()

A.在做回歸分析時(shí)，殘差圖中殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄表示回歸效果越差

B.某地氣象局預(yù)報(bào)：6月9日本地降水概率為90%,結(jié)果這天沒(méi)下雨，這表明天氣預(yù)報(bào)并不科

學(xué)

C.數(shù)據(jù)2,3,4,5的方差是數(shù)據(jù)4,6,8,10的方差的一半

D.在回歸直線方程y=(∏χ+ιo,當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量多增加0.1個(gè)單位

7.如圖，ABC-aBiCi是一個(gè)正三棱臺(tái)，而且下底面邊長(zhǎng)為6,上底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都為3,

則棱臺(tái)的高為()

?-?B??1C.√-6D.√-3

8.如圖，△4BC的外接圓圓心為O,AB=2,AC=3,則布.瓦t=(

?5

A?2

BI

C.3

D.2

9.在△4BC中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為α,b,c,點(diǎn)。為

BC的中點(diǎn)，AD=1,B=三,且△4BC的面積為孕，則c=()

32

A??2B.1C.2D.3

10.“阿基米德多面體”是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面

體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)

截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面

為正方形的“阿基米德多面體”.若該多面體的棱長(zhǎng)為2,則其外接球的表

面積為()

「16πC32ττ

A.16τrB.8τrd?~

11.已知橢圓C的焦點(diǎn)為Fl(O,-1),F2(O1I),過(guò)尸2的直線與C交于P,Q兩點(diǎn)，若∣PF2∣=

3∣F2Q∣,∣PQ∣=g∣Qa∣,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A孚+”=]B?尤2+4=1C?9+[=lD.?+?=l

CΛ?4X)?I?

12.設(shè)函數(shù)/(x)=Je-+(e-I)X-α(α∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),若存在be[0,1]使

f(b)=b成立，則α的取值范圍是()

A.[l,e]B.[e-1-e,l]C.[l,2e-2]D.[e^1—e,2e—2]

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知向量五=(1,0),b=(-1,√3).則五與B的夾角為.

14.若圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為1的正三角形.則圓錐的側(cè)面積是.

15.曲線y—；在X=I處的切線的斜率為.

16.①O.35>log35,(2)ln√-2<?,③2>2，④2)(SinW+cos》<；上述不等式正確

的有(填序號(hào)).

三'解答題(本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

今年神舟十五號(hào)載人飛船與中國(guó)空間站成功完成對(duì)接，為了普及航天航空科技知識(shí)，某校組

織全體學(xué)生進(jìn)行了航天航空科技知識(shí)答題比賽，從全校眾多學(xué)生中隨機(jī)選取了10名學(xué)生，得

到他們的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)如下表：

分?jǐn)?shù)

[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

段

人數(shù)1112221

規(guī)定60分以下為不及格：60分及以上至70分以下為及格；70分及以上至80分以下為良好；80

分及以上為優(yōu)秀，將頻率視為概率.

(1)請(qǐng)估計(jì)此次比賽中該校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率；

(2)從全校學(xué)生成績(jī)?yōu)榱己煤蛢?yōu)秀的學(xué)生中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨

機(jī)抽取2人進(jìn)行航天航空科技知識(shí)演講，求抽取的兩人中良好和優(yōu)秀各有1人的概率.

18.(本小題12.0分)

,

在數(shù)列｛c?｝中，αn=1+?(n∈∕V,α∈R,a≠0),它的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值分別是等比數(shù)

列｛匕｝中的尻一1和區(qū)一9的值.

(1)求數(shù)列｛brι｝的通項(xiàng)公式；

(2)已知數(shù)列｛c7l｝,cn=bn-Iog3(hn),求數(shù)列｛c7l｝的前律項(xiàng)和Mjv

19.(本小題12.0分)

某校積極開(kāi)展社團(tuán)活動(dòng)，在一次活動(dòng)過(guò)程中，一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了

‘'芻薨”這個(gè)五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計(jì)了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖1，E、AG分別是

邊長(zhǎng)為4的正方形的三邊4B、CD、4。的中點(diǎn)，先沿著虛線段FG將等腰直角三角形尸DG裁掉，

再將剩下的五邊形ABCFG沿著線段EF折起，連接ZB、CG就得到了一個(gè)“芻薨”(如圖2).

(1)若。是四邊形EBC尸對(duì)角線的交點(diǎn)，求證：4?！ㄆ矫鍳Cn

(2)若NaEB=y,求三棱錐4-BEF的體積.

20.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=xe*,g(x)=kx2.

(1)求函數(shù)/(X)的值域；

(2)設(shè)F(X)=/Q)-g(x),當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)F(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)々的取值范圍.

21.(本小題12.0分)

已知拋物線C：/=2Py經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-2,l),過(guò)點(diǎn)Q(-l,0)的直線/與拋物線C有兩個(gè)不同交點(diǎn)4,

B,且直線PA交X軸于M,直線PB交X軸于N.

(1)求直線I斜率的取值范圍；

(2)證明：存在定點(diǎn)7,使得麗=A行，麗=〃行且;+[=4.

22.(本小題10.0分)

在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，曲線G：「二詈?Sin為參數(shù))’以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的

正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為P=2cosθ.

(1)寫(xiě)出曲線G的極坐標(biāo)方程，曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為M(2,0),射線。=以一*＜。＜0邛20)與曲線6、C2分別交于4、B兩

點(diǎn)(異于極點(diǎn))，當(dāng)乙4MB=*時(shí)，求線段4B的長(zhǎng).

23.(本小題12.0分)

設(shè)函數(shù)/(%)=3∣x-2∣÷∣x∣.

(I)求不等式/(x)>2x的解集；

(11)求直線丫=α與f(x)的圖象圍成的三角形的面積的最大值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：集合4={-l,0,l,2},β={x∣-l<x≤l),

?,?A∩B={O,1}?

故選:A.

利用交集定義直接求解.

本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析1解：因?yàn)閦=2+3i,所以Z=2-3i,

所以Z?z=4+9=13.

故選：D.

先求出Z,進(jìn)而求出z?z.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：由y=Cosx的單調(diào)遞減區(qū)間(2∕OT,2kτr+τr),kEZ,

可得2∕OT<x-g<2k兀+兀，解得2∕πr+?<X<2"+萼，k&Z,

???

則函數(shù)f(X)=CoS(X-1的遞減區(qū)間為(2kτr+92/OT+竽)，k6Z.

令k=0,可得/(x)的一個(gè)遞減區(qū)間為G號(hào))，

對(duì)照選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)B成立.

故選：B.

由余弦函數(shù)的減區(qū)間求得f(乃的減區(qū)間，對(duì)照選項(xiàng)可得結(jié)論.

本題考查余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：A.f(O)=1>0,故錯(cuò)誤；

R因?yàn)?(O)=-1<0,且f'(x)=1+Sinx≥0,則/(x)在R上遞增，故正確;

Cf(X)的定義域?yàn)椋鹸∣X≠0｝關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f(-x)=B等=箋=-/(X),則f(χ)是奇函數(shù),

圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故錯(cuò)誤：

Df(X)的定義域?yàn)椋×?+],kez｝關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f(τ)=w?=荒=-/(尤)，則

/Q)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故錯(cuò)誤.

故選:B.

48選項(xiàng)，利用函數(shù)的單調(diào)性和特殊值判斷；CD選項(xiàng)，利用函數(shù)的奇偶性判斷.

本題主要考查了函數(shù)奇偶性及單調(diào)性在函數(shù)解析式求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：雙曲線c：捻一5=19>0/>0)的一條漸近線方程設(shè)為以一。、=0,

圓/+(y-2)2=4的圓心為(0,2),半徑r=2,

∣0-2α∣

可得圓心到漸近線的距離為d--∏=,

Jbz+α2

則=2I4--^-，

Nb^+a2

化簡(jiǎn)可得。2=4小，

???雙曲線C的離心率為2=2.

故選：C.

求得雙曲線的一條漸近線方程，求得圓心和半徑，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式，可得α,

b的關(guān)系，即可得到所求離心率公式.

本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程和離心率，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：對(duì)于4選項(xiàng)：在做回歸分析時(shí)，殘差圖中殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄表示回

歸效果越好，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)：概率只說(shuō)明事件發(fā)生的可能性，事件不一定發(fā)生，所以并不能說(shuō)明天氣預(yù)報(bào)不科學(xué),

故8選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)：根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，看出第二組是由第一組乘以2得到的，前一組的方差是后一組的四

分之一，標(biāo)準(zhǔn)差是一半，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于。選項(xiàng)：在回歸直線方程y=o.lx+lθ中，當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量增加0?l個(gè)

單位，故。選項(xiàng)正確.

故選：D.

由殘差圖與模擬效果的關(guān)系判斷4由大概率事件也不一定發(fā)生判斷B；第二組數(shù)據(jù)是由第一組乘

以2得到的，可由方差的關(guān)系判斷C；由回歸分析模型的性質(zhì)以及回歸方程b的含義判斷Z).

本題主要考查了線性回歸方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：取△48C重心0,連接20,過(guò)4作&GI力。于G,

Ci

在Rt△義AG中，AA1=3,AG=∣√36-9-∣J9-=√3>

.??棱臺(tái)的高為&G=√AAj-AG2=√9-3=√^^6.

故選：C.

取AZBC重心。，連接40,過(guò)冬作力ιGJLA。于G,在Rt2X44G中，利用勾股定理計(jì)算出&G,即

為三棱臺(tái)的高.

本題考查三棱臺(tái)的高、三角形重心性質(zhì)、勾股定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：已知△4BC的外接圓圓心為O,AB=2,AC=3,

則而■BC=AO■(AC-AB)=AO-AC-AO-AB=?2-?2=∣×9-∣×4=∣.

CΛLΛLΛLΛLΛ

故選:A.

已知△4BC的外接圓圓心為O,AB=2,AC=3,則而.瓦t=而.(而一卷)=》.正一而.

AB=^AC2-^AB2,然后求解即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

9.【答案】B

【解析】解：丫B=.?.在△ABD中，由余弦定理得：

c2+φ2-2c×Icos=1,即a2+4c2—2ac=4,

又SXABC-^acsinB=TaC=解得αc=2①，

?a2+4c2-2ac=4=2ac,BP4c2-4αc+α2=0,

(2c—a)2=0,即α=2c②，

將②代入①得2C2=2,解得C=I或C=一1(不合題意，舍去)，

故選:B.

利用余弦定理得到ɑ2+4c2-2αc=4,再由三角形面積公式得到αc=2,求解即可得出答案.

本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

10.【答案】A

【解析】解：由題意可得4B=2,根據(jù)該幾何體的對(duì)稱性可知，

E

該幾何體的外接球即為底面棱長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為2C的正四棱柱的外接球，即(2R)2=22+22+

(2小2,

所以R=2,則該正多面體外接球的表面積S=4πR2=4π×22=16π.

故選：A.

根據(jù)其外接球?yàn)檎睦庵耐饨忧?，再結(jié)合球的表面積公式，即可得到結(jié)果.

本題考查了正四棱柱外接球的表面積計(jì)算，屬于中檔題.

11.【答案】B

由已知可設(shè)∣F2QI=m，∣PF2I=36，

???PQ?=?F2Q?+PF2?=4m,

又???∣PQ∣=翔居|,.??NF/=5m,

又橢圓的定義可知，IQF/+∣QF2∣=2ɑ,

:?6m=2Q,：?a=3m,

?∣PF1∣=2a-?PF2?=3m,

在4PF】F2中，由余弦定理可得c。SNFIPQ=附『；XQFT=16丁+：降;25/=0,

1x

2∣PQ∣∣PF1∣2×4m×3m

?Z-F1PQ=90°,

222

.?.∣PF1∣+∣PF2∣=∣F1F2∣,即9Z∏2+9m2=4,

解得Hl=

???a=3m=V~2,?b2=a2—c2=1,

???橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為^+χ2=1.

故選：B.

由已知可設(shè)尸2<21=m，∣P∕72∣=3機(jī)，可用m表示出所有線段，再在APF1F2中利用余弦定理可得

乙FiPFz=90°,從而求出結(jié)果.

本題考查了橢圓的性質(zhì)，橢圓方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬中檔題.

12.【答案】C

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=Je*+Q—I)X—α,α∈R,且存在b6[0,1]使f(6)=b成立，即

存在X∈[0,1]使f(%)=X成立，

所以Je*+(e-1)X—α=X,S?Vex+(e-l)x-a=x2,

所以α=ex+(e—1)%—X2,

所以X∈[0,1],使y=α與y=ex+(e-I)X-/有交點(diǎn)，

令9(x)=ex+(e—l)x—X2,x∈[0,1]>

則g'(x)=ex+(e—1)—2x,

令人(X)=g'(x')=eχ+(e—1)—2x,x∈[0,1]>

則∕ι'(X)=ex—2,

令∕ι'(X)=0,得X=ln2,

所以當(dāng)％∈[0,m2]時(shí),∕ι,(x)<0,∕ι(x)單調(diào)遞減,當(dāng)XeI7n2,l]時(shí)，∕ι,(x)>0,∕ι(x)單調(diào)遞增，

所以∕ι(尤)mtn=h(ln2)=2÷e—1—2ln2=e+1-2ln2>0?

所以九(%)>0,即g'(x)>0,

所以g(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，

所以g(x)mm=5(0)=Lg(×}max=9⑴=2e-2,

又因?yàn)閥=α與y-ex+(e-l)x—/在X∈[0,1]上有交點(diǎn)，

所以l≤α≤2e-2.

故選：C.

由/(b)=b可將其中的b換為自變量X,兩邊同時(shí)平方化簡(jiǎn)，再將參數(shù)ɑ分離開(kāi)，構(gòu)造新函數(shù)，求得

新函數(shù)的最值即可得到α的取值范圍.

本題考查了轉(zhuǎn)化思想、導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，難點(diǎn)在于將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=α與y=e`+(e-I)X-/在

X∈[0,1]上有交點(diǎn)，屬于中檔題.

13.【答案】?

【解析】解:向量為=(1,0),b=(-1,√-3),

所以Ni=IX(-1)+0X/3=-1，|初=1，I加I=J(一1)2+(q)2=2，

設(shè)五與石的夾角為。，則cos。=*%=??=-?,又?！蔥O,τr],

所以"學(xué)

故答案為：y?

先求向量五與B的數(shù)量積及1和B的模，再利用向量夾角公式求方與石的夾角.

本題主要考查向量積表示兩個(gè)向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】?

【解析】解：???圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，

???圓錐的底面半徑r=*母線1=1,

故圓錐的側(cè)面積S=πrl=≡

故答案為：≡

根據(jù)題意可得圓錐的底面半徑和母線長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)圓錐側(cè)面積公式S=兀力求得結(jié)果.

本題考查圓錐的側(cè)面積的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

15.【答案】2

【解析】解：由y=Inx-L得y'=」+=,

JXyXXΔ

λy,l%=ι=2.

即曲線y=Inx—:在X=1處的切線的斜率為2.

故答案為：2.

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在％=1處的導(dǎo)數(shù)值得答案.

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用，熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

16.【答案】②④

5

【解析】解：①?,?O<0.3<1,log35>1,

5

?0.3<log35,故①錯(cuò)誤；

②?.?hl。一苧=如2—苧=畢，

V1∏2<1<√r7,筆C<0，...InC-？<0,

.??lnC<?,故②正確：

2

從

③而-

<22-e3<2故③錯(cuò)誤,

④構(gòu)造函數(shù)f(%)=ex-sinx-cosx,x∈[0,1],

x

則f'(%)=e-Cosx+sinxf

當(dāng)工∈[0,1]時(shí),ex≥1,0<Cosx≤1,0<sinx<1,

故f'(%)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)％=0時(shí)取等號(hào)，

故/(%)在[0,1]上單調(diào)遞增，

故>/(0)?即由-sin?-cos?>0?

.1,1,工

???sm-÷cos-<68，

OO

Ill

.?.ln(sin-+cos?)<Ine8,

,1,1、1

.?.1lnz(sιn-+cosg)<

2》(Sini+cos?)<?,故④正確.

故答案為：②④.

利用放縮法可判斷①②③，構(gòu)造函數(shù)/(x)=ejr-sinx-cosx,x∈[0,1]>利用導(dǎo)數(shù)可確定函數(shù)

的單調(diào)性，從而可判斷④.

本題考查數(shù)的大小比較，考查構(gòu)造函數(shù)比較數(shù)的大小，屬中檔題.

17.【答案】解：(1)???80分及以上為優(yōu)秀,

誓=°3,

故此次比賽中該校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率是0.3.

(2)???成績(jī)良好的學(xué)生人數(shù)與成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)之比為2：(2+1)=2：3,

???在成績(jī)良好的學(xué)生中抽取2人，記為α,b,在成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中抽取3人，記為C,D,E.

從α,b,C,D,E中隨機(jī)抽取2人的所有基本事件為:(α,b),(α,C),(a,D),(α,E),(b,C),也D),

(b,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10種，

其中良好和優(yōu)秀各1人的有：(α,C),(a,D),(a,E),(b,C),(b,D),(b,E),共6種.

根據(jù)古典概型概率公式可知，良好和優(yōu)秀各1人的概率為4=0.6.

【解析】(1)根據(jù)分層抽樣，列式計(jì)算即可；

(2)采用列舉法，寫(xiě)出從α,b,C,D,E中隨機(jī)抽取2人的所有基本事件和良好和優(yōu)秀各1人的事

件數(shù)，結(jié)合古典概型概率公式計(jì)算即可.

本題考查簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣，概率的求法，屬于基礎(chǔ)題.

-1

18.【答案】解：⑴???αn=l+擊(neN*),

又由/(x)=1++的圖像性質(zhì)可知：

a3>a6>a7>-->an>1>a1>a2>a3>a4(n∈N*),

?,?數(shù)列｛αn｝中的最大項(xiàng)為L(zhǎng)=2，最小項(xiàng)為心=。，

???匕2—1=2,壇-9=0，即歷=3,壇=9,

等比數(shù)列｛bn｝的公比q=∣∣=3,

n2n1

???bn=b2-q~-3^;

n1

(2)由(I)可知Cn=bn?log3(bn)=(n-1)?3~,

012n2n1

?.Mn=c1+C2+C3------Fcn=0×3+l×3+2×3H------F(n—2)×3^+(n—1)×3-,

123n1n

.?.3Mn=0×3+1×3+2×3+???+(n-2)×3^+(n-1)X3,

123n1nn

.?.-2Mn=3+3+3+…+3--(n-1)×3=3(1［；+-(n-l)×3=小學(xué)尸，

ΛMn=?≡2÷3.

【解析】(1)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到數(shù)列Sn｝的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，解出慶，b3,可得等比數(shù)列｛%｝的

通項(xiàng)公式；

(2)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列｛cn｝的前n項(xiàng)和Mn

本題考查數(shù)列中項(xiàng)的最值問(wèn)題，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求和，屬中檔題.

19.【答案】解：(1)證明：在圖2中取線段CF中點(diǎn)H,連接0H、GH,如圖所示

由圖1可知，四邊形EBCF是矩形，且CB=2EB,：.O是線段8尸與CE的中點(diǎn)，.??OH〃BC旦OH=^BC,

圖1中AG〃EF且AG=初?，而EF〃"且EF=BC所以在圖2中，AG//BCS.AG=^BC,

.?.4G//?！鼻褹G=OH四邊形4。HG是平行四邊形，^A0//HG,

由于4。C平面GCF,HGU平面GCF,???4。//平面GCF.

(2)?.?EFLAE,EF1BE,AE,BEU面ABE,AEOBE=E,ΛEFABE,

SAABE=?AE?BE-Siny=2X?=√-3.

所以%-8￡F=VF-ABE=ξ?S,?ΛBE=j×口×4=殍，

即三棱錐4-BEF的體積為殍.

【解析】(1)在圖2中取線段CF中點(diǎn)”，連接0H、GH,可證四邊形4。HG是平行四邊形，進(jìn)而可證

40〃平面GCF；

(2)可證EFJL面4BE,進(jìn)而可求三棱錐4-BEF的體積.

本題考查線面平行的證明，考查空間幾何體的體積的計(jì)算，屬中檔題.

20.【答案】解：(l)∕(x)=XeK

則尸(X)=XeX÷ex=(1+x)ex,

當(dāng)%>-1時(shí)，f(%)>0,/(%)在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)》<-1時(shí)，∕,(x)<0,〃久)在(-8,-1)上單調(diào)遞減，

故/(%)Tnin=/(—1)=—=—},f(%)無(wú)最大值.即/(%)的值域?yàn)?8)；

(2)當(dāng)%>。時(shí)，F(xiàn)(X)=xex—kx2=x{ex—fcx),

g(%)=ex—kx,

則/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于g(%)有兩個(gè)零點(diǎn)，

g'(%)=ex—k,

當(dāng)k∈(一8,1］時(shí)，g<χ)>O在(0,+8)上恒成立，g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

從而g(%)>g(0)=ι,因此g(%)在(0,+8)上沒(méi)有零點(diǎn),即f(%)在(0,+8)上沒(méi)有零點(diǎn),不符合題

是.~??、.,

當(dāng)k∈(l,+8)時(shí),在(0,)k)上g'(x)<0,在(bιk,+8)上g，(X)>0,

于是g(x)在(0,bιk)上單調(diào)遞減，在(Enk,+8)上單調(diào)遞增，

則g(x)的最小值為g(,nk)=k-k?Ink,

由于g(x)在(0,+8)上有兩個(gè)零點(diǎn)，

所以g(∕nk)=k—k?Ink<0>k>e,

因?yàn)間(0)=1>0,g(^lnk2)=k2-k-Ink2=k(k-2lnk),

對(duì)于函數(shù)y=x—2lnx,y,=1—I=

函數(shù)y=x-2∕nx在區(qū)間(0,2),y'<0,函數(shù)單調(diào)遞減；

在區(qū)間(2,+8),/>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

所以y=x-2Inx≥2—2ln2=Ine2—ln4>0,

所以g(lnk2)=k(k-2Ink)>0,

于是由零點(diǎn)存在性定理得k>e時(shí)，g(x)在(0,+8)上有兩個(gè)零點(diǎn)，

綜上，可得k的取值范圍是?+8).

【解析】(1)根據(jù)已知條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；

(2)當(dāng)％>0時(shí)，F(xiàn)(x)=xex-kx2=x(ex-kx),構(gòu)造函數(shù)g(x)=e*-kx,再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

的單調(diào)性，以及零點(diǎn)存在定理，即可求解.

本題主要主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題.

2

21.【答案】解：(1)拋物線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-2,l),??.4=2p,解得：p=2,.?.拋物線C：x=4yi

由題意知:直線，斜率存在，設(shè)，：y=k(x+l),Λ(x1,y1),B(x2,y2),

Jy=k(x+1).,,

由I2.得c：X—4∕cx—4fc——0,

(XZ—4y

.?.Zl=16?2+16k>0,解得：k<一1或k>0；

=22

?'?Xχ+%24fc>x1X2=-4fc>.?.y1+y2=k(x1+x2)+2k=4fc+2k,y1y2==k>

又直線P4,PB與X軸相交于M,N兩點(diǎn)，

11

ky2-_yιy2-σι+y2)+.∏

PΛ^pβ--?--(勺+2)(犯+2)≠°，

即-3/-2k+1≠0,解得：k≠^0Jc=≠-l;

綜上所述：直線，斜率的取值范圍為(—8,-1)U(Ot)U4，+8)；

證明：(2)設(shè)點(diǎn)M(XM,0)，N(XN,0)，

由OM=/LQf，QN=μQT>Q(-l,0)知I：Q,M,N,7共線，即7在X軸上,

則可設(shè)T(t,O),.?.麗=(XAf+1,0),QT=(t+1,0)，

-.?QM=λQT,.?.XM+l=λ(t+l),?4=^?,同理可得：*=揣,

???3="=叁=年直線p4yτ=??+2),

Xγ-τ?Xγ-τ?4

44

令y=0得：％M=-=∑7-2,同理可得：XN=-7"∑3^-2,

,4dXι+24d%2÷2

'布+λI=一行T=一次M+l41==一/

由(1)知：x1+x2=4∕c1,X1X2=-4k,

11

Σ+-一(t+i)(?≡+森)=τt+D?τ^≡g?f=(t+i)???=2(t+i)=4,

〃解

得：t=l,

???存在定點(diǎn)T(1,0)滿足題意.

【解析】(1