河南省高考數(shù)學(xué)(文科)模擬考試卷附答案解析

河南省高考數(shù)學(xué)(文科)模擬考試卷附答案解析

班級(jí):姓名：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合A={xl4+x-6<θ},8=卜Iy=Jx+1},則AB=()

A.[-1,2)B.[0,2)C.[1,2)D.[0,3)

2.已知復(fù)數(shù)Z=含，則同=()

A.√2B.√3C.√5D.√10

3.記S,為等差數(shù)列{叫的前〃項(xiàng)和，若&+牝=25,$6=57,則{q}的公差為()

A.1B.2C.3D.4

4.以下結(jié)論不正確的是()

A.根據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得出K≥6.635,而尸(犬≥6.635)≈0.01,則有99%的把握認(rèn)為兩個(gè)分類

變量有關(guān)系

B.K?的值越大，兩個(gè)事件的相關(guān)性就越大

C.在回歸分析中相關(guān)指數(shù)內(nèi)越大，說(shuō)明殘差平方和越小，回歸效果越好

D.在回歸直線§=Q5x-85中變量x=200時(shí)變量V的值一定是15

x-y-?≤0

5.已知羽y滿足約束條件x-2y+120,則目標(biāo)函數(shù)z=-2x+y的最小值為().

x+y+l>O

A.-5B.-4C.2D.4

6.將2個(gè)1和3個(gè)。隨機(jī)排成一行，則2個(gè)1不相鄰的概率為()

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

7.將函數(shù)/(x)=2Sin(2XqJ的圖象向左平移;個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，下列說(shuō)法正確的是

().

A.g(x)為奇函數(shù)B.g(x)在0,y上單調(diào)遞減

C.g(x)在-鼠上的值域?yàn)閇θ,6]D.點(diǎn),去0)是g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

8.如圖所示，在正方體ABCQ-A1BG。中。，尸分別為3。，AA的中點(diǎn)，設(shè)二面角F-JDQ-Bl的平面角

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為α,直線OF與平面BOR4所成角為一，則（）

A.a>βB.a<βC.a=βD,與正方體棱長(zhǎng)有關(guān)

9.已知雙曲線C^-∕=1（α>0力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為K和工，點(diǎn)M在C的右支上，直線耳M與C的

左支交于點(diǎn)M若忻M="且IMEl=IMN|,則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y=±gxB.y=+3xC.y=±^xD.y=±2x

10.設(shè)等比數(shù)列｛〃“｝的首項(xiàng)為1,公比為q,S”是數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，則““0"是'》"1<,5,,>0恒成立”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

11.如圖，2022年世界杯的會(huì)徽像阿拉伯?dāng)?shù)字中的“8”.在平面直角坐標(biāo)系中圓M:x2+（y+〃?）2=〃2和

Mf+（y-i）2=i外切也形成一個(gè)8字形狀，若尸（0,-2）,A（L-I）為圓M上兩點(diǎn)，B為兩圓圓周上任一點(diǎn)

（不同于點(diǎn)A,P）,則PA?P8的最大值為（）.

FIFAWORLDCUP

Qat-XlY2022

A.吟電B.2√2+l

C.3+√2D.3a+2

xlnx,x>O

12.函數(shù)/(X)=若關(guān)于X的方程［"x）T-（，"+1）〃"+，"=0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)

x+l,x≤O

數(shù)m的取值范圍是（）

A.--<m<OB.—</??≤O

ee

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二、填空題

13.若一組數(shù)據(jù)%,we，，%的平均數(shù)是30,另一組數(shù)據(jù)χ∣+y,W+%，$+%，，x”+y”的平均數(shù)是70,則

第三組數(shù)據(jù)4y+1,4%+1,4%+1,?,4%+1的平均數(shù)是.

14.已知函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2,0）對(duì)稱,且當(dāng)χ>2時(shí)/（X）和其導(dǎo)函數(shù)/'（X）的單調(diào)性相反,請(qǐng)寫出“X）

的一個(gè)解析式：.

15.已知雙曲線*?-y2=］（α>o）的右焦點(diǎn)與拋物線丫2=8》的焦點(diǎn)重合，則此雙曲線的漸近線方程是

16.若關(guān)于X的不等式e*（2x-∕）≥αe*-x有解，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

三、解答題

17.己知一ABC的角A,B,C的對(duì)邊分別為4,b,c,且《sinC-有SinB)=(α-8)(sinA+sin8).

⑴求4

⑵若.71BC的面積為6，且SinB=I+cosC,點(diǎn)。為邊BC的中點(diǎn)，求4。的長(zhǎng).

18.配速是馬拉松運(yùn)動(dòng)中常使用的一個(gè)概念，是速度的一種，是指每千米所需要的時(shí)間.相比配速，把心率

控制在一個(gè)合理水平是安全理性跑馬拉松的一個(gè)重要策略.2022北京馬拉松于2022年11月6日舉行，已知

圖①是本次北京馬拉松比賽中某位跑者的心率y（單位：次/分鐘）和配速X（單位：分鐘/千米）的散點(diǎn)圖,

圖②是本次馬拉松比賽（全程約42千米）前3000名跑者成績(jī)（單位：分鐘）的頻率分布直方圖.

頻率

171

1651

130卜

109-

100-

°44.55677.5配速X

圖①圖②

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(1)由散點(diǎn)圖看出，可用線性回歸模型擬合y與X的關(guān)系，求y與X的線性回歸方程；

(2)在本次比賽中該跑者如果將心率控制在160(單位：次/分鐘)左右跑完全程，估計(jì)他跑完全程花費(fèi)的時(shí)

間及他能獲得的名次.

Yjxiyi-nxy￡(x.-x)(yi-y?)

參考公式:用最小二乘法求線性回歸方程Q=必+6的系數(shù)，方=?---------=J-----——和金=$-版.

∑4-nx∑(x.~x)

i=li=l

參考數(shù)據(jù)7=135.

19.如圖，在四棱錐P—ABCO中底面四邊形ABC。為矩形，2OH=2PO=DC=2,Po/平面ABC。，H

為。C的中點(diǎn).

(1)求證：平面。POL平面POC；

(2)求三棱錐"-POD體積的最大值.

22

20.已知橢圓C:「+4=l(穌b>0)的左焦點(diǎn)為片，點(diǎn)P在C上，|百|(zhì)的最大值為√∑+1,且當(dāng)PFl垂直于

ab

長(zhǎng)軸時(shí)|「用=卓.

(1)求C的方程；

(2)已知點(diǎn)。，亭為坐標(biāo)原點(diǎn)，與0。平行的直線/交C于AB兩點(diǎn)，且直線以，分別與X軸的正

半軸交于EF兩點(diǎn)，試探究∣OE∣+∣OF∣是否為定值.若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.

21.已知拋物線Ud=2Py(P>0)的焦點(diǎn)為凡點(diǎn)E在C上，以點(diǎn)E為圓心，快尸|為半徑的圓的最小面積

為n.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)尸的直線與C交于M,N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M,N分別作C的切線4與4,兩切線交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡

方程.

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X=-Jl+?j2t,

22.在直角坐標(biāo)系XOy中直線I的參數(shù)方程為＜α為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸為正半

軸建立極坐標(biāo)，橢圓C的極坐標(biāo)方程為0%0$2。+2P1畝2。=4,其右焦點(diǎn)為尸，直線/與橢圓C交于A8兩

點(diǎn).

⑴求∣Λ4∣+∣FB∣的值;

(2)若點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，求,√?β的面積最大值.

23.如圖，在.ΛβC中。，E在BC上，BD=I,DE=EC=I與NBAD=NCAE.

(2)求_A8C面積的取值范圍.

參考答案與解析

1.B

【分析】解不等式得到集合A,根據(jù)函數(shù)y=√77T的值域得到集合8,然后求交集即可.

【詳解】A=(-3,2)和B=[0,+e),則Aβ=[0,2).

故選：B.

2.C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)z,可得其共知復(fù)數(shù)，根據(jù)模的計(jì)算可得答案.

【詳解】復(fù)數(shù)z=∣4=任粵二2=2-i,故[=2+i

1+12

所以同=JFTF=右

故選：c

3.C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式計(jì)算得解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為"，所以出+%=25,S6=57,

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.?.24+7d=25,64H-------d=57

112

聯(lián)立解得q=2,d=3

則也｝的公差為3.

故選：C.

4.D

【分析】對(duì)于A,P（K2≥6.635卜0.01可得結(jié)論;

對(duì)于B,V越大，“X與丫有關(guān)系”可信程度越大，相關(guān)性就越大；

對(duì)于C,在回歸分析中相關(guān)指數(shù)K?越大，說(shuō)明殘差平方和越小，回歸效果越好：

對(duì)于D,當(dāng)回歸直線方程中當(dāng)變量等于200時(shí)y的值平均是15,不能說(shuō)一定是15.

【詳解】解：對(duì)于A,P（K≥6.635卜0.01故有99%的把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)系，即A正確：

對(duì)于B,不越大，“X與F有關(guān)系”可信程度越大，相關(guān)性就越大，即B正確；

對(duì)于C,在回歸分析中相關(guān)指數(shù)店越大，說(shuō)明殘差平方和越小，回歸效果越好，即C正確；

對(duì)于D,當(dāng)回歸直線方程中當(dāng)變量等于200時(shí)），的值平均是15,不能說(shuō)一定是15,故D錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查線性回歸方程的意義和獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，獨(dú)立性檢驗(yàn)是先假設(shè)兩個(gè)分類變

量無(wú)關(guān)，計(jì)算出K?的值，并與臨界值進(jìn)行比較，可以判斷兩個(gè)變量有關(guān)系的程度.在該假設(shè)下，隨機(jī)變量K?

應(yīng)該很小，如果實(shí)際計(jì)算出的片的值很大，則在一定程度上說(shuō)明假設(shè)不合理.

5.B

【分析】畫(huà)出可行域及目標(biāo)函數(shù)，利用幾何意義求出最小值.

【詳解】畫(huà)出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.目標(biāo)函數(shù)z=-2x+y

即y=2x+z,平移直線y=2x+z,當(dāng)其過(guò)點(diǎn)A時(shí)縱截距最小，即Z最小.

x—y—l=0fx=3,z、

由:1八，可得o即點(diǎn)A3,2，所以Znlm=-2x3+2=-4?

x-2y÷l=0[y=2,

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故選：B

6.C

【分析】列舉出所有可能的結(jié)果，找到2個(gè)1不相鄰的基本事件個(gè)數(shù).根據(jù)古典概況概率公式可得結(jié)果.

【詳解】2個(gè)1和3個(gè)O隨機(jī)排成一行，基本靠件有：00011.00101.01001.10001.10010.10100.11000.

01100.00110,01010.共10種;

其中2個(gè)1不相鄰的有:00101.01001.10001.10010.10100.01010,共6種

所以所求概率尸=9=0.6.

10

故選：C.

7.D

【分析】由題意利用函數(shù)/(x)=ASin(S+*)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由題知

g(x)=2sin]2(x+7)-*=2sin(2K+g),所以A錯(cuò)誤;

因?yàn)閄e0.∣,2x+→土兀，g(x)在OqI上先增后減，所以B錯(cuò)誤；

因?yàn)閤J—Hl，2χ+-eΓθ.-1,g(x)∈[0,2],所以C錯(cuò)誤；

ooj3L3J

因?yàn)閟in1-2x*j=0,所以點(diǎn)[-刊是g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,所以D正確.

故選：D.

8.A

【分析】作出二面角ɑ以及線面角夕，通過(guò)比較它們的正切值來(lái)確定兩者的大小關(guān)系.

【詳解】設(shè)點(diǎn)M為片。與BR的交點(diǎn)，由于AF//OM,AF=gDA=OM

第7頁(yè)共18頁(yè)

所以四邊形A戶MO是平行四邊形，所以刊0〃OA.

由于。A_LBDQA1DD[,BDCDD∣=O,BD,DDxU平面BDD1B.

所以。4,平面所以FM上平面BDDM,所以NFoM=A

過(guò)點(diǎn)尸作。0的垂線切，垂足為H,又FMLD0,FMCFH=F,FM,FHu平面FHM

則。。，平面EMH,又MHU平面尸MH,則M"J?DQ,所以NFHM=a

MFMF

從而tana=----,tany?=-----在Rt..MOH中MO>MH

MHMO

所以tana>tany0,所以a>∕7.

【分析】由已知條件結(jié)合雙曲線的定義可得匕=為，從而可求出雙曲線的漸近線方程.

【詳解】因?yàn)殡p曲線CU=I(o>OB>O)的左、右焦點(diǎn)分別為耳和尸2,點(diǎn)M在C的右支上

所以IM娟-陽(yáng)閭=2α

因?yàn)镮Ml=IMNl,忻N∣=%與四周=|耳N∣+∣M7V∣

所以b=24,所以2=2

a

所以雙曲線uW-g=l(α>(U>O)的漸近線方程為y=±2x.

a-b2

故選：D

10.A

【分析】充分性直接證明，必要性舉特值q=驗(yàn)證.

1

【詳解】al=l,?=α√-=^-'.

當(dāng)<7>0時(shí)〃〃>0,可知Sn>0.

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所以“4>O”是"V〃∈N,.5?>0恒成立”的充分條件.

又當(dāng)q=~4時(shí)S,,=kγ>=2I-ClY

2l+l?[I2；]

2

若〃為偶數(shù)

2

若根為奇數(shù)，則3=]咱’

所以，當(dāng)g=-g時(shí)V"eN*,S,,>O恒成立.

綜上，F(xiàn)>O”是"V"eN*,S,,>0恒成立”的充分不必要條件

故選：A.

11.C

【分析】先用待定系數(shù)法求出圓M的方程，進(jìn)而得到PA?P8=√Σ∣P@CoS(PAP8),數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)與直

線以垂直的直線/和圓N相切，切點(diǎn)為B,且直線/的縱截距大于。時(shí)IPqCoS(PAPB)最大，利用點(diǎn)到直

線距離公式得到y(tǒng)=-X+1+√Σ,結(jié)合向量投影求出最值.

(―2+∕n)^=w2,

【詳解】根據(jù)題意可得z，、，，，解得〃=?1和"2=1,故圓M的方程為χ2+(y+l)-=l.

l+(-l+w)^=n2

PA.尸3=IPAHPBkoS(PA,尸3)=應(yīng)IPBkoS(PA,尸8)

畫(huà)圖分析可知當(dāng)與直線也垂直的直線/和圓N相切，切點(diǎn)為B,且直線/的縱截距大于O時(shí)IPqc。S(PAPB)

最大.

P

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直線小的斜率為1,設(shè)/的方程為y=r+α(α>0),由圓心N((U)到直線/的距離為粵=1

解得α=l+0^或1-√Σ(舍去).

(3+5√2-∩

故/的方程為y=—χ+l+J∑,其與直線鞏：>=》一2的交點(diǎn)坐標(biāo)為。[-^一,七一

所以IPQl=3>∕∣+2,所以P4?PB=√Σ0@coS(PA,P8)≤J∑x±告E=3+√Σ

即PA?P8的最大值為3+√Σ.

故選：C

【點(diǎn)睛】平面向量解決幾何最值問(wèn)題，通常有兩種思路：

①形化，即用平面向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的

特征直接進(jìn)行求解；

②數(shù)化，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解

等問(wèn)題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

12.A

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究V=Xlnx且xe(O,*?)的單調(diào)性和極值，進(jìn)而畫(huà)出/(χ)圖象，數(shù)形結(jié)合知f(x)=l有

兩個(gè)根，只需保證/(X)=加有三個(gè)根，即可確定參數(shù)范圍.

【詳解】由[/(X)]2-(m+l)∕(x)+m=[/(X)-m][f(x)-1]=(),可得/(x)=，”或f(x)=1

令y=xlnx且定義域?yàn)?0,+8),貝IJ,=lnx+l

當(dāng)Xe(02)時(shí)y'<o,即N遞減；當(dāng)Xed,+8)時(shí)y'>0,即y遞增；

ee

所以為M=-g,且yk=°,在X趨向正無(wú)窮y趨向正無(wú)窮

綜上，根據(jù)f(χ)解析式可得圖象如下圖示：

顯然∕ω=ι對(duì)應(yīng)兩個(gè)根，要使原方程有5個(gè)根，則/⑺=機(jī)有三個(gè)根，即/(χ),y=,〃有3個(gè)交點(diǎn)

所以-!<〃?<0.

e

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故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)研究y=Xlnx且Xe(O,+∞)性質(zhì)并畫(huà)出了(X)圖象，結(jié)合/(X)=，〃、/(x)=l的根個(gè)

數(shù)分布確定參數(shù)范圍.

13.161

【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)平均數(shù)計(jì)算公式可得.

【詳解】數(shù)據(jù)%+%,%+%，』+%，-，χ,,+y“共有"個(gè)，其平均數(shù)為

-∑U∕+Z?)=-∑^?÷-Xχ?=30+9=70.因此:y=40

n,=In/=|n,=|

故數(shù)據(jù)4χ+l,4%+l,4%+l,,4%+1的平均數(shù)是4x40+1=161.

故答案為：161

14.f(x)=一二(答案不唯一)

x-2

【分析】先根據(jù)對(duì)稱中心寫成了(X),再驗(yàn)證其單調(diào)性和導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性.

【詳解】由/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，可設(shè)〃x)=『w，則/(力=一己『.

當(dāng)x>2時(shí)"x)單調(diào)遞減，/'(X)單調(diào)遞增，滿足題意.其他滿足條件的解析式也可以.

故答案為：/(x)=一?

15.y=+^-x

3

【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)，根據(jù)/=/-從可求。的值，從而可求漸近線方程.

2

【詳解】：拋物線V=8x的焦點(diǎn)是(2,0),.?.c=2,α=4-l=3/.α=√3

.?.2=3.所以雙曲線的漸近線方程為y=±立X.

3/O3

故答案為y=±-x.

3

16.1-∞,l+1

【分析】參變分離后令/(x)=2x-/+把-)則根據(jù)己知可得α≤∕(χ)maχ,利用導(dǎo)數(shù)求出

11

∕Wmax=∕()=÷^即可得出答案?

【詳解】ex(2x-^)≥aex-x

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e'Qx-χ2)+不≥aex

ex>O

.*.2x-x2+xe~x≥a

令/(x)=2x-f+xe~x

則若關(guān)于X的不等式ev(2x-x2)≥ae'-x有解

則”,("Lx

尸(X)=2-2x+e^'-xe^x=2(l-x)+e^'(l-x)=(l-x)(2+e^xj

2+e^x>0,則當(dāng)XeI時(shí)制x)>0,當(dāng)x>l時(shí)f'(x)<O

故當(dāng)xe(-∞,l)時(shí)〃x)單調(diào)遞增，當(dāng)Xe(I,+8)時(shí)”χ)單調(diào)遞減

則〃x)m「〃l)=2-l+eT=l+：

則α≤l+!

e

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是(—』+(

故答案為：(YOj+(.

兀

17.(I)A=-

O

(2)AD=百

【分析】(1)由正弦定理得到U+c2-∕=j%c,再利用余弦定理求出A=^;

O

(2)在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上,結(jié)合SinB=I+8sC,利用三角恒等變換求出B=g,進(jìn)而由三角形面積得到α=6=2,

O

由余弦定理求出答案.

【詳解】(?)因?yàn)镃kinC—百sin3)=(〃-%)(SinA+sin3)

所以由正弦定理可得c(c-J%)=(α-b)(α+b)

即h2+c2-a2=y∣3hc.

由余弦定理可得cosA=0+c-'=正W=正

2bc2bc2

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又A∈(0,τι),所以A=》

(2)因?yàn)閟in5=l+cosC

所以sin3=l+cos:-----B=l+cos2—cosB+sin:—sin8=l------cosB+-sinB

I6)6622

∣.1.D?/?

q即一sinBH-----cosS=sinB+-=1

22I3；

又0<8<π,則B+]=],所以B='

2兀

所以。=人C=y.

1n

所以5=-ahsinC=——a2=在

LΔΛΛ4DSLC,24'

所以4=∕7=2.

在△ACO中由余弦定理可得Aθ2=AC2+α>2-2AC?CO?cos^=22+12-2x2xlx[-g)=7

即AD=√7.

18.(l)y=-25x+285

(2)210分鐘，192名

【分析】(1)將數(shù)據(jù)代入公式，計(jì)算回歸方程;

(2)由回歸方程計(jì)算y=160時(shí)X的值，得跑完馬拉松所花時(shí)間，由頻率分布直方圖估計(jì)該值所處名次.

【詳解】(1)由散點(diǎn)圖中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得嚏=4$+5+?+7+7.5=65=135

^_(-1.5)x36+(-l)x30+0x(-5)+lx(-26)+1.5x(-35)_

α=135-(-25)×6=285

(-1.5)2+(-l)2+02+l2+1.52

所以y與X的線性回歸方程為y=-25x+285.

(2)將y=160代入回歸方程得χ=5,所以該跑者跑完馬拉松全程所花的時(shí)間為42x5=210分鐘

從馬拉松比賽前3000名跑者成績(jī)的頻率分布直方圖可知成績(jī)好于210分鐘的累計(jì)頻率為

0.0∞8×50+0.0024×(210-200)=0.064.

有6.4%的跑者成績(jī)超過(guò)該跑者，則該跑者在本次比賽獲得的名次大約是0.064×3000=192名.

19.(1)證明見(jiàn)解析

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【分析】(I)首先證明。OJ-OC,再利用線面垂直的性質(zhì)定理得POJ?8,最后利用面面垂直的判定定理

即可.

(2)通過(guò)轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)知當(dāng)PO,OQ時(shí)ADO”的面積最大，此時(shí)體積最大，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

【詳解】(1)V2OH=DC,H為。C中點(diǎn)

.?.DH=OH=CH：.NoDH=ZDOH,ZHOC=NHCO

.■NODH+ZDOH+ZHOC+ZHCO=π

兀

.?.ZDOH+ZHOC=-

2

.?.OOJ_OC

?.?PO上平面ABCD,ODU平面ABCD

：.POA.OD

OPCOC=O,POU平面POC,OCU平面POC

：.OD，平面POC

又,：OoU平面OPo

平面DPOi?平面POC.

(2)由(1)可知。CLOD,...點(diǎn)。在以Co為直徑的圓上

.?.當(dāng)時(shí)ADoH的面積最大

又YH-PoD~Vp-DOH

???三棱錐H-POD體積的最大值為

V=-×OP×-×-×CD×OH=-×↑×-×-×2×?=-.

3223226

20.(1)—+y2=l

2

(2)是，耳+∣OFl為定值2

【分析】(1)由題意可得到關(guān)于“力,c的等式，聯(lián)立進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)題意可假設(shè)y=立x+?(""0),A(X“％),B(W,必)，與橢圓進(jìn)行聯(lián)立可得

%+Λ=-√Σ,gΛ=∕√τ,求出直線D4的方程可得到IoEl=I-茬言，同理可得IoFI=I-總通

22

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過(guò)計(jì)算即可得到定值

【詳解】（I）I尸耳I的最大值為α+c

當(dāng)PE垂直于長(zhǎng)軸時(shí)將X=-c代入橢圓可得丁=則IPKI=:

a+c=√2+lf

2廠0=、

所以J=當(dāng)，解得匕=I

a2

222

a=b+cI'=1

所以C的方程為'+V=ι

（2）IoEl+∣O可為定值.

由題可知直線。。的斜率為坦，且直線D4,分別與X軸的正半軸交于E尸兩點(diǎn)

2

故設(shè)直線/的方程為y=+∕n（,”<0）,A（x”M）,8（々，/）,

[√2/

y=x+m

聯(lián)立<>得/+?j2tnx+m2—}=0

X?

—+y~=11

2?

則Δ=（忘〃?）2-4（,/-1）=-2m1+4>0

解得-√Σ<M<√Σ,則-7∑<機(jī)<0，所以％+x2=-"n,XIX2=〃-1

√2

直線ZM的方程為廣也=??-

f-(?-?)

2M一

-

.x∣l方一[O

令），=o,得χ=ι一君二?,即EF一以-凸

11

所以明?品卜一舄,同理可得M=-?=??

故|0目+|0尸|=2-

2X∣X+(^∕H-2](X∣+X)-2-^∕H+22trΓ-2—2∏Γ+2y∣2m—2yfim+2

=2-----------2-------------------------2--------------------=2-----------τ-=------r---------------------------------2

2

xlx2+(a〃2-I)(X+x2)+2m-2yflm÷1XX2÷(j(xl+x2)÷2m~-2√2π∕+1

所以∣OE∣+∣OFl為定值2.

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【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：

(1)設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為α,x),(χ2,%);

(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于X(或y)的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算△；

(3)列出韋達(dá)定理；

(4)將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為玉+七、X1X2(或x+必、y,y2)的形式；

(5)代入韋達(dá)定理求解.

21.(I)X2=4)，

(2)y=τ

【分析】(1)當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)此時(shí)半徑為4,圓的面積最小是解題的關(guān)鍵；

2

(2)設(shè)出直線MN的方程，利用導(dǎo)數(shù)與切線方程的關(guān)系求出切線，聯(lián)立兩條切線方程求出交點(diǎn)即可求解.

【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)E(%,%)與%≥0,則IEFl=

因?yàn)橐訣為圓心，以IEFI為半徑的圓的最小面積為兀

所以=Jt

所以日=1(負(fù)值舍去)，解得P=2

所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為X2=4)，.

/2\(2\

(2)設(shè)M與Nx2,^

<4J\4/

易得尸(0,1),由題意知直線MN的斜率一定存在

則設(shè)直線MN的方程為y=履+1(EeR)

聯(lián)立卜'二4",得χ2-4fcv-4=0

y=kx+?,

Δ>0,所以芭+/=4攵和=-4.

由y=J∕,得y=；,則切線4的斜率為W

422

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則切線4的方程為)」=^-(χ-χ1),BPy=

同理可得切線，2的方程為-鳥(niǎo)②

24

①-②得XP=^^=2%

代入①得”尹吁胃里一/華一

所以點(diǎn)尸的軌跡方程為y=T.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用設(shè)而不求的方法，設(shè)出直線方程與圓錐曲線聯(lián)立消元得出韋達(dá)定理，通過(guò)轉(zhuǎn)化化

簡(jiǎn)用韋達(dá)定理表示出問(wèn)題，是處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系必須要掌握的方法.

Q

22.(1)-

π.4(√3+l)

3

【分析】(1)根據(jù)極坐標(biāo)方程可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，又直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)橢圓焦點(diǎn)F,將直線參數(shù)方程代入橢

圓方程，得坐標(biāo)關(guān)系，即可得I必l+lFBl的值：

(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(2cos20sinO),直線/的直角坐標(biāo)方程為》-y-應(yīng)=0,由點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合三

角函數(shù)的圖象性質(zhì)求得距離最大值，即可求得“%B的面積最大值.

【詳解】(1)由夕2cos2e+202sin*=4得橢圓C的方程為三+E=l,其焦點(diǎn)尸坐標(biāo)為(應(yīng),0)

42

由題意得直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸，其參數(shù)方程為C為參數(shù))