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文檔簡介
河南省高考數(shù)學(xué)(文科)模擬考試卷附答案解析
班級:姓名:考號:
一、單選題
1.已知集合A={xl4+x-6<θ},8=卜Iy=Jx+1},則AB=()
A.[-1,2)B.[0,2)C.[1,2)D.[0,3)
2.已知復(fù)數(shù)Z=含,則同=()
A.√2B.√3C.√5D.√10
3.記S,為等差數(shù)列{叫的前〃項和,若&+牝=25,$6=57,則{q}的公差為()
A.1B.2C.3D.4
4.以下結(jié)論不正確的是()
A.根據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算得出K≥6.635,而尸(犬≥6.635)≈0.01,則有99%的把握認(rèn)為兩個分類
變量有關(guān)系
B.K?的值越大,兩個事件的相關(guān)性就越大
C.在回歸分析中相關(guān)指數(shù)內(nèi)越大,說明殘差平方和越小,回歸效果越好
D.在回歸直線§=Q5x-85中變量x=200時變量V的值一定是15
x-y-?≤0
5.已知羽y滿足約束條件x-2y+120,則目標(biāo)函數(shù)z=-2x+y的最小值為().
x+y+l>O
A.-5B.-4C.2D.4
6.將2個1和3個。隨機(jī)排成一行,則2個1不相鄰的概率為()
A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8
7.將函數(shù)/(x)=2Sin(2XqJ的圖象向左平移;個單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象,下列說法正確的是
().
A.g(x)為奇函數(shù)B.g(x)在0,y上單調(diào)遞減
C.g(x)在-鼠上的值域為[θ,6]D.點,去0)是g(x)圖象的一個對稱中心
8.如圖所示,在正方體ABCQ-A1BG。中。,尸分別為3。,AA的中點,設(shè)二面角F-JDQ-Bl的平面角
第1頁共18頁
為α,直線OF與平面BOR4所成角為一,則()
A.a>βB.a<βC.a=βD,與正方體棱長有關(guān)
9.已知雙曲線C^-∕=1(α>0力>0)的左、右焦點分別為K和工,點M在C的右支上,直線耳M與C的
左支交于點M若忻M="且IMEl=IMN|,則雙曲線C的漸近線方程為()
A.y=±gxB.y=+3xC.y=±^xD.y=±2x
10.設(shè)等比數(shù)列{〃“}的首項為1,公比為q,S”是數(shù)列{%}的前〃項和,則““0"是'》"1<,5,,>0恒成立”
的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
11.如圖,2022年世界杯的會徽像阿拉伯?dāng)?shù)字中的“8”.在平面直角坐標(biāo)系中圓M:x2+(y+〃?)2=〃2和
Mf+(y-i)2=i外切也形成一個8字形狀,若尸(0,-2),A(L-I)為圓M上兩點,B為兩圓圓周上任一點
(不同于點A,P),則PA?P8的最大值為().
FIFAWORLDCUP
Qat-XlY2022
A.吟電B.2√2+l
C.3+√2D.3a+2
xlnx,x>O
12.函數(shù)/(X)=若關(guān)于X的方程["x)T-(,"+1)〃"+,"=0恰有5個不同的實數(shù)根,則實
x+l,x≤O
數(shù)m的取值范圍是()
A.--<m<OB.—</??≤O
ee
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二、填空題
13.若一組數(shù)據(jù)%,we,,%的平均數(shù)是30,另一組數(shù)據(jù)χ∣+y,W+%,$+%,,x”+y”的平均數(shù)是70,則
第三組數(shù)據(jù)4y+1,4%+1,4%+1,?,4%+1的平均數(shù)是.
14.已知函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱,且當(dāng)χ>2時/(X)和其導(dǎo)函數(shù)/'(X)的單調(diào)性相反,請寫出“X)
的一個解析式:.
15.已知雙曲線*?-y2=](α>o)的右焦點與拋物線丫2=8》的焦點重合,則此雙曲線的漸近線方程是
16.若關(guān)于X的不等式e*(2x-∕)≥αe*-x有解,則實數(shù)〃的取值范圍是.
三、解答題
17.己知一ABC的角A,B,C的對邊分別為4,b,c,且《sinC-有SinB)=(α-8)(sinA+sin8).
⑴求4
⑵若.71BC的面積為6,且SinB=I+cosC,點。為邊BC的中點,求4。的長.
18.配速是馬拉松運動中常使用的一個概念,是速度的一種,是指每千米所需要的時間.相比配速,把心率
控制在一個合理水平是安全理性跑馬拉松的一個重要策略.2022北京馬拉松于2022年11月6日舉行,已知
圖①是本次北京馬拉松比賽中某位跑者的心率y(單位:次/分鐘)和配速X(單位:分鐘/千米)的散點圖,
圖②是本次馬拉松比賽(全程約42千米)前3000名跑者成績(單位:分鐘)的頻率分布直方圖.
頻率
171
1651
130卜
109-
100-
°44.55677.5配速X
圖①圖②
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(1)由散點圖看出,可用線性回歸模型擬合y與X的關(guān)系,求y與X的線性回歸方程;
(2)在本次比賽中該跑者如果將心率控制在160(單位:次/分鐘)左右跑完全程,估計他跑完全程花費的時
間及他能獲得的名次.
Yjxiyi-nxy£(x.-x)(yi-y?)
參考公式:用最小二乘法求線性回歸方程Q=必+6的系數(shù),方=?---------=J-----——和金=$-版.
∑4-nx∑(x.~x)
i=li=l
參考數(shù)據(jù)7=135.
19.如圖,在四棱錐P—ABCO中底面四邊形ABC。為矩形,2OH=2PO=DC=2,Po/平面ABC。,H
為。C的中點.
(1)求證:平面。POL平面POC;
(2)求三棱錐"-POD體積的最大值.
22
20.已知橢圓C:「+4=l(穌b>0)的左焦點為片,點P在C上,|百|(zhì)的最大值為√∑+1,且當(dāng)PFl垂直于
ab
長軸時|「用=卓.
(1)求C的方程;
(2)已知點。,亭為坐標(biāo)原點,與0。平行的直線/交C于AB兩點,且直線以,分別與X軸的正
半軸交于EF兩點,試探究∣OE∣+∣OF∣是否為定值.若是,求出該定值;若不是,說明理由.
21.已知拋物線Ud=2Py(P>0)的焦點為凡點E在C上,以點E為圓心,快尸|為半徑的圓的最小面積
為n.
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點尸的直線與C交于M,N兩點,過點M,N分別作C的切線4與4,兩切線交于點P,求點P的軌跡
方程.
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X=-Jl+?j2t,
22.在直角坐標(biāo)系XOy中直線I的參數(shù)方程為<α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點。為極點,X軸為正半
軸建立極坐標(biāo),橢圓C的極坐標(biāo)方程為0%0$2。+2P1畝2。=4,其右焦點為尸,直線/與橢圓C交于A8兩
點.
⑴求∣Λ4∣+∣FB∣的值;
(2)若點P是橢圓上任意一點,求,√?β的面積最大值.
23.如圖,在.ΛβC中。,E在BC上,BD=I,DE=EC=I與NBAD=NCAE.
(2)求_A8C面積的取值范圍.
參考答案與解析
1.B
【分析】解不等式得到集合A,根據(jù)函數(shù)y=√77T的值域得到集合8,然后求交集即可.
【詳解】A=(-3,2)和B=[0,+e),則Aβ=[0,2).
故選:B.
2.C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求得復(fù)數(shù)z,可得其共知復(fù)數(shù),根據(jù)模的計算可得答案.
【詳解】復(fù)數(shù)z=∣4=任粵二2=2-i,故[=2+i
1+12
所以同=JFTF=右
故選:c
3.C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式及前〃項和公式計算得解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列{4}的公差為",所以出+%=25,S6=57,
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.?.24+7d=25,64H-------d=57
112
聯(lián)立解得q=2,d=3
則也}的公差為3.
故選:C.
4.D
【分析】對于A,P(K2≥6.635卜0.01可得結(jié)論;
對于B,V越大,“X與丫有關(guān)系”可信程度越大,相關(guān)性就越大;
對于C,在回歸分析中相關(guān)指數(shù)K?越大,說明殘差平方和越小,回歸效果越好:
對于D,當(dāng)回歸直線方程中當(dāng)變量等于200時y的值平均是15,不能說一定是15.
【詳解】解:對于A,P(K≥6.635卜0.01故有99%的把握認(rèn)為兩個分類變量有關(guān)系,即A正確:
對于B,不越大,“X與F有關(guān)系”可信程度越大,相關(guān)性就越大,即B正確;
對于C,在回歸分析中相關(guān)指數(shù)店越大,說明殘差平方和越小,回歸效果越好,即C正確;
對于D,當(dāng)回歸直線方程中當(dāng)變量等于200時),的值平均是15,不能說一定是15,故D錯誤.
故選:D.
【點睛】方法點睛:本題考查線性回歸方程的意義和獨立性檢驗的應(yīng)用,獨立性檢驗是先假設(shè)兩個分類變
量無關(guān),計算出K?的值,并與臨界值進(jìn)行比較,可以判斷兩個變量有關(guān)系的程度.在該假設(shè)下,隨機(jī)變量K?
應(yīng)該很小,如果實際計算出的片的值很大,則在一定程度上說明假設(shè)不合理.
5.B
【分析】畫出可行域及目標(biāo)函數(shù),利用幾何意義求出最小值.
【詳解】畫出約束條件表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示.目標(biāo)函數(shù)z=-2x+y
即y=2x+z,平移直線y=2x+z,當(dāng)其過點A時縱截距最小,即Z最小.
x—y—l=0fx=3,z、
由:1八,可得o即點A3,2,所以Znlm=-2x3+2=-4?
x-2y÷l=0[y=2,
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故選:B
6.C
【分析】列舉出所有可能的結(jié)果,找到2個1不相鄰的基本事件個數(shù).根據(jù)古典概況概率公式可得結(jié)果.
【詳解】2個1和3個O隨機(jī)排成一行,基本靠件有:00011.00101.01001.10001.10010.10100.11000.
01100.00110,01010.共10種;
其中2個1不相鄰的有:00101.01001.10001.10010.10100.01010,共6種
所以所求概率尸=9=0.6.
10
故選:C.
7.D
【分析】由題意利用函數(shù)/(x)=ASin(S+*)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),即可求解.
【詳解】由題知
g(x)=2sin]2(x+7)-*=2sin(2K+g),所以A錯誤;
因為Xe0.∣,2x+→土兀,g(x)在OqI上先增后減,所以B錯誤;
因為xJ—Hl,2χ+-eΓθ.-1,g(x)∈[0,2],所以C錯誤;
ooj3L3J
因為sin1-2x*j=0,所以點[-刊是g(x)圖象的一個對稱中心,所以D正確.
故選:D.
8.A
【分析】作出二面角ɑ以及線面角夕,通過比較它們的正切值來確定兩者的大小關(guān)系.
【詳解】設(shè)點M為片。與BR的交點,由于AF//OM,AF=gDA=OM
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所以四邊形A戶MO是平行四邊形,所以刊0〃OA.
由于。A_LBDQA1DD[,BDCDD∣=O,BD,DDxU平面BDD1B.
所以。4,平面所以FM上平面BDDM,所以NFoM=A
過點尸作。0的垂線切,垂足為H,又FMLD0,FMCFH=F,FM,FHu平面FHM
則。。,平面EMH,又MHU平面尸MH,則M"J?DQ,所以NFHM=a
MFMF
從而tana=----,tany?=-----在Rt..MOH中MO>MH
MHMO
所以tana>tany0,所以a>∕7.
【分析】由已知條件結(jié)合雙曲線的定義可得匕=為,從而可求出雙曲線的漸近線方程.
【詳解】因為雙曲線CU=I(o>OB>O)的左、右焦點分別為耳和尸2,點M在C的右支上
所以IM娟-陽閭=2α
因為IMl=IMNl,忻N∣=%與四周=|耳N∣+∣M7V∣
所以b=24,所以2=2
a
所以雙曲線uW-g=l(α>(U>O)的漸近線方程為y=±2x.
a-b2
故選:D
10.A
【分析】充分性直接證明,必要性舉特值q=驗證.
1
【詳解】al=l,?=α√-=^-'.
當(dāng)<7>0時〃〃>0,可知Sn>0.
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所以“4>O”是"V〃∈N,.5?>0恒成立”的充分條件.
又當(dāng)q=~4時S,,=kγ>=2I-ClY
2l+l?[I2;]
2
若〃為偶數(shù)
2
若根為奇數(shù),則3=]咱’
所以,當(dāng)g=-g時V"eN*,S,,>O恒成立.
綜上,F(xiàn)>O”是"V"eN*,S,,>0恒成立”的充分不必要條件
故選:A.
11.C
【分析】先用待定系數(shù)法求出圓M的方程,進(jìn)而得到PA?P8=√Σ∣P@CoS(PAP8),數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)與直
線以垂直的直線/和圓N相切,切點為B,且直線/的縱截距大于。時IPqCoS(PAPB)最大,利用點到直
線距離公式得到y(tǒng)=-X+1+√Σ,結(jié)合向量投影求出最值.
(―2+∕n)^=w2,
【詳解】根據(jù)題意可得z,、,,,解得〃=?1和"2=1,故圓M的方程為χ2+(y+l)-=l.
l+(-l+w)^=n2
PA.尸3=IPAHPBkoS(PA,尸3)=應(yīng)IPBkoS(PA,尸8)
畫圖分析可知當(dāng)與直線也垂直的直線/和圓N相切,切點為B,且直線/的縱截距大于O時IPqc。S(PAPB)
最大.
P
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直線小的斜率為1,設(shè)/的方程為y=r+α(α>0),由圓心N((U)到直線/的距離為粵=1
解得α=l+0^或1-√Σ(舍去).
(3+5√2-∩
故/的方程為y=—χ+l+J∑,其與直線鞏:>=》一2的交點坐標(biāo)為。[-^一,七一
所以IPQl=3>∕∣+2,所以P4?PB=√Σ0@coS(PA,P8)≤J∑x±告E=3+√Σ
即PA?P8的最大值為3+√Σ.
故選:C
【點睛】平面向量解決幾何最值問題,通常有兩種思路:
①形化,即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題,然后根據(jù)平面圖形的
特征直接進(jìn)行求解;
②數(shù)化,即利用平面向量的坐標(biāo)運算,把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域,不等式的解集,方程有解
等問題,然后利用函數(shù),不等式,方程的有關(guān)知識進(jìn)行求解.
12.A
【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究V=Xlnx且xe(O,*?)的單調(diào)性和極值,進(jìn)而畫出/(χ)圖象,數(shù)形結(jié)合知f(x)=l有
兩個根,只需保證/(X)=加有三個根,即可確定參數(shù)范圍.
【詳解】由[/(X)]2-(m+l)∕(x)+m=[/(X)-m][f(x)-1]=(),可得/(x)=,”或f(x)=1
令y=xlnx且定義域為(0,+8),貝IJ,=lnx+l
當(dāng)Xe(02)時y'<o,即N遞減;當(dāng)Xed,+8)時y'>0,即y遞增;
ee
所以為M=-g,且yk=°,在X趨向正無窮y趨向正無窮
綜上,根據(jù)f(χ)解析式可得圖象如下圖示:
顯然∕ω=ι對應(yīng)兩個根,要使原方程有5個根,則/⑺=機(jī)有三個根,即/(χ),y=,〃有3個交點
所以-!<〃?<0.
e
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故選:A
【點睛】關(guān)鍵點點睛:導(dǎo)數(shù)研究y=Xlnx且Xe(O,+∞)性質(zhì)并畫出了(X)圖象,結(jié)合/(X)=,〃、/(x)=l的根個
數(shù)分布確定參數(shù)范圍.
13.161
【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)平均數(shù)計算公式可得.
【詳解】數(shù)據(jù)%+%,%+%,』+%,-,χ,,+y“共有"個,其平均數(shù)為
-∑U∕+Z?)=-∑^?÷-Xχ?=30+9=70.因此:y=40
n,=In/=|n,=|
故數(shù)據(jù)4χ+l,4%+l,4%+l,,4%+1的平均數(shù)是4x40+1=161.
故答案為:161
14.f(x)=一二(答案不唯一)
x-2
【分析】先根據(jù)對稱中心寫成了(X),再驗證其單調(diào)性和導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性.
【詳解】由/(X)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱,可設(shè)〃x)=『w,則/(力=一己『.
當(dāng)x>2時"x)單調(diào)遞減,/'(X)單調(diào)遞增,滿足題意.其他滿足條件的解析式也可以.
故答案為:/(x)=一?
15.y=+^-x
3
【分析】求出拋物線的焦點,根據(jù)/=/-從可求。的值,從而可求漸近線方程.
2
【詳解】:拋物線V=8x的焦點是(2,0),.?.c=2,α=4-l=3/.α=√3
.?.2=3.所以雙曲線的漸近線方程為y=±立X.
3/O3
故答案為y=±-x.
3
16.1-∞,l+1
【分析】參變分離后令/(x)=2x-/+把-)則根據(jù)己知可得α≤∕(χ)maχ,利用導(dǎo)數(shù)求出
11
∕Wmax=∕()=÷^即可得出答案?
【詳解】ex(2x-^)≥aex-x
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e'Qx-χ2)+不≥aex
ex>O
.*.2x-x2+xe~x≥a
令/(x)=2x-f+xe~x
則若關(guān)于X的不等式ev(2x-x2)≥ae'-x有解
則”,("Lx
尸(X)=2-2x+e^'-xe^x=2(l-x)+e^'(l-x)=(l-x)(2+e^xj
2+e^x>0,則當(dāng)XeI時制x)>0,當(dāng)x>l時f'(x)<O
故當(dāng)xe(-∞,l)時〃x)單調(diào)遞增,當(dāng)Xe(I,+8)時”χ)單調(diào)遞減
則〃x)m「〃l)=2-l+eT=l+:
則α≤l+!
e
故實數(shù)。的取值范圍是(—』+(
故答案為:(YOj+(.
兀
17.(I)A=-
O
(2)AD=百
【分析】(1)由正弦定理得到U+c2-∕=j%c,再利用余弦定理求出A=^;
O
(2)在第一問的基礎(chǔ)上,結(jié)合SinB=I+8sC,利用三角恒等變換求出B=g,進(jìn)而由三角形面積得到α=6=2,
O
由余弦定理求出答案.
【詳解】(?)因為CkinC—百sin3)=(〃-%)(SinA+sin3)
所以由正弦定理可得c(c-J%)=(α-b)(α+b)
即h2+c2-a2=y∣3hc.
由余弦定理可得cosA=0+c-'=正W=正
2bc2bc2
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又A∈(0,τι),所以A=》
(2)因為sin5=l+cosC
所以sin3=l+cos:-----B=l+cos2—cosB+sin:—sin8=l------cosB+-sinB
I6)6622
∣.1.D?/?
q即一sinBH-----cosS=sinB+-=1
22I3;
又0<8<π,則B+]=],所以B='
2兀
所以。=人C=y.
1n
所以5=-ahsinC=——a2=在
LΔΛΛ4DSLC,24'
所以4=∕7=2.
在△ACO中由余弦定理可得Aθ2=AC2+α>2-2AC?CO?cos^=22+12-2x2xlx[-g)=7
即AD=√7.
18.(l)y=-25x+285
(2)210分鐘,192名
【分析】(1)將數(shù)據(jù)代入公式,計算回歸方程;
(2)由回歸方程計算y=160時X的值,得跑完馬拉松所花時間,由頻率分布直方圖估計該值所處名次.
【詳解】(1)由散點圖中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得嚏=4$+5+?+7+7.5=65=135
^_(-1.5)x36+(-l)x30+0x(-5)+lx(-26)+1.5x(-35)_
α=135-(-25)×6=285
(-1.5)2+(-l)2+02+l2+1.52
所以y與X的線性回歸方程為y=-25x+285.
(2)將y=160代入回歸方程得χ=5,所以該跑者跑完馬拉松全程所花的時間為42x5=210分鐘
從馬拉松比賽前3000名跑者成績的頻率分布直方圖可知成績好于210分鐘的累計頻率為
0.0∞8×50+0.0024×(210-200)=0.064.
有6.4%的跑者成績超過該跑者,則該跑者在本次比賽獲得的名次大約是0.064×3000=192名.
19.(1)證明見解析
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【分析】(I)首先證明。OJ-OC,再利用線面垂直的性質(zhì)定理得POJ?8,最后利用面面垂直的判定定理
即可.
(2)通過轉(zhuǎn)換頂點知當(dāng)PO,OQ時ADO”的面積最大,此時體積最大,代入數(shù)據(jù)計算即可.
【詳解】(1)V2OH=DC,H為。C中點
.?.DH=OH=CH:.NoDH=ZDOH,ZHOC=NHCO
.■NODH+ZDOH+ZHOC+ZHCO=π
兀
.?.ZDOH+ZHOC=-
2
.?.OOJ_OC
?.?PO上平面ABCD,ODU平面ABCD
:.POA.OD
OPCOC=O,POU平面POC,OCU平面POC
:.OD,平面POC
又,:OoU平面OPo
平面DPOi?平面POC.
(2)由(1)可知。CLOD,...點。在以Co為直徑的圓上
.?.當(dāng)時ADoH的面積最大
又YH-PoD~Vp-DOH
???三棱錐H-POD體積的最大值為
V=-×OP×-×-×CD×OH=-×↑×-×-×2×?=-.
3223226
20.(1)—+y2=l
2
(2)是,耳+∣OFl為定值2
【分析】(1)由題意可得到關(guān)于“力,c的等式,聯(lián)立進(jìn)行求解即可;
(2)根據(jù)題意可假設(shè)y=立x+?(""0),A(X“%),B(W,必),與橢圓進(jìn)行聯(lián)立可得
%+Λ=-√Σ,gΛ=∕√τ,求出直線D4的方程可得到IoEl=I-茬言,同理可得IoFI=I-總通
22
第14頁共18頁
過計算即可得到定值
【詳解】(I)I尸耳I的最大值為α+c
當(dāng)PE垂直于長軸時將X=-c代入橢圓可得丁=則IPKI=:
a+c=√2+lf
2廠0=、
所以J=當(dāng),解得匕=I
a2
222
a=b+cI'=1
所以C的方程為'+V=ι
(2)IoEl+∣O可為定值.
由題可知直線。。的斜率為坦,且直線D4,分別與X軸的正半軸交于E尸兩點
2
故設(shè)直線/的方程為y=+∕n(,”<0),A(x”M),8(々,/),
[√2/
y=x+m
聯(lián)立<>得/+?j2tnx+m2—}=0
X?
—+y~=11
2?
則Δ=(忘〃?)2-4(,/-1)=-2m1+4>0
解得-√Σ<M<√Σ,則-7∑<機(jī)<0,所以%+x2=-"n,XIX2=〃-1
√2
直線ZM的方程為廣也=??-
f-(?-?)
2M一
-
.x∣l方一[O
令),=o,得χ=ι一君二?,即EF一以-凸
11
所以明?品卜一舄,同理可得M=-?=??
故|0目+|0尸|=2-
2X∣X+(^∕H-2](X∣+X)-2-^∕H+22trΓ-2—2∏Γ+2y∣2m—2yfim+2
=2-----------2-------------------------2--------------------=2-----------τ-=------r---------------------------------2
2
xlx2+(a〃2-I)(X+x2)+2m-2yflm÷1XX2÷(j(xl+x2)÷2m~-2√2π∕+1
所以∣OE∣+∣OFl為定值2.
第15頁共18頁
【點睛】方法點睛:利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:
(1)設(shè)直線方程,設(shè)交點坐標(biāo)為α,x),(χ2,%);
(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,得到關(guān)于X(或y)的一元二次方程,必要時計算△;
(3)列出韋達(dá)定理;
(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為玉+七、X1X2(或x+必、y,y2)的形式;
(5)代入韋達(dá)定理求解.
21.(I)X2=4),
(2)y=τ
【分析】(1)當(dāng)圓心在原點時此時半徑為4,圓的面積最小是解題的關(guān)鍵;
2
(2)設(shè)出直線MN的方程,利用導(dǎo)數(shù)與切線方程的關(guān)系求出切線,聯(lián)立兩條切線方程求出交點即可求解.
【詳解】(1)設(shè)點E(%,%)與%≥0,則IEFl=
因為以E為圓心,以IEFI為半徑的圓的最小面積為兀
所以=Jt
所以日=1(負(fù)值舍去),解得P=2
所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為X2=4),.
/2\(2\
(2)設(shè)M與Nx2,^
<4J\4/
易得尸(0,1),由題意知直線MN的斜率一定存在
則設(shè)直線MN的方程為y=履+1(EeR)
聯(lián)立卜'二4",得χ2-4fcv-4=0
y=kx+?,
Δ>0,所以芭+/=4攵和=-4.
由y=J∕,得y=;,則切線4的斜率為W
422
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則切線4的方程為)」=^-(χ-χ1),BPy=
同理可得切線,2的方程為-鳥②
24
①-②得XP=^^=2%
代入①得”尹吁胃里一/華一
所以點尸的軌跡方程為y=T.
【點睛】關(guān)鍵點睛:利用設(shè)而不求的方法,設(shè)出直線方程與圓錐曲線聯(lián)立消元得出韋達(dá)定理,通過轉(zhuǎn)化化
簡用韋達(dá)定理表示出問題,是處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系必須要掌握的方法.
Q
22.(1)-
π.4(√3+l)
3
【分析】(1)根據(jù)極坐標(biāo)方程可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程,又直線/經(jīng)過點橢圓焦點F,將直線參數(shù)方程代入橢
圓方程,得坐標(biāo)關(guān)系,即可得I必l+lFBl的值:
(2)設(shè)點P坐標(biāo)為(2cos20sinO),直線/的直角坐標(biāo)方程為》-y-應(yīng)=0,由點到直線的距離,結(jié)合三
角函數(shù)的圖象性質(zhì)求得距離最大值,即可求得“%B的面積最大值.
【詳解】(1)由夕2cos2e+202sin*=4得橢圓C的方程為三+E=l,其焦點尸坐標(biāo)為(應(yīng),0)
42
由題意得直線/經(jīng)過點尸,其參數(shù)方程為C為參數(shù))
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