2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 第八章 第八講 第一課時(shí)　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 學(xué)案

第八講圓錐曲線的綜合問題

第一課時(shí)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

(1)從幾何角度看，可分為三類：無公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異

的公共點(diǎn).

(2)從代數(shù)角度看，可通過將表示直線的方程代入二次曲線的方程消元后所

得一元二次方程解的情況來判斷.設(shè)直線/的方程為-+By+。=。，圓錐曲線

方程7U，y)=0?

[AΛ+BV+C=0,

由L、，、消元，如消去y后得以2+hx+c=0,

IyU，y)=0

①若α=0,當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時(shí)，直線/與雙曲線的漸近線平行；當(dāng)圓錐

曲線是拋物線時(shí)，直線/與拋物線的對稱軸平行(或重合).

②若aW0,設(shè)/=〃-4"c.

當(dāng)一二0時(shí),直線和圓錐曲線相交于不同兩點(diǎn)；

當(dāng)/0時(shí),直線和圓錐曲線相切于一點(diǎn)；

當(dāng)/一〈.0時(shí),直線和圓錐曲線沒有公共點(diǎn).

知識(shí)點(diǎn)二直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長問題

(1)斜率為不為0)的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)PlaI,yi)、P2(x2,”)，則

所得弦長IPl∕j2∣=??∕1+S?lx∣-x2l或IPl∕,2∣=^?Jl+plv∣~v2l.

(2)當(dāng)斜率上不存在時(shí)，可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，直接運(yùn)算(利用兩點(diǎn)間距離公式).

知識(shí)點(diǎn)三圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題

遇到中點(diǎn)弦問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解.在橢圓

hrχ(?

=l(α>A>0)中，以尸(xo,泗)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率Z=一聚1;在雙曲線了一

cij7o1

g=l(α>O,">0)中，以Pao,泗)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率Z=然；在拋物線

γ2=2px(p>0)中，以P(Xo,泗)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率R=f?

>0

歸納拓展

1.判定直線與圓位置關(guān)系的關(guān)鍵是圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系.

2.判定過定點(diǎn)的直線與橢圓的位置關(guān)系應(yīng)關(guān)注定點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系.

3.判定過定點(diǎn)的直線與雙曲線的位置關(guān)系應(yīng)注意直線斜率與漸近線斜率的

關(guān)系，過定點(diǎn)與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線可能與雙曲線相切，可能與漸近線

平行.

4.過定點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線可能與拋物線相切，可能與對稱

軸平行.

雙基自測

1.(2022?河南部分學(xué)校模擬調(diào)研)雙曲線C：，一?=l(α>0,/?0)的漸近線

與圓x2+(y-4)2=4相切，則雙曲線。的離心率為(B)

［解析］雙曲線C:^2-p=l(α>0,方>0)的一條漸近線與圓Λ2+(γ-4)2=4

相切，則圓心(0,4)到漸近線bx~ay=O的距離d==2,所以曲線C

y∣b2+a2

的離心率e=；=2,故選B.

2.(2020.全國高考真題)已知A為拋物線C：y2=2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C

的焦點(diǎn)的距離為12,到y(tǒng)軸的距離為9,則P=(C)

A.2B.3

C.6D.9

［解析］設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為凡由拋物線的定義知IAFl=XA+§=12,即12=

9+多解得p=6?故選C.

3.(2023?河南重點(diǎn)中學(xué)“頂尖計(jì)劃”聯(lián)考)過拋物線Cγ2=2px(p>0)的焦點(diǎn)

尸且斜率為一1的直線交。于A,僅其中A在X軸上方)兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于點(diǎn)M,

且IABl=I6,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則QM=(D)

A.2B.2√2

C.2√3D.2√5

［解析］由題意可知直線AB的方程為y=5-χ.

由F2龍得Λ2-3px+5=0,

［y1=2px

.?.XA+X8=3”,又HBl=I6.

.?XA+XB+P=4P=16,即p=4.

［y=2-χ

由V_得州/=4.

.?.∣OM=N忌+痂=2下.故選D.

4.(2023?浙江Z20名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知點(diǎn)A(4,0),3(0,4),直線/：x=~^,動(dòng)

點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離和它到直線/的距離之比為45,則IP陰的最大值是(C)

A.√4lB.7

C.5√2D.2√B

［解析］設(shè)點(diǎn)尸(χ,y),由題意可得

??∕(Λ-4)2+y24

25=亍

整理可得券+］=1,則/=25-^72,

其中一3Wy<3,

所以∣PB∣=、?+0-4)2

=y25-~gy2+/-8γ+16

=^-yy2-8y+4i=^-^+^2+50,

9L

所以，當(dāng)y=—4時(shí)，IPBl取最大值，即IPBImaX=5√Σ故選C.

5.(2023.浙江寧波模擬)已知點(diǎn)A(2,0),8(一當(dāng)一野在雙曲線E：?-p=

l(α>0,?>0)±.

(1)求雙曲線E的方程；

(2)直線/與雙曲線E交于M,N兩個(gè)不同的點(diǎn)(異于A,B),過M作龍軸的

垂線分別交直線AB,直線AN于點(diǎn)P,Q,當(dāng)訪=的時(shí)，證明：直線/過定點(diǎn).

［解析］(1)由題知，

(a=2

k野中-護(hù)「得1’

所以雙曲線E的方程為。一y2=l.

(2)由題意知，當(dāng)X軸時(shí)，不符合題意，

故/的斜率存在，設(shè)/的方程為y=依+〃?，

y=kx+m

2

聯(lián)立X7,消去y得

(1—4^2)Λ2-8Z:/7?x—4m2—4=0,

則J=64Fzn2+I6(m2+l)(l-4?2)=l6(∕n2+1—4?2)>0,

即蘇+1>4A2,且1—4?2≠0,

AB方程為>=不>—2),令X=XI得

AN方程為y=-2(χ-2),令X=Xl得dXi

X2-Z\

由血=的，得電工="十￡!”,

即告十號(hào)《

x?-2X2-22

即｛kx?÷m)(x2—2)+(AX2+m)(xι—2)

1,,

=習(xí)光的一2(xι÷Λ2)÷4],

即(1—4%)XIX2+(4%—2m—2)(xι+x2)+4+8m=0,

即4m2+16?m+16?2-16^—8/72=0,

所以(加+2λ)(∕n+2A-2)=0,

得m=2—2k或/Ti=-2k,

當(dāng)m=2-2k,此時(shí)由1>0,得/，符合題意；

當(dāng)m=—2k,此時(shí)直線/經(jīng)過點(diǎn)A,與題意不符，舍去,

所以/的方程為y=Ax+2-2左，即y=Mχ-2)+2,

所以/過定點(diǎn)(2,2).

?互動(dòng)探究

考點(diǎn)一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系—自主練透

例1(1)若直線y=E+2與橢圓,+?=1總有公共點(diǎn)，則優(yōu)的取值范

圍是(D)

A.1V>?B./77>O

C.0<相<4且m≠?D.m24且nι≠l

(2)(2021?遼寧沈陽二中月考)直線/：—啦)與曲線x2—V=l(x>O)相交

于A,B兩點(diǎn),則直線/傾斜角α的取值范圍是(B)

A.[O,π)

c[o,W

「兀TlA(π3π

D[W，2Ju?τ

?2

［解析］(1)直線y=日+2恒過定點(diǎn)(0,2),若直線y=Ax+2與橢圓5+］=l

222

總有公共點(diǎn)，則點(diǎn)(0,2)在橢圓了+*=1內(nèi)部或在橢圓上r，所V以而4Wl,由方程7r+

/_、

蔡=1表示橢圓，則m>0且m≠7,綜上知機(jī)的取值范圍是m24且m≠7.

(2)直線/過定點(diǎn)(隹0),曲線x2—V=I(QO)的漸近線的傾斜角分別為:壽，

又直線的斜率存在，結(jié)合圖形可知選B.

名師A撥MINGSHIDIANBO

(1)解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的方法

①代數(shù)法：解題“步驟”

I第一步I一距直線方程與圓錐曲線方程

消元轉(zhuǎn)化成關(guān)于*或y的一元二次方

程(或一元一次方程)

利用根與系數(shù)的關(guān)系(或方程的解)

判斷它們的位置關(guān)系

②幾何法：即根據(jù)直線與圓錐曲線的幾何性質(zhì)進(jìn)行判斷.

(2)解題“關(guān)鍵”

聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，消元后一定要注意判斷二次項(xiàng)系數(shù)是否為零.

當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為O時(shí)，直線與圓錐曲線最多只有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，利用判別式/求解：

∕>0S有兩個(gè)交點(diǎn)臺(tái)相交；/=O臺(tái)有一個(gè)交點(diǎn)臺(tái)相切；

/<00無交點(diǎn)0相離

注：(1)研究直線與圓的位置關(guān)系，只需抓住圓心到直線的距離與半徑的關(guān)

系；(2)當(dāng)直線過定點(diǎn)時(shí)，注意定點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系；(3)注意“直線與拋

物線只有一個(gè)交點(diǎn)”與“直線與拋物線相切”的區(qū)別.

考點(diǎn)二直線與圓錐曲線相交的弦的問題——多維探究

角度1弦長問題

??■例2(2021河北質(zhì)檢)已知M(-√L0),N(y∣2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足:直線

PM與直線PN的斜率之積為常數(shù)一/設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)直線/與曲線C交于A,8兩點(diǎn)，線段AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)(0,目，

點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OAOB=O,求∣Λ3∣?

［解析］(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)(x≠+√2),

yy

則liPM=χ+0kp『f

因?yàn)閗pMkpN=—所以

V2Iγ2

即國與=一］,即萬^+y2=l(x≠∕),

所以曲線C的方程為微+V=1(尤≠/).

(2)當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)與題設(shè)矛盾，故直線/的斜率存在.

設(shè)AS,γ∣),B(X2,”)，/：y=kx+t.

*2+2),2—2,

由｛,'得(2F+l)x2+4hx+2∕2-2=0.

Iy=依+f,

七、ITkt2產(chǎn)一2

所以XI+X2=］+2?2'XIX2=］+2/

/=8(23一戶+1)X)今2必一Z2+1>0.

設(shè)A,8的中點(diǎn)為。(〃2,〃)，

貝」加一-TT詬，n~km+t~WHe-

故線段AB的中垂線方程為y-n=-τK(x-m).

H?I

當(dāng)X=O時(shí)，γ=j+n=2?

一2kt

所以“普+行?=今化簡得1+2標(biāo)=—2人

因?yàn)槿fI為=0,得xiX2÷yιj2=0.

又y?y2=(kx?÷t)(kx2÷0=Icx↑x2+kt{x?+x2)+t2,

2(*—I)(F+1)

所以XlX2+y1”=(必+1)x1x2+Wi+%2)+-=----]+2,-----Ii工2記+戶=°'

化簡得2R+2=3∕2.又1+2幺=-2/,

得f=-l或f=g(舍去)，所以好

所以?AB?=^∕(1+?2)[(X∣+%2)2-4XIΛ2]

7(+必)[(瑞)-4套]

2

?8(l+?)(2儲(chǔ)一1+1)r

名師點(diǎn)撥MINGSHIDIANBO

求解弦長問題的3種方法

(1)聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，解方程組求出兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)間的

距離公式求解.

(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，消元得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用

根與系數(shù)的關(guān)系及兩點(diǎn)間的距離公式.利用弦長公式求弦長要注意斜率％不存在

的情形，若人不存在時(shí)，可直接求交點(diǎn)坐標(biāo)再求弦長.設(shè)斜率為左的直線/交圓

錐曲線于Aa1,??),B(X2,y2),

則?AB?=ΛJ(1+?2)[(XI+%2)2—4%IΛ2]

或IABI=??1++W—4〃”],解法要點(diǎn)“設(shè)而不求，整體代入”.

(3)求圓、過拋物線焦點(diǎn)的弦長注意圓、拋物線的特性，當(dāng)弦過焦點(diǎn)時(shí)，可

結(jié)合焦半徑公式求解弦長.一般不用聯(lián)立直線與曲線方程.

角度2中點(diǎn)弦問題

???例3(2022?福建診斷)已知拋物線C：j2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為凡過戶且

傾斜角為1的直線交C于A,B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為√5,則IABl=(C)

8

?-?B.4

C.8D.24

[解析]解法1：設(shè)AaI,y↑),8(X2,/)，AB的中點(diǎn)C(X°,√3),

yi=2px↑,

則兩式相減得(yι—")(yι+”)=2p(xι—X2),

Y=2pX2?

即受譚?2小=2°,又4AB=tan；=小.?*.p=3.

7√3~Q.5

X3=kAB=?3,..Xo=/.

xo~2

：.HB∣=2xo+p=8.故選C.

解法2：設(shè)4(xι,yi)，8(x2,yi),

45的中點(diǎn)Ca0,√3),

由題意知AAB="?∕5.

.?.A8的方程為y=√5(χ-

Iy=2px

2

由jy=/(尤_2)得小y-2py—小p2=o,

???yι+y2=2√5=%..?.p=3,

又yι+y2=?∣3[(xι+χι)~p],

??冗1+及=5.

/.H5∣=XI+JQ+P=8.故選C.

名師Λ撥MINGSHIDIANBO

處理中點(diǎn)弦問題常用的求解方法

即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方

程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)

的關(guān)系求解

面賽田凝兩兩褊案至麻蘆:而又面箍涌

線方程，并將兩式相減，式中含有/+

X,?i+y,———三個(gè)未知量，這樣就

22Xl~X2

直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率，借用中

點(diǎn)公式即可求得斜率

注：“點(diǎn)差法”的常見結(jié)論

設(shè)AB為圓錐曲線的弦，點(diǎn)P為弦AB的中點(diǎn)：

2

rv2/

(1)橢圓”+"=1(0>b>O)中的中點(diǎn)弦問題：kAB-kop=—^2：

/V2b2

(2)雙曲線了一方=l(α>0,b〉0)中的中點(diǎn)弦問題：/(AB?kop=不;

⑶拋物線尸2血>。)中的中點(diǎn)弦問題：小劍為中點(diǎn)P的縱坐標(biāo)).

角度3求直線的方程

92

A例4(2022.天津河西區(qū)質(zhì)檢)已知橢圓C：：+方=13?！?)的左、右焦

點(diǎn)分別為為，用，點(diǎn)小小，在橢圓C上，滿足麗的=1.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,S為橢圓上位于X軸上方一點(diǎn)，直

7

線AS,BS分別交直線/：X=Q于M,N兩點(diǎn)，若線段BS的中點(diǎn)恰好在以MN為

直徑的圓上，求直線AS的方程.

［解析］⑴設(shè)為(一c,0),E(GO)且c>0,

則再11.府'2=(—C—小，一；)(c-\/5,

∫4+?=1

可得/=3.又α4b

./=/+3

a2=4,

所以《

02=1,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為2+V=L

⑵依題意B(2,0),設(shè)直線AS為x=my-2(m>Q),

x=my-2

聯(lián)立橢圓C有fI,

l+尸1

4m

消去x,得：（加2+4加2—4/孫=O,而S為橢圓上位于X軸上方，所以ys=

m2+4,

2m2-8

代入X=〃少一2,得：Xs=

m2+4'

’2——8癡］

即m2÷4'W+4>

2m22m

所以線段BS的中點(diǎn)m2+4,∕n2+4j,

x=my~2/、

=l,可得噂景

聯(lián)立x

因?yàn)镻恰好在以MN為直徑的圓上，則PMLPM

即kpM?kpN=kpM?kBS=-1,

4加2加13

m2+4∕n2+43m

所以kaskpM=-------X-----?-------

?—162川71,

A?/2+4∕n2÷43

整理得/-20"z=0,又"2〉0,

解得m=2-?∣5,

因此直線AS的方程為x=2小y—2,

即χ-2√5γ+2=0.

名師直撥MINGSHIDIANBO

解決直線與圓錐曲線相交問題的策略

解答直線與圓錐曲線相交的題目時(shí)，常聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，消去

）（或X）得一元二次方程，結(jié)合題設(shè)條件，利用根與系數(shù)的關(guān)系建立有關(guān)參變量的

等量關(guān)系，采用“設(shè)而不求"''整體代入”等解法.

設(shè)直線方程時(shí)一定要關(guān)注直線的斜率是否存在，若不能確定，應(yīng)分類求解，

當(dāng)過點(diǎn)P（α,加的直線不與光軸垂直時(shí)，可設(shè)其方程為y=k（x—”）+力；當(dāng)過點(diǎn)P（α,

匕）的直線不與y軸垂直時(shí)，可設(shè)其方程為x=m（γ—份+α.

〔變式訓(xùn)練1〕

（1）（角度1）（2022.河南適應(yīng)性考試）如圖，橢圓C曰+；=1的左、右焦點(diǎn)分

別為B,F2,過點(diǎn)B,F2分別作弦AB,CD.^AB//CD,則HBI+IC&I的取值

范圍為（C）

2一3=l(α>0,b>0)

（2）（角度2）（2022.云南曲靖模擬）設(shè)直線/與雙曲線C：

交于A,B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，直線/與直線OM（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜

率的乘積等于2,則雙曲線C的離心率為（D）

A.2B.3

C.√2D.√3

（3）（角度3）（2022.天津十二校聯(lián)考）已知點(diǎn)A,B分別是橢圓C：3+*=

l（0>A>O）的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，尸為其右焦點(diǎn)，BABF=I,且該橢圓的離心率為;.

①求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

②設(shè)點(diǎn)P為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，且不與橢圓頂點(diǎn)重合，點(diǎn)M為直線AP與y

軸的交點(diǎn)，線段AP的中垂線與X軸交于點(diǎn)N,若直線OP斜率為AOP,直線MN

的斜率為kMN,且kop?kMN=一二-(。為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線AP的方程.

［解析］(1)由橢圓的對稱性可知Hal+∣CB∣=IAQI+∣8Ql=HBl.當(dāng)AB_1_尤軸

8、行S?l~5

時(shí)易求以陰==一，當(dāng)AB在X軸上時(shí)∣AB∣=2α=2小.由題意可知=-W∣ΛB∣<2小.

故選C?

(2)設(shè)Aaγl),Bg/)，則-j>2j2]-=2.因?yàn)辄c(diǎn)48在雙曲線C上,

XII冗212Xl

所以有圣一￡=1,4-?=l,化簡可得：ζ=y'↑y2^2~y',所以有5=2,離心

aDabax?+x2X2~x?a

(3)①依題意知：A(一α,0),B(Q,h),F(c,O),BA=(~a,~b),BF=(c,—

則麗?臍=-αc+∕=l,又e=?=g,且。2=〃+寸，/.<

.?.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為Cj+f=l.

②由題意4—2,0),設(shè)直線AP的斜率為左，

直線AP方程為y=Z(x+2)

所以M(0,2%),設(shè)P(XP,yp),

AP中點(diǎn)為H(XH,yn),N(XNs,

y=k(x+2)

由'?^+且?得(3+4?2)x2+16FX+16?2—12=0,

16后一12

..(-2>XP=§+4M，

.6—8—VIk

??Λ^3+4F,從而“=訐正.

中垂線方程為：

—2?2(—2F、

令y=。得M=3+4^??^?13+4?0J,

yp6k2k3+4?2

"。PF==N=U^=~Γ~

3+4S

3

二直線AP的方程為y=±1(x+2),

即3x±2y+6=0.

圓錐曲線中的創(chuàng)新應(yīng)用問題

?例5（2022.河南許昌階段性測試）

拋物線具有以下光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線

的對稱軸.該性質(zhì)在實(shí)際生產(chǎn)中應(yīng)用非常廣泛.如圖所示，從拋物線y2=2pxS>0）

的焦點(diǎn)F發(fā)出的兩條光線α,〃分別經(jīng)拋物線上的A,8兩點(diǎn)反射，已知兩條入

射光線與X軸的夾角均為60。，且兩條反射光線α'和》之間的距離為羋，則

P=(B)

A.1B.2

C.3D.4

（2）（多選題）（2023?云南師大附中月考改編）我國首先研制成功的“雙曲線新

聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：B、&是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從

B發(fā)出的光線加射在雙曲線右支上一點(diǎn)P，經(jīng)點(diǎn)P反射后，反射光線的反向延

長線過B；當(dāng)P異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)P處的切線平分NQPF2.若雙

曲線C的方程為看一樂=1,則下列結(jié)論正確的是(ABD)

A.射線"所在直線的斜率為鼠則人∈(∕力

B.當(dāng)機(jī)_Ln時(shí)，IPRHP尸2∣=32

C.當(dāng)〃過點(diǎn)Q(7,5)時(shí)，光線由F2到P再到Q所經(jīng)過的路程為13

D.若T(L0)，直線PT與C相切，則IPBI=I2

(3)(2022.重慶梁平區(qū)聯(lián)考)如圖，一個(gè)酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分,

杯口寬4cm,杯深8cm,稱為拋物線酒杯.

①在杯口放一個(gè)半徑為4cm的玻璃球，則球面上的點(diǎn)到杯底的最小距離為

4+2Λ∕3cm；

②在杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑的取

值范圍為(。4_(單位：cm).

［解析］(1)設(shè)A關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)為Ai,則由題意知8、F、4共線，且加∣8

∣DD

r-?y?=2px?,v-V222

=√3,記Al(X1,γ∣),8(X2,”)，貝日2C?*?i----------=kAιB=工,/.—‰

b?=2px2,X?-X2y?+y24√3

3

=小，解得p=2.故選B.

(2)在雙曲線差一汽=1中，α=3,b=4,

則c=5,易知點(diǎn)B(—5,0)、尸2(5,0),

設(shè)IPAI="，?PF2?=V,

jp?，4

對于A選項(xiàng)，因?yàn)殡p曲線萬一77=1的漸近線方程為)=±QX,

yiO?

4

當(dāng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨著xo的增大,射線〃慢慢接近于直線y=*,

4

此時(shí)0<k<g,

4

同理可知當(dāng)點(diǎn)尸在第四象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，一§<A<0,

當(dāng)點(diǎn)尸為雙曲線的右頂點(diǎn)時(shí)，攵=0,

綜上所述，左的取值范圍是(一*?，A對；

對于B選項(xiàng)，當(dāng)機(jī)_L〃時(shí)，u-v=2a=6,

UZ+V2=(U-V)2+2UV=3()+2UV=IO2,

所以，IPRHPF2∣=W=32,B對;

對于C選項(xiàng)，⑻01=4(7+5)2+52=13,

故〃過點(diǎn)。(7,5)時(shí),光線由&到戶再到。所經(jīng)過的路程為IP尸2∣+∣PQI=IPBl

-2α+∣Pβ∣=∣F∣β∣-6=7,C錯(cuò)；

對于D選項(xiàng)，若T(l,0),由角平分線定理可得專需=霜=鬻W

?Z?rr2∕KΓ2∣∣Γ2∕∣4Z

即整笄,解得IPBI=I2,D對.故選ABD.

?rr2?ML

(3)①因?yàn)樵诒诜乓粋€(gè)半徑為4cm的玻璃球，又因?yàn)楸趯?cm,

所以如圖1所示，有

HBl=4,IGAI=IClBl=4,CiDLAB,

所以IADI=I8D∣=2,所以

22

IGD∣=√∣C1B∣-∣DB∣=√16-4=2√3,

所以DEl=4-2√5,

又因?yàn)楸?cm,即IoDl=8

故最小距離為|0D|—∣DE∣=4+2√5

②如圖1所示，建立直角坐標(biāo)系，易知8(2,8),設(shè)拋物線的方程為>=加2,

所以將B(2,8)代入得m=2,故拋物線方程為y=2√,

當(dāng)杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，如圖2,

設(shè)玻璃球軸截面所在圓的方程為x1+(y-r)2=r2,

依題意，需滿足拋物線上的點(diǎn)到圓心的距離大于等于半徑恒成立，即

??∕x2÷(2x2-r)2≥r,

則有Λ2(4X2+1—4r)20恒成立，解得1—4r20,

可得0<r</

所以玻璃球的半徑的取值范圍為(0,I.

〔變式訓(xùn)I練2〕

(1)(2021.廣東佛山市模擬)古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法

來研究曲線，如圖1,用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)圓錐與截面所

成的角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線.圖

2,在底面半徑和高均為1的圓錐中，AB、CO是底面圓O的兩條互相垂直的直

徑，E是母線PB的中點(diǎn)，尸是線段EO的中點(diǎn)，已知過CD與E的平面與圓錐

側(cè)面的交線是以E為頂點(diǎn)的圓錐曲線的一部分，則該曲線為拋物線，M,N

是該曲線上的兩點(diǎn)且MN〃C￡>,若MN經(jīng)過點(diǎn)R則IMNI=啦_.

P

(2)(2023?廣西柳州摸底、陜西寶雞金臺(tái)區(qū)質(zhì)檢)如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)

性質(zhì)；從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長

線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線E：￡一胃=l(α>O,">0)的左、右焦點(diǎn)分別為

F?,F2,從出發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A,8兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和。，

3

且COSZ