專題05 難點探究專題：二次函數(shù)中求線段最值問題-2023-2024學(xué)年蘇科版九年級數(shù)學(xué)下冊?？級狠S題

-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊?？級狠S題專題05難點探究專題：二次函數(shù)中求線段最值問題姓名：_________班級：_________學(xué)號：_________【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一利用二次函數(shù)求單線段最值問題】 1【考點二二次函數(shù)中的將軍飲馬型最值問題】 7【考點三二次函數(shù)中的胡不歸最值問題】 22【典型例題】【考點一利用二次函數(shù)求單線段最值問題】例題：（2023·上海·九年級假期作業(yè)）如圖，已知拋物線：，拋物線與關(guān)于點中心對稱，與相交于A，B兩點，點M在拋物線上，且位于點A和點B之間；點N在拋物線上，也位于點A和點B之間，且軸．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)求線段長度的最大值．【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線的頂點為P，過點P分別作x軸，y軸的垂線交于點M，Q，直線交x軸于點N．

(1)若點P在y軸的左側(cè)，且N為中點，求拋物線的解析式；(2)求線段長的最小值，并求出當(dāng)?shù)拈L度最小時點P的坐標(biāo)；(3)若P，M，N三點中，任意兩點都不重合，且，求m的取值范圍．2．（2023秋·福建龍巖·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，已知拋物線圖象經(jīng)過點，且對稱軸為直線．

(1)求拋物線的解析式；(2)若是拋物線上位于第一象限內(nèi)的點，D是線段上的一個動點（不與A、B重合），過點D分別作交AC于E，交于F．①求C點坐標(biāo)；②求證：四邊形是矩形；③連接，線段的長是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．【考點二二次函數(shù)中的將軍飲馬型最值問題】例題：（2023秋·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期末）已知：二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，其中點坐標(biāo)為，與軸交于點，點在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對稱軸上有一動點，求出的最小值；(3)若拋物線上有一動點，使三角形的面積為，求點坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·安徽蕪湖·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線交x軸于點，點B，交y軸于點C，對稱軸為直線．

(1)點B的坐標(biāo)為__________．(2)求拋物線的解析式．(3)點P是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在點P，使的周長最??？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，拋物線與x軸交于點,．與y軸交于點C，，直線交拋物線于點E，且．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點M為直線上一點，點N為直線EC上一點，求的最小值；(3)點P為拋物線上一點，點Q為平面內(nèi)一點，是否存在點P，Q，使得以E，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1所示，已知直線與拋物線分別交于x軸和y軸上同一點，交點分別是點和點，且拋物線的對稱軸為直線．

(1)請分別求出k，m，a，b的值；(2)如圖2，點Q是線段上一點，且，點M是y軸上一個動點，求線段的最小值；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使是直角三角形？若存在請直接寫出P點坐標(biāo)，不存在請說明理由．4．（2023春·廣東湛江·九年級湛江市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知拋物線與y軸交于點C，與x軸交于，兩點．(1)求拋物線的解析式．(2)連接，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得的周長最?。咳舸嬖?，求出點P的坐標(biāo)和的周長的最小值，若不存在，請說明理由．(3)點M為拋物線上一動點，點N為x軸上一動點，當(dāng)以A，C，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形時，直接寫出點M的橫坐標(biāo)．5．（2023·廣東佛山·二模）已知拋物線經(jīng)過點和點，與軸交于點．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，在對稱軸上是否存在一點，使的周長最?。舸嬖冢埱蟪鳇c的坐標(biāo)和周長的最小值；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，設(shè)點是對稱軸左側(cè)該拋物線上的一點，點在對稱軸上，當(dāng)為等邊三角形時，請直接寫出符合條件的直線的函數(shù)表達(dá)式．【考點三二次函數(shù)中的胡不歸最值問題】例題：（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點．與y軸交于點．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點P是直線下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交于點K，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求與的最大值及此時點P的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·四川內(nèi)江·九年級校考階段練習(xí)）如圖，已知拋物線與軸相交于點，與軸分別交于點和點，且，

(1)求拋物線解析式．(2)拋物線上是否存在一點，使得，若存在，請求出點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．(3)拋物線的對稱軸交軸于點，在軸上是否存在一個點，使的值最小，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．2．（2023·山東濟南·統(tǒng)考三模）如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，已知點A的橫坐標(biāo)為，點C的縱坐標(biāo)為3．

(1)求該拋物線的解析式，并寫出其對稱軸；(2)設(shè)點P是拋物線對稱軸第一象限部分上一點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點A的對應(yīng)點為D，若點D恰好落在該拋物線上，求點P的坐標(biāo)；(3)如圖2，連接，若點是直線上方拋物線上一點，點為軸上一點，當(dāng)面積最大時，求的最小值．3．（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）如圖1，已知拋物線經(jīng)過點和點B，且與y軸交于點C，直線經(jīng)過B點和點C．(1)求直線和拋物線的解析式．(2)若點P為直線BC上方的拋物線上一點，過點P作于點E，作軸，交直線BC于點F，當(dāng)?shù)闹荛L最大時，求點P的坐標(biāo)．(3)在第（2）問的條件下，直線CP上有一動點Q，連接BQ，求的最小值．4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·校聯(lián)考一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點和點，與y軸交于點C，頂點為點D．(1)求二次函數(shù)表達(dá)式和點D的坐標(biāo)；(2)連接、，求外接圓的半徑；(3)點P為x軸上的一個動點，連接，求的最小值；(4)如圖2，點E為對稱軸右側(cè)的拋物線上一點，且點E的縱坐標(biāo)為，動點M從點C出發(fā)，沿平行于x軸的直線a向右運動，連接，過點M作的垂線b，記直線b與拋物線對稱軸的交點為N，當(dāng)直線b與直線a重合時運動停止，請直接寫出點N的運動總路程．參考答案【典型例題】【考點一利用二次函數(shù)求單線段最值問題】例題：(1)；(2)8【分析】（1）先求出拋物線：的頂點坐標(biāo)為，然后求出點關(guān)于對稱后的點坐標(biāo)為，再拋物線的解析式為：；（2）先求出A、B兩點橫坐標(biāo)分別為和，設(shè)，其中，則，求出最大值即可．【詳解】（1）解：拋物線：的頂點坐標(biāo)為，點關(guān)于對稱后的點坐標(biāo)為，∵拋物線與拋物線關(guān)于成中心對稱，∴拋物線的解析式為：．（2）解：∵拋物線：與：交于A、B，∴令，解得：或，則A、B兩點橫坐標(biāo)分別為和，設(shè)，，其中，則，∴當(dāng)時，最大為8．【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，中點坐標(biāo)公式，二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，利用對稱的特征，再根據(jù)頂點情況求解析式以及根據(jù)二次函數(shù)解析式求最大值．【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線的頂點為P，過點P分別作x軸，y軸的垂線交于點M，Q，直線交x軸于點N．

(1)若點P在y軸的左側(cè)，且N為中點，求拋物線的解析式；(2)求線段長的最小值，并求出當(dāng)?shù)拈L度最小時點P的坐標(biāo)；(3)若P，M，N三點中，任意兩點都不重合，且，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)的最小值為，點P的坐標(biāo)為；(3)m的取值范圍是或或．【分析】（1）先求得頂點，再得到，，根據(jù)N為中點，列式計算即可求解；（2）計算得到，推出，得到．利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）確定和時，不合題意；再分時和兩種情況討論，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點為P，∴，∵軸，∴，，∵N為中點，∴，解得，∵點P在y軸左側(cè)，∴，∴拋物線的解析式為；（2）解：由，解得，所以．當(dāng)時，，所以．∵，∴，∵軸，軸，∴，∴．∵，∴當(dāng)時，的值最小，最小值為，此時點P的坐標(biāo)為；（3）解：當(dāng)時，M，N重合，不合題意；當(dāng)時，P，N重合，不合題意；當(dāng)時（如圖），

，符合題意；當(dāng)時（如圖），

．由，解得，又∵，∴當(dāng)或時，的值大于0，即；綜上可知，m的取值范圍是或或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，中點公式的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·福建龍巖·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，已知拋物線圖象經(jīng)過點，且對稱軸為直線．

(1)求拋物線的解析式；(2)若是拋物線上位于第一象限內(nèi)的點，D是線段上的一個動點（不與A、B重合），過點D分別作交AC于E，交于F．①求C點坐標(biāo)；②求證：四邊形是矩形；③連接，線段的長是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①點C坐標(biāo)為②見解析③存在，的最小值是2【分析】（1）把點A的坐標(biāo)和對稱軸代入解析式求解即可；（2）①把點的坐標(biāo)代入拋物線解析式求解即可；②先求點B的坐標(biāo)，再證為直角三角形，最后再證四邊形是矩形；③利用矩形的對角線相等，求出的最小值即可；【詳解】（1）解：（1）∵的對稱軸為直線，∴，把點代入，得：，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）①解：∵把代入拋物線得：，解得：，∵位于第一象限，∴，∴，∴點C坐標(biāo)為；

②證明：令y=0，則，解得：∴，又∵∴；；；∴，∴為直角三角形，，又∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴平行四邊形是矩形；③存在；連接，過C點作，垂足為H，

∵四邊形是矩形，∴，當(dāng)時，的值最小，∵，∴的最小值等于，∴的最小值是2．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與矩形的綜合，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理及逆定理，垂線段的性質(zhì)，熟練運用這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點二二次函數(shù)中的將軍飲馬型最值問題】例題：（2023秋·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期末）已知：二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，其中點坐標(biāo)為，與軸交于點，點在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對稱軸上有一動點，求出的最小值；(3)若拋物線上有一動點，使三角形的面積為，求點坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)符合題意的點坐標(biāo)為：或或或．【分析】（1）將A、D點代入拋物線方程，即可解出b、c的值，拋物線的解析式可得；（2）點C、D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，連接，點P即為AC與對稱軸的交點，的最小值即為AC的長度，用勾股定理即可求得AC的長度；（3）求得B點坐標(biāo)，設(shè)點坐標(biāo)，利用三角形面積公式，即可求出m的值，點的坐標(biāo)即可求得．【詳解】（1）解：因為二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，，所以，解得．所以二次函數(shù)解析式為；（2）解：拋物線對稱軸，，，、關(guān)于軸對稱，連接與對稱軸的交點就是點，

此時最小，；（3）解：設(shè)點坐標(biāo)，令，，解得或，即B點坐標(biāo)為，則，三角形的面積為，點到的距離為，故當(dāng)點縱坐標(biāo)為時，，解得：，符合題意的點坐標(biāo)為：或；當(dāng)點縱坐標(biāo)為時，，解得：或，符合題意的點坐標(biāo)為：或，綜上所述：符合題意的點坐標(biāo)為：或或或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式、兩點之間線段最短、勾股定理、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·安徽蕪湖·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線交x軸于點，點B，交y軸于點C，對稱軸為直線．

(1)點B的坐標(biāo)為__________．(2)求拋物線的解析式．(3)點P是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在點P，使的周長最小？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)拋物線的解析式(3)存在，點P坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)拋物線與x軸的交點關(guān)于對稱軸對稱求解即可；（2）根據(jù)對稱軸和點A坐標(biāo)，列出方程組，解之即可；（3）首先判斷出最小時，的周長最小，連接BC交對稱軸于點P，可得此時最小，求出直線的解析式，求出與的交點即可．【詳解】（1）解：∵交x軸于點，點B，對稱軸為直線，∴，即；（2）由題意知，解得∴拋物線的解析式；（3）∵是定值，∴最小時，的周長最小，∵點A，點B關(guān)于對稱軸對稱，連接交對稱軸于點P，此時最小，由（1）（2）知點，點，設(shè)的解析式為，得，解得：，∴所在直線解析式為，令，則，∴點P坐標(biāo)為．

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法、最短路徑等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．2．（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，拋物線與x軸交于點,．與y軸交于點C，，直線交拋物線于點E，且．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點M為直線上一點，點N為直線EC上一點，求的最小值；(3)點P為拋物線上一點，點Q為平面內(nèi)一點，是否存在點P，Q，使得以E，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，（1，﹣4）或（7，﹣11）．【分析】（1）求出C點坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）作C點關(guān)于的對稱點，過作交于N，交于點M，連接，，當(dāng)M、N、三點共線時，的值最小，最小值為，求出即可；（3）分兩種情況討論：①以為矩形的邊，如圖2，過點C作交拋物線于，過點E作交拋物線于點，過點作交于，過作交于，求出直線的解析式為，可求出直線的解析式為，聯(lián)立方程組，可求得，由C點向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到點E，可得，同理可得；②當(dāng)為矩形對角線時，如圖3，以EC為直徑的圓與拋物線沒有交點，此時P點不存在．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，將點，，代入，∴，解得，∴；（2）解：作C點關(guān)于的對稱點，過作交于N，交于點M，連接，，

∴，∴，∴M、N、三點共線時，的值最小，∵，，∴為線段的垂直平分線，∴直線的解析式為，聯(lián)立方程組，解得，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為．（3）解：在點P，Q，使得以E，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形，理由如下：①以為矩形的邊，如圖2，過點C作交拋物線于，過點E作交拋物線于點，過點作交于，過作交于，

∵，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，設(shè)直線與x軸交點為G，直線與x軸的交點為H，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，可求直線的解析式為，聯(lián)立方程組，解得（舍）或，∴；∵C點向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到點E，∴；同理可得；②當(dāng)為矩形對角線時，如圖3，以EC為直徑的圓與拋物線沒有交點，∴此時P點不存在；綜上所述：Q點坐標(biāo)為或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，利用軸對稱求最短距離的方法，矩形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，分類討論是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1所示，已知直線與拋物線分別交于x軸和y軸上同一點，交點分別是點和點，且拋物線的對稱軸為直線．

(1)請分別求出k，m，a，b的值；(2)如圖2，點Q是線段上一點，且，點M是y軸上一個動點，求線段的最小值；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使是直角三角形？若存在請直接寫出P點坐標(biāo)，不存在請說明理由．【答案】(1)，，，；(2)(3)或或或．【分析】（1）待定系數(shù)法求k，m，a，b的值；（2）由求出Q點坐標(biāo)，再利用將軍飲馬模型求線段的最小值；（3）不確定直角三角形的直角頂點，所以分三類討論，利用勾股定理建立方程求出P點坐標(biāo)．【詳解】（1）∵直線過點和點，∴，∴，∴，∵拋物線過點和點，對稱軸為直線，∴，∴，∴，∴，，，；（2）過點Q作軸，垂足為N，作關(guān)于y軸的對稱點，

∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為．（3）存在點P，使是直角三角形，P點坐標(biāo)為或或或．理由如下：∵拋物線的對稱軸為直線，∴設(shè)P點坐標(biāo)為，∵，，∴，∴，∴，∴當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得，∴P點坐標(biāo)為或或或．【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的表達(dá)式，將軍飲馬模型，直角坐標(biāo)系中的直角三角形問題，滲透了數(shù)形結(jié)合和分類思想，題型常規(guī)，難度不大．4．（2023春·廣東湛江·九年級湛江市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知拋物線與y軸交于點C，與x軸交于，兩點．(1)求拋物線的解析式．(2)連接，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得的周長最小？若存在，求出點P的坐標(biāo)和的周長的最小值，若不存在，請說明理由．(3)點M為拋物線上一動點，點N為x軸上一動點，當(dāng)以A，C，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形時，直接寫出點M的橫坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，(3)2或或【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）當(dāng)三點共線時，的周長有最小值，直線與對稱軸的交點為點，又由，可得的周長的最小值為；（3）設(shè)，，根據(jù)平行四邊形的對角線分三種情況討論，利用中點坐標(biāo)公式建立方程求出M點的橫坐標(biāo)即可．【詳解】（1）將代入，∴，解得，∴；（2）拋物線的對稱軸上存在點P，使得的周長最小，理由如下：∵，∴拋物線的對稱軸為直線，∵A、B點關(guān)于直線對稱，∴，∴的周長，∴當(dāng)B、C、P三點共線時，的周長有最小值，當(dāng)時，，∴，∴，∴的周長的最小值為；設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴，∴，（3）設(shè)，當(dāng)為平行四邊形的對角線時，∴，解得（舍）或，∴；當(dāng)為平行四邊形的對角線時，∴，解得（舍）或，∴；當(dāng)為平行四邊形的對角線時，∴，解得或，∴或；綜上所述：M點橫坐標(biāo)為2或或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·廣東佛山·二模）已知拋物線經(jīng)過點和點，與軸交于點．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，在對稱軸上是否存在一點，使的周長最?。舸嬖冢埱蟪鳇c的坐標(biāo)和周長的最小值；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，設(shè)點是對稱軸左側(cè)該拋物線上的一點，點在對稱軸上，當(dāng)為等邊三角形時，請直接寫出符合條件的直線的函數(shù)表達(dá)式．【答案】(1)(2)，周長最小值為(3)或【分析】(1)將點代入即可；(2)找到A點關(guān)于對稱軸對稱的對稱點B，連交對稱軸于E點，進而求出此時三角形的周長即可得解；(3)利用是等邊三角形和A，B兩點的坐標(biāo)，確定的外心，利用圓周角定理確定直線與x軸的夾角，進而即可得解．【詳解】（1）將點代入得解得，∴拋物線表達(dá)式為（2）如圖，連交對稱軸與點E，連，由(1)知，∴∴對稱軸為：直線∴令得∴∴設(shè)直線的解析式為∴解得∴直線的解析式為∴當(dāng)時∴∵線段長度不變，根據(jù)兩點之間線段最短和軸對稱的性質(zhì)，∴周長最小值（3）∵，是等邊三角形∴∵與關(guān)于對稱軸對稱∴∴∴Q點是的外心∴根據(jù)圓周角定理得設(shè)過A,P的直線解析式為∵∴∴∴又∵代入解析得∴當(dāng)P點在x軸的上方時，解析式為∴當(dāng)P點在x軸的下方時，解析式為【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，圓的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，最短距離等知識點，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．【考點三二次函數(shù)中的胡不歸最值問題】例題：（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點．與y軸交于點．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點P是直線下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交于點K，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求與的最大值及此時點P的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，的最大值為，(3)或【分析】（1）將、、代入拋物線解析式求解即可；（2）可求直線的解析式為，設(shè)（），可求，從而可求，即可求解；（3）過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，設(shè)，可求，，由，可求，進而求出直線的解析式，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，解得：，拋物線的解析式為．（2）解：設(shè)直線的解析式為，則有，解得：，直線的解析式為；設(shè)（），，解得：，，，，，，，當(dāng)時，的最大值為，，．故的最大值為，．（3）解：存在，如圖，過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，∵拋物線的對稱軸為直線，設(shè)，，，，，，解得：，；設(shè)直線的解析式為，則有，解得，直線解析式為，，且經(jīng)過，直線解析式為，當(dāng)時，，

；綜上所述：存在，的坐標(biāo)為或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)中動點最值問題，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出動點坐標(biāo)滿足的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．(1)(2)存在，點坐標(biāo)為或(3)存在，【分析】（1）根據(jù)點的坐標(biāo)，可求出點的坐標(biāo)，運用待定系數(shù)法即可求解；（2）如圖所示，過點作交軸于點，交拋物線于點，作關(guān)于軸的對稱點，作交拋物線于，根據(jù)題意分別計算出直線的解析式，根據(jù)直線與拋物線由交點，聯(lián)立方程組求解即可；（3）如圖所示，過點作于，過點作于，交軸于點，根據(jù)點的坐標(biāo)可得是等腰直角三角形，由此可得是等腰直角三角形，可得，當(dāng)運動到，和重合時，的值最小，最小值是，根據(jù)拋物線的特點可得點的坐標(biāo)，由此可求出的長，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，，將，，代入得，，解得，，∴拋物線的解析式為：．（2）解：存在一點，使得，理由如下：如圖所示，過點作交軸于點，交拋物線于點，作關(guān)于軸的對稱點，作交拋物線于，

∵，∴，即點是滿足題意的點，∵，，∴直線的解析式為：，設(shè)直線的解析式為：，將代入得：，∴，∴直線的解析式為：，，直線與拋物線聯(lián)立方程組得，解得，（與重合，舍去）或，∴，∵關(guān)于軸對稱，∴直線的解析式為：，∴，，∴是滿足題意的點，設(shè)直線的解析式為：，將代入得：，∴，∴直線的解析式為：，直線與拋物線聯(lián)立方程組得，解得，（與重合，舍去）或，∴，綜上所述，點坐標(biāo)為或．（3）解：在軸上存在一個點，使的值最小，理由如下：如圖所示，過點作于，過點作于，交軸于點，

∵，∴拋物線的對稱軸為直線，∴，∵，，則，∴是等腰直角三角形∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴最小即是最小，∴當(dāng)運動到，和重合時，的值最小，最小值是，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，即的最小值為．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法解二次函數(shù)解析式，幾何圖形的變換特點，一次函數(shù)與二次函數(shù)聯(lián)立方程組求解，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識的綜合運用是解題的關(guān)鍵．2．(1)，直線(2)或(3)【分析】（1）將，代入拋物線即可得出拋物線的解析式，利用對稱軸的公式可得出對稱軸直線解析式；（2）設(shè)對稱軸直線交軸于點，作于點，由此得出，設(shè)點，可表達(dá)點的坐標(biāo)；再根據(jù)點的位置進行分情況討論；（3）過點作于點，交于點，根據(jù)的面積最大時可得點的坐標(biāo)，作，過點作于點，過點作于交軸于點，軸于點，由此可得，即的最小值為，再求出的最值即可．【詳解】（1）解：由題意可得，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，將，代入拋物線，，解得，拋物線的解析式為：；其對稱軸為直線，即；（2）設(shè)對稱軸直線交軸于點，作于，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，，，又，，，，設(shè)點，①當(dāng)點在軸上方時，有，則：，整理得，解得，（舍去）；②當(dāng)點在軸下方時，有，則：，整理得，解得，（舍去）；綜上所述，點的坐標(biāo)為或．（3）令，解得或，，直線的解析式：；如圖，過點作于點，交于點，設(shè)點，，，，當(dāng)時，的面積有最大值，，．作，過點作于點，過點作于交軸于點，軸于點，

，，，，的最小值為，，，，，，，，，，的最小值為．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征等知識．本題綜合性較強，難度較大，準(zhǔn)確作出輔助線利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．3．(1)，；(2)；(3)【分析】（1）利用拋物線的解析式求點的坐標(biāo)，代入一次函數(shù)求出一次函數(shù)的解析式，再求出點的坐標(biāo)，最后把的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可；（2）設(shè)點P的橫坐標(biāo)為，用的代數(shù)式表示點P和點F的坐標(biāo)，構(gòu)建是的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定最大值，此時的周長