數(shù)學(xué)-專項17.5勾股定理與折疊問題專項提升訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)30題）-【】2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題（帶答案）【人教版】

【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題【人教版】專題17.5勾股定理與折疊問題專項提升訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)30題）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷試題解答30道，共分成三個層組：基礎(chǔ)過關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．（2022春·江蘇揚(yáng)州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，矩形ABCD邊AD沿折痕AE折疊，使點(diǎn)D落在BC上的F處，已知AB=8，△ABF的面積為24，則EC等于（

）A．3 B．103 C．5 D．【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得AD=AF，F(xiàn)E=ED；根據(jù)S△ABF=12×AB×BF=24，解出BF，可得AF【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AB=DC=8，AD=BC，∵△AFE是△ADE沿折痕AE折疊得到的，∴AD=AF，F(xiàn)E=ED，∵S△ABF∴BF=6，∴在直角三角形△ABF中，AB∴82∴AF=10，∴BC=AD=AF=10，F(xiàn)C=4，設(shè)CE=x，∴DE=EF=8?x，∴在直角三角形△EFC，CE∴x2∴x=3，∴CE=3．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．2．（2022春·廣東深圳·八年級深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在矩形紙片ABCD中，AB=12，BC=5，點(diǎn)E在AB上，將△DAE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在對角線BD上的點(diǎn)A'處，則AE的長為（）A．103 B．3 C．5 D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理即可求出BD的長，設(shè)A'E=x，則BE=12?x，在Rt△A'EB中根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：∵AB=12，BC=5，∴AD=5，∴BD=12根據(jù)折疊可得：AD=A'D=5，∴A'B=13?5=8，設(shè)AE=x，則A'E=x，BE=12?x，在Rt△A'EB中：(12?x)2解得：x=10故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022春·河南鄭州·八年級?？计谥校┰赗t△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°．現(xiàn)將△ABC按如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE，則AE的長是（

A．152 B．254 C．4【答案】B【分析】先利用勾股定理求得AC的長，再設(shè)AE=x，再根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出BE=x，CE=8?x，再根據(jù)勾股定理求出x的值．【詳解】解：設(shè)AE=x，則CE=8?x，∵△BDE是△ADE翻折而成，∴BE=x，在RtΔBCE中，BE解得x=25故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)及勾股定理，熟知“折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等”的知識是解答此題的關(guān)鍵．4．（2022春·陜西西安·八年級西安市曲江第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，有一個直角三角形紙片ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD的長為（

）A．3 B．103 C．154【答案】B【分析】設(shè)CD=x，則BD=12?x，根據(jù)折疊可知，DE=CD=x，AE=AC=5，根據(jù)勾股定理求出AB=13，得出BE=8，在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理列出x【詳解】解：設(shè)CD=x，則BD=12?x，根據(jù)折疊可知，DE=CD=x，AE=AC=5，根據(jù)勾股定理可知，AB=A則BE=AB?AE=13?5=8，在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理可得，B即12?x2解得：x=10故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程．5．（2022春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在等腰直角三角形紙片ABC中，∠C=90°，把紙片沿EF對折后，點(diǎn)A恰好落在BC上的點(diǎn)D處，CE=1，AC=4，則下列結(jié)論：①BC=2CD；②BD>CE；③∠CED+∠DFB=2∠EDF；④△DCE與△BDF的周長相等．一定正確的是（A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】由CE=1，AC=4，得AE=3，由折疊得DE=AE=3，根據(jù)勾股定理得CD的長，據(jù)此求解可判斷①正確；因?yàn)锽D=4?22，CE=1，所以BD>CE，可判斷②正確；由∠EDF=∠A=∠B=45°，得2∠EDF=90°，再推導(dǎo)出∠CDE=135°?∠BDF，則∠CED+∠DFB=∠CED+∠CDE=90°，據(jù)此求解可判斷③正確；根據(jù)勾股定理求得AB【詳解】解：∵CE=1，∴AE=AC?CE=3，由折疊得DE=AE=3，∵AC=BC=4，∴CD=D∴2CD=∴BC=2∵BD=4?22，CE=1∴BD>CE，故②正確；∵∠EDF=∠A=∠B=45°，∴2∠EDF=90°，∵∠CDE=180°?∠EDF?∠BDF=135°?∠BDF，∠DFB=180°?∠B?∠BDF=135°?∠BDF，∴∠CDE=∠DFB，∴∠CED+∠DFB=∠CED+∠CDE=90°，∴∠CED+∠DFB=2∠EDF，故③正確；∵AB=AC2∴BF+DF+BD=BF+AF+BD=AB+BD=42∵CD+DE+CE=CD+AE+CE=CD+AC=22∴CD+DE+CE=BF+DF+BD，∴△DCE與△BDF的周長相等，故④正確，綜上，①②③④均正確，故選：D．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等腰直角三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、三角形內(nèi)角和定理等知識，根據(jù)勾股定理求得CD=22、AB=46．（2022春·廣東茂名·八年級信宜市第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，等腰直角三角形紙片ABC中，∠C=90°，把紙片沿EF對折后，點(diǎn)A恰好落在BC上的點(diǎn)D處，點(diǎn)CE=1，AC=4，則下列結(jié)論：①BD>CE；②BC=2CD；A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【分析】在等腰Rt△ABC中，可得AC=4=BC，即AB=AC2+BC2=42，由折疊可得，DE=AE=3，即CD=DE2?CE2=22，則有BD=BC?DC=4?22＞1，可判斷①正確；根據(jù)BC=4，【詳解】在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4∴∠A=∠B=45°，AC=4=BC，∴AB=A∵CE=1，∴AE=AC?CE=3，即由折疊可得，DE=AE=3，∴在Rt△CDE中，CD=∴BD=BC?DC=4?22∴BD>CE，故①正確；∵BC=4，CD=22∴BC=4，2CD=4∴BC=2CD，故∵AC=BC=4，∠C=90°，∴AB=42∵△DCE的周長為：CE+DE+CD=1+3+22由折疊可得，DF=AF，∴△BDF的周長為：DF+BF+BD=AF+BF+BD=AB+BD=42∴△DCE與△BDF的周長相等，故③正確；即正確的有三個，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．還考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的知識，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．7．（2022春·江蘇·八年級統(tǒng)考期中）如圖，三角形紙片ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，把ΔABD沿著直線AD翻折，得到ΔAED，DE交AC于點(diǎn)G，連接BE交AD于點(diǎn)F，若DG=EG,AF=4,AB=5，ΔAEG的面積為154，則A．13 B．10 C．7 D．5【答案】B【分析】利用折疊和中線的性質(zhì)，得到ΔABD的面積，利用勾股定理求出BF，利用三角形的面積公式求出AD，進(jìn)而求出DF，再利用勾股定理求出BD【詳解】解：∵DG=EG,∴AG為ΔAEG∴S△ADE∵翻折，∴S△ADB=S∴∠AFD=∠BFD=90°，∵AF=4,AB=5，∴BF=A∵S△ADB∴AD=5，∴DF=AD?AF=5?4=1，∴BD=B故選B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理與折疊問題．熟練掌握折疊的性質(zhì)以及三角形的中線平分面積，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·山東濱州·八年級校考期中）如圖，有一塊直角三角形紙片，∠C=90°，AC＝6，BC＝8．若要在邊CA上找一點(diǎn)D，使得紙片沿直線BD折疊時，BC邊恰好落在斜邊AB上，則點(diǎn)D到頂點(diǎn)C的距離是(

)A．2 B．83 C．3 D．【答案】B【分析】紙片沿直線BD折疊時，BC邊恰好落在斜邊AB上，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是E，先根據(jù)勾股定理求得AB的長，再根據(jù)折疊的性質(zhì)求得AE，BE的長，從而利用勾股定理可求得CD的長．【詳解】解：紙片沿直線BD折疊時，BC邊恰好落在斜邊AB上，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是E，如圖所示，∵∠C=90°，AC＝6，BC＝8．∴AB=A由折疊的性質(zhì)得：BE＝BC＝8，∠BED＝∠C＝90°，CD＝DE，∴AE＝AB－BE＝10﹣8＝2，∠AED＝180°－∠BED＝90°，設(shè)CD＝DE＝x，則AD＝AC﹣CD＝6－x，在Rt△DEA中，AE∴22解得：x＝83∴CD＝83即點(diǎn)D到頂點(diǎn)C的距離是83故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識；熟記折疊的性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·遼寧鐵嶺·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處，連接CF．則CF的長為（

）A．185 B．165 C．125【答案】A【分析】連接BF，由翻折變換可知BF⊥AE，BE=EF，由點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)可知BE=3，根據(jù)勾股定理即可求得AE；根據(jù)三角形的面積公式可得12×AB×BE=12×AE×BH，據(jù)此可求得BH，進(jìn)而可得到BF的長度；結(jié)合題意可知FE=BE=EC，進(jìn)而可得∠BFC=90°，在Rt【詳解】解：連接BF，∵BC=6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE=A∵12∴BH=12則BF=245∴FE=BE=EC，∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF，而∠EBF+∠EFB+∠EFC+∠ECF=180°，∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=90°，∴CF=6故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形與折疊，勾股定理，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·廣西欽州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知矩形紙片ABCD，AB=4，BC=3，點(diǎn)P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，PE，DE分別交AB于點(diǎn)O，F(xiàn)，且OP=OF，則DF的長為（

）A．3911 B．4513 C．175【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)與矩形的性質(zhì)得到DC=DE=4，CP=EP，∠E=∠C=90°，再由三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得OE=OB，EF=BP，從而有BF=EP=CP，設(shè)BF=EP=CP=x，可得用x表示的AF、DF的長，再有勾股定理求得x的值從而得到DF的長．【詳解】解：由矩形的性質(zhì)得到：DC=AB=4，AD=BC=3，∠A=∠B=∠C=90°，由折疊的性質(zhì)，得：DC=DE=4，CP=EP，∠E=∠C=90°，在△OEF、△OBP中，∠EOF=∠BOP∠E=∠B∴△OEF≌△OBP∴OE=OB、EF=BP，∴BF=EP=CP設(shè)BF=EP=CP=x，則AF=4-x，BP=EF=3-x，DF=DE-EF=4-（3-x）=x+1，在Rt△ADF中，AF即（4?x∴x=12∴DF=x+1=【點(diǎn)睛】本題考查了矩形得性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形的判定定理與性質(zhì)，勾股定理等性質(zhì)，利用三角形全等的判定定理與性質(zhì)與線段的和差求出BF=EP=CP是關(guān)鍵．二、填空題11．（2022春·江蘇南京·八年級期中）如圖，矩形ABCD中，AB=5,BC=3，將矩形沿BE折疊，使頂點(diǎn)A落在CD上的點(diǎn)F處，其中E在AD上連接AF，則AE=______．【答案】53##【分析】由折疊的性質(zhì)，可知EF=AE，BF=AB=5，在Rt△BCF中，由勾股定理可得CF=BF2?BC2=4，即可知DF=CD?CD=1，設(shè)AE=EF=x，則【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，AB=5,BC=3，∴∠A=∠D=∠C=90°，CD=AB=5，AD=BC=3，由折疊的性質(zhì)，可知EF=AE，BF=AB=5，∴在Rt△BCF中，由勾股定理可得CF=∴DF=CD?CD=5?4=1，設(shè)AE=EF=x，則DE=AD?AE=3?x，∴在Rt△DEF中，由勾股定理可得D即12解得x=5∴AE=5故答案為：53【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識，熟練掌握折疊的性質(zhì)和勾股定理是解題關(guān)鍵．12．（2022春·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，將長方形ABCD折疊，使頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上F處，折痕交于點(diǎn)E，已知AB=8，AD=10，則DE=___________．【答案】5【分析】先根據(jù)長方形的性質(zhì)得AD=BC=10，AB=CD=8，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理計算出BF=6，則CF=BC?BF=4，設(shè)CE=x，則DE=EF=8?x，然后在Rt△ECF中根據(jù)勾股定理得到x2+4【詳解】解：∵四邊形ABCD為長方形，∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠B=∠C=∠D=90°，由折疊可知，∴AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，∵BF=A∴CF=BC?BF=10?6=4，設(shè)CE=x，則DE=EF=8?x，在Rt△ECF中，∵CE∴x解得x=3，即DE=5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握折疊的性質(zhì)和勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．13．（2022春·河南平頂山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，長方形ABCD中，AD=BC=6，AB=CD=10．點(diǎn)E為線段DC上的一個動點(diǎn)，△ADE與△AD′E關(guān)于直線AE對稱，當(dāng)△A【答案】2【分析】假設(shè)△AD′B為直角三角形，可得Rt△BCE，設(shè)DE=x，則【詳解】解：如圖所示，△ADE與△AD′E關(guān)于直線AE對稱，AD=BC=6，AB=CD=10∵∠D=∠AD∴點(diǎn)E，D′，B在同一條直線上，則有Rt△AD∴設(shè)DE=x，則D′E=x，∴BD′=∴BE2=CE2故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考察長方形的性質(zhì)與直角三角形的勾股定理得綜合，掌握長方形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．14．（2022春·四川成都·八年級校考期中）如圖，長方形紙片ABCD的邊CD上有一點(diǎn)E，連接AE，將長方形紙片沿AE折疊，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，若AB=6，AD=10，則EC的長為________．【答案】8【分析】由折疊可知：AD=AF=10，DE=EF，設(shè)EC=x,則DE=EF=6?x.在Rt△ECF【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=10，AB=CD=6，∠B=∠BCD=90°由折疊可知：AD=AF=10，DE=EF，設(shè)EC=x,則DE=EF=6?x,在Rt△ABF中BF=∴CF=BC?BF=10?8=2，在Rt△ECF中，E∴6?x2∴x=8∴EC=8故答案為：83【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握方程的思想方法是解題的關(guān)鍵．15．（2022春·山西運(yùn)城·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一張長方形紙片ABCD，AB=4，AD=6．先對折長方形紙片使AB與CD重合，得到折痕EF，再將△ABM沿AM折疊，當(dāng)點(diǎn)B′恰好落在折痕EF上時，則BM【答案】16?4【分析】根據(jù)對折長方形紙片使AB與CD重合，得到折痕EF，求得AF，根據(jù)將△ABM沿AM折疊，當(dāng)點(diǎn)B′恰好落在折痕EF上，得到AB=AB′=4，BM=B【詳解】解：在長方形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=4，BC=AD=6，∵對折長方形紙片使AB與CD重合，得到折痕EF，∴AF=12AD=3，BE=12∴∠BAF=∠B=∠AFE=90°，∴四邊形ABEF是矩形，∴EF=AB=4，∵將△ABM沿AM折疊，當(dāng)點(diǎn)B′恰好落在折痕EF∴AB=AB′=4在Rt△AB'即42∴B∴B在Rt△MEB'即B′∴B∴BM=B故答案為：16?47【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定及其性質(zhì)，折疊性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圖形折疊的性質(zhì)求得相等的量．16．（2022春·江蘇·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)，連接CD，將△BCD沿CD翻折，使B落在點(diǎn)E處，點(diǎn)F為直角邊AC上一點(diǎn)，連接DF，將△ADF沿DF翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，則AF【答案】7【分析】先求出AC，再由翻折可得∠B=∠DEC，∠A=∠DEF，CE=BC=6，AF=EF，從而可證∠FEC=90°，設(shè)AF=EF=x，則CF=AC?AF=8?x，用勾股定理即可得答案．【詳解】解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴AC=A由翻折可知：∠B=∠DEC，∠A=∠DEF，CE=BC=6，AF=EF，∵∠A+∠B=90°，∴∠DEF+∠DEC=90°，即∠FEC=90°，∴EF設(shè)AF=EF=x，則CF=AC?AF=8?x，∴x2解得x=7∴AF=7故答案為：74【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形中的翻折問題，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，證明∠FEC=90°，從而用勾股定理解決問題．17．（2022春·重慶·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，AB=7，BC=23，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接AD，將△ABD沿AD翻折，得到△AED，連接BE．若BE=DE，S△ACD【答案】31【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到△ABD≌△AED，可得BD=DE，∠BDA=∠EDA，S△ABD=S△AED，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)得∠BDA=∠EDA=12∠EDB=30°，根據(jù)S【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AH⊥CB交CB得延長線于點(diǎn)H，∵將△ABD沿AD翻折，得到△AED，∴△ABD≌△AED，∴BD=DE，∵BE=DE，∴BE=DE=DB，∴△EDB時等邊三角形，∴∠EDB=60°，∴∠BDA=∠EDA=1∵S△ACD=S∴S△ACD=S∴CD=DB，∵BC=CD+DB=23∴CD=DB=3設(shè)BH=x，則DH=DB+BH=3∵∠BDA=30°，∴AH=3在Rt△ABH中，由勾股定理得，B∴x2解得x1∴BH=3∴CH=CB+BH=23在Rt△CHA中，由勾股定理得，C∴33∴AC=3故答案為：31．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用、含30°得直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，靈活運(yùn)用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵．18．（2022春·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A0，4、B6，0．現(xiàn)將ΔACD折疊，使點(diǎn)A落在OB邊的中點(diǎn)A′處，折痕為CD，其中點(diǎn)C在【答案】0，【分析】由A0，4、B6，0，A′是OB邊的中點(diǎn)，可得OA′【詳解】解：∵A0，4∴OA=4，OB=6，∵A′是OB∴OA∵ΔACD折疊得到Δ∴AC=A′C設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，OC=m，∴AC=OA?OC=4?m，在RtΔm2解得：m=7故答案為：0，【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形中的翻折變換，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，熟練應(yīng)用勾股定理列方程．19．（2022春·廣東深圳·八年級深圳市羅湖中學(xué)統(tǒng)考期中）如圖，已知點(diǎn)E是長方形ABCD中AD邊上一點(diǎn)，將四邊形BCDE沿直線BE折疊，折疊后點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C'，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為D'，若點(diǎn)A在C'D'【答案】5【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可知BC′=BC=8，C′D′=AB=10，∠C′=∠D′=∠DAB=90°，在Rt【詳解】解：∵四邊形ABCD為長方形，∴根據(jù)翻折的性質(zhì)可得：BC′=BC=8，C在Rt△AC'∴AD在Rt△AD'E中，設(shè)由勾股定理可得：AD即4解得：x=5，即AE=5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理及其應(yīng)用，熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理等是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋·四川成都·八年級成都外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在ABC中，∠A=45°，∠B=30°，AC=2，點(diǎn)M、N分別是邊AB、AC上的動點(diǎn)，沿MN所在的直線折疊∠A，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)P始終落在邊【答案】2或2【分析】分兩種情形：如圖1中，當(dāng)∠CMB=90°時，由題意可知點(diǎn)P與C重合，如圖2中，當(dāng)∠【詳解】解：如圖1中，當(dāng)∠CMB=90°時，由題意可知點(diǎn)P與C在Rt△ACM中，∵∠A=45°，AC=2∴AM=CM=2在Rt△BCM中，∵∠B=30°，CM=∴BM=3∴AB=AM+BM=2如圖2中，當(dāng)∠MPB=90°由翻折可知，AM=PM，在Rt△PMB中，∵∠B=30°∴BM=2PM=2AM，∴3AM=AB，∴AM=2綜上所述，滿足條件的AM的值為2或2+故答案為：2或2+【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．三、解答題21．（2022春·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)E在矩形ABCD的AB邊上，將△ADE沿DE翻折，點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，若CD＝3BF，【答案】15【分析】設(shè)BF＝x，由折疊的性質(zhì)可得AB=CD＝3x，AE=EF=3x?4，根據(jù)勾股定理可求出BF、CD的長，再設(shè)AD=BC=y，則DF=y，【詳解】由折疊的性質(zhì)可知AE=EF，設(shè)BF＝x，則AB=CD＝在Rt△BEF中：BE4解得：8x=3或x=0（舍）∴BF＝設(shè)AD=BC=y，則DF=y，CF=y?3，在Rt△DFC中：CD9解得：y=15∴AD的長為15．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用，合理利用勾股定理轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵．22．（2019秋·河南漯河·八年級統(tǒng)考期中）如圖，把長方形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)B′處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A（1）試說明B′（2）設(shè)AE=a，AB=b，BF=c，試猜想a，b，c之間的關(guān)系，并說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）a，b，c之間的關(guān)系是a2【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)、平行的性質(zhì)及等角對等邊即可說明；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)將AE、AB、BF都轉(zhuǎn)化到直角三角形△A′B′E中，由勾股定理可得a【詳解】（1）由折疊的性質(zhì)，得B′F=BF，在長方形紙片ABCD中，AD∥BC，∴∠B∴∠B∴B′∴B′（2）a，b，c之間的關(guān)系是a2由（1）知B′得∠A′=∠A=90°，A在△A′B所以A′E2【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，靈活利用折疊的性質(zhì)進(jìn)行線段間的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．23．（2022春·四川成都·八年級四川省蒲江縣蒲江中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在長方形紙片ABCD中，AB=4,BC=3，點(diǎn)P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，PE,DE分別交AB于點(diǎn)G，F(xiàn)，若GE=GB，(1)試說明△GEF≌△GBP(2)求BF的長【答案】(1)見解析(2)12【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出DC=DE=4,CP=EP可得出△GEF≌△GBP；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出EF=BP,GF=GP，設(shè)BF=EP=CP=x，則AF=4?x,BP=3?x=EF,DF=DE?EF=4?3?xRt△ADF中，根據(jù)勾股定理，可得到x【詳解】（1）解：根據(jù)折疊可知：△DCP≌∴DC=DE=4,CP=EP．在△GEF和△GBP中，∠EGF=∠BGPGE=GB∴△GEF≌△GBPASA（2）解：∵△GEF≌△GBP，∴EF=BP,GF=GP，∴BF=EP=CP，設(shè)BF=EP=CP=x，則AF=4?x,BP=3?x=EF,DF=DE?EF=4?3?x∵∠A=90°，∴Rt△ADF中，A∴4?x2∴x=12∴BF=12【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，設(shè)要求的線段長為x，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程是解決問題的關(guān)鍵．24．（2022春·廣東深圳·八年級深圳市光明區(qū)公明中學(xué)?？计谥校┤鐖D，有一張三角形紙片，三邊長分別為AC=6，BC=8，AB=10．(1)求證：∠BAC+∠ABC=90°；(2)將△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，求CD的長．【答案】(1)見解析(2)7【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理證明△ABC為直角三角形，即可得出答案；（2）由折疊知：DA=DB，設(shè)CD=x，則AD=BD=8?x，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x【詳解】（1）證明：∵在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，∴AC2=36，B∴AC∴△ABC為直角三角形，即∠BAC+∠ABC=90°；（2）解：由折疊知：DA=DB，△ACD為直角三角形，在Rt△ACD中，A設(shè)CD=x，則AD=BD=8?x代入①式得6化簡得36=64?16x，解得：x=7即CD的長為74【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理及其逆定理．25．（2022春·廣東深圳·八年級校考期中）如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5(1)如圖2，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，△ABC沿著AE折疊，點(diǎn)C恰好與斜邊AB上點(diǎn)D重合，求CE的長．(2)如圖3，點(diǎn)F為斜邊上AB上動點(diǎn)，連接CF，在點(diǎn)F的運(yùn)動過程中，若△BCF為等腰三角形，請直接寫出AF的長．【答案】(1)10(2)AF=1或13【分析】（1）設(shè)CE=x，則BE=12?x，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出DE=CE=x，AD=AC=5，∠BDE=90°，在（2）根據(jù)等腰三角形的定義，分類討論，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)CE=x，則BE=12?x∵∠ACB=90°，AC=5∴BC=12∵△ABC沿著AE折疊，點(diǎn)C恰好與斜邊AB上點(diǎn)D重合∴DE=CE=x，AD=AC=5，∴BD=AB?AD=8在Rt△BDE中，∴8解得x=10∴CE=10（2）解：∵△BCF是等腰三角形，①BC=BF=12，∴AF=AB?BF=13?12=1，②當(dāng)FB=FC時，如圖，∴∠B=∠FCB，又∵∠FCB+∠FCA=90°,∠A+∠B=90°，∴∠A=∠FCA，∴FC=FA，∴FA=FB=1③∵點(diǎn)F為斜邊上AB上動點(diǎn)，所以CB=CF不存在，綜上所述，AF=1或132【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的定義，等腰三角形的判定，掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．26．（2022秋·山東臨沂·八年級?？计谥校┰赗t△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E分別是AB和CB上的點(diǎn)，把△ABC沿著直線DE折疊，頂點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′(1)如圖1，如果點(diǎn)B′恰好與頂點(diǎn)A重合，求CE(2)如圖2，如果點(diǎn)B′恰好落在直角邊AC的中點(diǎn)上，求CE【答案】(1)74(2)5516【分析】（1）利用勾股定理求出AB的長，再利用翻折得到AE=BE，在Rt△ACE中利用勾股定理即可求出CE的長；（2）點(diǎn)B′是直角邊AC的中點(diǎn)，可以得到B′C的長度，再利用翻折得到B′E=BE（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8∴AB=根據(jù)折疊的性質(zhì)，∴△ADE≌△BDE∴AE=BE設(shè)CE為x，則：AE=BE=8-x在Rt△ACE中：x解得：x=74即CE的長為：74（2）解：∵點(diǎn)B′是直角邊AC∴B′C=根據(jù)折疊的性質(zhì)，∴△∴B′E設(shè)CE為x，則：B′E=BE在Rt△B'CE中：x解得：x=5516即CE的長為：5516【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理以及圖形的變換中的折疊問題．在折疊過程中，對應(yīng)角和對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵；在直角三角形中，知道一條邊長以及另外兩條邊的關(guān)系時，通常采用方程思想來解題．27．（2022春·江蘇揚(yáng)州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在長方形ABCD中，AB=8，AD=12，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)B落在B′點(diǎn)處，連接B(1)求線段AE的長(2)判斷AE與B′(3)求線段B′【答案】(1)AE=10(2)AE∥B(3)B【分析】（1）由BC=12，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，得出BE=1（2）由△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)B落在B′點(diǎn)處，得到BE=B′E，再由點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，得到B′（3）連接BB′交AE于H，由△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)B落在B′點(diǎn)處，BB′⊥AE，即BH是△ABE的高，再由面積不變，得：AB?BE=AE?BH，得到【詳解】（1）解：∵BC=12，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴BE=1∴AE=AB（2）AE∥B理由如下：∵將△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)B落在B′∴∠AEB=∠AEB′，∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴BE=CE，∴B∴∠EB而∠BEB∴∠AEB+∠AEB∴2∠AEB=2∠ECB∴∠AEB=∠ECB∴AE∥B（3）連接BB′交AE于由（1）得AE=10，∵將△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)B落在B′∴BB′⊥AE，即BH∴BH=B由面積不變，得：AB?BE=AE?BH∴BH=AB?BE∴BB由（2）知，AE∥B∴∠BB∴B【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形得性質(zhì)，等腰三角形得判定，兩直線平行的判定，平行線的性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)，能夠準(zhǔn)確識圖，并化出輔助線是解題關(guān)鍵．28．（2022春·浙江衢州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，連結(jié)AD，DE．將△ABD沿AD翻折，將△DCE沿DE翻折，翻折后，點(diǎn)B，C分別落在點(diǎn)B′，C′處，且邊DB′(1)求證：△ADE是直角三角形；(2)當(dāng)BD為何值時，△ADC′是以【答案】(1)見詳解(2)78或【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠ABD=∠AB′D,∠CDE=∠C′DE，再根據(jù)平角的性質(zhì)可得（2）根據(jù)AD=DC′和AD=AC′兩種情況展開討論，當(dāng)AD=DC′，設(shè)BD=x可得DC=4?x，根據(jù)折疊的性質(zhì)得AD=DC=4?x，再根據(jù)勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；當(dāng)AD=AC′，可得B′是D【詳解】（1）證明：根據(jù)題意得∠ABD=∠AB∵∠ABD+∠AB∴2∠AB∴∠AB∴∠ADE=90°，∴△ADE是直角三角形；（2）當(dāng)AD=DC′時，設(shè)得DC=4?x，∵DC∴AD=DC=4?x，在Rt△ABC中A∴9+x∴x=7當(dāng)AD=AC∵AB∴B′是D∵DC∴DB設(shè)BD=x，則DC=4?x，∴DB∵BD=DB∴x=4?x∴x=4∴當(dāng)BD=78或BD=43時，【點(diǎn)睛】本題考查圖形的折疊、直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用折疊的性質(zhì)，根據(jù)題意建立方程．29．（2022春·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┰陂L方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=5，BC=AD=4．(1)如圖1，P為BC邊上一點(diǎn)，將△ABP沿直線AP翻折至△APQ的位置，其中點(diǎn)Q是點(diǎn)B的對稱點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q落在CD邊上時，請你直接寫出DQ的長為．(2)如圖2，點(diǎn)E是AB邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥DE交BC邊于點(diǎn)F，將△BEF沿直線EF翻折得△B′E