02選填題之函數(shù)的圖像與性質(zhì)（解析版）

☆注：請用MicrosoftWord2016以上版本打開文件進行編輯，用WPS等其他軟件可能會出現(xiàn)亂碼等現(xiàn)象.高中數(shù)學二輪復習講義——選填題部分第2講函數(shù)的圖像與性質(zhì)1．重點考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性及利用函數(shù)性質(zhì)解函數(shù)不等式、方程解的個數(shù)問題，注意函數(shù)周期性這一點的復習．2．函數(shù)圖象部分仍以考查圖像識別為重點和熱點，也可能考查利用函數(shù)圖象解函數(shù)不等式或函數(shù)零點問題題型一、函數(shù)圖像的識別問題1．函數(shù)y=sin2xA．B．C．D．【答案】A【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點成中心對稱，所以選項C，D錯誤；又當x∈0,π2時，y=sin本題選擇A選項.2．函數(shù)y＝1+x+sinx【答案】D．【解答】解：函數(shù)y＝1+x+sinxx2，可知：f（x）＝則函數(shù)y＝1+x+sinxx2的圖象關(guān)于（0當x→0+，f（x）＞0，排除A、C，當x＝π時，y＝1+π，排除B．故選：D．3．函數(shù)y＝﹣x4+x2+2的圖象大致為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：根據(jù)函數(shù)圖象的特殊點，利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由排除法可得結(jié)果.詳解：函數(shù)過定點0,2，排除A,B，求得函數(shù)的導數(shù)f'x由f'x>0得得x<-22或0<x<224．函數(shù)y=esinxA． B．C． D．【答案】C【解析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用特殊值，即可判斷；【詳解】解：因為y=fx=esinxsinx，定義域為R，f-x=esin又f0=e故選：C題型二、函數(shù)的四大性質(zhì)考點1.單調(diào)性、奇偶性1．函數(shù)y＝loga（x2﹣ax+2）在區(qū)間（﹣∞，1]上是減函數(shù)，則a的取值范圍是（）A．（0，1） B．[2，+∞） C．[2，3） D．（1，3）【答案】C【解答】解：若0＜a＜1，則函數(shù)y=loga(x2若a＞1，則t＝x2﹣ax+2在區(qū)間（﹣∞，1]上為減函數(shù)，且t＞0∴a2≥11-a+2＞0即a的取值范圍是[2，3）故選：C．2．設a＞0，a≠1，函數(shù)f（x）＝loga（x2﹣2x+3）有最小值，則不等式loga（x﹣1）＞0的解集為（2，+∞）．【答案】（2，+∞）【解答】解：由a＞0，a≠1，函數(shù)f（x）＝loga（x2﹣2x+3）有最小值可知a＞1，所以不等式loga（x﹣1）＞0可化為x﹣1＞1，即x＞2．故答案為：（2，+∞）3．已知fx=ln1+9x【答案】2【詳解】對任意的x∈R，1+9x2>3x≥3x，則1+9因為fx所以，flg故答案為：2.4．已知函數(shù)f（x）＝（x2﹣2x）sin（x﹣1）+x+1在[﹣1，3]上的最大值為M，最小值為m，則M+m＝．【答案】4．【解答】解：∵f（x）＝（x2﹣2x）sin（x﹣1）+x+1＝[（x﹣1）2﹣1]sin（x﹣1）+x﹣1+2令g（x）＝（x﹣1）2sin（x﹣1）﹣sin（x﹣1）+（x﹣1），而g（2﹣x）＝（x﹣1）2sin（1﹣x）﹣sin（1﹣x）+（1﹣x），∴g（2﹣x）+g（x）＝0，則g（x）關(guān)于（1，0）中心對稱，則f（x）在[﹣1，3]上關(guān)于（1，2）中心對稱．∴M+m＝4．故答案為：4．5．已知奇函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，g（x）＝xf（x）．若a＝g（﹣log25.1），b＝g（20.8），c＝g（3），則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】C．【解答】解：奇函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，當x＞0，f（x）＞f（0）＝0，且f′（x）＞0，∴g（x）＝xf（x），則g′（x）＝f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，且g（x）＝xf（x）偶函數(shù)，∴a＝g（﹣log25.1）＝g（log25.1），則2＜log25.1＜3，1＜20.8＜2，由g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，則g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），∴b＜a＜c，故選：C．6．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對任意兩個不相等的正數(shù)x1，x2，都有x2f(x1)-x1A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a【答案】A．【解答】解：不妨設：x1＞x2＞0，由題意可得：x2同理，當0＜x1＜x2時有f(x據(jù)此可得函數(shù)g(x)=f(x)x在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，且函數(shù)g（因此a=f(b=f(c=f(即a＜c＜b，故選：A．7．已知函數(shù)f（x）＝x3﹣2x+ex-1ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．則實數(shù)a的取值范圍是[﹣1，1【答案】[﹣1，12]【解答】解：函數(shù)f（x）＝x3﹣2x+ex-1f′（x）＝3x2﹣2+ex+1ex≥-2+2ex?1e又f（﹣x）+f（x）＝（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex-1ex=0，可得則f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）由f（﹣（a﹣1））＝﹣f（a﹣1），f（2a2）≤f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤1故答案為：[﹣1，12]8．設函數(shù)f（x）＝ln（1+|x|）-11+x2，則使得f（x）＞f（2x﹣A．（﹣∞，13）∪（1，+∞）B．（13，1） C．（-13，13）【答案】B．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝ln（1+|x|）-11+x2為偶函數(shù)，且在x≥0時，f（x）＝ln（1+導數(shù)為f′（x）=11+x+2x(1+x2)2＞∴f（x）＞f（2x﹣1）等價為f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得：13＜x＜所求x的取值范圍是（13，1故選：B．考點2.周期性、對稱性1．已知定義域為R的函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減，且y＝f（x+2）為偶函數(shù)，則關(guān)于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0的解集為（）A．（﹣∞，-43）∪（2，+∞） B．（-43C．（﹣∞，43）∪（2，+∞） D．（43，【答案】D．【解答】解：∵定義域為R的函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減，且y＝f（x+2）為偶函數(shù)，∴y＝f（x+2）關(guān)于x＝0對稱，即函數(shù)f（x+2）在（0，+∞）上為減函數(shù)，由f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得f（2x﹣1）＞f（x+1），即f（2x﹣3+2）＞f（x﹣1+2），即|2x﹣3|＜|x﹣1|，平方整理得3x2﹣10x+8＜0，即43＜x＜即不等式的解集為（43，2故選：D．2．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）＝﹣f（x+2），當x＞1時f（x）單調(diào)遞增，如果x1+x2＞2且（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，則f（x1）+f（x2）的值（）A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能為0 D．可正可負【答案】B．【解答】解：∵f（﹣x））＝﹣f（x+2），∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（1，0）對稱，∵x＞1時f（x）單調(diào)遞增，∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增且f（1）＝0∵x1+x2＞2，∴（x1﹣1）+（x2﹣l）＞0∵（x1﹣1）（x2﹣l）＜0∴不妨設x1＜x2，則x1＜1，x2＞1，且|x2﹣l|＞|x1﹣1|由函數(shù)的對稱性，∴f（x1）+f（x2）＞0故選：B．3．已知f（x）是定義域為（﹣∞，+∞）的奇函數(shù)，滿足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50【答案】B．【解答】解：∵f（x）是奇函數(shù)，且f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，則f（x+2）＝﹣f（x），則f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，故選：C．4．已知奇函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（x+4）＝f（x﹣2），且當x∈[﹣3，0）時，f(x)=1f（2018）＝（）A．-14 B．-13 C．1【答案】D．【解答】解：∵奇函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（x+4）＝f（x﹣2），∴f（x+6）＝f（x），∵當x∈[﹣3，0）時，f(x)=1∴f（2018）＝f（336×6+2）＝f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣{1-2+3sin[π故選：D．5．設函數(shù)f（x）的定義域為R，f（x+1）為奇函數(shù)，f（x+2）為偶函數(shù)，當x∈[1，2]時，f（x）＝ax2+b．若f（0）+f（3）＝6，則f（92A．-94 B．-32 C．7【答案】D．【解答】解：∵f（x+1）為奇函數(shù)，∴f（1）＝0，且f（x+1）＝﹣f（﹣x+1），∵f（x+2）偶函數(shù)，∴f（x+2）＝f（﹣x+2），∴f[（x+1）+1]＝﹣f[﹣（x+1）+1]＝﹣f（﹣x），即f（x+2）＝﹣f（﹣x），∴f（﹣x+2）＝f（x+2）＝﹣f（﹣x）．令t＝﹣x，則f（t+2）＝﹣f（t），∴f（t+4）＝﹣f（t+2）＝f（t），∴f（x+4）＝f（x）．當x∈[1，2]時，f（x）＝ax2+b．f（0）＝f（﹣1+1）＝﹣f（2）＝﹣4a﹣b，f（3）＝f（1+2）＝f（﹣1+2）＝f（1）＝a+b，又f（0）+f（3）＝6，∴﹣3a＝6，解得a＝﹣2，∵f（1）＝a+b＝0，∴b＝﹣a＝2，∴當x∈[1，2]時，f（x）＝﹣2x2+2，∴f（92）＝f（12）＝﹣f（32）＝﹣（﹣2×9故選：D．6．已知函數(shù)f（x），g（x）的定義域均為R，且f（x）+g（2﹣x）＝5，g（x）﹣f（x﹣4）＝7．若y＝g（x）的圖像關(guān)于直線x＝2對稱，g（2）＝4，則k=122f（A．﹣21 B．﹣22 C．﹣23 D．﹣24【答案】D．【解答】解：∵y＝g（x）的圖像關(guān)于直線x＝2對稱，則g（2﹣x）＝g（2+x），∵f（x）+g（2﹣x）＝5，∴f（﹣x）+g（2+x）＝5，∴f（﹣x）＝f（x），故f（x）為偶函數(shù)，∵g（2）＝4，f（0）+g（2）＝5，得f（0）＝1．由g（x）﹣f（x﹣4）＝7，得g（2﹣x）＝f（﹣x﹣2）+7，代入f（x）+g（2﹣x）＝5，得f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，故f（x）關(guān)于點（﹣1，﹣1）中心對稱，∴f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，由f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，f（﹣x）＝f（x），得f（x）+f（x+2）＝﹣2，∴f（x+2）+f（x+4）＝﹣2，故f（x+4）＝f（x），f（x）周期為4，由f（0）+f（2）＝﹣2，得f（2）＝﹣3，又f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝﹣1，所以k=122f（k）＝6f（1）+6f（2）+5f（3）+5f（4）＝11×（﹣1）+5×1+6×（﹣3）＝﹣故選：D．題型三、函數(shù)的性質(zhì)綜合1．設函數(shù)f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|，則f(xA．是偶函數(shù)，且在(12,+∞)單調(diào)遞增 BC．是偶函數(shù)，且在(-∞,-12)單調(diào)遞增 D【答案】D【詳解】由fx=ln2x+1-又f-x∴fx為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC當x∈-12∵y=ln2x+1在-12,∴fx在-12當x∈-∞,-12∵μ=1+22x-1在-∞,-1根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性可知：fx在-∞,-12上單調(diào)遞減，故選：D.2．已知函數(shù)fx=lnxA．fB．函數(shù)fx的圖象關(guān)于點0,1C．函數(shù)fxD．若實數(shù)a，b滿足fa+f【答案】ABD【詳解】對于A選項，對任意的x∈R，x2所以函數(shù)fx=ln又因為f(-x)+f(x)=[=ln(x2+1-對于B選項，因為函數(shù)fx滿足f-x+fx=2，故函數(shù)f對于C選項，對于函數(shù)hx=lnh-x即h-x=-hx，所以函數(shù)hx為奇函數(shù)，當x≥0時，內(nèi)層函數(shù)u=x2+1+x為增函數(shù)，外層函數(shù)y=lnu為增函數(shù)，所以函數(shù)hx在0,+∞上為增函數(shù)，故函數(shù)hx在-∞,0上也為增函數(shù)，因為函數(shù)hx在對于D選項，因為實數(shù)a，b滿足fa+fb>2，則fa>2-fb=f故選：ABD.3．設函數(shù)y=fx的定義域為D，若對于任意x1、x2∈D，當x1+x2=2a時，恒有fx1A．-4031 B．4031 C．-8062 D．8062【答案】C【詳解】∵fx∴當x=1時，f1∴根據(jù)對稱中心的定義，可得當x1+x∴f=2015×-4故選：C．4．若定義在R的奇函數(shù)f(x)在-∞,0單調(diào)遞減，且f2=0，則滿足xfx-1≥0的A．-1,0∪1,3 B．-3,-1∪0,1 C．【答案】A【詳解】因為定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，且f(2)=0，所以f(x)在(0,+∞)上也是單調(diào)遞減，且f(-2)=0，f(0)=0，所以當x∈(-∞,-2)∪(0,2)時，f(x)>0，當x∈(-2,0)∪(2,+∞)時，f(x)<0，所以由xf(x-1)≥0可得：x<0-2≤x-1≤0或x>00≤x-1≤2解得-1≤x≤0或1≤x≤3，所以滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是[-1,0]∪[1,3]，故選：A.5．已知函數(shù)fx的定義域為R(fx不恒為0)，fA．f-12C．f2=0 D【答案】B【詳解】因為函數(shù)fx+2為偶函數(shù)，則f2+x=f因為函數(shù)f2x+1為奇函數(shù)，則f1-2x=-f所以，fx+3=-fx+1故函數(shù)fx是以4因為函數(shù)Fx=f2x+1由fx+3=-fx+1，故x=-2時，f可構(gòu)造函數(shù)fx=cosπ2f2=1≠0，C錯誤；f4=-1≠0故選：B.6．設f（x）＝3x，f（x）＝g（x）﹣h（x），且g（x）為偶函數(shù)，h（x）為奇函數(shù)，若存在實數(shù)m，使得當x∈[﹣1，1]時，不等式mg（x）+h（x）≥0恒成立，則m的最小值為（）A．45 B．15 C．54 【答案】A．【解答】解：f（x）＝g（x）﹣h（x）＝3x①，所以f（﹣x）＝g（﹣x）﹣h（﹣x）＝3﹣x，又g（x）為偶函數(shù)，h（x）為奇函數(shù)，則g（x）+h（x）＝3﹣x②，由①②可得，g(x)=3x+因為g（x）＞0，則不等式mg（x）+h（x）≥0對于x∈[﹣1，1]恒成立，即m≥-h(x)g(x)=3x-3-x3令t＝32x，則t∈[1所以m（t）=t-1因為m（t）在[19，9]上單調(diào)遞增，則m（t）max＝m（所以m≥45，則m的最小值為故選：A．7．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1，則i=12023f(k)＝（A．－3 B．－2 C．0 D．1【答案】D【詳解】因為f(1)=1，由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，令y=1,則f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1),即f(x+1)+f(x-1)=f(x)①所以f(x+2)+f(x)=f(x+1)②①②相加得：f(x+2)+f(x-1)=0?f(x+3)+f(x)=0，f(x+3)=-f(x)所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x)所以函數(shù)的一個周期為6令x=1,y=0，則f(1)+f(1)=f(1)f(0)?f(0)=2令x=1,y=1，則f(2)+f(0)=f(1)f(1)?f(2)=-1又f(x+3)=-f(x)所以f(3)=-f(0)=-2，f(4)=-f(1)=-1，f(5)=-f(2)=1，f(6)=-f(3)=2所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1-1-2-1+1+2=0所以有由周期性得：i=1故選：D.8．設函數(shù)fx的定義域為R，滿足fx+1=2fx，且當x∈0,1時，fx=xx-1．若對任意A．-∞,94B．-∞,7【答案】B【詳解】當-1<x≤0時，0<x+1≤1，則fx當1<x≤2時，0<x-1≤1，則fx當2<x≤3時，0<x-2≤1，則fx=2fx-1fx=?由圖可知當2<x≤3時，令22x-2x-3=-89，整理，得3x-73x-8=0，解得x=73或x=8故選：B．9．已知定義在R上的奇函數(shù)fx滿足f(x-4)=-fx，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)．若方程fx=m(m>0)在區(qū)間-8,8上有四個不同的根x1，x2，x3，A．-12 B．-6 C．-8 D．4【答案】C【詳解】解：定義在R上的奇函數(shù)f(x)，f(0)=0，∵f(x-4)=-f(x)，∴f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，所以f(x)周期T=8；又∵f(x)是R上奇函數(shù)，∴由f(x-4)=-f(x)，得f(4－x)＝f(x)，∴f(x)關(guān)于直線x=2對稱；再結(jié)合f(x)在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)和以上信息，作出函數(shù)圖像：根據(jù)圖像，可得x1+x∴x故選：C10．已知函數(shù)f(x)(x∈R)是以4為周期的奇函數(shù)，當x∈(0,2)時，f(x)=lnx2-x+b，若數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上有5個零點，則實數(shù)A．-1<b≤1 B．14≤b≤54 C．-1<b≤1或b=5【答案】D【詳解】解：由題意知，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0，即0是函數(shù)f(x)的零點，因為f(x)是定義在R上且以4為周期的周期函數(shù)，所以f(-2)=f(2)，且f(-2)=-f(2)，則f(-2)=f(2)=0，即±2也是函數(shù)f(x)的零點，因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的零點個數(shù)為5，且當x∈(0,2)時，f(x)=ln所以當x∈(0,2)時，x2-x+b>0恒成立，且x2即Δ=1-4(b-1)=01解得14<b≤1或故選：D.11．設函數(shù)y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f（x﹣2）+f（x）＝0．當x∈[﹣1，1]時，f（x）＝x3，則下列結(jié)論中正確的是（）A．8是函數(shù)y＝f（x）的周期 B．函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對稱 C．當x∈[1，3]時，f（x）＝（2﹣x）3 D．函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于點（2，0）對稱【答案】ACD．【解答】解：函數(shù)y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f（x﹣2）+f（x）＝0．當x∈[﹣1，1]時，f（x）＝x3，∵函數(shù)y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∵f（x﹣2）+f（x）＝0對一切x