二次函數(shù)和相似三角形問題附答案解析

./綜合題講解函數(shù)中因動點產(chǎn)生的相似三角形問題1、如圖,已知拋物線與交于A<－1,0>、E<3,0>兩點,與軸交于點B<0,3>。求拋物線的解析式；設(shè)拋物線頂點為D,求四邊形AEDB的面積；△AOB與△DBE是否相似？如果相似,請給以證明；如果不相似,請說明理由。2、已知拋物線經(jīng)過及原點．〔1求拋物線的解析式．〔2過點作平行于軸的直線交軸于點,在拋物線對稱軸右側(cè)且位于直線下方的拋物線上,任取一點,過點作直線平行于軸交軸于點,交直線于點,直線與直線及兩坐標(biāo)軸圍成矩形．是否存在點,使得與相似？若存在,求出點的坐標(biāo)；若不存在,說明理由．〔3如果符合〔2中的點在軸的上方,連結(jié),矩形內(nèi)的四個三角形之間存在怎樣的關(guān)系？為什么？3、如圖所示,已知拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于點C．〔1求A、B、C三點的坐標(biāo)．〔2過點A作AP∥CB交拋物線于點P,求四邊形ACBP的面積．CBAPy〔3在軸上方的拋物線上是否存在一點M,過M作MG軸于點G,使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似．若存在,請求出M點的坐標(biāo)；否則,請說明理由．CBAPy4、在平面直角坐標(biāo)系中,已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點〔點在點的左邊,與軸交于點,其頂點的橫坐標(biāo)為1,且過點和．〔1求此二次函數(shù)的表達式；〔由一般式得拋物線的解析式為〔2若直線與線段交于點〔不與點重合,則是否存在這樣的直線,使得以為頂點的三角形與相似？若存在,求出該直線的函數(shù)表達式及點的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由；yCxBA〔3若點是位于該二次函數(shù)對稱軸右邊圖象上不與頂點重合的任意一點,試比較銳角與的大小〔不必證明,并寫出此時點的橫坐標(biāo)的取值范圍．yCxBA5、如圖,已知拋物線y＝x2＋bx＋c與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點,A點的坐標(biāo)為〔－1,0,過點C的直線y＝x－3與x軸交于點Q,點P是線段BC上的一個動點,過P作PH⊥OB于點H．若PB＝5t,且0＜t＜1．〔1填空：點C的坐標(biāo)是__,b＝__,c＝__；〔2求線段QH的長〔用含t的式子表示；〔3依點P的變化,是否存在t的值,使以P、H、Q為頂點的三角形與△COQ相似？若存在,求出所有t的值；若不存在,說明理由．6、如圖,拋物線經(jīng)過三點．〔1求出拋物線的解析式；〔2P是拋物線上一動點,過P作軸,垂足為M,是否存在P點,使得以A,P,M為頂點的三角形與相似？若存在,請求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由；〔3在直線AC上方的拋物線上有一點D,使得的面積最大,求出點D的坐標(biāo)．7、已知,如圖1,過點作平行于軸的直線,拋物線上的兩點的橫坐標(biāo)分別為1和4,直線交軸于點,過點分別作直線的垂線,垂足分別為點、,連接．〔1求點的坐標(biāo)；〔2求證：；〔3點是拋物線對稱軸右側(cè)圖象上的一動點,過點作交軸于點,是否存在點使得與相似？若存在,請求出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．8、當(dāng)x＝2時,拋物線y＝ax2＋bx＋c取得最小值－1,并且拋物線與y軸交于點C〔0,3,與x軸交于點A、B．〔1求該拋物線的關(guān)系式；〔2若點M〔x,y1,N〔x＋1,y2都在該拋物線上,試比較y1與y2的大?。籄BCDOxABCDOxyEF39、如圖,一次函數(shù)y=－2x的圖象與二次函數(shù)y=－x2+3x圖象的對稱軸交于點B.〔1寫出點B的坐標(biāo)；〔2已知點P是二次函數(shù)y=－x2+3x圖象在y軸右側(cè)部分上的一個動點,將直線y=－2x沿y軸向上平移,分別交x軸、y軸于C、D兩點.若以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似,則點P的坐標(biāo)為.OOBCD10、如圖,拋物線與軸交于兩點A〔－1,0,B〔1,0,與軸交于點C．<1>求拋物線的解析式；<2>過點B作BD∥CA與拋物線交于點D,求四邊形ACBD的面積；<3>在軸下方的拋物線上是否存在一點M,過M作MN⊥軸于點N,使以A、M、N為頂點的三角形與△BCD相似？若存在,則求出點M的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．11、已知：函數(shù)y=ax2+x+1的圖象與x軸只有一個公共點．〔1求這個函數(shù)關(guān)系式；〔2如圖所示,設(shè)二次函數(shù)y=ax2+x+1圖象的頂點為B,與y軸的交點為A,P為圖象上的一點,若以線段PB為直徑的圓與直線AB相切于點B,求P點的坐標(biāo)；AxyOAxyOB12、如圖,設(shè)拋物線C1:,C2:,C1與C2的交點為A,B,點A的坐標(biāo)是,點B的橫坐標(biāo)是－2.求的值及點B的坐標(biāo)；〔2點D在線段AB上,過D作x軸的垂線,垂足為點H,在DH的右側(cè)作正三角形DHG.記過C2頂點Ｍ的直線為,且與x軸交于點N.①若過△DHG的頂點G,點D的坐標(biāo)為<1,2>,求點N的橫坐標(biāo)；②若與△DHG的邊DG相交,求點N的橫坐標(biāo)的取值范圍.13、如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,點P在線段AB上運動,設(shè)AP=,現(xiàn)將紙片折疊,使點D與點P重合,得折痕EF〔點E、F為折痕與矩形邊的交點,再將紙片還原。〔1當(dāng)時,折痕EF的長為；當(dāng)點E與點A重合時,折痕EF的長為；〔2請寫出使四邊形EPFD為菱形的的取值范圍,并求出當(dāng)時菱形的邊長；〔3令,當(dāng)點E在AD、點F在BC上時,寫出與的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)取最大值時,判斷與是否相似？若相似,求出的值；若不相似,請說明理由。14、如圖,已知,,現(xiàn)以A點為位似中心,相似比為9:4,將OB向右側(cè)放大,B點的對應(yīng)點為C．求C點坐標(biāo)及直線BC的解析式;一拋物線經(jīng)過B、C兩點,且頂點落在x軸正半軸上,求該拋物線的解析式并畫出函數(shù)圖象;現(xiàn)將直線BC繞B點旋轉(zhuǎn)與拋物線相交與另一點P,請找出拋物線上所有滿足到直線AB距離為的點P．參考答案例題、解:⑴由題意可設(shè)拋物線的解析式為∵拋物線過原點,∴∴.圖1拋物線的解析式為,即圖1⑵如圖1,當(dāng)OB為邊即四邊形OCDB是平行四邊形時,CDEQ\O<\s\up2<∥>,\s\do3<＝>>OB,由得,∴B<4,0>,OB＝4.∴D點的橫坐標(biāo)為6將x＝6代入,得y＝－3,∴D<6,－3>;根據(jù)拋物線的對稱性可知,在對稱軸的左側(cè)拋物線上存在點D,使得四邊形ODCB是平行四邊形,此時D點的坐標(biāo)為<－2,－3>,當(dāng)OB為對角線即四邊形OCBD是平行四邊形時,D點即為A點,此時D點的坐標(biāo)為<2,1>⑶如圖2,由拋物線的對稱性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.若△BOP與△AOB相似,必須有∠POB＝∠BOA＝∠BPO圖2設(shè)OP交拋物線的對稱軸于A′點,顯然A′<2,－1>圖2∴直線OP的解析式為由,得.∴P<6,－3>過P作PE⊥x軸,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3,∴PB＝≠4.∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,∴△PBO與△BAO不相似,同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點.所以在該拋物線上不存在點P,使得△BOP與△AOB相似.練習(xí)1、解：〔1由已知可得：解之得,．因而得,拋物線的解析式為：．〔2存在．設(shè)點的坐標(biāo)為,則,要使,則有,即解之得,．當(dāng)時,,即為點,所以得要使,則有,即解之得,,當(dāng)時,即為點,當(dāng)時,,所以得．故存在兩個點使得與相似．點的坐標(biāo)為．〔3在中,因為．所以．當(dāng)點的坐標(biāo)為時,．所以．因此,都是直角三角形．又在中,因為．所以．即有．所以,又因為,所以．練習(xí)2解：〔1與相似。OxOxy圖1CBED312A由折疊知,,,又,?！?,設(shè)AE=3t,則AD=4t。圖2Oxy圖2OxyCBEDPMGlNAF。由〔1,得,,。在中,,,解得t=1。OC=8,AE=3,點C的坐標(biāo)為〔0,8,點E的坐標(biāo)為〔10,3,設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b,解得,則點P的坐標(biāo)為〔16,0?！?滿足條件的直線l有2條：y=－2x+12,y=2x－12。如圖2：準(zhǔn)確畫出兩條直線。練習(xí)3解：〔1二次函數(shù)圖象頂點的橫坐標(biāo)為1,且過點和,由解得此二次函數(shù)的表達式為．〔2假設(shè)存在直線與線段交于點〔不與點重合,使得以為頂點的三角形與相似．在中,令,則由,解得．yxBEAOCDyxBEAOCD設(shè)過點的直線交于點,過點作軸于點．點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為．．要使或,已有,則只需,①或②成立．若是①,則有．而．在中,由勾股定理,得．解得〔負值舍去．．點的坐標(biāo)為．將點的坐標(biāo)代入中,求得．滿足條件的直線的函數(shù)表達式為．［或求出直線的函數(shù)表達式為,則與直線平行的直線的函數(shù)表達式為．此時易知,再求出直線的函數(shù)表達式為．聯(lián)立求得點的坐標(biāo)為．］若是②,則有．而．在中,由勾股定理,得．解得〔負值舍去．．點的坐標(biāo)為．將點的坐標(biāo)代入中,求得．滿足條件的直線的函數(shù)表達式為．存在直線或與線段交于點〔不與點重合,使得以為頂點的三角形與相似,且點的坐標(biāo)分別為或．〔3設(shè)過點的直線與該二次函數(shù)的圖象交于點．將點的坐標(biāo)代入中,求得．此直線的函數(shù)表達式為．設(shè)點的坐標(biāo)為,并代入,得．解得〔不合題意,舍去．xBExBEAOCP·點的坐標(biāo)為．此時,銳角．又二次函數(shù)的對稱軸為,點關(guān)于對稱軸對稱的點的坐標(biāo)為．當(dāng)時,銳角；當(dāng)時,銳角；當(dāng)時,銳角．練習(xí)四圖1CPByA解：〔1令圖1CPByA令,得∴ABC〔2∵OA=OB=OC=∴BAC=ACO=BCO=∵AP∥CB,∴PAB=過點P作PE軸于E,則APE為等腰直角三角形令OE=,則PE=∴P∵點P在拋物線上∴解得,〔不合題意,舍去∴PE=∴四邊形ACBP的面積=AB?OC+AB?PE=<3>．假設(shè)存在∵PAB=BAC=∴PAAC∵MG軸于點G,∴MGA=PAC=在Rt△AOC中,OA=OC=∴AC=在Rt△PAE中,AE=PE=∴AP=設(shè)M點的橫坐標(biāo)為,則M①點M在軸左側(cè)時,則GM圖2CByPA<ⅰ>當(dāng)AMGPCAGM圖2CByPA∵AG=,MG=即解得〔舍去〔舍去<ⅱ>當(dāng)MAGPCA時有=即解得：〔舍去GM圖3CGM圖3CByPA②點