2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第二章第3節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性

第3節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性

考綱要求1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義；2.會運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)

的奇偶性；3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性.

知識分類落實(shí)回扣知識?夯實(shí)基礎(chǔ)

知識梳理

L函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對于函數(shù)加0的定義域內(nèi)任意一個心都有3一χ)=∕ω,那

偶函數(shù)關(guān)于諭對稱

么函數(shù)HX)是偶函數(shù)

如果對于函數(shù)式X)的定義域內(nèi)任意一個X,都有X)=—/U),

奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱

那么函數(shù)式X)是奇函數(shù)

2.函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y="r),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)X取定義域內(nèi)的任何值時，

都有4x+Q=∕(x),那么就稱函數(shù)y=Λx)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)應(yīng)0的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)

就叫做/U)的最小正周期.

?——常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒

1.(1)如果一個奇函數(shù)yu)在原點(diǎn)處有定義，即_/(())有意義，那么一定有式O)=o.

(2)如果函數(shù)Ar)是偶函數(shù)，那么"r)=∕(kl)?

2.奇函數(shù)在兩個關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)

間上具有相反的單調(diào)性.

3.函數(shù)周期性常用結(jié)論

對火x)定義域內(nèi)任一自變量的值X：

(1)若yU+4)=-Ax),則T=2a(α>0).

(2)若7(x+a)=∣y,則7'=20(fl>0).

(3)若./(x+α)=—..z?,則T-2a(a>0).

J1尢)

4.對稱性的三個常用結(jié)論

(1)若函數(shù)y=∕(x+a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=J(x)的圖象關(guān)于直線x="對稱.

(2)若函數(shù)y=兀r+6)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=兀r)的圖象關(guān)于點(diǎn)3，0)中心對稱.

(3)若對于R上的任意X都有12α—X)=/(x)或1一X)=7(2α+x)或4α+x)=∕3—x),則y=∕(x)

的圖象關(guān)于直線x=α對稱.

診斷自測

??思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

(1)函數(shù)y=N在x∈(0,十8)上是偶函數(shù).()

(2)若函數(shù)?r)為奇函數(shù)，則一定有人O)=O.()

⑶若T是函數(shù)的一個周期，則"T("6Z,〃W0)也是函數(shù)的周期.()

(4)若函數(shù)於)滿足關(guān)系人a+x)=一4D,則函數(shù)式X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(F,對稱.()

答案(I)X(2)×(3)√(4)√

解析(1)由于偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，故y=%2在(0,十8)上不具有奇偶性，(1)錯

誤.

(2)由奇函數(shù)定義可知，若義X)為奇函數(shù)，且在x=0處有意義時才滿足/0)=0,(2)錯誤.

〉教材衍化

2.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()

A.y=x2sinxB.y=x2cosx

C.y=∣lnΛ∣D.y=2"x

答案B

解析根據(jù)偶函數(shù)的定義知偶函數(shù)滿足4-x)=Λx),且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，A選項(xiàng)為奇函

數(shù)；B選項(xiàng)為偶函數(shù)；C選項(xiàng)的定義域?yàn)?0,+∞),不具有奇偶性；D選項(xiàng)既不是奇函數(shù)，

也不是偶函數(shù).

3.設(shè)段)是定義在R上的奇函數(shù)，於:)滿足,"+3)=Kx),且當(dāng)XG0,令時，/)=—%3,則

XS=---------

答案I

O

解析由於+3)=AX)知函數(shù)於)的周期為3,又函數(shù)小)為奇函數(shù)，所以娼)=/(一0

2)8,

〉考題體驗(yàn)

2

4.(2020?江蘇卷改編)已知y=<x)是奇函數(shù)，當(dāng)XNo時，大外=不，則火一8)的值是()

A.8B.-8

CAD.-4

答案D

2

解析/(8)=8^=4,因?yàn)閥(x)為奇函數(shù)，所以1-8)=—/(8)=-4.

5.(2021?日照一中月考)已知定義在R上的函數(shù)y(x)滿足八一X)=一√(x)√(3—x)=∕(x),則022)

=()

A.-3B.0

C.lD.3

答案B

解析由于為奇函數(shù)，且於)=/(3-%),

.?√(3+x)=五一X)=-AX),從而知周期7=6,

???Λ2022)=/(0)=0.

6.(2020.全國大聯(lián)考)已知√(x)=ejr+e"，是偶函數(shù)，則於)的最小值為.

答案2

解析?.7(x)=e?f+eαr是偶函數(shù)，

?'?ΛD=Λ-1)>得e+e"=e-ι+e^Λ則α=-l.

所以7(x)=e*+er224e*?er=2.

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號，

故函數(shù)7U)的最小值為2.

考點(diǎn)分層突破考點(diǎn)聚焦?題型剖析

考點(diǎn)一函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用多維探究

角度1函數(shù)奇偶性的判斷

【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(1)J(x)=/3-/+,-3；

IX2+x,XVO,

RM]/+…

2

(3)/U)=log2(jc+√x+l).

3—%2≥0,

解⑴由I得x2=3,解得x=±√5,

xz~3^0

即函數(shù)Kr)的定義域?yàn)閧—小，√3},

從而兀V)=y∣3-χ2+??jx2-3=0.

因此_A-χ)=-J(x)且Λ-X)=KX),

???函數(shù)T(X)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(2)顯然函數(shù)兀V)的定義域?yàn)?一8,0)U(0,+∞),關(guān)于原點(diǎn)對稱.

；當(dāng)x<0時，-χ>0,

則共一X)=一(—X)2—X-—Xi-X--y(X);

當(dāng)Λ^>0時，一x<0,

則<一X)=(—?χ)2-X=χ2-X=-J(X);

綜上可知，對于定義域內(nèi)的任意X,總有y(一χ)=-∕(χ)成立，；.函數(shù)40為奇函數(shù).

(3)顯然函數(shù)yu)的定義域?yàn)镽,

/—%)—l0g2(~χ+y∣(-χ)2÷1)-log2N?τ2+l—X)

=log2(Λ∕x2+1+x)—1=-log2(W2+1+x)—-fix),

故y(x)為奇函數(shù).

感悟升華判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：

(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；

(2)判斷火X)與1一x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的

等價(jià)等量關(guān)系式C∕(x)+五一X)=O(奇函數(shù))或兀r)-/(—x)=0(偶函數(shù)))是否成立.

角度2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

【例2】(l)(2019?全國H卷)已知危)是奇函數(shù),且當(dāng)x<0時，段)=一例若4n2)=8,則

⑵設(shè)奇函數(shù)小)的定義域?yàn)閇—5,5],若當(dāng)x∈[0,5]時,於)的圖象如圖所示，則不等式段)<0

的解集是.

答案(1)-3(2)(-2,O)U(2,5J

解析(1)由題意得，當(dāng)x>O,-x<0時，/(x)=—/(—x)=—(—e-所以∕∏n2)

=—"M2=ein2-"=2F=8=23,即2"=23,所以a=-3.

(2)由圖象知，當(dāng)(Xx<2時，Λ%)>O;當(dāng)2<xW5時，Λx)<O,又√(x)是奇函數(shù)，,當(dāng)一2<x<0

時，於)<0,當(dāng)一5≤x<-2時，y(x)>O.

綜上，｛x)<0的解集為(-2,0)U(2,5].

感悟升華1.利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)

化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.

2.畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相

關(guān)問題.

【訓(xùn)練1】(1)(2021?百校聯(lián)盟質(zhì)檢)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是()

A.y=xsinxB.y=xlnx

C.y=；+；D,y=x?n(y∣x1+l-χ)

(2)已知府)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x20時，7U)=2"+m,則<-3)=.

答案(I)B(2)-7

解析(I)A中，y=?sinX為偶函數(shù)，D中，y=xln("r2+1—x)是偶函數(shù).

B中，函數(shù)y=Wnx的定義域?yàn)?0,+∞),非奇非偶函數(shù).

eX—1?—e*e*—1

C中,Λ-χ)=e-r+1—A》)，則y=F∏■為奇函數(shù).

(2)因?yàn)樨)為R上的奇函數(shù)，所以負(fù)0)=0,

即10)=2°+機(jī)=0,解得機(jī)=-1,

故yU)=2'—i(x與o),

則4—3)=一穴3)=_(23_1)=—7.

考點(diǎn)二函數(shù)的周期性及其應(yīng)用自主演練

-4Λ2+2,-1≤X<0,

1.設(shè)火x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)XCLI,1)時，段)=

X,0≤x<l,

則Xl)=

答案1

2

解析由題意得，回={-4)=-4x(-J)+2=1.

2.(2021?成都質(zhì)檢)已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意的實(shí)數(shù)X,/(?-2)=Xx+2),

當(dāng)x∈(0,2)時，Xx)=x2,則.(4)=()

91

-

44

答案A

解析由式X—2)=∕α+2),知y=y(x)的周期T=4,

又T(X)是定義在R上的奇函數(shù)，

3.已知於)是定義域?yàn)?-8,+8)的奇函數(shù)，滿足人1-X)=∕∏+χ).若y∏)=2,則負(fù)1)+共2)

+7(3)+???+式50)=()

A.-50B.0

C.2D.50

答案C

解析法一在R上是奇函數(shù)，且TU-X)=/(l+x).

.?JU+1)=-Λχ-1),即yu+2)=一兀)

因此y(x+4)=y(x),則函數(shù)Kr)是周期為4的函數(shù)，

由于41-X)=/(l+x),Λ∣)=2,

故令x=l,得式0)=逃2)=0,

令x=2,得43)=八-1)=—式1)=—2,

令x=3,得14)=/(—2)=一犬2)=0,

故41)+五2)+13)+_/(4)=2+0—2+0=0,

所以TU)+貝2)+犬3)+…+A50)=12X0+4l)+y(2)=2.

法二由題意可設(shè)

KX)=2sin(，，，作出y(x)的部分圖象如圖所示.由圖可知，y(x)的一個周期為4,所以犬1)+負(fù)2)

+Λ3)+-+Λ50)≈12[AD+Λ2)+Λ3)+Λ4)]+Λ49)+Λ50)=12×0+χi)+Λ2)=2.

4.已知犬x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x<2時，，/(x)=x3-X,則函數(shù)y=火X)

的圖象在區(qū)間[0,6]上與X軸的交點(diǎn)個數(shù)為.

答案7

解析因?yàn)楫?dāng)OWX<2時，y(x)=x3-χ.又y(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且逃0)=0,

則46)=Λ4)=A2)=∕(0)=0.

又式I)=O.?Λ3)=K5)=1∕(1)=O,

故函數(shù)y=Ax)的圖象在區(qū)間[0,6]上與X軸的交點(diǎn)有7個.

感悟升華1.求解與函數(shù)的周期有關(guān)問題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期.

2.利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知

區(qū)間上，進(jìn)而解決問題.

考點(diǎn)三函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用多維探究

角度1函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性

【例3]⑴已知奇函數(shù)段)在R上是增函數(shù)，g(x)=歡x).若α=g(-∣og25.1),?=g(20?8),C

=g(3),則〃，h,C的大小關(guān)系為()

?.a<b<cB.c<b<a

C.b<a<cD.b<c<a

(2)(2020?新高考山東、海南卷)若定義在R的奇函數(shù)段)在(一8,0)單調(diào)遞減，且式2)=0,

則滿足MU-I)20的?的取值范圍是()

A.[-L1]U[3,+∞)B.[-3,-l]U[0,1]

C.[-l,0]U[l,÷oo)D.[-l,0]U[l,3]

答案(I)C(2)D

解析(1)易知g(x)=歡x)在R上為偶函數(shù)，

???奇函數(shù)火X)在R上是增函數(shù)，且1O)=0.

；.g(x)在(0,+8)上是增函數(shù).

又3>log25.1>2>20?8,且α=g(-Iog25.1)=g(log25.1),

...g(3)>g(log25.1)>g(208),貝(]c>a>b.

(2)因?yàn)楹瘮?shù)兀C)為定義在R上的奇函數(shù)，所以4O)=O.又兀V)在(-8,0)單調(diào)遞減，且12)

=0,畫出函數(shù)y(x)的大致圖象如圖(1)所示，則函數(shù)7(χ-l)的大致圖象如圖(2)所示.

當(dāng)XWO時，要滿足求x—1)》0,則式x—l)W0,

得一1≤x≤0.

當(dāng)x>0時，要滿足狀χ-l)20,則兀V-I)N0,得IWXW3.

故滿足求X-1)20的X的取值范圍是[-1,0]U[l,3].故選D.

感悟升華1.比較函數(shù)值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多

個自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小；

2.對于抽象函數(shù)不等式的求解，應(yīng)變形為危|)如2)的形式，再結(jié)合單調(diào)性，脫去'了‘變成常

規(guī)不等式，轉(zhuǎn)化為X∣<X2(或X1>X2)求解.

角度2函數(shù)的奇偶性與周期性

【例4】(1)(2021.貴陽調(diào)研)定義在R上的奇函數(shù)段)滿足√(2-χ)=∕(x),且當(dāng)一1〈萬<0時,

XΛ)=2Λ-1,則川ogz20)=()

11

-B-

A.45

1

-

4

(2)已知Kr)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，若人1)<1,負(fù)5)=HP則實(shí)數(shù)α的取值

范圍為()

A.(-l,4)B.(-2,0)

C.(-l,0)D.(-l,2)

答案(I)B(2)A

解析(1)依題意，知y(2+x)=A—X)=-Ax),則./(4+x)=∕α),所以人X)是周期函數(shù)，且周

期為4.

X2<log25<3,則一l<2-log25<0,

所以χiog220)=y(2+log25)=χiog25-2)

=—Λ2-log25)=—(22—log25-1)=—(j—1')=∣.

(2)因?yàn)槿斯κ嵌x在R上的以3為周期的偶函數(shù).

.??Λ5)=Λ-D=ΛD<1?

2a—3

從而一Ξ^Γ<∣>解得一l<α<4.

a+1

感悟升華周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)換，

將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.

角度3函數(shù)的奇偶性與對稱性相結(jié)合

【例5】已知定義在R上的函數(shù)式X),對任意實(shí)數(shù)X有yu+4)=-若函數(shù)—1)的圖

象關(guān)于直線X=I對稱，火-5)=2,則<2021)=.

答案2

解析由函數(shù)y=/(x—1)的圖象關(guān)于直線X=I對稱可知，函數(shù)共工)的圖象關(guān)于y軸對稱，故

J(X)為偶函數(shù).

由兀v+4)=—/U),得用+4+4)=—∕U+4)=y(x),所以兀V)是周期7=8的偶函數(shù)，所以

/2021)+252×8)=/5)=Λ-5)=2.

感悟升華函數(shù)y(x)滿足的關(guān)系√(α+χ)=∕(〃一χ)表明的是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)人x)滿足

的關(guān)系y(α+x)="6+x)m≠6)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個關(guān)系時不要混淆.

【訓(xùn)練2](1)(2020?銀川調(diào)研)已知函數(shù)八X)=Iog2值+l)+?J±+3,則不等式4gx)>3

的解集為()

A.(4,10)B(-8,?)u(lθ,+∞)

C.(l,10)D.4，I)U(1,10)

(2)已知奇函數(shù)y(x)的圖象關(guān)于直線X=3對稱，當(dāng)χd[0,3]時,./(x)=-χ,則|-16)=.

答案(I)D(2)2

解析(l)?.?y(x)的定義域?yàn)閧4rCR,且Xr0},

且4-X)=火x),則y=∕(x)是偶函數(shù)，

易知在(0,+8)上是單調(diào)遞減函數(shù)，χi)=log22+√4=3,

所以不等式4gx)>3可化為0<∣lgx∣<I,

即一l<lgx<l,且lgx≠0,解得m<x<10,且x≠l,

所以所求不等式的解集為(??,I)U(1,10).

(2)根據(jù)題意，函數(shù)式x)的圖象關(guān)于直線x=3對稱，則有40=式6—x),

又由函數(shù)為奇函數(shù)，則人一x)=—/Cr),

則y(x)=—/(—x)=—∕6+Λ),

則段)的最小正周期是12,

故人-16)=穴—4)=一*4)=一/(2)=_(_2)=2.

拓展視野/活用函數(shù)性質(zhì)中三類“二級結(jié)論”

通過常見的“二級結(jié)論”解決數(shù)學(xué)問題，可優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的過程，使學(xué)生逐步形成規(guī)范化、

程序化的思維品質(zhì).

一、抽象函數(shù)的周期性問題

(1)如果y(x+α)=-∕(x)3W0),那么y(x)是周期函數(shù)，其中的一個周期T=2.

(2)如果/+4)=±7τ?(aWO),那么加)是周期函數(shù)，其中的一個周期T=24.

【例1】已知函數(shù)y(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x20時，有4x+3)=-∕U),且當(dāng)XG(0,

3)時，火X)=X+1,PliJX-2023)+y(2024)=()

A.3B.2

C.lD.0

答案C

解析因?yàn)楹瘮?shù)KX)為定義在R上的奇函數(shù)，

所以區(qū)一2023)=一*2023),

因?yàn)楫?dāng)X2。時，有yu+3)=-/U),

所以4v+6)=—yu+3)=Λr),

即當(dāng)時，自變量的值每增加6,對應(yīng)函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)一次，又當(dāng)x∈(0,3)時，Kx)=X

+1,

.??Λ2023)=A337X6+1)=∕u)=2,

Λ2O24)=Λ337×6+2)=X2)=3.

故貝一2023)+火2024)=-A2023)+3=1.

二、函數(shù)的對稱性問題

(1)若函數(shù))，=危)為奇函數(shù)(或偶函數(shù))，則函數(shù)y=Ax+a)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一“，0)對稱(或關(guān)于

直線x--a對稱).

(2)若函數(shù)y=∕(x+a)為奇函數(shù)(或偶函數(shù))，則函數(shù)y=∕(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(〃，0)對稱(或關(guān)于直

線x=a對稱).

(3)函數(shù)y=∕(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(a,勿對稱的充要條件是./U)+./(2α-X)=2"

【例2】⑴(2020.鷹潭二模)已知偶函數(shù)y(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，當(dāng)一IWXWO時，寅x)

=-χ2+l,貝IJ火2021)=()

A.2B.0

c.-lD.1

(2)(2021.長沙質(zhì)檢)已知定義在R上的奇函數(shù)段)滿足;(x+2)=-∕(x),且在區(qū)間［1,2］上單

調(diào)遞減，令α=ln2,b=G)：C=Iog；2,則犬”)，煩，式C)的大小關(guān)系是()

A.J(h)<J(c)<Aa)B次“)勺(c)4b)

CKC)<flβ)<f⑷D.fic)<fia)<fib)

答案(I)B(2)C

解析(1)因?yàn)榕己瘮?shù)y=ι∕(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，

所以五一x)=Ax),X2+x)+Λ-χ)-0,

所以yu+2)=—貝—X)=-j(x),

則兀r+4)=-/U+2)=y(x),所以函數(shù)y=y(x)是以4為周期的函數(shù)，

所以7(2021)=∕(4X505+l)=∕U)=∕(-l).

又當(dāng)一IWXWo時，J(x)=l-xi,

故火2021)=/(-1)=1—(-1)2=0.

(2)依題意，定義在R上的奇函數(shù)HX)滿足式x+2)=-∕(x),則y(x+2)=Λ—X),即函數(shù)4X)的

圖象關(guān)于直線X=I對稱，且,/(O)=O.

又兀0在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減,則段)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增,則可)>0.

由0<α=ln2<l,得習(xí)(O)=0,

b=(J)2=巾=2,則√(b)=K2)=Λ0)=0,

C=logl2≈-1,則y(c)=A—1)=—式1)<0,

2

所以〃)勺口)勺3)?

三、奇函數(shù)的最值問題

已知函數(shù)T(X)是定義在區(qū)間3上的奇函數(shù)，則對任意的x∈O,都有大x)+K-χ)=0.特別地,

若奇函數(shù)火X)在。上有最值，則./U)max+y(x)min=0,且若0∈O,則爾))=0.

(X+1)2+sinδ∕

【例3】設(shè)函數(shù)LX)=-LW/I—的最大值為M,最小值為〃?，則M+w=.

答案2

解析顯然函數(shù)/U)的定義域?yàn)镽,

-(x+1)2+sinx,2x+sinx

且於ZV)=-K—=1+F—'

、r2x+sinxH

設(shè)?ω="-rjrj...,則g(一χ)=-gα),

；?g(x)為奇函數(shù),

由奇函數(shù)圖象的對稱性知gα)max+ga)min=O,

.?M+m=[g(x)+I]max+?(X)÷l]min=2+g(x)maχ+g(x)min=2.

課后鞏固作業(yè)分層訓(xùn)練?提升能力

A級基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(0,1)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()

A.γ=l?ogulB.y=x3

C.j=ewD.y=cos∣X∣

答案C

解析對于A,函數(shù)定義域是(O,+∞),故是非奇非偶函數(shù)，顯然B中，＞=Λ3是奇函數(shù).

對于C,函數(shù)的定義域是R,是偶函數(shù)，且當(dāng)XC(0,+8)時，函數(shù)是增函數(shù),故在(O,1)

上單調(diào)遞增，

對于D,y=cos∣x∣在(0,1)上單調(diào)遞減.

2.已知定義在R上的奇函數(shù)兀r)滿足於+2)=—段)，當(dāng)OWXWI時，y(x)=x2,K∣J/2021)=

()

A.20212B.1

C.0D.-1

答案B

解析根據(jù)題意，函數(shù)Ar)滿足?r+2)=—/(x),則有y(x+4)=—/(x+2)=∕(x),即函數(shù)是周

期為4的周期函數(shù)，則八2021)=加+2020)=)1)=12=1.

3.(2021?衡水中學(xué)檢測)已知函數(shù)yW是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(一8,0)上單調(diào)遞增.

若實(shí)數(shù)〃滿足132門)河一小)，則α的最大值是()

A.1B，2

答案D

解析?.?yu)在R上是偶函數(shù)，且在(一8,0)上是增函數(shù)，

U)在(0,+8)上是減函數(shù)，

由五32「|)罰一√3)=∕(√M),

得32flr≤√5,解之得α≤*

故實(shí)數(shù)。的最大值為京

4.若定義域?yàn)镽的函數(shù)KX)在(4,+8)上為減函數(shù)，且函數(shù)y=∕(χ+4)為偶函數(shù)，則

A.∕2)>A3)B,∕2)>∕(5)

CtΛ3)次5)D∕3)>A6)

答案D

解析Ty=∕ɑ+4)為偶函數(shù)，

.?√(r+4)=∕(x+4),

因此y=∕U)的圖象關(guān)于直線χ=4對稱，

.??Λ2)=Λ6),,3)=Λ5).

又y=∕(χ)在(4,+8)上為減函數(shù)，

.??Λ5)>A6),所以<3)46).

5.(2021.昆明診斷)已知函數(shù)人》)=85(5+2，+不為-1,若J(a)=-g,則人一α)=(

)

?-lB?∣

C.-1D.-1

答案D

Y

解析7(x)=—sin2x+:+[―1，

設(shè)g(x)=/(X)+1=—Sin2x+?πqτj^,易知g(x)為奇函數(shù)，

22

；.g(a)=y(a)+l=E，則g(-a)=-g(,a)=-y

25

因此,八-4)+1=-],故五-4)=一).

6.若定義在R上的奇函數(shù)y(x)滿足4?r+∣)=y(x),當(dāng)XG(O,；時，“r)=k>g∣(l-x),

則心)

在區(qū)間(1，I)內(nèi)是()

A.減函數(shù)且式x)>0B.減函數(shù)且兀V)Co

C.增函數(shù)且式x)>0D.增函數(shù)且y(x)<O

答案D

解析當(dāng)xG((),J時，由於)=1Ogl(I-x)可知，式x)單調(diào)遞增且於)>0.

又函數(shù)加)為奇函數(shù)，所以在區(qū)間To)上函數(shù)也單調(diào)遞增，且yω<o.

由4r+l)=於)知，函數(shù)的周期為去所以在區(qū)間0，習(xí)上，函數(shù)單調(diào)遞增且yω<o.

二、填空題

7.己知奇函數(shù)y(x)在區(qū)間［3,6］上是增函數(shù)，且在區(qū)間［3,6］上的最大值為8,最小值為一i,

則16)+次一3)的值為.

答案9

解析由于y(x)在［3,6］上為增函數(shù)，所以y(x)的最大值為五6)=8,40的最小值為43)=—1,

因?yàn)門(X)為奇函數(shù)，所以八-3)=一犬3)=1,所以46)十/(-3)=8+1=9.

x

8.定義在R上的函數(shù)?滿足於+D=ΛI(xiàn))'且用+,αF,-l-≤x<O,其中江R'若

式-5)=/(4.5),則α=.

答案2.5

解析由J(X+1)=兀Ll),

得JU+2)=∕［(x+1)+1］=Λ(x+D-H=Ax),

所以KX)是周期為2的周期函數(shù).

又八—5)=A4.5),所以二一1)=/(0.5),

即一l+α=L5,解得α=2.5.

9.若函數(shù)｛r)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間2,+8)上是單調(diào)遞增的.如果實(shí)數(shù)r滿足y(ln

z)+y(lnγ)≤2∕(l),那么/的取值范圍是.

答案?e

解析由于函數(shù)兀0是定義在R上的偶函數(shù),

由火Inf)+(InoW0(1),得川政)力1).

又函數(shù)HX)在區(qū)間[0,+8)上是單調(diào)遞增的，

所以IlntlW1,即一IWlnfWl,?fc~≤r≤e.

三、解答題

2

-χ+2χfx>Of

io.已知函數(shù)yU)=<O,χ=o,是奇函數(shù).

^x2+mx,x<0

⑴求實(shí)數(shù)〃7的值；

⑵若函數(shù)危)在區(qū)間[—1,。-2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解⑴設(shè)x<0,貝|一X>0,

所以<-冗)=-(-x)2÷2(-?)=-χ2-2x.

又/U)為奇函數(shù)，所以/(一χ)=-∕U)?

于是XVO時，fi_x)=x2÷2x=x2÷nix,

所以m=2.

(2)要使於)在[-1,。-2]上單調(diào)遞增，

結(jié)合/U)的圖象知IX所以IeaW3,

I。一2S1,

故實(shí)數(shù)