2023年重慶考研數(shù)學二試題及答案（真題）

2023年重慶考研數(shù)學二試題及答案

一、選擇題：1~10小題,每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項

是最符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.

1.y=χ↑n(e-)的斜漸近線為()

+X-I

A.y=x+eB.y=%

e

C.y—XD.y—X——

e

【答案】B.

【解析】由已知y=xln(e+」一

,則

IXT

1

Iim?=Iimlne+=Ine=1,

X→∞尤A→∞Ix-l

x=limxln[e+-!--X=IimJlnfe+

Iimy-

x→∞x→∞X—1)x→∞?X—1

IimxIne+-Ine

x→∞\工一1

Iimxln1÷

x→∞e(x-l)

[.X1

Iim---------=-

e(x-l)e

所以斜漸近線為y=X+L.故選B.

e

]/,X≤0

2.函數(shù)/O)=√II3的一個原函數(shù)為().

I(x+l)cosx,x>0

In(JI+Y-x),x≤0

A.F(x)=\\)

(X+1)cosx-sinx,x>0

In(Vl+x2-x)+l,x≤O

B.F(x)={?)

(X+1)cosx-sinx,x>0

In(Vl+x2-x],x≤0

C.F(x)={?)

(x+1)sinx+cosx,x>0

In(Vl+x2+x)+l,x≤0

D.F(X)={?/

(X+1)sinx+cosx,x>0

【答案】D.

【解析】由已知Iim/(x)=Iimf(x)=/(O)=1,即/(x)連續(xù).

Λ?→O+x→0^

所以/(X)在X=O處連續(xù)且可導(dǎo)，排除A,C.

又x>0時，[(x÷1)∞s?-sin?]'=cosx-(?+1)sinx-cosx=-(x÷1)sinx,

排除B.

故選D.

3.設(shè)數(shù)列｛x,J,｛%｝滿足玉=y=；,x“+i=sinx,,,%+∣=；y“，當”f8時（）.

A.x”是”的高階無窮小B.y”是X”的高階無窮小

C.X“是％的等價無窮小D.X”是y”的同階但非等價無

窮小

【答案】B.

【解析】在［θ,1］中，sinx>-%,從而當+1=sinx,,>2χ,,.又匕什］=?1%,從而

12Jππ2

?<1Λ=ΞΛ<<MnA=Mπ

XZZz4ZUJxlUJ'

π

所以Iim顯=0.故選B.

AfoCγ

ΛΠ+?

4.若y"+ay'+by=()的通解在(-8,+∞)上有界，這().

A.a<O,b>OB.a>O,b>O

C.a=O,b<OD.a=O,b>O

【答案】D

【解析】微分方程y"+ay'+by=O的特征方程為r2+ar+b=O.

——XJ4b—〃2?/zl/?∩~

2

①若a^-4h<0,則通解為y(x)=e'(Clcos-------x+C2sin-------x);

②若以2-4b>0,則通解為y(x)=C1e+C2e

2

③若〃-4〃=0,則通解為y(x)=(Cl+C2x)e.

由于y(χ)在(-8,+o°)上有界，若-@＞。，則①②③中χ→+∞時通解無界，若-@＜。,

22

則①②③中X→-8時通解無界，故α=0.

α=0時，若人＞0,貝114,2=〃|'，通解為)(》)=(。1857^;+。25皿揚%),在(一00,+00)

上有界.

α=0時，若8＜0,則生=±揚，通解為MX)=Ge瘋+Ge一瘋，在(-∞,芹)上無界.

綜上可彳導(dǎo)a=0,〃＞0.古嫡D.

X—2t+111

5.設(shè)函數(shù)y=∕(x)由參數(shù)方程確定，則().

j=∣z∣sιnr

A./(X)連續(xù)，∕,(0)不存在B.尸(0)存在，/'(X)在X=O處不連續(xù)

C.f'(x)連續(xù)，/"(0)不存在D.∕w(0)存在，/(X)在X=O處不連續(xù)

【答案】C

【解析】Iimy=IimlrlSinr=O=y(0),故/(x)在X=O連續(xù).

八。)=慝生媽已吧驛=0.

sin∕+∕cosr

t>0

3

小)=兆

0/=0

x(∕)

-sinrτcos/Z<0

f=0時，x=0;∕>O0?,x>0;f<0時，x<O,故/'(X)在X=O連續(xù).

sinr÷rcosr

Γ(x)-Γ(0)32

=rIim----------------------=—

X~o+3/9

Ao)=Iimr*T'⑼=IimTinrτcos"0=_2

XTo-X∕→0-t

故/"(0)不存在.故選C.

r^κo1

6.若函數(shù)/(α)=J2在α=4處取得最小值，則%=()

A，-焉

B.-ln(ln2)

D.In2

【答案】A.

解析】已知/⑷=『3=『黑j|∣++<κ>??，則

111InIn211?+InIn2

/⑷=—

/Qn2)"a(ln2)αa(In2)fla

令((0)=0，解得α°=-r4τ?

InIn2

故選A.

7?設(shè)函數(shù)/(X)=(x2+∏)ev.若/(x)沒有極值點,但曲線y=/(x)有拐點,則a的取值范

圍是().

?.[0,l)B,[l,+∞)C.[1,2)D.[2,+∞)

【答案】C.

【解析】由于/(X)沒有極值點但曲線y=/(X)有拐點，則f'(x)=，+2x+a)e'有兩

個相等的實根或者沒有實根，/"(x)=(f+4x+α+2)e'有兩個不相等的實根.于是知

4-4α≤0,

解得l≤α<2.故選C.

16-4(π+2)>0,

AE、*

8.A,B為可逆矩陣，E為單位陣，為M的伴隨矩陣，則

OB/

1A∣3,??B?X-A3、

A.B.

kOIBIA*;kO\A\B\

(?B?A*-5*4*、f?A?Bt-AB'、

c?IO°

?A?B*j;O\B\A\

【答案】B

【解析】由于

"EYAE、AE(EOUIAlIO、

O5[θ

、。以。B,O?A??B?^

故

7EyEY1pAHBIO、

、。B)=[θBNoIAIIBL

"A~,-A-I^IY∣A∣∣B∣O、

B'?OIAIl叫

IAIATIblTAlATl6|5一]

、OB-'?A??B?)

Z*∣3∣-A*B"、

、OB*IA∣∕

故選B.

2

9.f(xi,x2,x3)=(x1+x2)+(?,+%3>一4(々一％3>的規(guī)范形為

A.#+犬B.療一代c.寸+乂一4y；D.y'+y1-y；

【答案】B

222

【解析】/(x1,x2,?)=U1÷X2)+(X1+x3)-4(X2-X3)

2

2x1-3考-+2xlx2+2xlx3+8x2x3,

21

二次型的矩陣為A1-34

14-3?

2-Λ112-210

∣A-ΛE∏1-3-24(X+7)1-3-21

14-3-214-1

2-210

=(4+7)2I-A0=-Λ(Λ+7)(Λ-3)=0,

14-1

Aj=3,A2=-7,λi=0,故規(guī)范形為城一只，故選B.

rn2、

10.已知向量組a∣=2,a=1,β次,若y既可由名,%線性表

2l5J

IJ

示，又可由4見線性表示，則/=()

3，3、

A.k,keRB.5,Z∈R

r-r

C.k1,k￡RD.J,kGR

A

【答案】D

【解析】設(shè)T=KaI+k2a2=kyβλ+k4βz,則Ial+k2a2-kiβλ-k4β2=0,對關(guān)于

kλ,k2,ki,%的方程組的系數(shù)矩陣作初等變換化為最簡形,

'12-2-1、1003、

A=(α∣,%,-4-夕2)=21-50010-1

l?1-9-1>

0011√

ττττ

解得(ki,k2,k3,k4)=C(-3,l,-l,l)+(3,-l,l,0)=(3-3C,-l+C,l-C,C),故

"i-c](n

γ=?1αl+k2a2=(3-3C)a,+(C-l)α2=5(1-C)=?5∣,Z∈H.故選D.

<8(1-OJM

二、填空題：11~16小題,每小題5分,共30分.請將答案寫在答題紙指定位置上.

H.當x→0時，/(x)=αr+hχ2+ln(l+x)與g(χ)=e'"-COSX是等價無窮小，則

ab-.

【答案】-2

【解析】由題意可知，

ax+bx2+x--x2+o(x2)

.f(x)..ax+bx2+ln(l+x)

1?Iim=Inn--------；---------------=Iim--------------------------------------

IOg(X)Λ→oe『—COSX~°l+x2+O(X2)-[1--Λ2+O(X2)]

(Q+I)X+S——)x2+o(x2)

3

=Iim22

.r→0X+(zX

2-?

13

于是α+l=0,b——=-,即。=—1力=2,從而而=一2.

22

12.曲線y=Jndt的孤長為一.

*—v?

【答案】號+有

【解析】曲線y=「；67dt的孤長為

*—v3

=J二，1+3"心=禽"77-=2∕√4≡7tZr

+cos

==2尸2cosM2sin/=8尸cos?d=8口?dt

JoJoJo2

π

=4(f+gsin2,3=-^+Λ∕3.

13.設(shè)函數(shù)Z=Z(X,y)由方程3+xz=2x->確定，則會=.

明,)

【答案】一：3

2

【解析】將點(1,1)帶入原方程，得Z=O.

方程3+xz=2x-y兩邊對X求偏導(dǎo)，得e?—+z+x—=2,

?x?x

兩邊再對X求偏導(dǎo)，得I(*Sz丫÷e2?z4+2?^z÷x≤4z=0,將X=l,y=l,z=O代入以

上兩式，得當

14.曲線3d=>5+2>3在χ=l對應(yīng)點處的法線斜率為.

【答案】-Y

【解析】當X=I時，y=l?

方程3V=∕+2y3兩邊對X求導(dǎo)，得9χ2=(5y?+6y2)y,,將％=1，y=ι代入，得

Q11

y(l)=?.于是曲線3χ3=>5+2y3在X=1對應(yīng)點處的法線斜率為一￡.

119

15.設(shè)連續(xù)函數(shù)/(X)滿足/(X+2)—/(x)=x,∫n√(Λ)dA-=O,則J：/(X)dx=.

【答案】!

2

3

【解析】J>(x)dx=∫ι∕(x)dr-∫^∕(x)dr=??/(?)dr-?ɑ/(?)ek-?'/(?)dr

J；/(x)dΛ-∫θ/(x)dr—J；f(t+2)df-∫θ/UMr=?'Adx=-

時+X3=1,

++0

16.X∣^Λ3='有解，其中α/為常數(shù)，若1。1=4,則

x1+2X2+ax3-0,

axx+bx2=2

1a1

12a-_.

ab0

【答案】8

?011

1a1a01

-Ialo

【解析】方程組有解，則IAl=IC八二—1247+21Ql=O,故

12Qo

1a1

124=8.

abO

三、解答題：17~22小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本題滿分10分)

設(shè)曲線L：y=y(x)(x>e)經(jīng)過點(e2,O),L上任一點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于該點

處的切線在)，軸上的截距，

(I)求y(χ)；

(∏)在L上求一點，使該點的切線與兩坐標軸所圍三角形面積最小，并求此最小面積.

【解】(I)曲線L在點P(x,y)處的切線方程為Y—y=y'(x)(X-x),令X=O,則切線

在y軸上的截距為Y=y-xy,(x),則X=y-W(X),即/-??=-1,解得

X

y(x)=X(C-InX),其中C為任意常數(shù).

又y(e?)=O,則C=2,故y(x)=x(2TnX).

(H)設(shè)曲線L在點(x,x(2-Inx))處的切線與兩坐標軸所圍三角形面積最小，此時切線方程

為

Y-x(2-Inx)—(I-InX)(X-X).

令Y=O,則；令乂=。，則y=尤

InX-I

11γ尤？

故切線與兩坐標軸所圍三角形面積為S(X)=-χy--?U?X=--―-,

22Inx-I2(lnx-l)

貝US'(x)=nx：?.令S'(x)=()，潮主點％.

叫2(lnx-l)

333

當e<x<e2時，S'(x)vO；當工>”時，S,(x)>0,故Sa)在X=/處取得極小值，同

3

時也取最小值，且最小值為S(e2)=e3.

18.(本題滿分12分)

Y2

求函數(shù)/U,y)=xecos?'+?的極值.

【解】由已知條件，有

AX,y)=e"+x,

fy(x,y)=Xectsy(-siny).

令t(χ,y)=o∕(χ,y)=o,解得駐點為卜?版■卜其中攵為奇數(shù)；(-e,%∕),其中

k為偶數(shù).

二(x,y)=1,f^,(χ,y)=ecosy(-sinγ),f；Y(x,y)=xecosysin2y-XeOoSNCoSy.

在點卜處，其中人為奇數(shù)，

A=/：4)=1,8=氏卜0,C=%,Jibr1=e-,

由于AC<0,故(一：,左〃)不是極值點，其中左為奇數(shù).

在點(-e,br)處，其中Z為偶數(shù)，

A=《(一e,br)=l,B=f*e,k4)=0,C=∕?(-e,M=e^2,

由于AC->0,且A>0,故(-e,br)為極小值點，其中％為偶數(shù)，且極小值為

,/,、ɑ2

f(-e,kπ)=~-.

19.(本題滿分12分)

已知平面區(qū)域O=(X,y)∣0≤y≤-無≥1,

、χyj?+x2J

(1)求平面區(qū)域。的面積S.

(2)求平面區(qū)域。繞X一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

【解】⑴

π

[I1dX=f?sec21π1

S=(j

J----------dt

■x√i77JtanZsecr=E嬴

π?,π

-~^-dcosf

l-cosr

π

^2

4lncosr-1?ln^?.

cost÷1K2√2-l

4

「+81

(2)V=4-Ax=

x2(l+x2)

20.（本題滿分12分）

設(shè)平面區(qū)域。位于第一象限，由曲線尤2+y2—孫=1,f+y2—與=2與直線

dXdy.

y=?/??,y=0圍成，計算T

JJ2

D3X+y

π2I

IJ3/+J<lΛ-dy

SeSine3p2∞s2^+p2sin2

πJ-?-1

1cosin

f?d^∫r~^^-dp

J°Sirr6+3cos~θ

Vl-COSeSin夕P

Jn231

1(?θ

2，Osin2^+3COS2Θ

K

」1

n2dtan^

2J'。tan2<9+3

In2tan?In2

=—J=arctan

2√3F0=k

21.（本題滿分12分）

設(shè)函數(shù)/（Λ）在［-?,?1上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù).

(1)證明:若/(O)=O，存在J∈(一。,。)，使得f"C)=4"(α)+f(-α)］；

a~

(2)若/(x)在(-a,a)上存在極值，證明：存在τ7∈(-0,Q),使得

∣Γ(7)∣≥A∣∕ω)-∕(-Λ)∣?

2a^

【證明】⑴將/(x)在XO=O處展開為

〃加八。)+，((W誓=/'◎+誓,

其中b介于。與X之間.

分別令X=—。和X=4,則

/(-G=八0)(一。)+，(；；)土,-α<q<O,

/(α)=f(0)(α)+^∣^,O<ξ2<a,

兩式相加可得

/(-?)+/(?)≈?2Γ(?)+Γ?),

又函數(shù)/(Λ)在［-a,旬上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，由介值定理知存在J∈仁］u(-a,a),使得

，卻JC2)=/?,

即re)=J"(F)+/(“)］.

⑵設(shè)/(X)在.％處取得極值，則/'(x0)=0.

將/(X)在即處展開為

22

、小，(、/,/WΛ-X0)f..f?δ)(x-x0)

/(x)=/(x0)+∕(?)(x-X0)+--------------=/(?)+--------~~~—，

其中3介于與X之間.

分別令X=—。和x=α,則

、，/、f'?η)(α+x)2

Jλ0

./(-ɑ)=/(%)+------------------，-a<ηx<X0,

/(?)=/(?)+〃，"；；一'")一,X0<η2<a,

兩式相減可得

/(?)-/(-?)=/嗎—---(7),%)2

所以

If(a)-f