高中數(shù)學(xué) 等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式練習(xí) 新人教A版必修

【金版學(xué)案】2015-2016學(xué)年高中數(shù)學(xué)2.4.1等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式練習(xí)新人教A版必修5?基礎(chǔ)梳理1．(1)等比數(shù)列的定義：________________________．定義的數(shù)學(xué)式表示為__________________________．(2)判斷下列數(shù)列是不是等比數(shù)列：①2，4，8，16；②1，3，5，8，9，10.2．(1)首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為______________________．(2)寫出下列數(shù)列的一個通項(xiàng)公式：①2，4，8，16，32；②1，5，25，125，….3．(1)等比中項(xiàng)的定義：________________________________________________________________________.(2)判斷下列各組數(shù)是否有等比中項(xiàng)，若有，求出其等比中項(xiàng)．①2，4；②－3，9；③－6，－8.4．(1)當(dāng)a1＞0，q>1時，等比數(shù)列{an}是______數(shù)列；當(dāng)a1＜0，0＜q＜1，等比數(shù)列{an}是______數(shù)列；當(dāng)a1＞0，0＜q＜1時，等比數(shù)列{an}是______數(shù)列；當(dāng)a1＜0，q>1時，等比數(shù)列{an}是______數(shù)列；當(dāng)a1＜0，q＜0時，等比數(shù)列{an}是______數(shù)列；當(dāng)q＝1時，等比數(shù)列{an}是____數(shù)列．(2)判斷下列等比數(shù)列是遞增還是遞減數(shù)列．①－3，－9，－27，…；②數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－3(n∈N*)．5．等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝a1·qn－1(a1·q≠0)，它的圖象是分布在曲線________________________________________________________________________上的一些孤立的點(diǎn)．基礎(chǔ)梳理1．(1)從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù)eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q≠0)(2)①由定義知是②不是，不滿足定義2．(1)an＝a1·qn－1(a1·q≠0)(n∈N*)(2)①an＝2n，n＝1、2、3、4、5②an＝5n－1，n∈N*3．(1)如果a，G，b成等比數(shù)列，則G叫a與b的等比中項(xiàng)(2)①所求等比中項(xiàng)有兩個，為±2eq\r(2)②沒有等比中項(xiàng)③所求等比中項(xiàng)為±4eq\r(3)4．(1)遞增遞增遞減遞減擺動常(2)①遞減數(shù)列②遞增數(shù)列5．y＝eq\f(a1,q)·qx(q>0)?自測自評1．已知下列各數(shù)列：①－1，－2，－4，－8；②1，－eq\r(3)，3，－3eq\r(3)；③a，a，a，a；④eq\f(1,a)，eq\f(1,a2)，eq\f(1,a3)，eq\f(1,a4).其中成等比數(shù)列的是()A．①②③B．①②C．①②④D．①②③④2．如果－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，那么()A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9D．b＝－3，ac＝－93．(2014·江蘇卷)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，則a6自測自評1．解析：由等比數(shù)列的定義知①②④都成等比數(shù)列．當(dāng)a＝0時，③不能成等比數(shù)列．故選C.答案：C2．解析：∵b是－1，－9的等比中項(xiàng)，∴b2＝9，b＝±3，又因?yàn)榈缺葦?shù)列奇數(shù)項(xiàng)符號相同，得b<0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中項(xiàng)，故b2＝ac，ac＝9，故選B.答案：B3．解析：設(shè)公比為q，因?yàn)閍2＝1，則由a8＝a6＋2a4得q6＝q4＋2q2，q4－q2－2＝0，解得q2＝2，所以a6＝a2q4答案：4?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．(2014·重慶卷)對任意等比數(shù)列{an}，下列說法一定正確的是()A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列1．解析：因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則a3·a9＝a1·q2·a1·q8＝(a1·q5)2＝aeq\o\al(2,6)所以，a3，a6，a9一定成等比數(shù)列，故選D.答案：D2．在等比數(shù)列中，a1＝eq\f(9,8)，an＝eq\f(1,3)，q＝eq\f(2,3)，則項(xiàng)數(shù)n為()A．3B．4C．5D．62．解析：由a1qn－1＝an?eq\f(9,8)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n－1)＝eq\f(1,3)?n＝4.答案：B3．等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，公差d≠0，如果a1，a2，a5成等比數(shù)列，那么d等于()A．3B．2C．－2D．2或－23．解析：由aeq\o\al(2,2)＝a1a5?(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)?(1＋d)2＝1＋4d?d＝2.故選B.答案：B4．(2013·江西卷)等比數(shù)列x，3x＋3，6x＋6，…的第4項(xiàng)等于()A．－24B．0C．12D．244．A5．已知數(shù)列a1，a2，a3，…，a8為各項(xiàng)都大于零的等比數(shù)列，公比q≠1，則()A．a(chǎn)1＋a8＞a4＋a5B．a(chǎn)1＋a8＜a4＋a5C．a(chǎn)1＋a8＝a4＋a5D．a(chǎn)1＋a8與a4＋a5大小不定5．解析：a1＋a8－(a4＋a5)＝a1＋a1q7－(a1q3＋a1q4)＝a1·(1－q3)·(1－q4)＞0.∴a1＋a8＞a4＋a5.故選A.答案：A?鞏固提高6．設(shè)a1＝2，數(shù)列{1＋2an}是公比為2的等比數(shù)列，則a6等于()A．31.5B．160C．79.5D．159.56．解析：1＋2an＝(1＋2a1)·2n－1，∴1＋2a6＝5×25.∴a6＝eq\f(5×32－1,2)＝79.5.答案：C7．三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于14，它們的積等于64，則這三個數(shù)是________________．7．解析：設(shè)三數(shù)為eq\f(a,q)，a，aq，則eq\f(a,q)＋a＋aq＝14，eq\f(a,q)·a·aq＝64，即aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋q＋\f(1,q)))＝14，a3＝64，解得：a＝4，q＝eq\f(1,2)或2.故所求三數(shù)為8，4，2或2，4，8.答案：8，4，2或2，4，88．(1)方程x2－17x＋16＝0的兩根的等差中項(xiàng)是______，兩根的等比中項(xiàng)是______．(2)在eq\f(8,3)和eq\f(27,2)之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個數(shù)的乘積為________．8．解析：(1)∵x2－17x＋16＝0的二根的x1＝1，x2＝16.∴x1與x2等差中項(xiàng)為eq\f(17,2)，等比中項(xiàng)為±4.(2)設(shè)插入的三數(shù)為a，b，c則b2＝ac＝eq\f(8,3)×eq\f(27,2)＝36.又b與第一項(xiàng)同號，∴b＝6，∴插入的三數(shù)之積abc＝b3＝216.答案：(1)eq\f(17,2)±4(2)2169．等比數(shù)列{an}中a2＋a7＝66，a3a6＝128，求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an.9．解析：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為d，由題意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋a7＝66，,a3a6＝128))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋a7＝66，,a2a7＝128))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝2，,a7＝64))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝64，,a7＝2.))∴q5＝eq\f(a7,a2)＝25或eq\f(1,25)?q＝2或eq\f(1,2).∴an＝a2qn－2＝2n－1或eq\f(1,28－n).∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝2n－1或an＝28－n，n∈N*.點(diǎn)評：在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，除了直接把題意翻譯成數(shù)列之外，如果能合理地利用等比數(shù)列的性質(zhì)，往往可以更簡單地得到答案．10．已知等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比為q(q≠1且q≠0)，且bn＝an＋1－an.(1)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由．(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．10．解析：(1)∵等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比為q，∴an＝a1qn－1＝qn－1(q≠0且q≠1)，由于eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋2－an＋1,an＋1－an)＝eq\f(qn＋1－qn,qn－qn－1)＝eq\f(qn（q－1）,qn－1（q－1）)＝q，∴{bn}是首項(xiàng)為b1＝a2－a1＝q－1，公比為q的等比數(shù)列．(2)由(1)可知，bn＝b1qn－1＝(q－1)·qn－1，∴bn＝(q－1)qn－1(q≠0且q≠1，n∈N*)．1．要注意利用等比數(shù)列的定義解題．在很多時候緊扣定義是解決問題的關(guān)鍵．2．注意基本量法：在用等比數(shù)列通項(xiàng)公式時，以首項(xiàng)a1，公比q為基本量，其他量用