482023年山東省泰安市寧陽縣中考數(shù)學(xué)一模試題

2023年山東省泰安市寧陽縣中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本大題共12小題，共48.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.下列各數(shù)中，負數(shù)的個數(shù)有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】根據(jù)負數(shù)的定義進行解答即可．【詳解】解：，是負數(shù)，共有2個，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了負數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握負數(shù)的定義．2.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查完全平方公式，合并同類項，積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．利用完全平方公式，合并同類項的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，積的乘方的法則對各項進行運算即可．【詳解】解：A、，故A不符合題意；B、，故B不符合題意；C、，故C符合題意；D、，故D不符合題意；故選：C．3.如圖是由若干個同樣大小的小正方體所搭幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示在該位置小正方體的個數(shù)，則這個幾何體的左視圖是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接從左邊觀察幾何體，確定每列最高的小正方體個數(shù)，即對應(yīng)左視圖的每列小正方形的個數(shù)，即可確定左視圖．【詳解】解：如圖所示：從左邊看幾何體，第一列是2個正方體，第二列是4個正方體，第三列是3個正方體；因此得到的左視圖的小正方形個數(shù)依次應(yīng)為2,4,3；故選：B．【點睛】本題考查了幾何體的三視圖，要求學(xué)生理解幾何體的三種視圖并能明白左視圖的含義，能確定幾何體左視圖的形狀等，解決本題的關(guān)鍵是牢記三視圖定義及其特點，能讀懂題意和從題干圖形中獲取必要信息等，本題蘊含了數(shù)形結(jié)合的思想方法，對學(xué)生的空間想象能力有一定的要求．4.為了提升學(xué)生的人文素養(yǎng)，某校開展了朗誦經(jīng)典文學(xué)作品活動，來自不同年級的30名參賽同學(xué)的得分情況如下圖所示，這些成績的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A.92分，96分 B.94分，96分 C.96分，96分 D.96分，100分【答案】C【解析】【分析】列表，把成績的分數(shù)按從小到大順序排列96分的人最多，眾數(shù)為96分；位于第15位，第16位的數(shù)都處在96分一組，中位數(shù)為分．【詳解】列表，把成績的分數(shù)按從小到大順序排列分數(shù)84889296100人數(shù)24810696分的人最多，眾數(shù)為96分；位于第15位，第16位的數(shù)都處在96分一組，∴中位數(shù)為分．故選C．【點睛】本題考查了中位數(shù)和眾數(shù)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握中位數(shù)和眾數(shù)的定義．5.實外教職工籃球賽于11月3日開賽，某年級代表隊16名隊員的年齡情況如下表，則這些隊員年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）年齡（單位：歲）3536384044人數(shù)33532A.38，38 B.38，39 C.38，37 D.5，38【答案】A【解析】【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以直接寫出眾數(shù)，然后再找出第8個數(shù)據(jù)和第9個數(shù)據(jù)，計算出這兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即可得到中位數(shù)．【詳解】解：由表格可得，眾數(shù)是38，年齡按照從小到大，第8個數(shù)據(jù)是38，第9個數(shù)據(jù)是38，則中位數(shù)為，故選：A．【點睛】本題考查眾數(shù)、中位數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確眾數(shù)和中位數(shù)的含義，會找一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)．6.已知如圖，在中，，，直角的頂點是邊的中點，兩邊，分別交，于點，，當(dāng)在內(nèi)繞頂點旋轉(zhuǎn)（點不與，重合）時，給出以下5個結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤．上述結(jié)論始終正確的有()A.2個 B.3個 C.4個 D.5個【答案】A【解析】【分析】①證明得，當(dāng)點E不是的中點時，，由此判斷①；②由全等三角形性質(zhì)得，，，則為等腰直角三角形，判斷②；③由，得，進而得，可判斷③；④根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，，根據(jù)隨著點E的變化而變化，只有當(dāng)點E為的中點時，，從而判斷④；⑤當(dāng)不是的平分線時，，此時，由此判斷⑤．【詳解】①∵，，∴是等腰直角三角形，∵點P為BC的中點，∴，，∵是直角，∴，∴，在和中，，∴（ASA），∴，當(dāng)點E不是的中點時，，故①錯誤；②∵，，∴為等腰直角三角形，故②正確；③∵，∴，∴，∴，故③正確；④根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，，所以，隨著點E的變化而變化，只有當(dāng)點E為的中點時，，故④錯誤；⑤∵，AB＝AC，∴，當(dāng)不是的平分線時，，此時，故⑤錯誤；故②③正確，故選：A．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出三角形全等是解題的關(guān)鍵．7.用配方法解一元二次方程﹣2x﹣7＝0，則方程變形為（）A.＝11 B.＝11 C.＝8 D.＝8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)配方的基本要求規(guī)范落實即可．詳解】∵方程﹣2x﹣7＝0，移項得：﹣2x＝7，配方得：﹣2x+1＝8，即＝8．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的配方法，熟練掌握配方的基本步驟是解題的關(guān)鍵．8.我國古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，問清、醑酒各幾何？”意思是：現(xiàn)在一斗清酒價值10斗谷子，一斗醑酒價值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問清酒、醑酒各幾斗？如果設(shè)清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程組為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)“現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【詳解】解：依題意，得：．故選：A．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組和數(shù)學(xué)常識，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．9.將拋物線向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的函數(shù)表達式為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先確定拋物線y=x2頂點坐標(biāo)為（0，0），再根據(jù)點平移的規(guī)律得到點（0，0）平移后所得對應(yīng)點的坐標(biāo)為（-2，-3），然后根據(jù)頂點式寫出平移后的拋物線解析式．【詳解】拋物線y=x2的頂點坐標(biāo)為（0，0），把點（0，0）向左平移2個單位，再向下平移3個單位長度所得對應(yīng)點的坐標(biāo)為（-2，-3），所以平移后的拋物線解析式為y=（x+2）2-3．故選：A．10.如圖，是的直徑，與交于點，弦平分，，垂足為若的半徑為，，則線段的長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題考查了菱形的判定與性質(zhì)，熟記菱形的判定與性質(zhì)定理及作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵；連接，過作于，得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，得到，推出四邊形是菱形，得到，，于是得到結(jié)論．【詳解】解：連接，過作于，平分，，，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，，，，故選：A．11.如圖，中，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，過作交的延長線于點，連接并延長交于點，連接交于點．下列結(jié)論：①平分；②；③是的中點；④；⑤，其中正確的有（）A.個 B.個 C.個 D.個【答案】B【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，，通過證明四邊形是矩形，可得，，，由“”可證，可得，，，可判斷①；由角的數(shù)量關(guān)系和等腰三角形的判定和性質(zhì)，可判斷②③；由相似三角形的判定和性質(zhì)可得，由線段的和差關(guān)系可判斷④；由，可得，可判斷⑤，即可求解．【詳解】解：，，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，，，，，，，，又，四邊形是矩形，，，，，，，，，，平分，故①正確；，，，，，，，，故②正確；如圖，連接，，，，，，，，，，，，，點是的中點，故③正確，如圖，過點作于，∴，，，，，，，，，，，，，故④正確；，，，，，故⑤不合題意，故選：B．12.如圖，在中，，，，P為邊BC上一動點，過點P作于點E，PF⊥AC于點F，連接EF，則EF的最小值是（）A.1.2 B.1.5 C.2 D.2.4【答案】D【解析】【分析】先證四邊形AEPF是矩形，得EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，再根據(jù)垂線段最短和三角形面積求出AP即可．【詳解】解：連接AP，如圖：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP=∠AFP=90°，∵∠BAC=90°，∴四邊形AFPE是矩形，∴EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，當(dāng)AP⊥BC時，AP最短，∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴，∵△ABC的面積=，∴AP=2.4，即EF=2.4，故選：D．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定、勾股定理、垂線段最短以及三角形面積等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）13.計算：______．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次根式的混合運算，負整數(shù)指數(shù)冪，準(zhǔn)確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．先計算二次根式的乘法和負整數(shù)指數(shù)冪，再算加減，即可解答．【詳解】解：．故答案為：．14.已知B港口位于A觀測點北偏東方向，且其到A觀測點正北風(fēng)向的距離的長為，一艘貨輪從B港口沿如圖所示的方向航行到達C處，測得C處位于A觀測點北偏東方向，則此時貨輪與A觀測點之間的距離的長為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，和勾股定理求出的長，再根據(jù)求出的長，即可得到以及的長，進而得到答案．【詳解】解：，，過點作．交延長線于，在中，，，，，，即，，，在中，，，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)已知構(gòu)造直角三角形得到邊長是解題的關(guān)鍵．15.如圖，在⊙O中，直徑，AC切于，交⊙O于，若，則陰影部分的面積為______.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)題意連接AD，得到ABC為等腰直角三角形，推出AB=BD，則弓形BD的面積=弓形AD的面積，故陰影部分的面積=△ACD的面積，可解出最終結(jié)果．【詳解】連接AD，，AC切⊙O于A點，，ABC為等腰直角三角形，又，AD=BD，弓形BD的面積=弓形AD的面積，故陰影部分的面積=△ACD的面積，AB=2，CD=AD=BD=，∴S△ACD=CD×AD==1，即陰影部分的面積是1．【點睛】本題考查圓的性質(zhì)及切線和弓形面積的知識，屬于綜合題，需要充分掌握圓的基礎(chǔ)知識，學(xué)會運用圓的性質(zhì)進行解題是關(guān)鍵．16.若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍________．【答案】【解析】【分析】利用一元二次方程根的判別式，即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，即，解得：．故答案為：【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程，當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根是解題的關(guān)鍵．17.如圖，矩形紙片中，，，點、分別在、上，將、分別沿、翻折，翻折后點與點重合，點與點重合當(dāng)、、、四點在同一直線上時，線段長為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，，根據(jù)勾股定理得到，設(shè)，由勾股定理列方程得到，，由折疊的性質(zhì)得到，，求得，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：在矩形紙片中，，，，，，將沿翻折，翻折后點與點重合，，，，，設(shè)，，，，，解得：，，，將沿翻折，翻折后點與點重合，，，，，設(shè)，則，，，，線段長為，故答案為：．18.根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，在最后一個空格中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字__________．【答案】738【解析】【分析】通過觀察得出：1，3，5，7，9為等差為2的等差數(shù)列，則表格中2=1×1+1，30=3×9+3，130=5×25+5，350=7×49+7，根據(jù)此規(guī)律求解．【詳解】解：觀察圖中的數(shù)字得出框中右下角的數(shù)字計算分別為：2=1×1+1，30=3×9+3，130=5×25+5，350=7×49+7，所以在最后一個空格中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字為：9×81+9=738．故答案為：738．【點睛】此題主要考查學(xué)生對規(guī)律型題的掌握情況，此類型題應(yīng)該仔細觀察分析給出的數(shù)據(jù)，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律根據(jù)規(guī)律解題．三、解答題（本大題共7小題，共78.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19.（1）先化簡，再求值：，其中．（2）解不等式組：．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】本題考查分式的化簡求值、解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則和解一元一次不等式的方法是解答本題的關(guān)鍵．（1）先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，同時將分式的分子和分母分解因式，然后約分，再算加法，最后將的值代入化簡后的式子計算即可；（2）先解出每個不等式的解集，即可得到不等式組的解集．【詳解】解：（1），當(dāng)時，原式；（2），解不等式，得：，解不等式，得：，該不等式組的解集是．20.某校為了解學(xué)生最喜歡的球類運動情況，隨機選取該校部分學(xué)生進行調(diào)查，要求每名學(xué)生只寫一類最喜歡的球類運動以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的統(tǒng)計圖表的一部分．類別類型足球羽毛球乒乓球籃球排球其他人數(shù)根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）被調(diào)查的學(xué)生中，最喜歡乒乓球的有______人，最喜歡籃球的學(xué)生數(shù)占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比為______（2）被調(diào)查學(xué)生的總數(shù)為______人，其中，最喜歡籃球的有______人，最喜歡足球的學(xué)生數(shù)占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比為______（3）該校共有名學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，估計該校最喜歡排球的學(xué)生人數(shù)．（4）一個不透明的袋子中有三個完全相同的小乒乓球，把它們分別標(biāo)號為，，，小明從中隨機摸出一個小球，記下標(biāo)號后放回，再隨機摸出一個小球并記下標(biāo)號，求兩次摸出的小球標(biāo)號的和是偶數(shù)的概率．【答案】（1），（2），，（3）人（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)表格和扇形圖可直接得出答案；（2）由羽毛球人數(shù)及所占百分比可得總?cè)藬?shù)，總?cè)藬?shù)乘以對應(yīng)百分比可得籃球人數(shù)，用足球人數(shù)除以總?cè)藬?shù)可得其所占百分比；（3）總?cè)藬?shù)乘以樣本中排球人數(shù)所占比例即可；（4）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率以及統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖．注意列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【小問1詳解】解：（1）被調(diào)查的學(xué)生中，最喜歡乒乓球的有人，最喜歡籃球的學(xué)生數(shù)占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比為，故答案：，；【小問2詳解】被調(diào)查學(xué)生的總數(shù)為人，最喜歡籃球的有人，最喜歡足球的學(xué)生數(shù)占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比為，故答案為：，，；【小問3詳解】根據(jù)調(diào)查結(jié)果，估計該校最喜歡排球的學(xué)生人數(shù)為人，【小問4詳解】列表得，標(biāo)號所有等可能的結(jié)果數(shù)有種，其中兩次摸出的小球標(biāo)號的和是偶數(shù)的有種結(jié)果，兩次摸出的小球標(biāo)號的和是偶數(shù)的概率為．21.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式．（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足的的取值范圍．（3）若點在線段上，且，求點的坐標(biāo)．【答案】（1），（2）或（3）【解析】【分析】（1）把坐標(biāo)代入可得解析式，繼而求出，用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；（2）根據(jù)圖象直接寫出的的取值范圍即可；（3）利用得出，設(shè)坐標(biāo)利用勾股定理建立方程求出即可．本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．【小問1詳解】解：反比例函數(shù)經(jīng)過，，反比例函數(shù)解析式為，在反比例函數(shù)的圖象上，，，直線經(jīng)過，，，解得，一次函數(shù)的解析式為；【小問2詳解】解：觀察函數(shù)圖象可知的的取值范圍是或；【小問3詳解】解：設(shè)，∵，即，，解得舍去，，點坐標(biāo)為22.已知：如圖，在中，∠ABC=45°，CH⊥AB于點H，點D為CH上的一點，且DH=AH，連結(jié)BD并延長BD交AC于點E，連結(jié)EH．（1）求證：HC=HB；（2）判斷BD與AC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并給出證明；（3）求證：∠BEH=45°．【答案】（1）證明見解析（2）BD=AC，BD⊥AC，證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意易求出∠BCH=∠HBC，即得出HC=HB；（2）由題意易證△AHC≌△DHB(SAS)，即得出BD=AC，∠ACH=∠DBH．從而可求出∠ABE+∠A＝90°，即可證明BD⊥AC；（3）過點H作HF⊥HE交BE于點F，即易證△CHE≌△BHF(ASA)，得出EH=FH，從而可得出．【小問1詳解】證明：∵CH⊥AB，∠ABC=45°，∴∠BCH＝90°-∠HBC=45°，∴∠BCH=∠HBC，∴HC=HB；【小問2詳解】BD=AC，BD⊥AC；證明如下：在△AHC和△DHB中，∴△AHC≌△DHB(SAS)，∴BD=AC，∠ACH=∠DBH．又∵∠ACH+∠A=90°，∴∠DBH+∠A＝90°，即∠ABE+∠A＝90°∴∠AEB=90°，即BD⊥AC；【小問3詳解】如圖，過點H作HF⊥HE交BE于點F，∴∠FHD+∠EHD=90°．又∵∠BHF+∠FHD=90°，∴∠BHF=∠EHD，即∠BHF=∠EHC．在△CHE和△BHF中，∴△CHE≌△BHF(ASA)，∴EH=FH．∴．【點睛】本題考查等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)．掌握三角形全等的判定條件是解題關(guān)鍵．23.在邊長為1的正方形ABCD中，點E是射線BC上一動點，AE與BD相交于點M，AE或其延長線與DC或其延長線相交于點F，G是EF的中點,連結(jié)CG．（1）如圖1，當(dāng)點E在BC邊上時．求證：①△ABM≌△CBM；②CG⊥CM.（2）如圖2，當(dāng)點E在BC的延長線上時,（1）中的結(jié)論②是否成立？請寫出結(jié)論，不用證明．（3）試問當(dāng)點E運動到什么位置時，△MCE是等腰三角形?請說明理由.【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）成立；（3）當(dāng)BE=或BE=時，△MCE是等腰三角形.【解析】【詳解】試題分析：（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)，利用邊角邊定理即可證明△ABM≌△CBM；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAM=∠BCM，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得GC=GF，根據(jù)等腰三角形和平行線的性質(zhì)得到角的等量關(guān)系得∠BCM=∠GCF，即可證得結(jié)論；（2）類比（1）的方法即可得結(jié)論；（3）分當(dāng)點E在BC邊上時和當(dāng)點E在BC的延長線上時兩種情況討論求解即可.試題解析：(1)①證明：∵四邊形ABCD是正方形∴AB=BC，∠ABM=∠CBM又∵BM=BM,∴ΔABM≌ΔCBM.②∵ΔABM≌ΔCBM，∴∠BAM=∠BCM又∵∠ECF=90o,G是EF的中點∴GC=GF,∴∠GCF=∠F又∵AB∥DF,∴∠BAM=∠F，∴∠BCM=∠GCF∴∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90o∴GC⊥CM(2)成立(3)①當(dāng)點E在BC邊上時∵∠MEC＞90o,要使△MCE是等腰三角形,必須EM=EC,∴∠EMC=∠ECM∴∠AEB=2∠BCM=2∠BAE，∴2∠BAE+∠BAE=90o,∴∠BAE=300∴BE=.②當(dāng)點E在BC的延長線上時,仿①易知BE=.綜上①②,當(dāng)BE=或BE=時，△MCE是等腰三角形.點睛：本題主要考查正方形、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形以及等腰三角形，難度適中，符合學(xué)生的解題要求.24.綜合與實踐如圖1，已知點G在正方形ABCD對角線AC上，GE⊥BC，垂足為E，GF⊥CD，垂足為F．【證明與推斷】（1）①四邊形CEGF的形狀是______________；②的值為_______________；【探究與證明】（2）在圖1的基礎(chǔ)上，將正方形CEGF繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°<α<45°），如圖2所示，試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【拓展與運用】（3）如圖3，在（2）的條件下，正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B、E、F三點共線時，探究AG和GE的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）①正方形；②；（2）AG=BE，理由見解析；（3）AG⊥GE，理由見解析【解析】【分析】（1）①由兩個垂直及正方形的性質(zhì)可得四邊形CEGF是矩形，根據(jù)對角線的性質(zhì)可得CE=GE，從而可得四邊形CEGF是正方形；②根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，再由四邊形CEGF是正方形即可求得比值；（2）AG=BE；連接CG，及折疊的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)可證得△ACG∽△BCE，從而相似三角形的性質(zhì)即可得AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系；（3）AG與GE的位置關(guān)系是垂直；由點B、E、F三點共線及△ACG∽△BCE，可得∠AGC=∠BEC=135°，從而可得點A，G，F(xiàn)三點共線，進而易得AG與GE垂直．【詳解】解：（1）①∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BCD=∠B=90°,∠BCA=45°．∵GE⊥BC，GF⊥CD，∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°,∴四邊形CEGF是矩形．∵∠CGE=∠BCA=45°，∴CE=GE，∴四邊形CEGF是正方形．故答案為：正方形②∵∠B=∠CEG=90°，∴GE∥AB，∴．∵四邊形CEGF是正方形，∴CE=GE，∴由勾股定理得：．∴．故答案為：（2）AG=BE，理由如下：如圖所示，連接CG．由旋轉(zhuǎn)可得∠BCE=∠AGG=，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∴△ABC為等腰直角三角形，∴，由①得四邊形GECF是正方形，∴∠GEC=∠ECF=90°，GE=EC，∴△EGC為等腰直角三角形．∴，∴，∴△ACG∽△BCE，∴．∴線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=BE．（3）AG⊥GE，理由如下∶如圖所示，連接CG，∵∠CEF=45°，點B、E、F三點共線，∴∠BEC=135°．∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC=∠BEC=135°．∴∠AGF=∠AGC+∠CGF=135°+45°=180°，∴點A，G，F(xiàn)三點共線，∴∠AGE=∠AGF-∠EGF=180°-90°=90°，∴AG⊥GE．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方