第20練復(fù)數(shù)的運(yùn)算和三角表示-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)小題練習(xí)（新高考）（解析版）

專題06復(fù)數(shù)

第20練復(fù)數(shù)的運(yùn)算和三角表示

誰(shuí)練基礎(chǔ)

1.（2022?北京?高考真題）若復(fù)數(shù)Z滿足i?z=3-4i,則IZl=（

【答案】B

【解析】由題意有z=?曳=色彳與D=-4-3i,故IZl=J（Y）?+（V）?=5?

故選:B.

2.（2022?廣東?大埔縣虎山中學(xué)模擬）復(fù)數(shù)z=T+i,在復(fù)平面內(nèi)Z的共軌復(fù)數(shù)』所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】復(fù)數(shù)z=T+i,則Z的共軌復(fù)數(shù)W=T-i，復(fù)平面內(nèi)）對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（T,T）

則）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限

故選：C

3.（2022?山東聊城?三模）若復(fù)數(shù)Z滿足z+3i=W,則復(fù)數(shù)Z的虛部為（）

3_3_3._3.

A.—B.—C.-1D.—1

2222

【答案】B

【解析】設(shè)z="+>i（α力∈R）,則/=°-歷,

/、3

因?yàn)閦+3i=z,貝∣Jα+（力+3）i=α-歷，所以，ft+3=-?,解得。二一不，

3

因此，復(fù)數(shù)Z的虛部為-

故選：B.

4.（2022?北京市第五中學(xué)三模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)TL的共軌復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

1-t

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】T?=F‰Γ3%的共規(guī)復(fù)數(shù)為

對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(g,-3,在第四象限，故選D.

5.(2022?上海?模擬)已知z=l+i(其中i為虛數(shù)單位)，則￡=；

【答案】2-2i

【解析】因?yàn)閦=l+i,所以W=Ji,

所以E=2(l-i)=2-2i,

故答案為：2-2i

6.(2022?天津?靜海一中模擬)已知復(fù)數(shù)Z滿足z(l+i)=3-4i(其中i為虛數(shù)單位)，則IR=

【答案】述

2

【解析】IllZ(I+i)=3-4i得Z=三=(3±)9)=3-3i~4i-4=一J.一1,所以』=一:+:i故

1+i222222

故答案為:迪

2

2維練能力

1.(2022?全國(guó)?高考真題)若i(l-z)=l,則z+2=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析］由題設(shè)有l(wèi)-z=:=∕=T,故z=l+i,故z+N=(l+i)+(lT)=2,

故選：D

2.(2022?山東青島?二模)復(fù)數(shù)三(i是虛數(shù)單位)的虛部是()

l-?

A.1B.-iC.2D.-2i

【答案】A

2i2i×(l+i)-2+2i

【解析】由題意可知，T-=TrYTT=F-=T+1，

1-1(l-ι)(l+ι)2

所以復(fù)數(shù)?A的虛部為L(zhǎng)

故選：A.

3.(2022?廣東茂名?二模)已知復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(U),N是Z的共軌復(fù)數(shù)，則:=()

?11.?11.11.

A.-----1—1B.—I—1C.-------1D.---------i

22222222

【答案】B

【解析】Y復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,1),

?*?z=l+i,z=1—i?

11+il÷i1?.

∑-(l-i)(l+i)-2-22-

故選:B.

4.(2022?江蘇無(wú)錫?模擬)已知復(fù)數(shù)Z滿足［-i)i=4+3i,則IZI=()

A.2√5B.3C.2√3D.3√2

【答案】D

【解析】依題意，-z—i=空4+」3i，則有-Z=」(4+3i)(-i)+i=3-4i+i=3-3i,于是得z=3+3i,

1?-(-?)

所以IZl=43。+32=3Λ∕2.

故選：D

5.(2022?湖北?一模)歐拉公式峻=CoS6+isin。(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位)由瑞士數(shù)學(xué)家EWer

(歐拉)首先發(fā)現(xiàn).它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，被稱為“數(shù)學(xué)中

的天橋“，則/=()

A.-1B.1C.-iD.i

【答案】A

【解析】由題意得：e"τ=Coszr+isin;T=-1,

故選：A

6.(2022?湖南岳陽(yáng)?模擬)已知復(fù)數(shù)Z滿足(4+3i)(z-3i)=25,則IZI=

【答案】4

【解析】因?yàn)?4+3i)(z-3i)=25,所以Z="+3i=型!券+3i=4,

所以IZI=J42+()2=4'

故答案為：4

7.（2022?天津?耀華中學(xué)二模）已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z="?l___________.

2+1

【答案】正-旦.

55

【解析】z-^^=√l2+22?—?-=√5?-~?~-=√5?-=^--i,

2+i(2+i)(2+i)(2-i)555

故答案知乎-冬.

8.（2022?江蘇?華羅庚中學(xué)三模）已知復(fù)數(shù)Z=，則z?z=

l-√3i

【答案】！

-√3+i-G+i-√3-i3+11

Z故Z-Z=

［解析］=F??4-4-"ll6"^4

故答案為：?

3堆練素養(yǎng)Jll

1.（2022?江蘇?南京市天印高級(jí)中學(xué)模擬）若復(fù)數(shù)Z滿足（1-i）z=l+i,則5=（)

A.-iB.i

C.1D.-1

【答案】A

【解析】由題意（1—i）z=l+i,得Z=匕?=支立=i,

1-i2

?z=-i,

故選：A

2.（2022?湖北?黃岡中學(xué)模擬）己知復(fù)數(shù)z=l+i,則歸+z∣=（）

A.TwB.4C.3亞D.10

【答案】A

【解析】復(fù)數(shù)z=l+i,則z2=(l+i)2=2i,

故,2+z∣=∣］+3iI=?/l2+32=VlO,

故選：A

3.（2022?北京東城?三模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=τ一,則三對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

l-3i（l-3i）（l-i）-2-4i

【解析】解：Z=F=I=_「2i,故-Ni,

1+1（l+ι）（l-ι）2

所以。對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（-1,2）,位于第二象限.

故選：B

4.（2022?江蘇?南京師大附中模擬）設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z滿足（2-i）z=5,則復(fù)數(shù)Z的共甑復(fù)數(shù)三在復(fù)平

面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】由題意得（2T）Z=5,即Z=F=竺弛=2+i,

2—15

故1=2-i，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（2,-1）在第四象限，

故選：D

5.（2022?海南華僑中學(xué)模擬）已知復(fù)數(shù)Z滿足IW=IZ=且復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則下列結(jié)論正

確的是（）

A.復(fù)數(shù)Z的虛部為正i

2

B.∣z∣2=z?z

C?z2=Z-I

D.復(fù)數(shù)Z的共軌復(fù)數(shù)為■!_3i

22

【答案】BCD

【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z=α+bi（α,beR）.

因?yàn)椴?IZ-Il=1,且復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,

a2+b2=1

2即送+爭(zhēng)

所以=解得:

a>0,?>O

一2

對(duì)于A：復(fù)數(shù)Z的虛部為且.故A錯(cuò)誤；

2

對(duì)于B：IZl=Jg)2+(2^)2=1,ZS=(g+*i).(g-*i)=l.故IZF=Z2B正確；

對(duì)于C：因?yàn)閦°=—+?^-i>l=—■-+?i,z—1=i,所以Z?=z—1.故C正確：

(22J2222

時(shí)于D：復(fù)數(shù)Z的共匏復(fù)數(shù)為！-走i.故D正確.

22

故選：BCD

6.(2022?江蘇南京?模擬)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，下列命題不正確的是(〉

A.若Z是非零復(fù)數(shù)，則Z-I不一定是純虛數(shù)

B.若復(fù)數(shù)Z滿足z2=-.∣,則Z是純虛數(shù)

C.若z：+z；=0,則Zl=O且Z2=O

D.若4,Z為兩個(gè)復(fù)數(shù)，則一定是實(shí)數(shù)

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A,設(shè)z="+Ai(α,beR),?=a-b?^z-^=2bi,但有可能6=(),就不一定是純虛數(shù)，故

A正確；

對(duì)于B,設(shè)z=α+)i",ft∈R),z2=a2-b2-^-2abi,∣z2∣=^a2-b2)2+4a2b2=a2-?-bλ，

C2_2

由條件可知z2=1z2∣,即〃一6+2"i=—m+⑹，所以《^,

因?yàn)椤?，b可同時(shí)為0,所以Z不一定是純虛數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若z∣=l,z2=i,z：+z；=0,故C錯(cuò)誤：

對(duì)于D,設(shè)z∣=α+6i,?=c+di(a,?,c,J∈R),則與=。一4,

所以z∣-N2=(α-C)+(6+d)i不一定是實(shí)數(shù)，故D不正確.

故選:BCD.

7.(2022?上海?位育中學(xué)模擬)如果復(fù)數(shù)Z滿足∣z+i∣+∣z-i∣=2,那么∣z+4+2i∣的最大值是.

【答案】5

【解析1設(shè)z=x+yi,x,yeR,則+舊正^?=2，

變形為Jf+(y+l)2=2一K+-1,兩邊平方后得到I_y=Jf+(y-',

2222

兩邊平方后得到X=O,將X=O代入λ∕χ+(y+l)+λ∕x+(y-l)=2，

即∣y+ι∣+∣y-ι∣=2,故-ι≤y≤ι,

則IZ+4+2i∣=J(x+4)2+(y+2)2=J16+(y+2f,

當(dāng)V=I時(shí)，∣z+4+2i∣=J16+(y+2)2取得最大值,最大值為5

故答案為：5

8.(2022?浙江?杭州高級(jí)中學(xué)模擬)設(shè)z=(1+后)2,則H=.

【答案】4

【解