2023年高考數(shù)學一輪復習習題：第五章第4節(jié)　復　數(shù)

第4節(jié)復數(shù)

考綱要求1.理解復數(shù)的基本概念；2.理解復數(shù)相等的充要條件；3.了解復數(shù)的代數(shù)表示法

及其幾何意義；4.會進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算；5.了解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾

何意義.

知識分類落實回扣知識?夯實基礎(chǔ)

知識梳理

1.復數(shù)的有關(guān)概念

(1)定義：形如α+6i(α,6∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中a叫做復數(shù)Z的實部,匕叫做復數(shù)Z的虛

部(i為虛數(shù)單位).

⑵分類：

項目滿足條件3,〃為實數(shù))

〃+嵐為實數(shù)Ob=O

復數(shù)的分類a+bi為虛數(shù)O8W0

a+bi為純虛數(shù)Oa=OFLb≠0

(3)復數(shù)相等：4+bi=c+diθa=c且b=d(a,b,c,<∕∈R).

(4)共視復數(shù)：.+歷與c+di共?Bθ4=c,b=-d(a,b,c,"CR).

(5)模：向量應(yīng)的模叫做復數(shù)z=a+b?的模，記作∣α+bi∣或∣z∣,即IZI=Ia+歷|=廬筋伍,b

∈R).

2.復數(shù)的幾何意義

⑴復數(shù)z=α+6i-----對應(yīng)復平面內(nèi)的點Z(a,b)(a,?∈R).

(2)復數(shù)z=α+6i(4,?∈R)-----對應(yīng)平面向量應(yīng).

3.復數(shù)的運算

(1)運算法則：設(shè)z∣="+歷，Z2=c+di,a,b,c,<∕∈R.

Zi÷Z2=(。+?i)÷(c+Ji)=(α±c)+(h±√)i.

Zi22=3+?i)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.

Zia+b?ac-?-bd.be-ad,

^+^?TZi(C

(2)幾何意義：復數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.

如圖所示給出的平行四邊形OZIZZ2可以直觀地反映出復數(shù)加減法的幾何意義，即應(yīng)=屈|

+?z2,Z^Z2=OZ2-OZx.

?——常用結(jié)論與微點提醒

1.i的乘方具有周期性

4n4n+l4n+24n+3

i=l,i=i,i=-l,i--i,,4?+,4?+1+14?+2+}4?+3=0>π∈n*.

,1+i.1-i

2.(1±i)=±2i,τr=i；,∣.=—i.

l-?1十i

3.復數(shù)的模與共舸復數(shù)的關(guān)系

z?Z=∣z∣2=∣ZI2.

4.兩個注意點

(1)兩個虛數(shù)不能比較大??；

(2)利用復數(shù)相等"+bi=c+di列方程時，注意α,b,c,d∈R的前提條件.

診斷自測

?■思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

⑴復數(shù)z=α+歷(4,?∈R)Φ,虛部為5.()

(2)復數(shù)中有相等復數(shù)的概念，因此復數(shù)可以比較大小.()

(3)原點是實軸與虛軸的交點.()

(4)復數(shù)的模實質(zhì)上就是復平面內(nèi)復數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復數(shù)對應(yīng)的向量的

模.()

答案(I)X(2)×(3)√(4)√

解析(1)虛部為6(2)虛數(shù)不可以比較大小.

??教材衍化

2.已知i為虛數(shù)單位，。為實數(shù)，復數(shù)Z滿足z+3i=α+αi,若復數(shù)Z是純虛數(shù)，則()

A.ci=3B.u~0C.D.a<0

答案B

解析由z+3i=α+αi,得z-a+(a-3)i.

又因為復數(shù)Z是純虛數(shù)，所以“一C解得α=O.

[α-3≠0,

3.已知(l+2i);=4+3i,貝IJZ=.

答案2+i

4+3i(4+3i)(l-2i)10—5i

解析因為Zl+2i=(l+2i)(l-2i)=~~=2~''所以z=2+i.

＞考題體驗

4.(2020?北京卷)在復平面內(nèi)，復數(shù)Z對應(yīng)的點的坐標是(1,2),則i?z=()

A.1+2iB.—2+iC.1—2iD.-2—i

答案B

解析z=l+2i,二/=耳1+2。=-2+1.故選8.

5.(2019?全國Ill卷改編)設(shè)復數(shù)Z滿足(l+i)z=2i,則IZl=()

A.^B.坐C.-?∣2D.2

答案C

解析法一由(l+i)z=2i,得z=]+j=1+i,

所以∣z∣={l

法二因為2i=(l+i)2,所以由(l+i)z=2i=(l+i)2,得z=l+i,所以∣z∣=√2.

2i一

6.(2021.安慶一中月考)已知復數(shù)Z=Yj7,則Z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為第

________象限.

答案二

_2i_(l-i)2_1_l_i

解析

-(l-i)3^^(l-i)3^-T→-^2-2,

'W=-3+］對應(yīng)的點(一/位于第二象限?

考點分層突破考點聚焦?題型剖析

考點一復數(shù)的相關(guān)概念自主演練

1.(2020.浙江卷)已知α∈R,若α-1+(α-2)i(i為虛數(shù)單位)是實數(shù)，則”=()

A.1B.-1C.2D.-2

答案C

解析由題可知復數(shù)的虛部為“一2,若該復數(shù)為實數(shù)，則〃一2=0,即α=2.故選C.

2.(2019?全國Il卷)設(shè)z=i(2+i),則，=()

A.l+2iB.-l+2iC.l-2iD.-l-2i

答案D

解析’.'z=i(2+i)=—l+2i,z—1—2i.故選D.

3.(2020?全國I卷)若z=l+2i+i3,則∣z∣=()

A.OB.IC.√2D.2

答案C

解析:z=l+2i+i3=l+2i-i=l+i,.?.∣z∣=?√y+∣2=√i故選C.

4.(2021?西安調(diào)研)下面關(guān)于復數(shù)Z=-l+i(其中i為虛數(shù)單位)的結(jié)論正確的是()

Am對應(yīng)的點在第一象限B.∣z∣<∣z+l∣

C.Z的虛部為iD.z+7<0

答案D

ii—1—i?ii

解析?.?z=-l+i,.??4i?='I=T一［則則應(yīng)的點在第三象限，故A

Z—1+1(—1+1)(—l—i.)、2Zz

錯誤；∣z∣=√2,∣z+11=1,故B錯誤；Z的虛部為1,故C錯誤；z+7=-2<0,故D正確.

感悟升華1.復數(shù)z=α+歷(α,?∈R),其中凡人分別是它的實部和虛部.若Z為實數(shù)，則

虛部人=0,與實部“無關(guān)；若Z為虛數(shù)，則虛部6≠0,與實部“無關(guān)；若Z為純虛數(shù)，當

且僅當α=0且%≠0.

2.復數(shù)z=α+bi(<7,SGR)的模記作IZI或∣4+bi∣,即IZl=Ia+=∣=Ma2+".

3.復數(shù)z=〃+bi(4,b∈R)的共朝復數(shù)為Z=a~bi,則z?Z=∣z∣2=∣Z|2,即IZl=IZ∣=pz?z,

若z∈R,則Z=z.

利用上述結(jié)論，可快速、簡潔地解決有關(guān)復數(shù)問題.

考點二復數(shù)的幾何意義師生共研

【例1】(1)(2019?全國I卷)設(shè)復數(shù)Z滿足IZ—i∣=Lz在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為Q,y),貝∣J()

A.(x+l)2+y2=lB.(Λ-1)2+√=1

C.x2+(γ-l)2=lD.JC2+0-+1)2=1

(2)(2020?臨沂質(zhì)檢)已知含=-1+歷,其中α,6是實數(shù),則復數(shù)°一歷在復平面內(nèi)對應(yīng)的

點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案(I)C(2)B

解析⑴由已知條件，可設(shè)Z=X+yi(χ,yGR).

V∣z-i∣=l,Λ∣x+yi-i∣=l,

Λx2÷(y-1)2=+故選C.

(2)由含=-1+慶，

得α=(-l+歷)(l-i)=3-l)+S+l)i,

6+1=0,

即α=-2,b——1,

a—b—1,

復數(shù)a-b?=—2÷i在復平面內(nèi)對應(yīng)點(一2,1),位于第二象限.

感悟升華1.復數(shù)2=Q+bi(α,?∈R)-----對應(yīng)Z(〃，b)一—對應(yīng)OZ=(mb).

2.由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，

可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，使問題的解決更加直觀.

【訓練?)⑴若復數(shù)z=(2+αi)(α-i)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，其中α∈R,i為虛

數(shù)單位，則實數(shù)Q的取值范圍為()

A.(―√2,y∣2)B.(一也，0)

C.(0,√2)D.[0,√2)

(2)(2021?鄭州模擬)已知復數(shù)Zl=I^在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為4,復數(shù)Z2在復平面內(nèi)對應(yīng)的點

為B,若向量祐與虛軸垂直，則Z2的虛部為.

4

答案(I)B(2)—

解析(I)Z=(2+αi)(α-i)=3q+(cp-2)i在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，.二]解

2<0,

得一"?∣2<a<0.

0_2_i_(2T)2_34.

(jz'_2+i-(2+i)(2-i)-5511

所以A(1,卻，

設(shè)復數(shù)Z2對應(yīng)的點B(J?,yo),則Q=Go—州+之)，

又向量B與虛軸垂直，

4,4

.?.yo+m=O,故Z2的虛部yo=一亍

考點三復數(shù)的運算師生共研

【例2】(1)(2020?全國I卷)若z=l+i,則歸2—2z∣=()

A.0B.1C.√2D.2

ab

⑵在數(shù)學中，記表達式ad一松為由，所確定的二階行列式.若在復數(shù)域內(nèi)，zι=l+i,

ca

2+i—Z]Z21

Z2=^j~Z3=Z2，則當=5-i時，Z4的虛部為_______.

2

1一1Z3Z4

答案(I)D(2)-2

解析⑴法一z2-2z=(l+i)2-2(l+i)=-2,∣z2-2z∣=∣-2∣=2.

法二∣z2-2z∣=∣(l+i)2-2(l+i)∣=∣(l+i)(-l+i)∣

=∣l+i∣∣-l+i∣=2.

故選D.

(2)依題意,

2+i(2+i)(l+i)l+3i

因為z?-Z2,且Z2=[_j=2=-?-，

所以Z2?Z3=∣Z2F=∣,

因此有(1+i)Z4—5=3-^i,即(1+i)z4=3-i,

L3-i(3-i)(l-i)

故24=ii?-9=1-2i.

1I14

所以Z4的虛部是一2.

感悟升華I.復數(shù)的加法、減法、乘■法運算可以類比多項式運算，除法關(guān)鍵是分子分母同乘

以分母的共貌復數(shù)，注意要把i的幕寫成最簡形式.

2.記住以下結(jié)論，可提高運算速度：

?Ij?_j

(l)(l±i)2=±2i;(2)告=i；(3)j^-=-i;(4)-fe+αi=i(α+?i);(5)i4π=l,i4n+l=i,i4n+2=

-1,i4n+3=-i(n∈N).

【訓練2】⑴(2020?新高考山東卷)W'=()

A.1B.-1C.iD.-i

(2)(2020?全國Il卷)設(shè)復數(shù)zι,Z2滿足IZII=IZ2∣=2,zι+z2=√3+i,則∣ZLZ2∣=________,

答案(I)D(2)2√3

2-i(2-i)(l-2i)-5i

解析(1)?i.故選D.

l+2i-(l+2i)(l-2i)

(2)法一設(shè)zι=α+6i(0,?∈R),則Z2=小一α+(l—b)i,

IZIF=/+從=%a1+b1-4,

∣z2F=(√5—α)2+(l—6)2=4,增a+b=2.

∣z∣—Z2∣2=(2α—√3)2+(2b~1)2

=4(a2+?2)-4(√3α+fe)+4=12.

因此∣ZI-Z2∣=2√5.

法二設(shè)復數(shù)zι,Z2對應(yīng)的向量為α,h,

則復數(shù)Zi+z2,Zi—Z2對應(yīng)向量為α+6,a—b,

依題意Ial=步I=2,∣α+b∣=2,

又因為∣α+印+∣α—6∣2=2∣4F+2∣印,

所以Ia—臼2=12,故IZl-Z2∣=∣α-b∣=2√5.

法三設(shè)Zι+z2=z=<5+i,則Z在復平面上對應(yīng)的點為P（小，1）,所以∣Z∣+Z2∣=∣Z∣=2,由

平行四邊形法則知OAPB是邊長為2,一條對角線也為2的菱形，則另一條對角線的長為IZl

-Z2∣=2X坐X2=2√l

課后鞏固作業(yè)分層訓練?提升能力

A級基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.設(shè)z=-3+2i,則在復平面內(nèi)"7對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案C

解析Z=-3—2i,故Z對應(yīng)的點（一3,—2）位于第三象限.

2.（2020?全國川卷）復數(shù)號｛的虛部是（）

3113

a?^ιδb?^ioc?ToD?IO

答案D

解析z≈1-3i=（l-3i）（l+3i）=lθ+lθi,虛部為fξ?故選D.

3.（2020?全國Il卷）（1一i）4=（）

A.-4B.4C.-4iD.4i

答案A

解析（∣-i）4=（l-2i+i2）2=（-2i）2=4i2=-4.

4.（2021?全國大聯(lián)考）如圖，復數(shù)z∣,Z2在復平面上分別對應(yīng)點A,B,則z∣?Z2=（）

A.0B.2+i

C.-2-iD.—1+2i

答案C

解析由復數(shù)幾何意義，知a=—l+2i,Z2=i,

?'zι?Z2=i(—1+2i)=-2-i.

5.設(shè)復數(shù)Z滿足IZ—3∣=2,z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為M(a,b),則M不可能為()

A.(2,√3)B.(3,2)

C.(5,0)D.(4,1)

答案D

解析設(shè)z=α+bi(α,?∈R),則Z—3=(。—3)+?i,

/.(?—3)2+?2=4,驗證點M(4/)，不滿足.

13—4i∣

6.(2021?河南部分重點高中聯(lián)考)若復數(shù)M(4∈R)是純虛數(shù)，則。=()

A.-3B.-2C.2D.3

答案B

解析α+C"=α+oDJ??=α+2-i為純虛數(shù).則α+2=0,解得。=—2.

2-ri(2十1)(2一1)

7.設(shè)2I鎧?―2i=α+6i(4,?∈R,i為虛數(shù)單位)，則6—3=()

553

A-2-3Γ.--.

,M?B.2?

3

5=53

C-+D-+

2322-

答案A

解析因為番-2i=洋器92i=|一∣i=α+如所以α=∣,?=-j,因此?出

53

--

22

8.如圖所示，在復平面內(nèi)，復數(shù)z∣,Z2對應(yīng)的向量分別是040B,則復數(shù)Z∣?Z2對應(yīng)的點位

于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案D

解析由圖知萬1=(-2,-1),δβ≈(0,l),

所以ZI=-2—i,Z2=i,ZvZi-1—2i,

所以復數(shù)z∣?Z2所對應(yīng)的點為(1,-2),該點在第四象限.

二、填空題

9?(2020?江蘇卷)已知i是虛數(shù)單位，則復數(shù)z=(l+i)(2T)的實部是.

答案3

解析z=(l+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,所以復數(shù)Z的實部為3.

10.在復平面內(nèi)，。為原點，向量后對應(yīng)的復數(shù)為一l+2i,若點A關(guān)于直線y=-X的對

稱點為B,則向量協(xié)對應(yīng)的復數(shù)為.

答案一2+i

解析因為A(—1,2)關(guān)于直線y=一χ的對稱點B(-2,1),所以向量為對應(yīng)的復數(shù)為-2+

i.

11.己知復數(shù)Z=Fm+2iz,則IZl等于.

答案坐

解析由Z=L^^'+2iz

I÷ι

*l+2il+2i(l+2i)(3+i)l+7i

付Z=(l+i)(l-2i)=3-i=(3-i)(3+i)=IO,

故IZl=扁F+??=乎.

?一αi

12.已知i為虛數(shù)單位，若復數(shù)z=m(qGR)的實部為一3,則IZl=,復數(shù)Z的共

軌復數(shù)Z=.

答案5-3+4i

.1—ai(1—Qi)(I—i)?—Q—3+DL