（初中數(shù)學(xué)）分式方程（近三年中考真題復(fù)習(xí)附答案解析版匯編）

（初中數(shù)學(xué)）分式方程（近三年中考真題專題復(fù)習(xí)附答案解

析版21頁分項匯編）

一、單選題

1.（濟寧?中考真題）一輛汽車開往距出發(fā)地42Okm的目的地，若這輛汽車比原計劃每小時

多行IOkm,則提前1小時到達目的地.設(shè)這輛汽車原計劃的速度是Xkm∕h,根據(jù)題意所列

方程是（）

型=5+1B.超+1=衛(wèi)

Xx-10Xx÷10

420420420420

C.-----==--------+11D.------÷11=--------

Xx+10Xx-10

【答案】C

【分析】設(shè)這輛汽車原計劃的速度是Xkm∕h,,則實際速度為（x+10）km∕h,根據(jù)題意"提前

1小時到達目的地"，列分式方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)這輛汽車原計劃的速度是Xkm∕h,則實際速度為（x+10）km∕h,

根據(jù)題意所列方程是—=一臬+1

Xx+10

故選C

【點睛】本題考查了列分式方程，理解題意列出方程是解題的關(guān)鍵.

2.（濰坊?中考真題）觀察我國原油進口月度走勢圖，2022年4月原油進口量比2021年4

月增加267萬噸'當(dāng)月增速為6.6%（計算方法：怒xKX）%≈66%）.2。22年3月當(dāng)月增

速為-14.0%,設(shè)2021年3月原油進口量為1萬噸，下列算法正確的是（）

原油進口月度走勢

4月1-2月

口當(dāng)月進口量（萬噸）—當(dāng)月增速（％）

x-427I4271-?

A.×100%=-14.0%B.-----------XloO%=-14.0%

42714271

Y-42714271-r

C.------×100%=-14.0%D.-------×100%=：-14.0%

xx

【答案】D

【分析】根據(jù)題意列式即可.

【詳解】解：設(shè)2021年3月原油進口量為X萬噸，

則2022年3月原油進口量比2021年3月增加（4271-x）萬噸,

4271-X

依題意得：X100%=-14.0%,

X

故選：D.

【點睛】本題考查了列分式方程，關(guān)鍵是找出題目蘊含的數(shù)量關(guān)系.

3.（臨沂?中考真題）將5kg濃度為98%的酒精，稀釋為75%的酒精.設(shè)需要加水Xkg,根據(jù)

題意可列方程為（）

Q98X5

A.0.98×5=0.75xB.-:-----=0.75

5+x

05x5

C.0.75x5=0.98XD.J=0.98

5-X

【答案】B

【分析】利用酒精的總質(zhì)量不變列方程即可.

【詳解】設(shè)需要加水Xkg,

由題意得———=0.75,

故選：B.

【點睛】本題考查了分式方程的實際應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4.（淄博?中考真題）甲、乙兩人沿著總長度為IOkm的"健身步道"健步走，甲的速度是乙的

1.2倍，甲比乙提前12分鐘走完全程.設(shè)乙的速度為Λkm∕h,則下列方程中正確的是（）

X1.2x1.2xX?.2xXx1.2X

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可直接進行求解.

【詳解】解：由題意得：3-2=0.2；

X1.2x

故選D.

【點睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，熟練掌握分式方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

5.（臨沂?中考真題）某工廠生產(chǎn)A、B兩種型號的掃地機器人.B型機器人比A型機器人

每小時的清掃面積多50%；清掃IOOm2所用的時間A型機器人比B型機器人多用40分鐘.兩

種型號掃地機器人每小時分別清掃多少面積？若設(shè)A型掃地機器人每小時清掃Xm2,根據(jù)題

意可列方程為（）

IOO10021∞2100

A.--------=+-B,------+-=-----

0.5XX30.5X3X

C10021001001002

C.------F—=-----D.=------F—

X31.5XX1.5X3

【答案】D

【分析】根據(jù)清掃K）Om2所用的時間A型機器人比8型機器人多用40分鐘列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)A型掃地機器人每小時清掃Jar?,

/口1001002

由題意可得：一=

X1.5X3

故選D.

【點睛】本題考查了分式方程的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系.

6.（德州?中考真題）為響應(yīng)“綠色出行"的號召，小王上班由自駕車改為乘坐公交車，已知

小王家距上班地點18km,他乘公交車平均每小時行駛的路程比他自駕車平均每小時行駛的

路程多IOkm,他從家出發(fā)到上班地點，乘公交車所用的時間是自駕車所用時間的金，小王

乘公交車上班平均每小時行駛（）

A.30kmB.36kmC.40kmD.46km

【答案】C

【分析】設(shè)小王用自駕車方式上班平均每小時行駛Λkm,則乘公交車平均每小時行駛

（x+10）km,求出自駕所花時間，和乘公交車所需時間，利用乘公交車所用的時間是自駕車

所用時間的列等量關(guān)系式求解即可.

【詳解】解：設(shè)小王用自駕車方式上班平均每小時行駛Akm,則乘公交車平均每小時行駛

（x+10）km,

入m+,日18183

由遨意得：——--X：，

x+10X4

解得：X=30,

經(jīng)檢驗，x=30是原方程的解,

則x+10=40,

即小王乘公交車上班平均每小時行駛40km,

故選：C.

【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系：乘公交車所用的時間是自

駕車所用時間嗚，列方程求解.

二、填空題

7.(濟南?中考真題)代數(shù)式一3；與代數(shù)式2T的值相等，則X=________.

x+2x-1

【答案】7

【分析】根據(jù)題意列出分式方程，求出方程的解，得到X的值即可.

【詳解】解：團代數(shù)式一3三與代數(shù)式告2的值相等，

x+2X-I

32

團----=——，

X+2X—1

去分母

3(x-l)=2(x+2),

去括號號

3x-3=2x+4,

解得x=7,

檢驗：當(dāng)x=7時，(x+2)(x-l)≠0,

團分式方程的解為X=7.

故答案為:7.

【點睛】本題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗.

8.(濰坊?中考真題)若xV2,?-^-+∣x-2∣+x-l=0,則X=_________.

x-2

【答案】1

【分析】先去掉絕對值符號，整理后方程兩邊都乘以X-2,求出方程的解，再進行檢驗即

可.

【詳解】解：一二+∣x-2∣+x-1=0,

x-2

0x<2,

倒方程為一二+2-χ+χ-1=0,

X-2

方程兩邊都乘以X-2,得1=-(X-2),

解得：x=l,

經(jīng)檢驗X=I是原方程的解，

故答案為：1.

【點睛】本題考查了解分式方程和絕對值，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵.

32

9.(濟南?中考真題)代數(shù)式「與代數(shù)式三的值相等，則X=_______.

x-lx-3

【答案】7

【分析】根據(jù)題意列出分式方程，去分母，解整式方程，再檢驗即可得到答案.

32

【詳解】解：根據(jù)題意得：—-=-

X-Ix—5

去分母得：3X-9=2Λ-2,

解得：x=l,

經(jīng)檢驗x=7是分式方程的解.

故答案為：7.

【點睛】本題考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵.

10.(荷澤?中考真題)方程土土==的解是_____.

XX-I

【答案】X=I

【分析】方程兩邊都乘以X(X-I)化分式方程為整式方程，解整式方程得出X的值，再檢驗

即可得出方程的解.

【詳解】方程兩邊都乘以X(X-1),得：(X-D2=x(x+l),

解得：X=；,

12

檢驗：X=I時，χ(χ-l)=--≠0,

所以分式方程的解為X=：,

故答案為：x=§.

【點睛】本題主要考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的步驟：①去分母；②

求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論.

11.(濰坊?中考真題)若關(guān)于X的分式方程3一r二-1?=77+=3有增根，則用的值為___.

x-2x-2

【答案】3

【分析】把分式方程化為整式方程，進而把可能的增根代入，可得加的值.

【詳解】去分母得3X-(Λ-2)=W+3,

當(dāng)增根為時,6=777+3

0/22=3.

故答案為3.

【點睛】考查分式方程的增根問題；增根問題可按如下步驟進行：①讓最簡公分母為。確

定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.

12.(青島?中考真題)為落實青島市中小學(xué)生“十個一"行動計劃，學(xué)校舉辦以"強體質(zhì)，煉意

志”為主題的體育節(jié)，小亮報名參加3000米比賽項目，經(jīng)過一段時間訓(xùn)練后，比賽時小亮的

平均速度比訓(xùn)練前提高了25%,少用3分鐘跑完全程.設(shè)小亮訓(xùn)練前的平均速度為X米/分，

那么X滿足的分式方程為.

30003000?

【答案】

X(l+25%)x一'

【分析】根據(jù)比賽時小亮的平均速度比訓(xùn)練前提高了25%,可得比賽時小亮平均速度為

(1+25%)X米/分，根據(jù)比賽時所用時間比訓(xùn)練前少用3分鐘列出方程.

【詳解】解：回比賽時小亮的平均速度比訓(xùn)練前提高了25%,小亮訓(xùn)練前的平均速度為X米/

分，

回比賽時小亮平均速度為(1+25%卜米/分，

30003000

根據(jù)題意可得=3,

X(1+25%)X

30003000C

故答案為:------------------------=3

X(1+25%)x

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題

的關(guān)鍵.

13.(東營?中考真題)某地積極響應(yīng)"把綠水青山變成金山銀山，用綠色杠桿撬動經(jīng)濟轉(zhuǎn)型”

發(fā)展理念，開展荒山綠化，打造美好家園，促進旅游發(fā)展.某工程隊承接了90萬平方米的

荒山綠化任務(wù)，為了迎接雨季的到來，實際工作時每天的工作效率比原計劃提高了25%,結(jié)

果提前30天完成了任務(wù).設(shè)原計劃每天綠化的面積為X萬平方米，則所列方程為.

9090C八

［答案］---7------「=30

ll-'a'1X(1+25%)X

【分析】原計劃每天綠化的面積為X萬平方米，則實際每天綠化的面積為(l+25%)x萬平方

米，根據(jù)工作時間=工作總量+工作效率，結(jié)合實際比原計劃提前30天完成了這一任務(wù)，即

可列出關(guān)于X的分式方程.

【詳解】設(shè)原計劃每天綠化的面積為X萬平方米，則實際每天綠化的面積為(1+25%)X萬平

方米，

9090”

依據(jù)題意：:際的T3。

9090CC

故答窠為?----；-=

Iu口呆ΛJ.X(71--+---2-5--%-)X30

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是

解決問題的關(guān)鍵.

三、解答題

14.（日照?中考真題）（1）計算：我+（I）T-√3×cos30°i

x-33

（2）解方程:----bl----

x~∑r2,—X

【答案】⑴2；⑵X=I

【分析】⑴先計算立方根、負指數(shù)、三角函數(shù)值，再進行有理數(shù)加減運算;

（2）找出最簡公分母（x-2）,去分母，變成一元一次方程從而得解.

【詳解】解：⑴原式=2+∣一岳光+|一|二2

、x-33

(z2)--+1=--

X—22-X

兩邊同乘以（X-2）得，X-3+（%-2）=-3,

解得，X=L

經(jīng)檢驗X=I是原分式方程的解.

【點睛】本題考查實數(shù)的混合運算，尤其是負指數(shù)運算，還考查了解分式方程，解題關(guān)鍵是

熟練掌握實數(shù)混合運算順序.

15.（東營?中考真題）為滿足顧客的購物需求，某水果店計劃購進甲、乙兩種水果進行銷售.

經(jīng)了解，甲水果的進價比乙水果的進價低20%,水果店用Iooo元購進甲種水果比用1200

元購進乙種水果的重量多10千克，已知甲，乙兩種水果的售價分別為6元/千克和8元/千

克.

⑴求甲、乙兩種水果的進價分別是多少？

⑵若水果店購進這兩種水果共150千克,其中甲種水果的重量不低于乙種水果重量的2倍，

則水果店應(yīng)如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？

【答案】（1）甲種水果的進價是4元/千克，乙種水果的進價是5元/千克；

（2）水果店購進甲種水果10。千克，乙種水果50千克時獲得最大利潤，最大利潤是350元.

【分析】（1）設(shè)乙種水果的進價是X元/千克，根據(jù)"甲水果的進價比乙水果的進價低20%,

水果店用WOO元購進甲種水果比用1200元購進乙種水果的重量多10千克”列出分式方程,

解方程檢驗后可得出答案；

（2）設(shè)水果店購進甲種水果4千克，獲得的利潤為y元，則購進乙種水果（150—α）千克，

根據(jù)利潤=（售價一進價）X數(shù)量列出y關(guān)于〃的一次函數(shù)解析式，求出”的取值范圍，然

后利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答.

(1)

解：設(shè)乙種水果的進價是X元/千克,

1000≡÷10

由題意得：（］-20%）χ

X

解得：x=5,

經(jīng)檢驗，x=5是分式方程的解且符合題意，

則(1-20%)X=O.8x5=4,

答：甲種水果的進價是4元/千克，乙種水果的進價是5元/千克；

(2)

解：設(shè)水果店購進甲種水果4千克，獲得的利潤為y元，則購進乙種水果(150-α)千克，

由題意得：y=(6-4)a+(8-5)(150-β)=-o+450,

0-KO,

EIy隨"的增大而減小，

SI甲種水果的重量不低于乙種水果重量的2倍，

回422(150-a),

解得：a>100,

回當(dāng)α=100時，y取最大值，此時y=-100+450=350,150-a=50,

答：水果店購進甲種水果100千克，乙種水果50千克時獲得最大利潤，最大利潤是350元.

【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一次函數(shù)與一元一次不等式的應(yīng)用，正確理解題意，

找出合適的等量關(guān)系列出方程和解析式是解題的關(guān)鍵.

16.(范澤?中考真題)某健身器材店計劃購買一批籃球和排球，已知每個籃球進價是每個排

球進價的1.5倍，若用3600元購進籃球的數(shù)量比用3200元購進排球的數(shù)量少10個.

⑴籃球、排球的進價分別為每個多少元？

⑵該健身器材店決定用不多于28000元購進籃球和排球共300個進行銷售，最多可以購買

多少個籃球？

【答案】⑴每個籃球的進價為120元，每個排球的進價為80元.

(2)100個

【分析】(1)設(shè)每個排球的進價為X元，則每個籃球的進價為l?5x元，根據(jù)"用3600元購進

籃球的數(shù)量比用3200元購進排球的數(shù)量少10個"得到方程；即可解得結(jié)果；

(2)設(shè)健身器材店可以購進籃球。個，則購進排球(300-α)個，根據(jù)題意得不等式組即

可得到結(jié)果.

(1)

設(shè)每個排球的進價為X元，則每個籃球的進價為1.5x元

根據(jù)題意得矍=衛(wèi)見-10?

ι.5xX

解得X=80.

經(jīng)檢驗x=80是原分式方程的解.

01.5x=12O(元).

團籃球的進價為120元，排球的進價為80元

答：每個籃球的進價為120元，每個排球的進價為80元.

(2)

設(shè)該體育用品商店可以購進籃球”個，則購進排球(300-0)個，

根據(jù)題意，得120α+80(300-0)≤28000.

解得Λ≤100.

答：該健身器材店最多可以購進籃球100個.

【點睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

17.(日照?中考真題)2022年北京冬奧會的成功舉辦激發(fā)了人們對冰雪運動的熱情.如圖是

某滑雪場的橫截面示意圖，雪道分為AB,8C兩部分，小明同學(xué)在C點測得雪道BC的坡度

/=1：2.4,在A點測得B點的俯角回D4B=30?若雪道AB長為270m,雪道BC長為260m.

⑴求該滑雪場的高度

⑵據(jù)了解，該滑雪場要用兩種不同的造雪設(shè)備來滿足對于雪量和雪質(zhì)的不同要求，其中甲

設(shè)備每小時造雪量比乙設(shè)備少35m?且甲設(shè)備造雪”O(jiān)n?所用的時間與乙設(shè)備造雪500m3

所用的時間相等.求甲、乙兩種設(shè)備每小時的造雪量.

【答案】⑴235團

⑵甲種設(shè)備每小時的造雪量是15m3,則乙種設(shè)備每小時的造雪量是50m3

【分析】(1)過8作8E3ΛD,過。過Afm，兩直線交于尸，過8作BE垂直地面交地面

于E,根據(jù)題知B48F=aθAB=30°,可得4尸=(48=135(m),山BC的坡度i=l：2.4,設(shè)3E=fm,

則CE=24m,可得/2+(2.402=2602,即可得∕ι=AF+BE=235(m)；

(2)設(shè)甲種設(shè)備每小時的造雪量是x∏13,可得：變=二空，即方程并檢驗可得甲種設(shè)備

Xx+35

每小時的造雪量是15rr∣3,則乙種設(shè)備每小時的造雪量是50m3.

(1)解：過B作MlLM>,過A過A甩40,兩直線交于E過8作BE垂直地面交地面于E,

EC

根據(jù)題知SA8尸I=犯45=30°,0AF=^AB=135（m）,ElBe的坡度i=l：2.4,0BE：CE=I-.2.4,

設(shè)BE=rm,貝IJCE=24m,SBE2+CE2=BC2,0/2+（24）2=2602,解得HLOO（m）,（負值己舍

去），^h=AF+BE=235（m）,答：該滑雪場的高度〃為235m；

（2）設(shè)甲種設(shè)備每小時的造雪量是X〃居則乙種設(shè)備每小時的造雪量是（x+35）nA根據(jù)

題意得：—=解得x=15,經(jīng)檢驗，x=15是原方程的解，也符合題意，ar+35=50,

答：甲種設(shè)備每小時的造雪量是15m3,則乙種設(shè)備每小時的造雪量是50m3.

【點睛】本題考查解直角三角形和分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形和列出分

式方程.

18.（聊城?中考真題）為了解決雨季時城市內(nèi)澇的難題，我市決定對部分老街道的地下管網(wǎng)

進行改造.在改造一段長3600米的街道地下管網(wǎng)時,每天的施工效率比原計劃提高了20%,

按這樣的進度可以比原計劃提前10天完成任務(wù).

⑴求實際施工時，每天改造管網(wǎng)的長度；

⑵施工進行20天后，為了減少對交通的影響，施工單位決定再次加快施工進度，以確?？?/p>

工期不超過40天，那么以后每天改造管網(wǎng)至少還要增加多少米？

【答案】⑴實際施工時，每天改造管網(wǎng)的長度是72米

（2）以后每天改造管網(wǎng)至少還要增加36米

【分析】（1）根據(jù)每天的施工效率比原計劃提高了20%,設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)比原計劃提前

10天完成任務(wù)列出方程即可求解；

（2）根據(jù)工期不超過40天列出不等式即可求解.

【詳解】解：（1）設(shè)原計劃每天改造管網(wǎng)X米，則實際施工時每天改造管網(wǎng)（1+20%）X米，

360036000

,

由題意得：--(1+20%)Z°-

解得：x=60,

經(jīng)檢驗，X=60是原方程的解，且符合題意.

此時,60×（1+20%）=72（米）.

答：實際施工時，每天改造管網(wǎng)的長度是72米；

（2）設(shè)以后每天改造管網(wǎng)還要增加優(yōu)米，

由題意得：（40-20）（72+m）N3600-72x20,

解得：w≥36.

答：以后每天改造管網(wǎng)至少還要增加36米.

【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，是中考常規(guī)題型，解題的關(guān)鍵

在于找出題目中的等量關(guān)系、不等關(guān)系，列出方程或不等式.

19.（煙臺?中考真題）掃地機器人具備敏捷的轉(zhuǎn)彎、制動能力和強大的自主感知、規(guī)劃能力，

深受人們喜愛.某商場根據(jù)市場需求，采購了A,B兩種型號掃地機器人.己知8型每個進

價比A型的2倍少400元.采購相同數(shù)量的A,B兩種型號掃地機器人，分別用了96000元

和168000元.請問A,8兩種型號掃地機器人每個進價分別為多少元？

【答案】每個A型掃地機器人的進價為1600元，每個B型掃地機器人的進價為2800元

【分析】設(shè)每個A型掃地機器人的進價為X元，則每個8型掃地機器人的進價為（2x-400）

元，利用數(shù)量=總價+單價，結(jié)合用96000元購進A型掃地機器人的數(shù)量等于用168000元

購進B型掃地機器人的數(shù)量，即可得出關(guān)于X的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可求出每個A

型掃地機器人的進價，再將其代入（2x-400）中即可求出每個8型掃地機器人的進價.

【詳解】設(shè)每個A型掃地機器人的進價為X元，則每個B型掃地機器人的進價為（2x-400）

元，

依題意得：甯=黑

解得：%=1600,

經(jīng)檢驗，x=1600是原方程的解，且符合題意,

02x-400=2×1600-400=2800.

答：每個A型掃地機器人的進價為1600元，每個B型掃地機器人的進價為2800元.

【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

20.（青島?中考真題）某超市經(jīng)銷甲、乙兩種品牌的洗衣液，進貨時發(fā)現(xiàn)，甲品牌洗衣液每

瓶的進價比乙品牌高6元，用1800元購進甲品牌洗衣液的數(shù)量是用1800元購進乙品牌洗

4

衣液數(shù)量的彳.銷售時，甲品牌洗衣液的售價為36元/瓶，乙品牌洗衣液的售價為28元/

瓶.

（1）求兩種品牌洗衣液的進價；

（2）若超市需要購進甲、乙兩種品牌的洗衣液共120瓶，且購進兩種洗衣液的總成本不超

過3120元，超市應(yīng)購進甲、乙兩種品牌洗衣液各多少瓶，才能在兩種洗衣液完全售出后所

獲利潤最大？最大利潤是多少元？

【答案】（1）甲品牌洗衣液進價為30元/瓶，乙品牌洗衣液進價為24元/瓶；（2）購進甲品

牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶時所獲利潤最大，最大利潤是560元

【分析】（1）設(shè)甲品牌洗衣液每瓶的進價是X元，則乙品牌洗衣液每瓶的進價是（x-6）元，

4

根據(jù)數(shù)量=總價÷單價，結(jié)合用1800元購進乙品牌洗衣液數(shù)量的∣?,即可得出關(guān)于X的分式

方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)可以購買加瓶乙品牌洗手液，則可以購買（IOO-W）瓶甲品牌洗手液，根據(jù)總價=單

價X數(shù)量，結(jié)合總費用不超過1645元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m

的取值范圍，再取其中的最大整數(shù)值即可得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）設(shè)甲品牌洗衣液進價為X元/瓶，則乙品牌洗衣液進價為（X-6）元/瓶，

,日…?口180041800

由題意可得，——=-——7，

X5x-6

解得x=30,

經(jīng)檢驗x=30是原方程的解.

答：甲品牌洗衣液進價為30元/瓶，乙品牌洗衣液進價為24元/瓶.

（2）設(shè)利潤為了元，購進甲品牌洗衣液機瓶，

則購進乙品牌洗衣液（120-利）瓶，

山題意可得，30w+24(120-∕n)<3120,

解得"z≤40,

由題意可得，y=(36-30)/n+(28-24)(120-w)=2m+480,

0?=2>O,團了隨加的增大而增大,

回當(dāng)m=40時，>取最大值，為大值=2x40+480=560.

答：購進甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶時所獲利潤最大，最大利潤是560元.

【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵

是靈活運用所學(xué)知識解決問題.

21.（濟南?中考真題）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.某超市節(jié)前購進了甲、乙兩種

暢銷口味的粽子.已知購進甲種粽子的金額是1200元，購進乙種粽子的金額是800元，購

進甲種粽子的數(shù)量比乙種粽子的數(shù)量少50個，甲種粽子的單價是乙種粽子單價的2倍.

（1）求甲、乙兩種粽子的單價分別是多少元？

（2）為滿足消費者需求，該超市準(zhǔn)備再次購進甲、乙兩種粽子共200個，若總金額不超過

1150元，問最多購進多少個甲種粽子？

【答案】（1）乙種粽子的單價為4元，則甲種粽子的單價為8元；（2）最多購進87個甲種

粽子

【分析】（1）設(shè)乙種粽子的單價為X元，則甲種粽子的單價為〃元，然后根據(jù)“購進甲種粽

子的金額是1200元，購進乙種粽子的金額是800元，購進甲種粽子的數(shù)量比乙種粽子的數(shù)

量少50個"可列方程求解；

（2）設(shè)購進，"個甲種粽子，則購進乙種粽子為（200-∕n）個，然后根據(jù)（1）及題意可列不

等式進行求解.

【詳解】解：（1）設(shè)乙種粽子的單價為X元，則甲種粽子的單價為Zr元，由題意得:

解得：x=4,

經(jīng)檢驗x=4是原方程的解，

答：乙種粽子的單價為4元，則甲種粽子的單價為8元.

（2）設(shè)購進，”個甲種粽子，則購進乙種粽子為（200-,"）個，由（1）及題意得：

8∕w+4（200-m）＜1150,

解得：m≤87.5,

團/n為正整數(shù)，

回"?的最大值為87；

答：最多購進87個甲種粽子.

【點睛】本題主要考查分式及一元一次不等式的應(yīng)用，熟練掌握分式方程的解法及一元一次

不等式的解法是解題的關(guān)鍵.

22.（威海?中考真題）六一兒童節(jié)來臨之際，某商店用3000元購進一批玩具，很快售完；

第二次購進時，每件的進價提高了20%,同樣用3000元購進的數(shù)量比第一次少了10件.

（1）求第一次每件的進價為多少元？

（2）若兩次購進的玩具售價均為70元，且全部售完，求兩次的總利潤為多少元？

【答案】（1）第一次每件的進價為50元；（2）兩次的總利潤為1700元.

【分析】（1）設(shè)第一次每件的進價為X元，則第二次進價為（1+20%）X,根據(jù)等量關(guān)系，

列出分式方程，即可求解；

（2）根據(jù)總利潤=總售價-總成本，列出算式，即可求解.

【詳解】解：（1）設(shè)第一次每件的進價為X元，則第二次進價為（1+20%）X,

10

根據(jù)題意得：—-/1+20%）-=,解得：x=50,

經(jīng)檢驗：x=50是方程的解，且符合題意，

答：第一次每件的進價為50元；

（2）[^≡+-~——1×70-6000=1700（元），

150（l+20%）×50J7

答：兩次的總利潤為1700元.

【點睛】本題主要考查分式方程的實際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出分式方程，是解題的關(guān)鍵.

23.（聊城?中考真題）為迎接建黨一百周年，我市計劃用兩種花卉對某廣場進行美化.已知

用600元購買A種花卉與用900元購買B種花卉的數(shù)量相等，且B種花卉每盆比A種花卉

多0?5元.

（I）A,8兩種花卉每盆各多少元？

（2）計劃購買A,B兩種花卉共6000盆，其中4種花卉的數(shù)量不超過B種花卉數(shù)量的;，

求購買A種花卉多少盆時，購買這批花卉總費用最低，最低費用是多少元？

【答案】（1）A種花棄每盆1元，B種花卉每盆1.5元；（2）購買A種花卉1500盆時購買

這批花卉總費用最低，最低費用為8250元

【分析】（1）設(shè)A種花棄每盆X元，B種花卉每盆（x+0.5）元，根據(jù)題意列分式方程，

解出方程并檢驗；

（2）設(shè)購買A種花卉配盆，購買這批花卉的總費用為W元，則∕≤g（6000-r）,w=t+1.5

（6000-r）=-0.5r+9000,卬隨r的增大而減小，所以根據(jù)r的范圍可以求得W的最小值.

【詳解】解：（1）設(shè)4種花棄每盆X元，B種花卉每盆（Λ+0.5）元.

ggg*600900

根據(jù)題意，得zn一=——.

Xx+0.5

解這個方程，得X=1.

經(jīng)檢驗知，χ=l是原分式方程的根，并符合題意.

此時x+0.5=l+0.5=1.5（元）.

所以，A種花棄每盆1元，B種花卉每盆1.5元.

（2）設(shè)購買A種花卉W盆，購買這批花卉的總費用為W元，則f≤g（6000-r）,

解得EIWl500.

由題意，得w=f+1.5（6000-/）=-0.5/+9000.

因為W是f的一次函數(shù)，?=-0.5<0,W隨f的增大而減小，所以當(dāng)r=1500盆時，W最小.

W=-0.5x1500+9000=8250（元）.

所以，購買A種花卉1500盆時購買這批花卉總費用最低，最低費用為8250元.

【點睛】本題主要考查了分式方程解決實際問題和一次函數(shù)求最值，根據(jù)等量關(guān)系列出方程

和函數(shù)關(guān)系式及取值范圍是解題關(guān)鍵.

24.（濟寧?中考真題）某商場購進甲、乙兩種商品共IOC）箱，全部售完后，甲商品共盈利900

元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元.

（1）求甲、乙兩種商品每箱各盈利多少元？

（2）甲、乙兩種商品全部售完后，該商場又購進一批甲商品，在原每箱盈利不變的前提下，

平均每天可賣出100箱.如調(diào)整價格，每降價1元，平均每天可以多賣出20箱，那么當(dāng)降

價多少元時，該商場利潤最大？最大利潤是多少？

【答案】（1）甲種商品每箱盈利15元，則乙種商品每箱盈利10元；（2〉當(dāng)降價5元時，該

商場利潤最大，最大利潤是2000元.

【分析】（1）設(shè)甲種商品每箱盈利X元，則乙種商品每箱盈利（『5）元，根據(jù)題意列出方

程，解方程即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)甲種商品降價。元，則每天可多賣出204箱，利潤為卬元，根據(jù)題意列出函數(shù)解析

式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值.

【詳解】解：（1）設(shè)甲種商品每箱盈利X元，則乙種商品每箱盈利（『5）元，根據(jù)題意得：

900400

——+-------=100,

Xx-5

整理得：X2-18X+45=0,

解得：x=15或x=3（舍去），

經(jīng)檢驗，x=15是原分式方程的解，符合實際，

ar-5=15-5=10（元），

答：甲種商品每箱盈利15元，則乙種商品每箱盈利10元；

（2）設(shè)甲種商品降價。元，則每天可多賣出204箱，利潤為卬元，由題意得：

w=（15-α）（IOo+2Oa）=-2002+200α+1500=-20（α-5）2+2OOO,

0dr=-2O,

當(dāng)a=5時,，函數(shù)有最大值，最大值是2000元，

答：當(dāng)降價5元時，該商場利潤最大，最大利潤是2000元.

【點睛】本題考查了分式方程及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找出等量關(guān)系，

準(zhǔn)確列出分式方程及函數(shù)關(guān)系式.

25.（淄博?中考真題）如圖，著名旅游景區(qū)B位于大山深處，原來到此旅游需要繞行C地,

沿折線A?÷CfB方可到達.當(dāng)?shù)卣疄榱嗽鰪娋皡^(qū)的吸引力，發(fā)展壯大旅游經(jīng)濟，修建了一

條從A地到景區(qū)B的筆直公路.請結(jié)合回A=45。，回B=30°,BC=Ic）O千米，√2≈1?4,√3≈1?7

等數(shù)據(jù)信息，解答下列問題：

（1）公路修建后，從A地到景區(qū)B旅游可以少走多少千米？

（2）為迎接旅游旺季的到來，修建公路時，施工隊使用了新的施工技術(shù)，實際工作時每天

的工效比原計劃增加25%,結(jié)果提前50天完成了施工任務(wù).求施工隊原計劃每天修建多少

千米？

【答案】（1）從A地到景區(qū)B旅游可以少走35千米；（2）施工隊原計劃每天修建0.55千米.

【分析】（1）過點C作AB的垂線CD,垂足為D,在直角團BCD中，解直角三角形求出CD

的長度和BD的長度，在直角團ACD中，解直角三角形求出AD的長度和AC的長度，再求出

AB的長度，進而求出從A地到景區(qū)B旅游可以少走多少千米；

（2）本題先由題意找出等量關(guān)系即原計劃的工作時間-實際的工作時間=50,然后列出方

程可求出結(jié)果，最后檢驗并作答.

【詳解】解：（1）過點C作AB的垂線CD,垂足為D,

CD

在直角IZlBCDrti,AB團CD,si∩30°=—,BC=IOOO千米，

BC

BCD=BC?sin30°=100×?=50（千米），BD=BC?cos30°=IOOx正=50右（千米），

22

CD

在直角EIACD中，AD=CD=50（千米），AC=--------Γ=50√2（千米），

sin45

0AB=50+50√3（千米），

0AC+BC-AB=50√2+100-（50+50√3）=50+50&-50√3≈35（千米）.

（2）設(shè)施工隊原計劃每天修建X千米,

法四i*右50+50百5O+5O√3

依題懸有，--------------------=50,

X（1+25%）X

解得X="+1≈0.55,

5

經(jīng)檢驗x=0.55是原分式方程的解.

答：施工隊原計劃每天修建0.55千米.

26.（威海?中考真題）在"旅游示范公路”建設(shè)的的中，工程隊計劃在海邊某路段修建一條長

1200加的步行道，由于采用新的施工方式平均每天修建步行道的長度是計劃的1.5倍，結(jié)果

提前5天完成任務(wù)，求計劃平均每天修建的長度.

【答案】80m

【分析】設(shè)計劃平均每天修建步行道的長度為xm,則采用新的施工方式后平均每天修建步

行道的長度為l?5xm,根據(jù)工作時間=工作總量+工作效率結(jié)合實際比原計劃提前5天完成

任務(wù)，即可得出關(guān)于X的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)計劃平均每天修建步行道的長度為xm,則采用新的施工方式后平均每天修

建步行道的長度為1.5×m,

12001200U

依題意，得:---------------=5

X1.5x

解得：×=80,

經(jīng)檢驗，x=80是原方程的解，且符合題意，

答：計劃平均每天修建步行道的長度為80m.

【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

27.(青島?中考真題)為讓更多的學(xué)生學(xué)會游泳，少年宮新建一個游泳池，其容積為480濟，

該游泳池有甲、乙兩個進水口，注水時每個進水口各自的注水速度保持不變，同時打開甲、

乙兩個進水口注水，游泳池的蓄水量y(m')與注水時間f∕)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象

如圖所示.

(1)根據(jù)圖象求游泳池的蓄水量y(m')與注水時間《向之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出同時打

開甲、乙兩個進水口的注水速度；

(2)現(xiàn)將游泳池的水全部排空，對池內(nèi)消毒后再重新注水.已知單獨打開甲進水口注滿游

泳池所用時間是單獨打開乙進水口注滿游泳池所用時間的4:倍.求單獨打開甲進水口注滿游

泳池需多少小時？

【答案】(I)y=140t+100,140m3∕h;(2)8h

【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求出y與t的函數(shù)關(guān)系式，然后求出注滿水池用的時間，進

而可求出同時打開甲、乙兩個進水口的注水速度；

(2)設(shè)甲的注水速度是xm3∕h,則乙的注水速度是(140-x)m3∕h,根據(jù)單獨打開甲進水口注

4

滿游泳池所用時間是單獨打開乙進水口注滿游泳池所用時間的J倍列方程求解即可.

【詳解】解：(1)設(shè)y=kt+100,把(2,380)代入得，

2k+100=380,

解得

k=140,

0y=14Ot+lOO,

當(dāng)y=480時,

則480=140t+100,

19

解得t=；,

19

（480-100）÷y=140m3∕h;

0y=14Ot+lOO,同時打開甲、乙兩個進水口的注水速度是140r∏3∕h;

（2）設(shè)甲的注水速度是xr∏3∕h,則乙的注水速度是（140-x）m3∕h,由題意得

4804480

------=—X-----------,

X3140-x

解得x=60,

經(jīng)檢驗x=60符合題意，

嘰8（h）,

60

團單獨打開甲進水口注滿游泳池需8h.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法是解（1）的關(guān)鍵，

找出數(shù)量關(guān)系列出方程是解（2）的關(guān)鍵.

28.（泰安?中考真題）中國是最早發(fā)現(xiàn)并利用茶的國家，形成了具有獨特魅力的茶文化2020

年5月21日以“茶和世界共品共享”為主題的第一屆國際茶日在中國召開.某茶店用4000元

購進了A種茶葉若干盒，用8400元購進B種茶葉若干盒，所購8種茶葉比A種茶葉多10

盒，且8種茶葉每盒進價是A種茶葉每盒進價的1.4倍.

（I）A,B兩種茶葉每盒進價分別為多少元？

（2）第一次所購茶葉全部售完后第二次購進4,8兩種茶葉共IOo盒（進價不變），A種茶

葉的售價是每盒300元，B種茶葉的售價是每盒400元.兩種茶葉各售出一半后，為慶祝國

際茶日，兩種茶葉均打七折銷售，全部售出后，第二次所購茶葉的利潤為5800元（不考慮

其他因素），求本次購進A,8兩種茶葉各多少盒？

【答案】（1）A,8兩種茶葉每盒進價分別為200元，280元；（2）第二次購進A種茶葉40

盒，B種茶葉60盒

【分析】（1）設(shè)A種茶葉每盒進價為X元，則B種茶葉每盒進價為L4x元，根據(jù)"4000元購

進了A種茶葉若干盒，用8400元購進8種茶葉若干盒,所購B種茶葉比A種茶葉多10盒”

列出分式方程解答，并檢驗即可；

（2）設(shè)第二次A種茶葉購進m盒，則B種茶葉購進（Ioo-W）盒，根據(jù)題意，表達出打折前

后，A,B兩種茶葉的利潤，列出方程即可解答.

【詳解】解：（1）設(shè)A種茶葉每盒進價為X元，則8種茶葉每盒進價為l?4x元.

根據(jù)題意，得

4000S8400

------+10=-------.

X1.4x

解得x=200.

經(jīng)檢驗：乂=200是原方程的根.

01.4x=1.4×2∞=28O（元）.

0A,8兩種茶葉每盒進價分別為200元，280元.

（2）設(shè)第二次A種茶葉購進機盒，則B種茶葉購進（1（X）-〃。盒.

打折前A種茶葉的利潤為3xl00=50,”.

1℃_

8種茶葉的利潤為------×120=60∞-60〃?.

2

打折后A種茶葉的利潤為^xIO=5根.

8種茶葉的利潤為0.

由題意得：50/7?+6000-60m+5m=5800.

解方程，得：m=40.

EIloo-機=IOO-40=60（盒）.

團第二次購進A種茶葉40盒，B種茶葉60盒.

【點睛】本題考查了分式方程及一元一次方程的實際應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，

找出等量關(guān)系，列出方程，并注意分式方程一定要檢驗.

29.（德州?中考真題）小剛?cè)コ匈徺I畫筆，第一次花60元買了若干支A型畫筆，第二次

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