遼寧省大連市瓦房店市2024屆九年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷(含答案)

遼寧省大連市瓦房店市2023-2024學(xué)年上學(xué)期九年級10月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本題共10小題，每小題各2分，共20分）1．下列關(guān)于x的方程中，是一元二次方程的為（）A． B．x2﹣4＝2y C．﹣2x2+3＝0 D．（a﹣1）x2﹣2x＝02．下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．把拋物線y＝x2+bx+c的圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式是y＝x2﹣2x+5，則有（）A．b＝3，c＝7 B．b＝﹣9，c＝﹣15 C．b＝3，c＝3 D．b＝4，c＝104．方程4x2﹣12x＝3的根的情況為（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．無法確定5．拋物線y＝（x﹣2）2+3的對稱軸是（）A．直線x＝2 B．直線x＝3 C．直線x＝﹣2 D．直線x＝﹣36．某城市為了申辦冬運會，決定改善城市容貌，綠化環(huán)境，計劃用兩年時間，使綠地面積增加44%，這兩年平均每年綠地面積的增長率是（）A．19% B．20% C．21% D．22%7．關(guān)于拋物線y＝x2﹣2x+1，下列說法錯誤的是（）A．開口向上 B．與x軸有一個交點 C．對稱軸是直線x＝1 D．當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而減小8．二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象如圖所示：若點A（x1，y1），B（x2，y2）在此函數(shù)圖象上，x1＜x2＜1，y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y29．根據(jù)下列表格的對應(yīng)值：x0.590.600.610.620.63x2+x﹣1﹣0.0619﹣0.04﹣0.01790.00440.0269判斷方程x2+x﹣1＝0一個解的取值范圍是（）A．0.59＜x＜0.60 B．0.60＜x＜0.61 C．0.61＜x＜0.62 D．0.62＜x＜0.6310．如圖，四邊形ABCD是正方形，AB＝2，點P為射線BC上一點，連接DP，將DP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EP，過B作EP平行線交DC延長線于F．設(shè)BP長為x，四邊形BFEP的面積為y，下列圖象能正確反映出y與x函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．二、填空題（每小題3分，共18分）11．若方程mx2+3x﹣4﹣4x＝0是關(guān)于x的一元二次方程．則m的取值范圍是．12．如圖，△ABC為等邊三角形，△AO′B繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后能與△AOC重合，則∠OAO′＝度．13．關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0總有實數(shù)根，則m的取值范圍為．14．如圖，Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8．點P從點A出發(fā)，以1個單位/秒的速度向B移動，同時，點Q從點B出發(fā)，以2個單位/秒的速度向點C移動，運動秒后，△PBQ面積為5個平方單位．15．若拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與拋物線y＝x2﹣4x+3的圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)y＝ax2+bx+c的解析式為．16．已知拋物線y＝x2+bx+c與y軸交于點A，與x軸的正半軸交于B、C兩點，且BC＝2，S△ABC＝3，那么b＝．三、解答題（第17每小題8分，共8分，第18、19題各8分，共24分）17．解方程：（1）x2﹣5x+1＝0；（2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0．（1）求證：該方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若該方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿足x1x2+x1+x2＝3，求m的值．19．如圖，某小區(qū)在寬20m，長32m的矩形地面上修筑同樣寬的人行道（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪．要使草坪的面積為540m2，求道路的寬．四、解答題（每小題8分，共16分）20．如圖所示，有一座拋物線形拱橋，橋下面在正常水位AB時，寬20m，水位上升3m就達(dá)到警戒線CD，這時水面寬度為10m．（1）在如圖的坐標(biāo)系中求拋物線的解析式；（2）若洪水到來時，水位以每小時0.2m的速度上升，從警戒線開始，再持續(xù)多少小時才能到達(dá)拱橋頂？21．如圖，拋物線與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點，且OA＝2，OC＝3．（1）求拋物線解析式；（2）點P為拋物線的頂點，求△BPC的面積．五、解答題（本題8分）22．某商場經(jīng)營某種品牌的玩具，購進(jìn)時的單價是30元，根據(jù)市場調(diào)查：在一段時間內(nèi)，銷售單價是40元時，銷售量是600件，而銷售單價每漲1元，就會少售出10件玩具．（1）不妨設(shè)該種品牌玩具的銷售單價為x元（x＞40），請你用x的代數(shù)式來表示銷售該品牌玩具銷售量為件（請化簡）．（2）在（1）問條件下，若商場獲得了10000元銷售利潤，求該玩具銷售單價．（3）在（1）問條件下，問當(dāng)單價為多少時商場銷售該品牌玩具可獲得最大利潤？最大利潤是多少？六、解答題（本題10分）23．已知拋物線y＝x2+bx與直線y＝2x交于點O（0，0）、A（a，12）．（1）求拋物線的解析式；（2）將射線OA繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45°后與拋物線交于點P，求P點的坐標(biāo)．七、解答題（本題12分）24．已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D在BC邊上，以AD為直角邊作等腰直角△ADE，∠DAE＝90°．（1）如圖1，連接CE，直接寫出BD和CE的關(guān)系．（2）如圖2，過點A作AG⊥DE，垂足為點G，交線段BC于點F，連接CG，探究DA與GC的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖3，若過點A作AF⊥DE交射線BC于點F，交DE于點G，連接CG．若BC＝4FC，，求CG的長．八、（本題12分）25．如圖，拋物線的解析式為與x軸的兩個交點為A、B，與y軸交于點C，直線y＝kx+b經(jīng)過A、C兩點．（1）求直線AC的函數(shù)表達(dá)式；（2）圖1，若點P是x軸正半軸上一點，過點P作PF⊥x軸交拋物線于點F，交直線AC于點E，若，求點F的坐標(biāo)；（3）點D拋物線上一點，且∠ACD＝∠BAC，求點D的坐標(biāo)．

參考答案一、單選題（本題共10小題，每小題各2分，共20分）1．下列關(guān)于x的方程中，是一元二次方程的為（）A． B．x2﹣4＝2y C．﹣2x2+3＝0 D．（a﹣1）x2﹣2x＝0解：A．是分式方程，不是一元二次方程，不符合題意；B．x2﹣4＝2y是二元二次方程，不符合題意；C．﹣2x2+3＝0是一元二次方程，符合題意；D．當(dāng)a＝1時，（a﹣1）x2﹣2x＝0化為一元一次方程﹣2x＝0，不符合題意．故選：C．2．下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．解：A．原圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意；B．原圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意原；C．原圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意；D．原圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意原．故選：C．3．把拋物線y＝x2+bx+c的圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式是y＝x2﹣2x+5，則有（）A．b＝3，c＝7 B．b＝﹣9，c＝﹣15 C．b＝3，c＝3 D．b＝4，c＝10解：∵y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4，∴拋物線頂點坐標(biāo)為（1，4），依題意，得平移前拋物線頂點坐標(biāo)為（﹣2，6），∵平移不改變二次項系數(shù)，∴y＝（x+2）2+6＝x2+4x+10，比較系數(shù)，得b＝4，c＝10．故選：D．4．方程4x2﹣12x＝3的根的情況為（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．無法確定解：原方程可化為4x2﹣12x﹣3＝0，∵Δ＝（﹣12）2﹣4×4×（﹣3）＝144+48＝192＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．5．拋物線y＝（x﹣2）2+3的對稱軸是（）A．直線x＝2 B．直線x＝3 C．直線x＝﹣2 D．直線x＝﹣3解：y＝﹣（x﹣2）2+3，對稱軸是直線x＝2．故選：A．6．某城市為了申辦冬運會，決定改善城市容貌，綠化環(huán)境，計劃用兩年時間，使綠地面積增加44%，這兩年平均每年綠地面積的增長率是（）A．19% B．20% C．21% D．22%解：設(shè)每年增長率為x，綠地面積為1，依題意得第一年的綠地面積為：1+x，則第二年的綠地面積為：（1+x）（1+x），則（1+x）（1+x）＝1+44%，解得x＝20%（負(fù)值已舍），故選：B．7．關(guān)于拋物線y＝x2﹣2x+1，下列說法錯誤的是（）A．開口向上 B．與x軸有一個交點 C．對稱軸是直線x＝1 D．當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而減小解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴拋物線開口向上，對稱軸為x＝1，當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而增大，∴A、C正確，D不正確；令y＝0可得（x﹣1）2＝0，該方程有兩個相等的實數(shù)根，∴拋物線與x軸有一個交點，∴B正確；故選：D．8．二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象如圖所示：若點A（x1，y1），B（x2，y2）在此函數(shù)圖象上，x1＜x2＜1，y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2解：∵a＜0，x1＜x2＜1，∴y隨x的增大而增大∴y1＜y2．故選：B．9．根據(jù)下列表格的對應(yīng)值：x0.590.600.610.620.63x2+x﹣1﹣0.0619﹣0.04﹣0.01790.00440.0269判斷方程x2+x﹣1＝0一個解的取值范圍是（）A．0.59＜x＜0.60 B．0.60＜x＜0.61 C．0.61＜x＜0.62 D．0.62＜x＜0.63解：∵x＝0.61時，x2+x﹣1＝﹣0.0179；x＝0.62時，x2+x﹣1＝0.0044，∴方程x2+x﹣1＝0一個解x的范圍為0.61＜x＜0.62．故選：C．10．如圖，四邊形ABCD是正方形，AB＝2，點P為射線BC上一點，連接DP，將DP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EP，過B作EP平行線交DC延長線于F．設(shè)BP長為x，四邊形BFEP的面積為y，下列圖象能正確反映出y與x函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．解：方法一：由題意知，當(dāng)P點在C點右側(cè)時，BP越大，則四邊形BFEP的面積越大，故D選項符合題意；方法二：如圖，當(dāng)P點在BC之間時，作EH⊥BC于H，∵∠DPE＝90°，∴∠DPC+∠EPH＝90°，∵∠DPC+∠PDC＝90°，∴∠EPH＝∠PDC，在△EPH和△PDC中，，∴△EPH≌△PDC（AAS），∵BP＝x，AB＝BC＝2，∴PC＝EH＝2﹣x，∴四邊形BPEF的面積y＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x，同理可得當(dāng)P點在C點右側(cè)時，EH＝PC＝x﹣2，∴四邊形BPEF的面積y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，綜上所述，當(dāng)0＜x＜2時，函數(shù)圖象為開口方向向下的拋物線，當(dāng)x＞2時，函數(shù)圖象為開口方向向上的拋物線，故選：D．二、填空題（每小題3分，共18分）11．若方程mx2+3x﹣4﹣4x＝0是關(guān)于x的一元二次方程．則m的取值范圍是m≠0．解：∵方程mx2+3x﹣4﹣4x＝0是關(guān)于x的一元二次方程，∴m≠0，故答案為：m≠0．12．如圖，△ABC為等邊三角形，△AO′B繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后能與△AOC重合，則∠OAO′＝60度．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵△ABO′是由△ACO旋轉(zhuǎn)所得，∴∠OAO′＝∠CAB＝60°，故答案為60．13．關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0總有實數(shù)根，則m的取值范圍為m≥．解：當(dāng)m﹣1＝0，即m＝1時，由（m﹣1）x2+2x﹣3＝0得2x﹣3＝0，此時方程有解；當(dāng)m﹣1≠0，，由題意得，Δ＝22﹣4×（m﹣1）×（﹣3）≥0．∴m≥且m≠1．綜上：m≥．故答案為：m≥．14．如圖，Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8．點P從點A出發(fā)，以1個單位/秒的速度向B移動，同時，點Q從點B出發(fā)，以2個單位/秒的速度向點C移動，運動1秒后，△PBQ面積為5個平方單位．解：由題意：PA＝t，BQ＝2t，則PB＝6﹣t，∵×（6﹣t）×2t＝5，解得t＝1或5（舍棄），故答案為1．15．若拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與拋物線y＝x2﹣4x+3的圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)y＝ax2+bx+c的解析式為y＝x2+4x+3．解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與拋物線y＝x2﹣4x+3的圖象關(guān)于y軸對稱，∴函數(shù)y＝ax2+bx+c的解析式為：y＝（﹣x）2﹣4（﹣x）+3＝x2+4x+3．故答案為：y＝x2+4x+3．16．已知拋物線y＝x2+bx+c與y軸交于點A，與x軸的正半軸交于B、C兩點，且BC＝2，S△ABC＝3，那么b＝﹣4．解：∵拋物線y＝x2+bx+c與y軸交于點A，令x＝0得，A（0，c），∵該拋物線的開口向上，且與x軸的正半軸交于B、C兩點，∴拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸，∴c＞0，設(shè)方程x2+bx+c＝0的兩個根為x1，x2，∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝c，∵BC＝2＝|x1﹣x2|．∵S△ABC＝3，∴＝3，∴c＝3，∵|x1﹣x2|＝＝，∴4＝b2﹣12，∵x1+x2＝﹣b＞0∴b＜0∴b＝﹣4．三、解答題（第17每小題8分，共8分，第18、19題各8分，共24分）17．解方程：（1）x2﹣5x+1＝0；（2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．解：（1）x2﹣5x+1＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝25﹣4×1×1＝21＞0，∴x＝x1＝，x2＝；（2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2），3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，（x﹣2）（3x﹣6﹣x）＝0，解得：x1＝2，x2＝3．18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0．（1）求證：該方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若該方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿足x1x2+x1+x2＝3，求m的值．解析：（1）證明：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×（﹣m2）＝16+4m2．∵m2≥0，∴16+4m2＞0，即Δ＞0，∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）解：∵方程x2﹣4x﹣m2＝0的兩個實數(shù)根分別為x1、x2，∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣m2．又∵x1x2+x1+x2＝3，∴﹣m2+4＝3，即m2＝1，解得m＝±1．故m的值為±1．19．如圖，某小區(qū)在寬20m，長32m的矩形地面上修筑同樣寬的人行道（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪．要使草坪的面積為540m2，求道路的寬．解法一：原圖經(jīng)過平移轉(zhuǎn)化為圖1．設(shè)道路寬為X米，根據(jù)題意，得（20﹣x）（32﹣x）＝540．整理得x2﹣52x+100＝0．解得x1＝50（不合題意，舍去），x2＝2．答：道路寬為2米．解法二：原圖經(jīng)過平移轉(zhuǎn)化為圖2．設(shè)道路寬為x米，根據(jù)題意，20×32﹣（20+32）x+x2＝540整理得x2﹣52x+100＝0．解得x1＝50（不合題意，舍去），x2＝2．答：道路寬為2米．四、解答題（每小題8分，共16分）20．如圖所示，有一座拋物線形拱橋，橋下面在正常水位AB時，寬20m，水位上升3m就達(dá)到警戒線CD，這時水面寬度為10m．（1）在如圖的坐標(biāo)系中求拋物線的解析式；（2）若洪水到來時，水位以每小時0.2m的速度上升，從警戒線開始，再持續(xù)多少小時才能到達(dá)拱橋頂？解：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為：y＝ax2（a≠0），由CD＝10m，可設(shè)D（5，b），由AB＝20m，水位上升3m就達(dá)到警戒線CD，則B（10，b﹣3），把D、B的坐標(biāo)分別代入y＝ax2得：，解得．∴y＝；（2）∵b＝﹣1，∴拱橋頂O到CD的距離為1m，∴＝5（小時）．所以再持續(xù)5小時到達(dá)拱橋頂．21．如圖，拋物線與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點，且OA＝2，OC＝3．（1）求拋物線解析式；（2）點P為拋物線的頂點，求△BPC的面積．解：（1）∵OA＝2，OC＝3，∴A（﹣2，0），C（0，3），∵點A、C在拋物線的圖象上，∴，解得：，∴拋物線解析式為；（2）令x＝0，得，解得：x1＝﹣2，x2＝3，∴B（3，0），如圖，設(shè)拋物線的對稱軸交BC于點D，設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n，則，解得：，直線BC的解析式為y＝﹣x+3，由＝，可知拋物線的對稱軸為直線x＝，P，∴點D的縱坐標(biāo)＝，∴PD＝＝，∴＝．五、解答題（本題8分）22．某商場經(jīng)營某種品牌的玩具，購進(jìn)時的單價是30元，根據(jù)市場調(diào)查：在一段時間內(nèi)，銷售單價是40元時，銷售量是600件，而銷售單價每漲1元，就會少售出10件玩具．（1）不妨設(shè)該種品牌玩具的銷售單價為x元（x＞40），請你用x的代數(shù)式來表示銷售該品牌玩具銷售量為（1000﹣10x）件（請化簡）．（2）在（1）問條件下，若商場獲得了10000元銷售利潤，求該玩具銷售單價．（3）在（1）問條件下，問當(dāng)單價為多少時商場銷售該品牌玩具可獲得最大利潤？最大利潤是多少？解：（1）由銷售單價每漲1元，就會少售出10件玩具得y＝600﹣（x﹣40）×10＝1000﹣10x．故答案為：（1000﹣10x）．（2）利潤＝（1000﹣10x）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000；∴﹣10x2+1300x﹣30000＝10000解之得：x1＝50，x2＝80，答：玩具銷售單價為50元或80元時，可獲得10000元銷售利潤，（3）利潤W＝（1000﹣10x）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250，∴當(dāng)x＝65時，W最大＝12250，答：當(dāng)該玩具銷售單價為65元時，商場獲得最大利潤12250元．六、解答題（本題10分）23．已知拋物線y＝x2+bx與直線y＝2x交于點O（0，0）、A（a，12）．（1）求拋物線的解析式；（2）將射線OA繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45°后與拋物線交于點P，求P點的坐標(biāo)．解：（1）∵點A（a，12）在直線y＝2x上，∴12＝2a，解得：a＝6，又∵點A是拋物線y＝x2+bx上的一點，將點A（6，12）代入y＝x2+bx，可得b＝﹣1，∴拋物線解析式為y＝x2﹣x；（2）作∠POA＝45°，交拋物線于P，過P作PQ⊥OA于Q，過P作PM⊥x軸于M，過Q作QN⊥PM于N交y軸于R，如圖：∵∠AOP＝45°，∴△POQ是等腰直角三角形，∴PQ＝OQ，∠PQO＝90°，∴∠OQR＝90°﹣∠NQP＝∠NPQ，又∠ORQ＝90°＝∠PNQ，∴△PNQ≌△QRO（AAS），∴NQ＝RO，PN＝QR，設(shè)Q點為（t，2t），∴PN＝RQ＝t，NQ＝OR＝2t，∴NR＝NQ﹣RQ＝t，PM＝MN+PN＝OR+PN＝3t，∴P（﹣t，3t），把P（﹣t，3t）代入拋物線解析式得t2+t＝3t，解得：t1＝0，t2＝4，∵t＞0，∴t＝4，∴P點的坐標(biāo)為（﹣4，12）．七、解答題（本題12分）24．已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D在BC邊上，以AD為直角邊作等腰直角△ADE，∠DAE＝90°．（1）如圖1，連接CE，直接寫出BD和CE的關(guān)系．（2）如圖2，過點A作AG⊥DE，垂足為點G，交線段BC于點F，連接CG，探究DA與GC的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖3，若過點A作AF⊥DE交射線BC于點F，交DE于點G，連接CG．若BC＝4FC，，求CG的長．解：（1）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：在等腰直角△ADE中，∠DAE＝90°，∴AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝45°，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°＝∠ADE＝∠AED，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴BD⊥CE；（2）AD＝CG，理由如下：連接EC，如圖2，由（1）知，BD⊥CE，∵∠DAE＝90°，AD＝AE，AG⊥DE，∴∠DAG＝∠EAG，DG＝EG＝AG，又∵∠DCE＝90°，∴CG＝DG＝GE＝DE，在Rt△ADE中，DE＝AD，∴2CG＝AD，∴AD＝CG；（3）或，理由如下：①點F在線段BC上，連接EF，EC，如圖3，由（1）（2）知，BD⊥CE，BD＝CE，∠DAG＝∠EAG，DG＝EG＝AG，∴AF是線段DE的垂直平分線，∴DF＝EF，∵AB＝2，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC＝AB＝4，∵BC＝4FC，∴