17.2 勾股定理及逆定理 人教版八年級數(shù)學暑假分層作業(yè)(解析版)

第03練勾股定理及逆定理知識點一：勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用，，分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么．數(shù)學小史：勾股定理是我國最早發(fā)現(xiàn)的，中國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文獻中又稱為畢達哥拉斯定理）。據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前1000多年就發(fā)現(xiàn)“勾三股四弦五”的結論。2.注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提條件，解題時，首先看題目中有沒有具備這個條件，只有具有這個條件，才能利用勾股定理求第三條邊。（2）在應用勾股定理時要注意它的變式：（3）應用勾股定理時要分清直角三角形中的直角邊和斜邊，在一些直角三角形中斜邊不一定是用字母表示，只有當時，，若，則。（4）在實際問題中，若圖中無直角，可通過添加輔助線來構造直角三角形。2.勾股定理的驗證方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．圖（1）中，所以．方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．圖（2）中，所以．方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形．，所以．知識點二：勾股定理的應用勾股定理的作用已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；用于解決帶有平方關系的證明問題；3．與勾股定理有關的面積計算；4．勾股定理在實際生活中的應用．知識點三：勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理：如果一個三角形的三邊長分別為，且，那么這個三角形是直角三角形．勾股定理與其逆定理的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別：勾股定理是以“一個三角形是直角三角形”為條件，進而得到這個三角形三邊的數(shù)量關系，即；勾股定理的逆定理是以“一個三角形的三邊滿足”為條件，進而得出這個三角形是直角三角形，是識別一個三角形是直角三角形的重要依據(jù)。聯(lián)系：（1）兩者都與三角形三邊關系有關；（2）兩者都與直角三角形有關。2.勾股數(shù)滿足關系的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)。常見的勾股數(shù)有：（1）3，4,5；（2）6,8,10；（3）9，12,15；（4）5,12,13；（5）8,15,17；（6）7,24,25；一、單選題1．下列各組線段中，能構成直角三角形的是（

）A．2，3，4 B．，， C．1，，2 D．，，8【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理的逆定理，判定選項中的值能否組成直角三角形即可．【詳解】解：∵，故A選項中不能組成直角三角形，錯誤；∵，故B選項中不能組成直角三角形，錯誤；∵，故C選項中能組成直角三角形，正確；∵，故D選項中不能組成直角三角形，錯誤．故選：C．【點睛】本題主要考查的是勾股定理的逆定理，掌握定理的內(nèi)容是解題的關鍵．2．如圖，△OAB的頂點O(0，0)，頂點A，B分別在第一、四象限，且AB⊥x軸，若AB=6，OA=OB=5，則點A的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用HL證明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．【詳解】解：∵AB⊥x軸，∴∠ACO=∠BCO=90°，∵OA=OB，OC=OC，∴△ACO≌△BCO(HL)，∴AC=BC=AB=3，∵OA=5，∴OC=4，∴點A的坐標是（4，3），故選：D．【點睛】本題考查了坐標與圖形，全等三角形的判定和性質，勾股定理，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．3．如圖，一棵大樹在一次強臺風中在距地面處折斷，倒下后樹頂著地點A距樹底B的距離為，則這棵大樹在折斷前的高度為（

）A．10 B．17 C．18 D．20【答案】C【解析】【分析】根據(jù)大樹的折斷部分與未斷部分、地面恰好構成直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出AC的長，進而可得出結論．【詳解】解：∵樹的折斷部分與未斷部分、地面恰好構成直角三角形，且BC=5m，AB=12m，∴，∴這棵樹原來的高度為：BC+AC=5+13=18（m），即：這棵大樹在折斷前的高度為18m，故C正確．故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，熟知直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方和是解答此題的關鍵．4．如圖，在中，，分別以點、為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧分別交于、兩點，過、兩點的直線交于點，若，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由作圖可得MN是AB的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質可得AE=EB，設，然后根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【詳解】由題意得，MN垂直平分AB，，設，，，，，，，解得，故選：A．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的作圖和性質，以及勾股定理，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．5．如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點C和點D距離門檻AB都為1尺（1尺＝10寸），則AB的長是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸【答案】C【解析】【分析】取AB的中點O，過D作DE⊥AB于E，根據(jù)勾股定理解答即可得到結論．【詳解】解：取AB的中點O，過D作DE⊥AB于E，如圖2所示：由題意得：OA＝OB＝AD＝BC，設OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，則AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，弄懂題意，構建直角三角形是解題的關鍵．6．如圖，我國古代的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構成的大正方形，若小正方形的面積為1，大正方形的面積為13，則直角三角形較短的直角邊a與較長的直角邊b的比的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理可以求得等于大正方形的面積，然后求四個直角三角形的面積，即可得到2ab的值，然后根據(jù)即可求得（a＋b）的值；根據(jù)小正方形的面積為即可求得，進而聯(lián)立方程組求得a與b的值，則可求出答案．【詳解】解：∵大正方形的面積是13，設邊長為c，∴，∴，∵直角三角形的面積是，又∵直角三角形的面積是，∴，∴，∴．∵小正方形的面積為，又∵，∴，聯(lián)立可得，解得，∴．故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理以及完全平方公式的知識，解題關鍵是熟記完全平方公式，還要注意圖形的面積和a、b之間的關系．二、填空題7．一個無蓋的圓柱形杯子的展開圖如圖所示，現(xiàn)將一根長18cm的吸管放在杯子中，則吸管露在杯子外面的部分至少有__cm．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)題意直接利用勾股定理得出杯子內(nèi)的筷子長度，進而得出答案．【詳解】解：由題意可得：杯子內(nèi)的筷子長度為：=15，則筷子露在杯子外面的筷子長度為：18﹣15＝3（cm）．故答案為：3．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用，正確得出杯子內(nèi)筷子的長是解決問題的關鍵．8．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=7，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和是______．【答案】49【解析】【分析】小正方形的面積為AC的平方，大正方形的面積為BC的平方．兩正方形面積的和為AC2+BC2，對于Rt△ABC，由勾股定理得AB2=AC2+BC2．AB長度已知，故可以求出兩正方形面積的和．【詳解】解：正方形ADEC的面積為：AC2，正方形BCFG的面積為：BC2；在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=7，則AC2+BC2=49．即正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為49．故答案為：49．【點睛】本題考查了勾股定理．關鍵是根據(jù)由勾股定理得AB2=AC2+BC2．注意勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．9．如圖，把長、寬、對角線的長分別是a、b、c的矩形沿對角線剪開，與一個直角邊長為c的等腰直角三角形拼接成右邊的圖形，用面積割補法能夠得到的一個等式是__．【答案】a2+b2＝c2【解析】【分析】用三角形的面積和、梯形的面積來表示這個圖形的面積，從而列出等式，發(fā)現(xiàn)邊與邊之間的關系．【詳解】解：此圖可以這樣理解，有三個Rt△其面積分別為ab，ab和c2．還有一個直角梯形，其面積為（a+b）（a+b）．由圖形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．故答案為：a2+b2＝c2．【點睛】此題考查的知識點是勾股定理的證明，主要利用了三角形的面積公式：底×高÷2，和梯形的面積公式：（上底+下底）×高÷2．10．如圖，CD是△ABC的中線，將△ACD沿CD折疊至，連接交CD于點E，交CB于點F，點F是的中點．若的面積為12，，則點F到AC的距離為______．【答案】【解析】【分析】過點F作FH⊥AC于點H，由翻折的性質可知S△AA'D=24，由D為AB的中點，則S△AA'B=2S△AA'D=48，得AA'=12，再通過AAS證明△A'BF≌△ECF，得CE=A'B=8，在Rt△CAE中，由勾股定理求出AC的長，最后通過面積法即可求出FH的長．【詳解】解：如圖，過點F作FH⊥AC于點H，根據(jù)翻折的性質得：AD=A'D，AA'⊥CD，AE=A'E，∵CD是△ABC的中線，∴CD=BD，∴AD=BD=A'D，∴∠AA'B=90°，又∵S△A'DE=12，∴S△ADE=12，∴S△ADA'=24，又∵D為AB的中點，∴S△AA'B=2S△AA'D=48，即×AA′×A′B＝48，∴AA'=12，又∵F為A'E的中點，∴A'F=EF，在△A'BF與△ECF中，，∴△A'BF≌△ECF（AAS），∴CE=A'B=8，∵AA'=2A'E，A'E=2EF=6，∴EF=3，AF=9，在Rt△CAE中，由勾股定理得：CA==10，在△CAF中，CA?HF=AF?CE，∴HF==，即點F到AC的距離為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了翻折的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識，運用等積法求垂線段的長是解題的關鍵．11．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，AB＝，BC＝1，則BD的長為______．【答案】【解析】【分析】如圖，以AB為直角邊，在AB左側作等腰直角三角形ABE，連接CE，證明△EAC≌△BAD（SAS），得到CE=BD，勾股定理求出CE可得答案．【詳解】解：如圖，以AB為直角邊，在AB左側作等腰直角三角形ABE，連接CE，∴AB=AE，∠BAE=90°，∠ABE=45°，∴AE=AB＝，，∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴AC=AD，∴∠CAD=∠BAE=90°，∴∠BAD=∠EAC，∴△EAC≌△BAD（SAS），∴CE=BD，∵∠CBE=∠CBA+∠ABE=90°，BC=1，∴,故答案為：．【點睛】此題考查了全等三角形的判定及性質，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定定理及正確作出等腰直角三角形ABE是解題的關鍵．12．如圖，中，，點D在AC上，點E在BC上，連接DE并延長交AB的延長線于點F，過點F作DF的垂線交AE的延長線于點G，當時，若，則________．【答案】3【解析】【分析】過點F作FHBC交AG于點H，利用三角形的外角的性質和證明∠DAE＝∠CED，進一步證得∠DAE＝∠BEF，再證明△ADE≌△FHE（ASA），得到EH＝DE＝2，AE＝EF，同時證得∠FHG＝∠GFH，GH＝GF，設GF＝GH＝x，則EG＝x＋2，EF＝AE＝AG－GH－EH＝9－x－2＝7－x，由勾股定理得，列出方程解方程即可得到GF的長．【詳解】解：過點F作FHBC交AG于點H，∵∠CDE是△ADE的一個外角，∴∠CDE＝∠DAE＋∠AED，∵∠CEA＝∠CED＋∠AED，，∴∠DAE＋∠AED＝∠CED＋∠AED，∴∠DAE＝∠CED，∵∠CED＝∠BEF，∴∠DAE＝∠BEF，∵FHBC，∴∠BEF＝∠EFH，∠FHG＝∠BEH＝∠AEC＝90°－∠DAE，∴∠DAE＝∠EFH，∵在中，，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵∠CBA是△BEF的一個外角，∴∠BFE＝∠CBA－∠BEF＝45°－∠BEF＝45°－∠DAE，∵∠BAE＝∠CAB－∠DAE＝45°－∠DAE，∴∠BFE＝∠BAE，∴△AEF是等腰三角形，∴AE＝FE，在△ADE和△FHE中，，∴△ADE≌△FHE（ASA）∴EH＝DE＝2，AE＝EF，∵DF⊥EF，∴∠DFE＝90°，∴∠GFH＝90°－∠EFH＝90°－∠DAE，∴∠FHG＝∠GFH，∴△FGH是等腰三角形，∴GH＝GF，設GF＝GH＝x，則EG＝x＋2，EF＝AE＝AG－GH－EH＝9－x－2＝7－x，由勾股定理得，∴，解得，，∵AE＝7－x，∴0＜x＜7，∴不合題意，舍去，∴x＝3，∴GF＝3．故答案為：3【點睛】此題考查了三角形外角的性質、等腰三角形的判定和性質、勾股定理、全等三角形的判定和性質等知識，過點F作FHBC是解題的關鍵．三、解答題13．一艘輪船從A港向南偏西48°方向航行100km到達B島，再從B島沿BM方向航行125km到達C島，A港到航線BM的最短距離是60km．若輪船速度為25km/h，求輪船從C島沿CA返回A港所需的時間．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用勾股定理求出BD的長度，再求出CD的長度，再用勾股定理求出AC的長度，即可求出所需時間．【詳解】解：由題意，得：AD＝60km，Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002，∴BD＝80km，∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km），∴，∴75÷25＝3（h），∴從C島沿CA返回A港所需的時間為3h．【點睛】本題主要考查勾股定理的應用，解題的關鍵是求出AC的長度．14．湖的兩岸有A，B兩棵景觀樹，數(shù)學興趣小組設計實驗測量兩棵景觀樹之間的距離，他們在與AB垂直的BC方向上取點C，測得BC＝30米，AC＝40米．(1)求兩棵景觀樹之間的距離；(2)求點B到直線AC的距離．【答案】(1)米(2)米【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可求解；（2）根據(jù)面積相等即可求出點B到直線AC的距離．(1)在Rt△ABC，（米），∴兩棵景觀樹之間的距離為米；(2)過點B作BD⊥AC于點D，∵，∴，∴BD＝（米），∴點B到直線AC的距離為米．【點睛】本題考查勾股定理的實際應用，解題關鍵是熟練應用勾股定理．15．已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．嘗試化簡整式A．發(fā)現(xiàn)A＝B2．求整式B．聯(lián)想：由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，當n＞1時，n2﹣1，2n，B為直角三角形的三邊長，如圖，填寫下表中B的值；直角三角形三邊n2﹣12nB勾股數(shù)組Ⅰ8勾股數(shù)組Ⅱ35【答案】A＝（n2+1）2，B＝n2+1，15，17；12，37．【解析】【分析】先根據(jù)整式的混合運算法則求出A，進而求出B，再把n的值代入即可解答．【詳解】解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，∵A＝B2，B＞0，∴B＝n2+1，當2n＝8時，n＝4，n2﹣1＝42﹣1＝15，n2+1＝42+1＝17；當n2﹣1＝35時，n＝±6（負值舍去），2n＝2×6＝12，n2+1＝37．直角三角形三邊n2﹣12nB勾股數(shù)組Ⅰ15817勾股數(shù)組Ⅱ351237故答案為：15，17；12，37．【點睛】本題考查了完全平方公式，勾股數(shù)，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2＝c2，則△ABC是直角三角形．16．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若點P從點A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A→C→B→A運動，設運動時間為t秒（t＞0）．(1)若點P在AC上，且滿足PA＝PB時，求出此時t的值；(2)若點P恰好在∠BAC的角平分線上，求t的值．【答案】(1)t＝(2)t＝或12【解析】【分析】（1）連接PB，根據(jù)勾股定理得到即可得到結論．（2）過P作PE⊥AB，根據(jù)角平分線的性質和勾股定理，列方程進行解答即可．(1)解：連接PB，如圖所示：∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝＝8（cm），∵CP2+BC2＝PB2，∵PA＝PB＝2tcm，∴（8﹣2t）2+62＝（2t）2，∴t＝．(2)當點P在∠BAC的平分線上時，過點P作PE⊥AB于點E，如圖所示：∵∠C=90°，∴，∵AP平分∠BAC，∴，此時BP＝（14﹣2t）cm，PE＝PC＝（2t﹣8）cm，BE＝10﹣8＝2（cm），在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（2t﹣8）2+22＝（14﹣2t）2，解得：t＝，當t＝12時，點P與A重合，也符合條件，∴當t＝或12時，點P恰好在∠BAC的平分線上．【點睛】本題主要考查了勾股定理，角平分線的性質，難度適中．利用分類討論的思想是解（2）題的關鍵．1．如圖，任意畫一個∠A＝60°的△ABC，再分別作△ABC的兩條角平分線BE和CD，BE和CD相交于點P，連接AP，有以下結論：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③PD＝PE；④BD＋CE＝BC；⑤，其中正確的個數(shù)是（

）個．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】①利用角平分線的性質與三角形內(nèi)角和等于進行求解；②利用三角形三條角平分線交于一點進行判斷；③過點作于，于，利用證明，則；④過點作于，易證，，結合可證；⑤利用“直角三角形中所對的邊是斜邊的一半”可得，再由勾股定理得，同理，，故，結合可得．【詳解】解：①，．平分，平分，，，，，①正確；②三角形的三條角平分線交于一點，平分，②正確；③過點作于，于，，，，又，，，即．平分，，，．在與中，，，，③正確；④過點作于，平分，，在與中，，，同理，，，，，即．，，，④正確；⑤平分，，在中，，，同理，，，又，，⑤正確．綜上，正確的結論有個．故選：D．【點睛】本題考查了三角形角平分線的性質，全等三角形的性質與判定，勾股定理的應用，含角的直角三角形的三邊關系，解決本題的關鍵是熟練掌握相關性質定理，并作出正確的輔助線．2．如圖所示，AB＝4，AC＝2，以BC為底邊向上構造等腰直角三角形BCD，連接AD并延長至點P，使AD＝PD，則PB長的取值范圍為____．【答案】4-2<PB<12+6【解析】【分析】利用三角形三邊關系得到2＜BC＜6，由等腰直角三角形的性質得到BD=BC，有＜BD＜3．再推出AD的取值范圍為4-<AD<4+3．在△ABP中，得到PB的取值范圍為4-2<PB<12+6．【詳解】解：由三角形的性質：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊可知，若三角形的三邊分別為a，b，c，則有：a+b＞c，a-b＜c，因此在△ABC中由AB=4，AC=2，則2＜BC＜6，∵△BCD是以BC為底邊向上構造的等腰直角三角形，∴BD=BC，∴有＜BD＜3．又已知AB=4，在△ABD中，根據(jù)三角形的性質：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊可知，AD的取值范圍為4-<AD<4+3．又AD=PD，∴AP的取值范圍為8-2<AP<8+6，又已知AB=4，在△ABP中，PB的取值范圍為4-2<PB<12+6．故選：4-2<PB<12+6．【點睛】本題考查了三角形三邊的關系，等腰直角三角形的性質，勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．3．如圖，AB＝AC＝3，ADBC，CD＝5，∠ABD＝2∠DBC，則BD＝________．【答案】【解析】【分析】如圖，延長BA至F，使AF=AB，過點F作FE⊥BD于點E，連接AE，