猜題05 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（易錯(cuò)必刷61題15種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）（解析版）

猜題05導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（易錯(cuò)必刷61題15種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）題型一：導(dǎo)數(shù)的概念及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算題型二：切線問(wèn)題題型三：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間（不含參數(shù)）題型四：含參數(shù)分類討論的單調(diào)性題型五：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)題型六：求函數(shù)的極值題型七：根據(jù)極值或極值點(diǎn)求參數(shù)題型八：求函數(shù)的最值題型九：根據(jù)最值求參數(shù)題型十：利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題題型十一：證明不等式題型十二：恒成立與能成立問(wèn)題題型十三：零點(diǎn)問(wèn)題題型十四：雙變量問(wèn)題題型十五：利用構(gòu)造函數(shù)解決不等式問(wèn)題題型一：導(dǎo)數(shù)的概念及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1．（2023·遼寧阜新·高二?？计谀┤艉瘮?shù)，則函數(shù)從到的平均變化率為（

）A．6 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，，故函?shù)從到的平均變化率為，故選：B.2．（2023·云南紅河·高二?？计谀┤艉瘮?shù)在處可導(dǎo)，則（

）A． B．C． D．0【答案】A【解析】由導(dǎo)數(shù)定義得：，即，故選：A.3．（2023·陜西延安·高二統(tǒng)考期末）已知在處的導(dǎo)數(shù)為2，則（

）A．2 B．6 C． D．【答案】A【解析】，.故選：A4．（2023·高二單元測(cè)試）如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線是，則（

）A． B． C．2 D．1【答案】D【解析】由題可得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則切線，即.所以，，，.故選：D．5．（2023·陜西延安·高二子長(zhǎng)市中學(xué)校考期末）一個(gè)質(zhì)量的物體作直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)距離（單位：m）與時(shí)間（單位：s）的關(guān)系可用函數(shù)：表示，若，則該物體開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后第2s時(shí)的速度是（

）A．3m/s B．5m/s C．6m/s D．12m/s【答案】B【解析】由于，所以該物體開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后第2s時(shí)的速度是m/s.故選：B6．（2023·陜西延安·高二?？计谀┣笙铝泻瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2).【解析】（1）（2）.題型二：切線問(wèn)題7．（2023·黑龍江哈爾濱·高二統(tǒng)考期末）牛頓迭代法亦稱切線法，它是求函數(shù)零點(diǎn)近似解的另一種方法.若定義是函數(shù)零點(diǎn)近似解的初始值，在點(diǎn)處的切線方程為，切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即為函數(shù)零點(diǎn)近似解的下一個(gè)初始值.以此類推，滿足精度的初始值即為函數(shù)零點(diǎn)近似解.設(shè)函數(shù)，滿足，應(yīng)用上述方法，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，?dǎo)數(shù)為，可得，，可得在處的切線的方程為，又因?yàn)椋瑵M足切線的方程，可得，解得，由得，，故選：B8．（2023·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）曲線在點(diǎn)處的切線與直線和圍成的三角形的面積為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】由已知可得，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.所以，切線方程為.作出圖象解可得，.解可得，.所以，.故選：C.9．（2023·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．或C． D．【答案】B【解析】由題意得，則，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，而切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，即有且只有一正解，即有且只有一正解，令，則，由于，故，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且，，即在上存在唯一零點(diǎn)，即有且只有一正解；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，由于的最小值為，故當(dāng)趨向于0時(shí)，可取到負(fù)值，且，故在上存在唯一零點(diǎn)，即有且只有一正解；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故，令，則在上單調(diào)遞增，且，此時(shí)要使有且只有一正解，故需，綜合以上可知或，故選：B10．（2023·四川資陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)可以作曲線兩條切線，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為，則，切線斜率,切線方程為，∵切線過(guò)原點(diǎn)，∴，整理得：,∵切線有兩條，∴，解得或，∴的取值范圍是,故選：D11．（2023·河南信陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知曲線在處的切線方程為，則等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】記，，所以，∴．又，所以，曲線在處的切線方程為，即，∴．故．故選：A．12．（2023·河北衡水·高二校聯(lián)考期末）已知直線與曲線和曲線都相切，則直線在軸上的截距為（

）．A． B． C．或 D．【答案】B【解析】設(shè)，，則，．設(shè)上的切點(diǎn)為，上的切點(diǎn)為，則，則．又，，所以，故，．故．故選：B．13．（2023·北京·高二統(tǒng)考期末）曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【解析】，所以，設(shè)曲線在處的切線與直線平行，則，所以，切點(diǎn)，曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離，即為切點(diǎn)P到直線的距離，故選：C．題型三：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間（不含參數(shù)）14．（2023·陜西延安·高二?？计谀┖瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由的定義域?yàn)椋?，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：B15．（2023·黑龍江雙鴨山·高二雙鴨山一中?？计谀┖瘮?shù)?的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A．?B．?和?C．?D．?【答案】D【解析】的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D.16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù),則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.【答案】【解析】函數(shù)定義域?yàn)?由于函數(shù),所以,得,所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為:.題型四：含參數(shù)分類討論的單調(diào)性17．（2023·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．【解析】（1）的定義域?yàn)?，．曲線在處的切線的斜率為．把代入中得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為．所以曲線在處的切線方程為．（2）令，得．①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)．②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，為單調(diào)減函數(shù)；在區(qū)間上，，為單調(diào)增函數(shù)．綜上，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，為單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間上，為單調(diào)增函數(shù)．18．（2023·陜西西安·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，又，在點(diǎn)處的切線方程為：，即.（2）由題意得：定義域?yàn)?，；?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則；若，則；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，若，則；若，則；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.19．（2023·江蘇南京·高二南京大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線的方程；(2)試討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，,則，，又，在點(diǎn)處切線的方程為；（2）由題可得，令，解得或，若，，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如表：,00增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和,，單調(diào)減區(qū)間為；②若，，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如表：,00增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；③若，則，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為和,，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.20．（2023·廣東廣州·高二廣東番禺中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2），當(dāng)，令得，由得，由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)，令得，當(dāng)時(shí)，由得或，由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，由得或，由得，所以的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.21．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)校考期末）設(shè)函數(shù)（a為非零常數(shù)）(1)若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.【解析】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得：，則有，而，因此曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則有，即，而，則，所以實(shí)數(shù)的值為1.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒有，當(dāng)且僅當(dāng)且取等號(hào)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由解得，，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間是.題型五：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)22．（2023·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，在上恒成立，即，設(shè)，，故，故.故選：A23．（2023·北京通州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)為其定義城上的單調(diào)函數(shù)．則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，恒成立，而函數(shù)在上的值域?yàn)?，因此不存在滿足條件；若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，恒成立，而當(dāng)時(shí)，，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A題型六：求函數(shù)的極值24．（2023·寧夏銀川·高二?？计谀┮阎瘮?shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值．【解析】（1）由已知，，又，所以切線方程為，即；（2）由（1）知時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以極小值為，無(wú)極大值．25．（2023·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在定義域內(nèi)是奇函數(shù)(1)求實(shí)數(shù)c的值；(2)求函數(shù)f（x）的極小值（用b表示）【解析】（1）由奇函數(shù)的定義知，所以．（2）定義域?yàn)?，?dāng)，在上恒成立，即為增函數(shù)，無(wú)極小值；當(dāng)，的解為，單調(diào)遞減；的解為或單調(diào)遞增；極小值為；綜上所述，當(dāng)無(wú)極小值；當(dāng)，極小值為．26．（2023·上海普陀·高一校考期末）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.【解析】（1）由題得.（2）的定義域?yàn)?，，令，?當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表，正0負(fù)0正單調(diào)遞增極大值點(diǎn)單調(diào)遞減極小值點(diǎn)單調(diào)遞增所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極大值為，極小值點(diǎn)為，極小值為.27．（2023·陜西咸陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)判斷函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）易得函數(shù)定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，令，解得或，顯然，則當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故有2個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以在R上單調(diào)遞增，故此時(shí)無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，解得或，顯然，則當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故有2個(gè)極值點(diǎn)；綜上可得，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)，有2個(gè)極值點(diǎn).題型七：根據(jù)極值或極值點(diǎn)求參數(shù)28．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知，函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【解析】函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于在上有2個(gè)不同的實(shí)根（變號(hào)），即的圖象與直線在上有2個(gè)不同的交點(diǎn)（變號(hào)），求出，當(dāng)，時(shí)，,當(dāng)，時(shí)，所以在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．可畫(huà)出的草圖如圖：要保證直線（）在上有2個(gè)不同的交點(diǎn)（變號(hào)），只需，可得，故答案為：．29．（2023·上海浦東新·高二上海市川沙中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)既存在極大值也存在極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】，因?yàn)楹瘮?shù)既存在極大值也存在極小值，所以方程即有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：．30．（2023·重慶萬(wàn)州·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)在時(shí)有極值0，則=.【答案】【解析】∵，，函數(shù)在時(shí)有極值0，可得即，解得或，若時(shí)，函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)無(wú)極值，故舍，所以，所以故答案為：．31．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知，函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【解析】函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于在上有2個(gè)不同的實(shí)根（變號(hào)），即的圖象與直線在上有2個(gè)不同的交點(diǎn)（變號(hào)），求出，當(dāng)，時(shí)，,當(dāng)，時(shí)，所以在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．可畫(huà)出的草圖如圖：要保證直線（）在上有2個(gè)不同的交點(diǎn)（變號(hào)），只需，可得，故答案為：．32．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高二?？计谀┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)镽，的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)無(wú)極值，則a=.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為.當(dāng)時(shí)，，在上遞增，無(wú)極值.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為.故答案為：.33．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？计谀┖瘮?shù)有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】函數(shù)定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得：，因?yàn)楹瘮?shù)有極值，則函數(shù)在R上存在變號(hào)零點(diǎn)，即有兩個(gè)不等實(shí)根，即有方程有兩個(gè)不等實(shí)根，于是得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：34．（2023·天津·高二統(tǒng)考期中）若函數(shù)有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)存在極小值點(diǎn)，依題意，，解得，所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：題型八：求函數(shù)的最值35．（2023·遼寧阜新·高二?？计谀┰O(shè)函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【解析】（1）由題意可得，定義域，令，即，所以；故的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)?，故，定義域，令，即，故在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故最小值為，又因?yàn)椋?，故最大值?6．（2023·陜西延安·高二?？计谀┮阎瘮?shù)在處取得極值．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值．【解析】（1）函數(shù)，又函數(shù)在處取得極值，所以有；所以實(shí)數(shù)的值為1.（2）由（1）可知：，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)在處取得極大值，因此，，，故函數(shù)的最小值為；最大值1.37．（2023·安徽·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)在上的最大值和最小值.【解析】（1）的定義域?yàn)镽，且.解得或，所以遞增區(qū)間為，；解得，所以遞減區(qū)間為.（2）由（1）可知，的變化如下表x-3（-3，-1）-1（-1，1）1（1，3）3+0-0+-49單調(diào)遞增極大值11單調(diào)遞減極小值-1單調(diào)遞增59所以函數(shù)在上的最大值為59，最小值為-49.38．（2023·貴州黔西·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，．(1)若在上是增函數(shù)，求的取值范圍；(2)若在上的最小值，求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，所以，令，則，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以，則恒成立，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，故，則，此時(shí)在上是增函數(shù)，所以的取值范圍是，（2）由（1）知在上是增函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，令，得，故；當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，令，解得，此時(shí)不存在；當(dāng)時(shí)，，存在，使得，即，故當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，顯然，等號(hào)不成立，所以，令，解得，此時(shí)不存在；綜上所述，的取值范圍是.題型九：根據(jù)最值求參數(shù)39．（2023·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則的取值范圍是.【答案】【解析】，令得，時(shí)，時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若函數(shù)在上有最小值，則其最小值必為，則必有且，即且，則且，解得，故答案為：.40．（2023·遼寧·高二統(tǒng)考期末）已知，若與的值域相同，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，因?yàn)榕c的值域相同，所以.故答案為：41．（2023·廣東佛山·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的最小值為，則a的值為．【答案】-3【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，.所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，解得：.故答案為：-3.42．（2023·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】，所以，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)值域?yàn)镽，符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，值域?yàn)镽，所以滿足題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，要想值域?yàn)镽，則要滿足，解得：，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是故答案為：.43．（2023·河南洛陽(yáng)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】，令解得；令，解得或由此可得在上時(shí)增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故函數(shù)在處有極大值，在處有極小值，，解得故答案為：題型十：利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題44．（2023·山東煙臺(tái)·高二統(tǒng)考期末）某物流公司計(jì)劃擴(kuò)大公司業(yè)務(wù)，但總投資不超過(guò)100萬(wàn)元，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，投入資金x（萬(wàn)元）和年增加利潤(rùn)y（萬(wàn)元）近似滿足如下關(guān)系．(1)若該公司投入資金不超過(guò)40萬(wàn)元，能否實(shí)現(xiàn)年增加利潤(rùn)30萬(wàn)元？(2)如果你是該公司經(jīng)營(yíng)者，你會(huì)投入多少資金？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，則，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，則在上遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，因?yàn)?，所以目?biāo)不能實(shí)現(xiàn)；（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，公司年增加最大利潤(rùn)為萬(wàn)元，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值45，因?yàn)?，所以投資45萬(wàn)元時(shí)，公司年增加利潤(rùn)最大為45萬(wàn)元.45．（2023·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）為響應(yīng)國(guó)家“鄉(xiāng)村振興”政策，某村在對(duì)口幫扶單位的支持下擬建一個(gè)生產(chǎn)農(nóng)機(jī)產(chǎn)品的小型加工廠.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研，生產(chǎn)該農(nóng)機(jī)產(chǎn)品當(dāng)年需投入固定成本10萬(wàn)元，每年需另投入流動(dòng)成本（萬(wàn)元）與成正比（其中x（臺(tái)）表示產(chǎn)量），并知當(dāng)生產(chǎn)20臺(tái)該產(chǎn)品時(shí)，需要流動(dòng)成本0.7萬(wàn)元，每件產(chǎn)品的售價(jià)與產(chǎn)量x（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系為（萬(wàn)元）（其中）.記當(dāng)年銷(xiāo)售該產(chǎn)品x臺(tái)獲得的利潤(rùn)（利潤(rùn)＝銷(xiāo)售收入－生產(chǎn)成本）為萬(wàn)元.（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)產(chǎn)量x為何值時(shí)，該工廠的年利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【解析】（1）依題設(shè)：當(dāng)生產(chǎn)20臺(tái)該農(nóng)機(jī)產(chǎn)品時(shí)，需要流動(dòng)成本0.7萬(wàn)元得：，可得：，∴；∴.（2）由（1）得，，∵∴時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，∴時(shí)，取得極大值也是最大值，，∴當(dāng)年產(chǎn)量為50臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是24.4萬(wàn)元.46．（2023·福建福州·高二福建師大附中?？计谀┪鏖枣?zhèn)舉辦花市，如圖，有一塊半徑為20米，圓心角的扇形展示臺(tái)，展示臺(tái)分成了四個(gè)區(qū)域：三角形OCD擺放菊花“泥金香”，弓形CMD擺放菊花“紫龍臥雪”，扇形AOC和扇形BOD（其中）擺放菊花“朱砂紅霜”.預(yù)計(jì)這三種菊花展示帶來(lái)的日效益分別是：泥金香50元/米2，紫龍臥雪30元/米2，朱砂紅霜40元/米2.

(1)設(shè)，試建立日效益總量關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)試探求為何值時(shí)，日效益總量達(dá)到最大值.【解析】（1）依題意得，，則，其中，.（2），令，得，當(dāng)，，函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減.所以，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，且唯一；從而當(dāng)時(shí)，日效益總量可取得最大值.題型十一：證明不等式47．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明:．【解析】（1）由函數(shù)，可得的定義域?yàn)?，且若，可得，在上單調(diào)遞減；若，令，因?yàn)椋傻茫?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，綜上可得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，所以，所以，即，當(dāng)時(shí)，可得：，將不等式累加后，可得，即.48．（2023·遼寧鐵嶺·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)．(1)求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：．【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，由于，所以切線的斜率為：，故切線的方程為：，即.（2）證明：要證：，只需證：，由于，證明如下：令，，令得：，當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增；所以，故，即，所以令，則，令，則由于，所以在恒成立，故在單調(diào)遞增，所以恒成立，即在恒成立.所以在單調(diào)遞增，所以恒成立，即，故所以，即.49．（2023·內(nèi)蒙古·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，(1)當(dāng)，求曲線在處的切線方程；(2)若，證明：．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，，，曲線在處的切線方程為，即．（2）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，由，解得，由，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，要證，即證，即，令函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以，即得證，故得證．題型十二：恒成立與能成立問(wèn)題50．（2023·黑龍江雞西·高三雞西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，．(1)求的極值；(2)對(duì)于，，都有，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，可得或，列表如下：增極大值減極小值增故函數(shù)的極大值為，極小值為.（2）對(duì)于，，都有，則.由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，則且不恒為零，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，由題意可得，故.51．（2023·陜西渭南·高二合陽(yáng)縣合陽(yáng)中學(xué)校考期末）已知函數(shù)(1)若，討論的單調(diào)性.(2)當(dāng)時(shí)，都有成立，求整數(shù)的最大值.【解析】（1），定義域?yàn)镽，且，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令得，，此時(shí)單調(diào)遞增，令得，，此時(shí)單調(diào)遞減，綜上：當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由題意得，在上恒成立，因?yàn)?，所以，故，令，，只需，，令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，，所以，故整數(shù)的最大值為1.題型十三：零點(diǎn)問(wèn)題52．（2023·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù).(1)證明：在區(qū)間上存在唯一極大值點(diǎn)；(2)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【解析】（1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，，所以，，令，，則，當(dāng)時(shí)，，所以，即在上單調(diào)遞減，又，，，則存在，使得，即存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以為的唯一極大值點(diǎn)，故在區(qū)間上存在唯一極大值點(diǎn)；（2）由（1）知，，，①當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，所以存在，使得，所以當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，，所以當(dāng)時(shí)，有唯一的零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，所以存在，使得；③當(dāng)時(shí)，，所以，則在沒(méi)有零點(diǎn)；綜上所述，有且僅有2個(gè)零點(diǎn).53．（2023·陜西延安·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.(1)若，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，若方程在上存在實(shí)數(shù)根，求b的取值范圍.【解析】（1）由得，∵，∴，設(shè)，則，令，解得，令，解得，故函數(shù)在上遞增，在上遞減，故時(shí)，函數(shù)取最大值，∴，即a的取值范圍是.（2）由題意得在上存在實(shí)數(shù)根，設(shè)，則，令，得或，令，得，故在，上遞增，在上遞減，∵在上存在實(shí)數(shù)根，∴，即，解得，故b的取值范圍是.題型十四：雙變量問(wèn)題54．（2023·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)討論在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若存在滿足，證明．【解析】（1）當(dāng)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，，，，；②當(dāng)時(shí)，在恒成立；③當(dāng)時(shí)，，，，；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（2）由，得，即，由（1）可知，