第06講 空間向量的應(yīng)用 （七大題型）（原卷版）

第06講空間向量的應(yīng)用【題型歸納目錄】【知識點梳理】知識點一：直線的方向向量和平面的法向量1、直線的方向向量：點A是直線l上的一個點，是直線l的方向向量，在直線l上取，取定空間中的任意一點O，則點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使或，這就是空間直線的向量表達式.知識點詮釋：（1）在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量，均為直線的方向向量．（2）在解具體立體幾何題時，直線的方向向量一般不再敘述而直接應(yīng)用，可以參與向量運算或向量的坐標運算．2、平面的法向量定義：直線l⊥α，取直線l的方向向量，我們稱向量為平面α的法向量．給定一個點A和一個向量，那么過點A，且以向量為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.知識點詮釋：一個平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時，可適當取平面的一個法向量．已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量．3、平面的法向量確定通常有兩種方法：（1）幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平面的法向量；（2）幾何體中沒有具體的直線，一般要建立空間直角坐標系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：（i）設(shè)出平面的法向量為；（ii）找出（求出）平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標，；（iii）根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x、y、z的方程；（iv）解方程組，取其中的一個解，即得法向量．由于一個平面的法向量有無數(shù)個，故可在代入方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量．知識點二：用向量方法判定空間中的平行關(guān)系空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．（1）線線平行設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．（2）線面平行線面平行的判定方法一般有三種：①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即．②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個平面平行，可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量．③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可．②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．知識點三、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直．（1）線線垂直設(shè)直線的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．（2）線面垂直①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明．②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直．（3）面面垂直①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直．②證明兩個平面的法向量互相垂直．知識點四、用向量方法求空間角（1）求異面直線所成的角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，則．知識點詮釋：兩異面直線所成的角的范圍為．兩異面直線所成的角可以通過這兩直線的方向向量的夾角來求得，但二者不完全相等，當兩方向向量的夾角是鈍角時，應(yīng)取其補角作為兩異面直線所成的角．（2）求直線和平面所成的角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．（3）求二面角如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.若分別為面的法向量，則二面角的平面角或，即二面角等于它的兩個面的法向量的夾角或夾角的補角．①當法向量與的方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時，二面角的大小等于的夾角的大?。诋敺ㄏ蛄康姆较蛲瑫r指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時，二面角的大小等于的夾角的補角的大?。R點五、用向量方法求空間距離1、求點面距的一般步驟：①求出該平面的一個法向量；②找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離．即：點A到平面的距離，其中，是平面的法向量．2、線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離，用求點面距的方法進行求解．直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．3、點線距設(shè)直線l的單位方向向量為，，，設(shè)，則點P到直線l的距離.【典型例題】題型一：求平面的法向量【例1】（2024·全國·高二課堂例題）如圖，已知正方體中，的坐標分別為，，，．分別求平面與平面的一個法向量．

【變式1-1】（2024·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，分別求平面與平面的一個法向量．

【變式1-2】（2024·河南漯河·高二校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，求平面ACE的一個法向量.題型二：利用向量研究平行問題【例2】（2024·廣東江門·高二臺山市華僑中學(xué)?？计谥校╅L方體中，，.點為中點.(1)求證：平面；(2)求證：平面.【變式2-1】（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）在正方體中，點E，F(xiàn)分別是底面和側(cè)面的中心．求證：(1)平面；(2)平面；(3)平面平面．【變式2-2】（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）如圖，在長方體中，E，M，N分別是BC，AE，的中點，，．求證：平面．

【變式2-3】（2024·高二課時練習(xí)）在正方體中，若為中點，為中點.

求證：(1)；(2)平面；(3)平面平面．題型三：利用向量研究垂直問題【例3】（2024·全國·高二期末）如圖，在四棱錐中，平面，，，，.為的中點，點在上，且.求證：平面平面.【變式3-1】（2024·全國·高二期末）如圖，已知直三棱柱為的中點，為側(cè)棱上一點，且，三棱柱的體積為32．過點作，垂足為點，求證：平面；【變式3-2】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高二校考階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，，，是的中點.

(1)試建立適當?shù)目臻g直角坐標系，并寫出點，的坐標；(2)求的長(3)求證：.【變式3-3】（2024·廣東廣州·高二廣州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點．(1)求證：；(2)求證：平面題型四：異面直線所成的角【例4】（2024·黑龍江佳木斯·高二?？计谀┤鐖D所示，在長方體中，分別是線段上的點，且，(1)建立適當?shù)淖鴺讼?，寫出的坐標?2)求直線與所成角的余弦值.【變式4-1】（2024·新疆喀什·高二校考期末）已知棱長為2的正方體，點M、N分別是和的中點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

(1)寫出圖中、、M、N的坐標.(2)求直線AM與NC所成角的余弦值.【變式4-2】（2024·甘肅蘭州·高二統(tǒng)考期末）如圖，正三棱柱中，底面邊長為.(1)設(shè)側(cè)棱長為，求證：；(2)設(shè)與的夾角為，求側(cè)棱的長．【變式4-3】（2024·北京順義·高二牛欄山一中校考期中）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．（1）求證：AB⊥A1C；（2）在棱AA1上是否存在一點F，使得異面直線AC1與BF所成角為60°，若存在，求出AF長；若不存在，請說明理由．題型五：線面角【例5】（2024·云南臨滄·高二校考期末）如圖，在三棱錐中，為正三角形，平面平面.(1)求證：；(2)若是的中點，求直線與平面所成角的正弦值.【變式5-1】（2024·云南昆明·高二云南師大附中?？茧A段練習(xí)）在四棱錐中，底面為梯形，，，，平面．

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【變式5-2】（2024·安徽滁州·高二?？茧A段練習(xí)）在荾形中，，，將菱形沿著翻折，得到三棱錐如圖所示，此時．(1)求證：平面平面；(2)若點是的中點，求直線與平面所成角的正弦值．【變式5-3】（2024·安徽六安·高二六安市裕安區(qū)新安中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點，四棱錐的體積為.(1)若為棱的中點，求證：平面；(2)在棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出點的位置并給以證明；若不存在，請說明理由.題型六：二面角【例6】（2024·黑龍江哈爾濱·高二?？计谀┰谌忮F中，平面，，且，，為的中點.(1)求異面直線與所成角的正弦值；(2)求二面角的余弦值；【變式6-1】（2024·重慶·高二重慶市楊家坪中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的對角線交于點F，G為的中點，，.

(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【變式6-2】（2024·四川廣安·高二四川省華鎣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，．，E為的中點，點在上，且．

(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值；【變式6-3】（2024·湖北孝感·高二?？计谀┤鐖D，已知四棱錐，平面平面，為梯形，，，.(1)求證：⊥平面；(2)求與平面所成角的余弦值；(3)已知點在線段上，且，求平面與平面所成角的余弦值.【變式6-4】（2024·河北張家口·高二河北省尚義縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，且.(1)求證：平面；(2)若，在線段上是否存在點，使平面與平面夾角的余弦值為？若存在，找出點的位置；若不存在，請說明理由.題型七：距離問題【例7】（2024·安徽淮北·高二淮北市第十二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，為的中點．(1)求證：平面平面；(2)求點到面的距離．【變式7-1】（2024·江蘇常州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長為2，點為的中點．(1)求點到平面的距離為；(2)求到平面的距離．【變式7-2】（2024·遼寧葫蘆島·高二校聯(lián)考期中）如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點．(1)求到直線的距離；(2)求到平面的距離．【變式7-3】（2024·高二課時練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為1，MN是異面直線AC與的公垂線段，試確定點M在AC上及點N在上的位置，并求異面直線AC與間的距離．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·吉林長春·高二長春市第二中學(xué)校聯(lián)考期末）直線l的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則（

）A． B．C．或 D．與的位置關(guān)系不能判斷2．（2024·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，點是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．3．（2024·山東濟南·高二山東省濟南市萊蕪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線的方向向量，平面的一個法向量，若，則（

）A． B．1 C．2 D．34．（2024·湖南益陽·高二南縣第一中學(xué)校考期末）已知直線過點，其方向向量是，則點到直線的距離是（）A． B． C． D．5．（2024·甘肅隴南·高二?？计谀┮阎襟w中，是的中點，則直線與平面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．6．（2024·福建泉州·高二校考階段練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD是菱形，，點E為AB的中點，把沿DE折起，使點A到達點P的位置，且平面平面BCDE，則異面直線PD與BC所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．7．（2024·四川眉山·高二仁壽一中?？计谀┰诳臻g直角坐標系O-xyz中，點，，則（

）A．直線AB∥坐標平面xOy B．直線AB⊥坐標平面xOyC．直線AB∥坐標平面 D．直線AB⊥坐標平面8．（2024·河南·高二伊川縣第一高中校聯(lián)考階段練習(xí)）閱讀下面材料：在空間直角坐標系Oxyz中，過點且一個法向量為的平面的方程為，過點且方向向量為的直線的方程為.根據(jù)上述材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則直線與平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·江西撫州·高二江西省撫州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．過點且在x，y軸上的截距相等的直線方程為B．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則直線C．點在圓內(nèi)D．點滿足則點P的軌跡是一個橢圓10．（2024·河北石家莊·高二?？计谥校┫铝薪o出的命題正確的是（

）A．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則B．兩個不重合的平面的法向量分別是，則C．若是空間的一組基底，則也是空間的一組基底D．已知三棱錐，點P為平面ABC上的一點，且，則11．（2024·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知空間中三點，，，則（

）A．B．方向上的單位向量坐標是C．是平面ABC的一個法向量D．在上的投影向量的模為12．（2024·遼寧·高二遼寧實驗中學(xué)校聯(lián)考期末）已知正方體的棱長為1，則（

）A．與平面所成角的正弦值為B．為平面內(nèi)一點，則C．異面直線與的距離為D．為正方體內(nèi)任意一點，，，，則三、填空題13．（2024·上?！じ叨?fù)旦附中校考期末）已知平面的一個法向量，直線的方向向量，則直線與平面所成角的正弦值為.14．（2024·上?！じ叨虾Ｊ行兄袑W(xué)?？计谀┰谒拿骟w中，若底面的一個法向量為，且，則頂點P到底面的距離為