2022年廣東省汕尾市普通高校對口單招高等數(shù)學(xué)二自考模擬考試(含答案)

2022年廣東省汕尾市普通高校對口單招高

等數(shù)學(xué)二自考模擬考試（含答案）

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題（30題）

設(shè)離散型隨機變量《的分布列為二-----5-----------------———

P0.3aαi0.4

1.K1Ja=

A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1

2下列函數(shù)在（-8,+8）內(nèi)單調(diào)增加的是（）.

A.A.y=χ

B.y=-×

C.y=χ2

Dy=SinX

3.

X一10≤χ?≤l

函數(shù)人］）=2工］≤∕≤3的連續(xù)區(qū)間是

A.[1,3]B.[O,DUd,3]

C.[0,l)D.[0,3]

設(shè)函數(shù)/(z)={丁Q力是常數(shù))在H=O處連續(xù)，則α為

1GX-O()

A.1

B.0

C.b

4.d?'b

設(shè)Iim型⑵上絲)=],則°=

5.IX

A.A.-1B.-2C.lD.2

6.微分方程/+4y=Sinx的特解形式可設(shè)為＞?-.

7.過曲線y=x+lnx上Mo點的切線平行直線y=2x+3,則切點Mo的坐標(biāo)

是

A.A.(1,1)B.(e,e)C,(l,e+l)D.(e,e+2)

8.設(shè)方程＞=1+工？確定了N是?r的隱函數(shù).則dy=.

9.設(shè)函數(shù)z=x2+y2,2,則點(0,0)().

A.不是駐點B.是駐點但不是極值點C.是駐點且是極大值點D.是駐點

且是極小值點

10.曲線y=α-(x-b)i"的拐點坐標(biāo)為

A.A.(a,0)B.(a,-b)C.(a,b)D.(b,a)

..X-I

hm-------=

11.—SinX

A.A.0B.lC.-l∕sinlD.2

12.5人排成一列，甲、乙必須排在首尾的概率P=

A.A.2/5B.3/5C.l/10D.3/10

13.

設(shè)/(?)是連續(xù)函數(shù)，則??(?)d?-?f(a+b—x)dx等于

A.0Rl

C.α+6D.f?(?)d?

14.

已知離散型隨機變量X的概率分布為

X01

P0.50.5

貝I」E(X)=

[]

A.0B.lC.0.5D.1.5

15.已知f(x)=xe?x,,則f,(x)=()o

A.(x+2)e2x

B.(x+2)ex

C.(l+2x)e2x

D.2e2x

ι,?(?j)

17.

設(shè)函數(shù)N=L+∕y,則言lɑ2等于

A.e+1B,ez+1

C.2e2+lD.2e+l

設(shè)A與B為互不相容事件，則下列等式正確的是

AJ(AB)=I

B.Γ(AB)

C.P(AB)-P(A)P(B)

18D.P(AB)-P(A)4P(B)

2x÷lx<0…，、

設(shè)/(x)=<,,則∕∏im∕(x)]二

19."χ>0J()o

A.0B.-lC.-3D.-5

20.

設(shè)D是由曲線J+丁=R2所闈成的平面區(qū)域,則kTdσ=

D

已知X2是/(工)的一個原函數(shù),則/(1)=()

21.A.?TCB.?2C.ZrD.2

1

設(shè)極分區(qū)域D1l≤√+y≤4.S?∣∣τ±rdy-

22.

23.

下列命題正確的是

A.無窮小鼠的倒數(shù)是無窮大量B.無窮小量是絕對值很小很小的數(shù)

C.無窮小鼠是以零為極限的變景D.無界變盤一定是無窮大量

24.定積分∫'C”tk等于().

A.0B?2(e-1)C.e-1D.l∕2(e-1)

25.

2∕(x)的一個原函數(shù)為In則/'(*)等于().

I-LB.-Λ?C.-~-D.-4

rr'.<X

26.微分方程/一丁=O的通解為

27.

設(shè)y=∕(χ)在點X處的切線斜率為2x"χ,則過點(O,I)的曲線方程為

A.x2-e"+2B.x2+e',+2

C.x2-e^j,-2D.x2+e't-2

28.

設(shè)/G)的一個原函數(shù)為Hln(M+1),則下列等式成立的是().

A.∫Λx)dx=*∣n(x+?)+CB.∫f(*)dx=[xln(x+1)]'+C

c?∣xln(x+?)d*=f(x)+CD.∫[xln(x+l)],dx=∕(*)+C

29.設(shè)函數(shù)f(sinx)=sin2x,則f'(x)等于()。

A.2cosXB.-2sinxcosxC.%D.2x

設(shè)y=M'+sin?+ln2?則y

A?2x+si∞

B?2x+cosx

21+COSJ-rF

C.

30.d,2x

二、填空題(30題)

+4%T

X

∫*d(∫dlnx)=

32.

設(shè)函數(shù)f(x)在工=2處連續(xù),且j>∏?~~2^存在,則/⑵=———?

33.

34.

?Λ∕1—Jc2d?=,

設(shè)z=f(u,v)，w=exy,V=In(X2+/),/是可微函數(shù)，則成=_

設(shè)函數(shù)/(，)=(c''*W°?在點χ=0處連續(xù)，則常數(shù)α=________

36.lα+x?x>°

37.

設(shè)2∕(J?)COSJ=?-[?(?)]2?/(0)=1?則/(?)=

ɑj,

Λ.cosu?B.2—eos?C.l+sin?D.1—SirLr

38?(,^?)=---------

39.

函數(shù)y=石二元在區(qū)間［-1,1］上的最大值是

40.

設(shè)f(z)的二階導(dǎo)數(shù)存在,y=ln[f(H)[,則/=.

41.

已知jf(z)d?=F(x)+C,w∫喈立dx=.

42.

曲線/(x)=XlnX-X在x=e處的法線方程為

43.

設(shè)f(?r)=2jr,g(z)=H2,則f(gz(x))=.

C,則jcos?r?∕(sinz-IkLr=

44若∫∕(加=」+工+

45.已知y=χ3-αx的切線平行于直線5x-y+l=0,貝∣Ja=

46.

設(shè)/("在［α.b］上連續(xù).在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).H√(α)=∕e).則曲線￥二"才)在(。山)內(nèi)

平行于Z軸的切線()

A.僅有一條B.至少有一條

C.有兩條D.不得在

47.設(shè)函數(shù)y=e27x,則y'。

48.設(shè)Z=Sin(Xy)+2χ2+y,則dz=o

49.

設(shè)f(z)=ln(l+/),則，(一D=.

50.

已知P(4)=().7P(BlA)=().5,則P(48)=.

51.

設(shè)函數(shù)/(X>=I"”<(),則f(H)在點X=O處的左導(dǎo)數(shù)/-(O)=_________.

?xexx>0

x"÷a,x≤0,?

、C在X=O處連續(xù),則α=________.

{2.x>0

53.1,￥〃=---------

54.

X

X2+1

設(shè)y?則y'=

X2-1

55.

Γx71÷x2dx

56.J

XX20.2

設(shè)/(x)={x、＜0,則J∕(x)dX=

e

設(shè)"X，令哈

58.

59.

Iim(I+?^■產(chǎn)=e,則k=

X?*O8JC

60.設(shè)?心

三、計算題（30題）

應(yīng)）確定,求丁.

設(shè)函數(shù)y=＞（x）由，=sin'

61.

62.求函數(shù)/J）=?e-在定義域內(nèi)的最大值和最小值.

63求］Sin(IrLr)CLr.

求∣^,\-Jα>O).

64.J+α’

65.已知曲線C為y=2χ2及直線L為y=4x.

①求由曲線C與直線L所圍成的平面圖形的面積S5

②求曲線C的平行于直線L的切線方程.

求極限Iim；------(e-r—I)cos—T

“χ*oos?n??X

OO.u」

67.求函數(shù)f(x)=χ3-3χ2-9x+2的單調(diào)區(qū)間和極值.

設(shè)DI?由曲線y-/<工>與真線y=0.yr3圉成的K域.其中

rx,.x≤2.

∕<x>-1

\6-?r?x>2?

68.求。境軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的體枳.

已知函數(shù)N=aresin?二'炬.求學(xué)I.

69.Vl+s?n?d?I>-β

70.

已知二階常系數(shù)線性齊次微分方程的兩個特解分別為"=3in2,.%=cos2.r.求相應(yīng)

的微分方程.

色”d?rdy.其中。是由,=工和y'-J?所圉成的區(qū)域.

71.y

設(shè)工是由方程/+」_所確定的函數(shù),求包

=z(x,y)e，=oIIft

//?Λx

求函數(shù)Z=Vy+工、'的全部二階偏等It

/J?

74.求定積分C詈4

75.設(shè)函數(shù)y=x3cosx,求dy

76求不定積分｝[e，+ln(l+.r)]d?.

^lim/?——'_\

77.…I*e?-I/,

78求函數(shù)￥=?aretan?^In，l，?'的導(dǎo)效，?

求不定不分/-/】??=業(yè).

79.J，1(4—”\

求?線(/,=0>在點(1.一2.1)處的切線方程和法平面方程.

80.∣3x+2y+l?0

81.若已知,一,∕sin2了.求打”

求極限Iim∕1÷1?eI

82.?-j>

Of巳知函數(shù)z=∕e”,求當(dāng)■.

83.e?ev

84.求函數(shù)Z=arctan(VIy)的全微分.

q-設(shè)函數(shù)y=N(H)由參數(shù)方程?=COeGy=sinr-Zcosr確定,求乎.

o?.

86.求二元函數(shù)f(x,y)=x2+y2+xy在條件x+2y=4下的極值.

求不定積分J?SSinJ?<Lr.

87.

設(shè)函數(shù)L'I+詈瀉+必3一“其中"可導(dǎo)函數(shù),求叁

89設(shè)函數(shù)/(N)=/(l—N)0+:/口求八工)?

求極限網(wǎng)M4)

90.

四、綜合題(10題)

求由曲線y?工+4與y=所圉成的平面圖形的面積.

91.I

求函數(shù)/(?)=X-?J÷+?的單蠲區(qū)間和極值?

92.

93.

設(shè)函數(shù)>=αrj-60r2+6在［-1.2］上的最大值為3.最小值為-29.又4>0.求a,b.

g/(?)ft［β,6］上連續(xù).存在E.M兩個常數(shù)?且搟足α<4<4<3證明：恒*

94.m(xl-X,)<∕<X1)-∕<^∣><M<x,-X,).

95.

設(shè)拋物線，=3'+4"+。過原點，當(dāng)。<工<1時"》。，又已知該拋物線與工軸及

?=?所圖圖形的面積為春，試確定",6.r,使此圖形繞?軸旋轉(zhuǎn)一周而成的體枳最小?

C,證明：當(dāng)1O時/n(l。)>小一.

96.1+?

97.

一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租.當(dāng)月租金定為2000元時,公寓會全部租出去，當(dāng)月

租金每增加100元時?就會多一套公寓租不出去.而租出去的公寓每月需花費200元的維修

費.試問租金定為多少可獲得Jft大收入？最大收入是多少？

98證明方程/一3工-1=0在1與2之間至少有一個實根?

99.

設(shè)/(?)在區(qū)間［α,fI上可導(dǎo),且?(ɑ)=/(*)=0,證明：至少存在一點SS(α.6,使得

/Cf)+3^∕(f)≡0.

10θ*明凸/>0時M±<m中

五、解答題（10題）

求函數(shù)y=x+-J~j?的單調(diào)區(qū)間、極值及凹凸區(qū)間.

101.

102.求函數(shù)y-χZ3χ2-l的單調(diào)區(qū)間，極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點。

103.

每次拋擲一枚骰子（6個面上分別標(biāo)有數(shù)字I,2,3,4,5,6）,

連續(xù)拋擲2次，設(shè)A={向上的數(shù)字之和為6}.

求P（A）.

104.

（本蹌曲，”U?乂旅游車的乘車人數(shù)限定為IOO人,票價p（單位：元）Lj乘車人數(shù)X

滿足/，=（6.「.試求乘車人數(shù)為多少時,所得的票款收入做多？此時的票價是多少？

105.

設(shè)函數(shù)y=y（x）是由方程In（X+y）=∕y所確定的隱函數(shù)，求函數(shù)曲

線y=y（χ）過點（0，D的切線方程.

106.

計算f±τdx?

jl+x2

107.（本題滿分8分）計算!通（而-G^）.

（I）求由曲線y=4與y=χ2所用成圖形的面積4

108.（2）求（1）的平面圖形繞X軸旋一周所得旋轉(zhuǎn)體的體枳匕

109設(shè)z=，儂+3?求dz.

??θ設(shè)y=lnx-χ2,求dy.

六、單選題(0題)

Ill.函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)是f(x)在該區(qū)間上可積的()

A.必要條件，但非充分條件

B.充分條件，但非必要條件

C.充分必要條件

D.非充分條件，亦非必要條件

參考答案

1.C

由0.3+a+0.1+0.4=1,得α=0.2,故選C。

2.A

解題指導(dǎo)本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)符號的正值區(qū)間來判定函數(shù)在已知區(qū)間內(nèi)是否單

調(diào)增加.

3.B

4.C

5.A

.sin(2x?-ax)等價代換2x'-ax-.

1Iim------------------?≡=~=IIilm-------------=-a=l所a以hla≡,-l.

*→OX*→OX

=≡Acosr+8sinj"（A?B為待定常數(shù)）＞*=ACOSK+8SirLr（A.B為待定常數(shù)）

7.A

8.1-Jrejr1-J*ejr

9.D本題考查的知識點是二元函數(shù)的無條件極

因為乎=2x*=2y,則點(0.0)為駐點,且

?x?y

Λ=y-γ=2.β=O,C=^-4=2.

值.由于8'→IC=-4vO.且A=2>O.所以點(0.0)為極小值點

10.D

函數(shù)的定義域為(-叫+8).

I-?

yz=—(x-l>)i.

3

2—

?*=-(x-6)j.

當(dāng)X=6時，y”不存在.因為函數(shù)/(x)在X=6點處連續(xù)，且

當(dāng)x<b時，y"<0,曲線V為凸：當(dāng)x>b時，y”>0,曲線y為凹.

所以x=6是曲線y的拐點橫坐標(biāo)，y(b)=α.

故曲線的拐點為(b,α).

11.A

因為IinI(XJ-D=0,而SinIW0.故選A.

Il

12.C

甲乙排在首尾的方法為2!,另外3人排在中間的方法是3!,

所以，甲乙必須排在頭尾的概率為型=L.

5!10

13.A

14.C

E(X)=O*0.5+1*0.5=0.5

15.C

2x2x2x2x

f'(x)=(xe)'=e+2xe=(l+2x)eo

16Λe

17.B

18.B

19.C

因為Iimy(X)=Iim(x2-3)=-2,

Ix→l

所以/[lim∕(x)]=/(-2)=(2X+!)∣^2=-3.

20K(I-c")K(I-CM)

21.C

22Λ5π∕4

解析]根據(jù)無窮小量的定義可知選項C正確.

24.B本題的關(guān)鍵是去絕對值符號，分段積分.

若注意到被積函數(shù)是偶函數(shù)的特性，可知

?e'"dx=z?e'dx=2e'∣≈2(e-I),

無需分段積分.

25.B

答應(yīng)選B.

提示本即考查的是原函數(shù)的梃念及導(dǎo)數(shù)的計算，因此有

/(x)=(ln*),=γ,f,{x)-(?)=-/，

年以選B.

L=Cl4-C2e?y=G4-C2e?

27.A解析

因為f(χ)=∫(2x+e^x)dx=x2-e'+C

過點(O,1)得C=2

所以/(x)=xz-e-χ+2

本題用賦值法更簡捷：

因為曲線過點(0,1),所以將點(0,1)的坐標(biāo)代入四個選項，只有選項A成立，即O2-CC'+2=1,

故選A.

28.A

答應(yīng)選A.

分析本題考查的知識點是原函數(shù)的概念?

由/(X)的一個原函數(shù)為Xln(N+I),可得∫f(x)<k=xln(x+1)+C,所以選A.

29.D

本題的解法有兩種：

解法L先用換元法求出f(x)的表達式，再求導(dǎo)。

設(shè)sinx=u,則f(x)=∏2,所以f'(u)=2u,即f'(x)=2x,選Do

解法2：將f(sinx)作為f(x),U=SinX的復(fù)合函數(shù)直接求導(dǎo)，再用換元法

寫成f'(X)的形式。

等式兩邊對X求導(dǎo)得

f'(sinx)?cosx=2sinxcosx,f'(sinx)=2sinχo

用X換SinX,得f'(x)=2x,所以選D。

30.B

31.應(yīng)填

0.

【解析】本題考查的知識點是極限的計算.由于分子是“8-8”，應(yīng)首先有理化，再約去

“8”因子.本題若直接用洛必達法則求解反而比較麻煩.

w?χ(√xi+4x+x)…

本題也可以直接消去“8”因子:

32.1

33.1

34.

----?-(l—?2)?-J-C

O

JC√T-χrdj=y∕1-J2dj2=γ-(Jl-12)d(l-12)=(一;)xJ(l-12)去+

uLLe

C=-∣(l-x2)1+C.

?z?z?u?z?v?z?z

——_=_-—--_-_--_-_-1-_-L-__--_-_--_=———≡e-y+×2x

?x?u?xOV?x?u?vX2+y2

36.1

37.C

38.

,,?(,'?)

39.3

因為y，=4=<"XG(—1,1)所以y單調(diào)減少χ∈[—1,1]

故函數(shù)的最大值應(yīng)在左端點達到，即/(-1)=LbFIL=T=3?

40.

/(?)?(?)-[/(?)]2

[7∞T

/(?)?(?)-[/(?)]2

[7∞T

41.F(lnx)+C

42.y+x-e=0y+x-e=0解析

因為/(e)=elne—e=0

∕,(x)=InX÷1-1=InX∕,(e)=Ine=1

所以y-0=--(?-e)

故所求法線方程為：y+x-e=O

43.

4xln2

44產(chǎn)'-+sinj?+C〃…+sin1+C

45.-2

46.B

48.[ycos(xy)+4x]dx+[xcos(xy)+l]dy

49.0

50.0.35

P(AB)=P(A)P(BM)=0.7X0.5=0.35

51.0

52.2

53.

??^d?=?InXd(InX)="?-ln2*|=-?-.

使用“共甄”方法，分子、分母同乘√Γ77+ι,

..Jl+x_1.(V1+X-1)(Jl+X+1)

Iun-----------=I1im----------=?≡=----------

…Λ…Λ(√fl+X+1)

.X.1i

=1Jim.----=ItIm-J=——=—

54.1/21/2解析：I)X(Jl+x+1)"→<(√1+I+12

-Ax

(X2-D2

.X?,+∕χ2-1+2、，,2.z-Ax

［解AW析C1/=(-2—7)=(—「一)=(l+~2-r)=TT-TT

X-IX-IX—

55.

44

-(l+x2),+C-(l+x2)i+C

56.88

3-C1

2H201°

［解析)?/(x)dx=∫exdr+?ɑ?dr??e?+-x2=(1-e^l)+2=3-e^l

57.TT°^l2

江+國―)

?xy?vy

I解析］設(shè)V=",則z=∕(χ,v)

y

西=亞+宜?2=必+JL/

58Hx3x?v?x?xy?v

59.1/2

60.

【答案】應(yīng)填2廣'（l+2ylnx）.

（解析】Z對X求偏導(dǎo)時用籍函數(shù)求號公式,z對y求偏導(dǎo)時用指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式?

因為*=2y?∕τ,則

?χ

^g）=2A'+2√-∣nx?2,

即----=2χ2τ,（?+2ylnx）.

61.

因為》=6in'/二J衛(wèi)）.則

函數(shù)/(?)=Jre~'的定義域為(—8.+8),且/(j?)處處可導(dǎo);

因為∕,(?)=e^,—jre,=e^w(l一l).令∕*(?)=O

得駐點?r=1.且JrVl時.，(才)>θ,?>1時?∕ΛJ?)<O

所以/(1)=C*=L為函數(shù)/(幻的最大值.

e

又Iim/(?)=Iim?e,=-8；

Iim/(?)=Iim?e'=Iim-=Iim—=0.

于是f(x)定義域內(nèi)無最小值

函數(shù)/(?)=τe~'的定義域為(?-8,+8),且/(?)處處可導(dǎo);

z

因為∕,(J)=e^*—?e，=「(1—1)，令∕(Z)=O

得駐點?r=1.且工V1時.，(力>0.j->1fl-t,/(?)<0

所以八1)=e1=?為函數(shù)八幻的最大值.

e

又Iim/(?)=Iim?e=—81

Iim/(?)=IimZe'=IimW=Iim?=0.

J,??4-Γ-?÷<Λ?r→÷ye-i-**e

于是f(x)定義域內(nèi)無最小值。

sin(ln?)d?=e?sin(ln?)]j—??dsin(Irtr)

-?COS(IrU*)CLr

esinl

=esinl-??eos(ln?)]+?deos(Irtr)

=esinl-ecosl+1-sin(ln?)d??

sin(ln?)d?=—[e(sinl-CoSI)+1].

63.

Isin(ln?)d?=??sin(ln?)]?dsin(ln?)

-?CoS(IruJcLr

=esinl-[?eos(ln?)]+?deos(?n?)

=esinl-ecosl+1-sin(ln?)d?t

sin(?n?)d?=-[e(sinl-cosl)+1]?

64.

令I(lǐng)=Utan/（一mVY半卜作輔助三角形?如圖所

示.則

CLr=dsec'∕d∕?

?/?2?α2=?∕α2tan2/+a2=aVtan2/+1=αsec∕.

由輔助三角形，如圖所示，則secz=.tanr=?

"a+α’a

于是

sec∕d∕

y∕jrz+a

==InIsecz+tan/∣+C∣

同代

=Iln

ln(?+，］?+α?)+(：—Ind

=ln(?+s/?2+α2)+C(C=C∣—lnα).

由輔助三角形，如圖所示,則sec/=^÷α?tanr=?,

aa

于是

空Qd,^see/d/

asec/

=InIsuet+tan/I+C∣

≡ln∣j+^≡Z∣+c.

=In(N+4a?)÷C∣-Ina

=ln(?+√rj2+α2)+C(C=Ci—lna).

65.畫出平面圖形如圖陰影所示

①S=￡(4x-2√)dx=[2√-尹)I：=*

②設(shè)過點(工。,力)的切線平行于y=4x,則)∕(%)=4x0=4,所以xo=l.%=2.過此點的切線

方程為

y-2=4(x-l).即4x-v-2=0.

re

Iim------(e*-l)?cos?]Iim丁:一手------(σj1)?co??]

r→0osin??X?→9osin??X

=Iim工?：------lim(e4-1)?cos?=Iim------lim(e,-1)?cos?

???osin??1。X■7Zos?inT??r-*??

.eu-€a.I..e,?-e^,.1

=lIim——-----lhm??cos——=Iim——-----llim??cos——

Z4<τJTX#-*o/4JrJ―。?

I-7e'"+eI-7en+e^,C

S=0n=?im-----τri---------0

也F---Jt→944

66.二

67?f(x)的定義域為(-8,+∞).

∕,(x)≡3x:-6x-9=3(x+1)(x-3)=≈=O,^?,=-1,x,=3.

列表如下:

X(-?.-I)-I(-1.3)3(3,+8)

，'⑺÷0-0

小)Z極大值7?極小值-25Z

函數(shù)發(fā)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間為(-8,-1),(3,+∞);單調(diào)減少區(qū)間為(-

1,3).極大值發(fā)f(-l)=7,極小值f(3)=-25°

由題意得

匕=K?(6—y)∣dy-xj(y∕y)tdy

68.

由題意得

j

匕=πj(6—yKdy-nJ<7>?)dιy

n-?j?*(6-“I'-yx√I1=孚X.

69.

該題若求出導(dǎo)函數(shù)后再將工=O代人計算比較麻煩,下面利用導(dǎo)數(shù)定義計算.

/1—sin?

aresin?

/⑺一f(0)A。)=。7ITSiM

∕,(0)=IimIim----------IimJH膽=】?

J■一O1—0LOJ-OVJ+SlnJr

該IS若求出導(dǎo)函數(shù)后再將H=O代人計算比較麻煩,下面利用導(dǎo)數(shù)定義計算.

/1-sin?

Z(0)=Iima■仁《。)Iim=Ii府叵=.

，一。?Uj—Ojrj→lToIV14-Sinjr1

70.

由于MUsin2τ.>∣≡COS2JT為二階線性常系數(shù)齊次微分方程的特解?可知。?

0?=2.即原方程有一對共腕復(fù)根rl=2i?r,=-2i.因此對應(yīng)的特征方程/

(r-2i)(r+2i)=0.

,β

即r+4Ot

從而可知相應(yīng)的微分方程為

y+4y≡0.

由于V-=sin2]?y?=cos2x為二階線性常系數(shù)齊次微分方程的特解?可知。工

G?b=2.即原方程有一對共較復(fù)根rl=2i,r,=2i.因此對應(yīng)的特征方程,

(r-2i)(r4-2i)=0.

即r,÷4≡0?

從而可知相應(yīng)的微分方程為

y+4y≡0.

［號(Lrdy=J：亨dy］；dx

=?(y-y")dy

≡?coaydy-?yco?ydy

βin>L-￡>rd<sin?)

Sinl-sinl-cosy1-cosl.

71.■

=Jl∕)dy

=?COSydy-yco?ydy

>d(Siny)

sinl-sinl-cosyI—cost.

72.設(shè)F(x,y,z)=x2+y2-ez,

則M=2,，M=T

?x?z

BF

所以蟲=玉=上.

?x?FCt

a?

因為

Z,=4x1y,+2jy'.M,=2x,y+3x,yi?

所以

z“=I2x1/+2>,.

z?=2x,+6xly,

z,,H8J?1>+6xy,?

z,=8x,y+6xys.

73.f

因為

t,=4xjy,+2xy'?z,=2?r'y+3τ'y'.

所以

J=12x1yz+2y].

z?=2J'÷6x,y.

t,,=8?r?+6?r√.

z?=8j?'y+6j?y?

rιr?,

h-JTIrLrd(2√7)+JInNd(2√JΓ)

≡=-2^?ln?J.i÷?-^z<Lr÷2√^xlftr∣-J?.d?

--B+4471τ+4e-4√TJ=8(1—?-j.

74.

,

≡-?flrud(27?)+?Inxd(2√Gr)

—2^?ln?I?+∣"^J'?dτ

4√7∣^=8(1-∣).

—+4√xIf+4e-

75.因為y'=3X2COSX-X3Sillx,所以dy=y,dx=x2(3cosx-xsinx)dx.

∫[e2"+ln(l+?)]d?=?end(2x)+?n(?+?)d?

=春產(chǎn)+?ln(1+?)—(7"T-dr

/JI÷?

=/e"+ιln(1+i)—“1—?-?-^jd?

=可/+??n(1+?)—X+ln(1÷?)+C.

][eL+?n(l+?)jd?=yje2rd(2x)+?ln(?+?)d?

=[七'+1∣n(1+?)—f?—■—CLr

/J1÷?

=ye2j+?ln(1+彳)-j[l-p?-^jd?

=+Iln(I+*)—βr+ln(1+?)?C.

y=(?)/aretan?+??(aretan?)’-(In√T+^rr)z

=arcta∏-r+I+.W-----√-T?+(7，r1+jr')’

?111

=aretan?+——?—-?,…?—J?Zx

2rIJ

?+?√T+7√T÷XΓ

XT

=aretan?+i；~：—r--"—?=aretan?.

1+√1+JT2

yz=(?),aretan?÷x?(arctan/)’-(In√zT+"rr)/

Jr]

=aretan?+(√T÷7r)z

]+/√Γ+7

=aretan?+——τ?]ι2x

1÷??√T+7r√T+7r

l??

=aretan?+—I÷—xτ——?+—?≡?=aretan?.

80.

曲線方程可化為

??+1

N=------2~9

ZR??■

在《1,—2,1)點處曲線切線的方向向量為

s≈(l)J(l)?J(l))=卜一全2卜

因此,曲線在點(1?一2?1)處的切線方程為

￡211=il±2=5J∑1.

?2

法平面方程為

《了一】》一J~(y+2)+2(之一1)≡O(shè)9

即

2X—3y+4之-12=0.

曲線方程可化為

3z+I

~2~

z=r???

在《1,-23）點處曲線切線的方向向盤為

s={*'（1）?」《I》?/（1））-"I*2)-

因此.曲線在點（1,一2?1）處的切線方程為

中=丐=三.

法平面方程為

(?-1)—-∣-(y+2)÷2(r-1)≡0?

即

2J—3y÷4∑-12=0.

由y""=e'sin2?r.得

ytβ'=e?sin2x+2ejCOS2JΓ=e'(sin2?r+2cos2τ),

y",',=e,(sin2j+2cos2τ)+ej(2COS2J-4sin2j)

=e'(4COS2J?-3sin2x).

由yc"^"=e'sin2j?,得

y,κ,=e?sin2x+2ejCOS2J?=e'(sin2τ+2COS2JT),

jj

=e(sin2j?4-2COS2J)÷e(2COS2J--4sin2x)

=e'(4COS2J?-3sin2j?).

Iim/1÷??cr=Iimel'b"=c^

I?ΓJ?-*

1Um則W'Iun∣

令/——.則原式==L=c^.

82.工

,.?—=2?re"+?r,e"=(2x÷√y)eτ',

??

..孫

∕e"+(2Λ,?X2y)erγX=(3/+?r'y>e”.

83.,?τ?y

?/—=2xc4r+Mye"=(2x÷JT2y)e'ry?

??

」

?.a=jrzejy+(2工+X2y)eryx≈(3J?2+j?'y)e”.

????^

I+J,√,X,=1+√y

84.

Ln2?jyF?z,

TTTr7,

d?

由sin∕t-γ^=cosr—cos/+∕sin∕=/nin/.

Tdid/

?

?f≈d-/fxin,

因此

d?d?--Sinr

85.d/

d?dv

由fdidrcos/—cos/+ZsinZ=∕sιn∕.

dv

因此

do-sin/

86.解設(shè)F((x,y,λ)=f(x,y)+λ(x+2y-4)=x2+y2+xy+λ(x+2y-4),

2x+y+A=0,

令j-=2y+x+2λ=O,

—=Af÷2y-4=0,

由①與②消去A.得H=O,代入③得y=2,所以/(0.2)=4為極侑.

l??1sin?d?=?fd(-eos?)

=-12eos?÷?eos?dr2

=—?2eos?