2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第八章第4節(jié)　直線、平面平行的判定與性質(zhì)

第4節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)

考綱要求1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)

性質(zhì)與判定定理；2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的

簡(jiǎn)單命題.

知識(shí)分類落實(shí)回扣知識(shí)?夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

1.直線與平面平行

(1)直線與平面平行的定義

直線/與平面α沒有公共點(diǎn)，則稱直線/與平面α平行.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號(hào)表示

平面外一條直線與此平a_

判定定理面內(nèi)的一條直線平行,則7aQa,bUa,a//b^>a∕/a

該直線平行于此平面Z→

一條直線和-一個(gè)平面平

行，則過這條直線的任一a//a,ClU0,aCβ=b0a

性質(zhì)定理

平面與此平面的交線與*Hb

該直線平行

2.平面與平面平行

(1)平面與平面平行的定義

沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號(hào)表示

一個(gè)平面內(nèi)的兩條粗

交直線與另一個(gè)平面QUα,bUa,aCb=P,

判定定理

平行，則這兩個(gè)平面z?7a∕∕β,b∕∕β^a∕∕β

平行

兩個(gè)平面平行，則其

中一個(gè)平面內(nèi)的直線a//β,αU(χ≠>〃〃夕

平行于另一個(gè)平面//

性質(zhì)定理

如果兩個(gè)平行平面同

a//β,a∏γ=atβ∏γ

時(shí)和第三個(gè)平面相7

∕?Λ^7=b=a〃b

交，那么它們的交線

平行

?——常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒

1.平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論

(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若α,α,aLβ,則α〃及

(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行，即若ɑ〃.，β∕∕γ,則a〃y.

(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若。_La,?±α,則。〃6.

2.三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化

性質(zhì)定理

判定定理判定定理

線線平行、;缶、ta、線面平行,一、面面平行

性質(zhì)定理性質(zhì)

診斷自測(cè)

〉思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”)

(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.()

(2)若直線“〃平面α,PGa,則過點(diǎn)P且平行于直線”的直線有無數(shù)條.()

(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.()

(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.()

答案(1)×(2)×(3)X(4)√

解析(1)若一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行或在平面內(nèi)，

故⑴錯(cuò)誤.

(2)若a〃a,PGa,則過點(diǎn)P且平行于α的直線只有一條，故(2)錯(cuò)誤.

(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行或相交，故(3)錯(cuò)誤.

〉教材衍化

2.下列說法中，與“直線”〃平面a”等價(jià)的是()

A.直線。上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面a內(nèi)

B.直線a與平面a內(nèi)的所有直線平行

C.直線“與平面a內(nèi)無數(shù)條直線不相交

D.直線a與平面a內(nèi)的任意一條直線都不相交

答案D

解析因?yàn)椤啊ㄆ矫鎍,所以直線”與平面a無交點(diǎn)，因此。和平面a內(nèi)的任意一條直線都

不相交，故選D.

3.如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀

為.

答案平行四邊形

解析,；平面ABFE//平面DCGH,

又平面EFGHrI平面ABFE=EF,

平面EFG"C平面DCGH=HG,

二E/〃HG.同理EH//FG,

：.四邊形EFG”是平行四邊形.

＞考題體驗(yàn)

4.（2021.太原質(zhì)檢）平面α〃平面夕的一個(gè)充分條件是（）

A.存在一條直線4,a∕∕a,a//β

B.存在一條直線4,aUa,a//β

C.存在兩條平行直線4,b,ɑɑɑ?bUR,a//β,b//a

D.存在兩條異面直線a,b,aUa,bUβ,a//β,b//a

答案D

解析若a∩∕?=/,a//1,aCa,aQβ,a//a,a//β,故排除A；

若aCβ=l,a",a∕∕l,貝IJa〃夕，故排除B；

若a∩S=/,aUa,a∕∕l,b^β,b∕∕l,貝!∣a〃￡,b∕∕a,故排除C；

故選D.

5.（2020?長(zhǎng)春調(diào)研）已知a,夕表示兩個(gè)不同的平面，直線機(jī)是a內(nèi)一條直線，則"a〃夕'

是“tn”'的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析由a〃夕，ZMUa,可得相〃夕；反過來，?m∕∕β,m（^a,不能推出＜%〃K綜上，“a〃

βn是am∕∕βn的充分不必要條件.

6.（2021?衡水中學(xué)檢測(cè)）如圖，四棱錐P—ABeD中，AB=BC=品。，ZfiAD=ZΛBC=90o,

E是PD的中點(diǎn).則CE與平面PAB的關(guān)系是.

R

E

/fI/?

BC

答案平行

解析取附的中點(diǎn)凡連接EF,BF,

：E是尸。中點(diǎn)，知EF^AD,

又NBAD=N4BC=90°,BC=^AD,

：.BC^AD,從而BC^EF,

則四邊形BCEF為平行四邊形，故CE〃/1F,

又BFU平面PAB,CEQ平面PAB,

所以CE〃平面PAB.

考點(diǎn)分層突破考點(diǎn)聚焦?題型剖析

考點(diǎn)一與線、面平行相關(guān)命題的判定自主演練

1.（2019?全國(guó)Il卷）設(shè)α,夕為兩個(gè)平面，則α〃夕的充要條件是（）

A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與“平行

B.α內(nèi)有兩條相交直線與S平行

C.a,夕平行于同一條直線

D.α,尸垂直于同一平面

答案B

解析若α〃夕，則α內(nèi)有無數(shù)條直線與S平行，當(dāng)ɑ內(nèi)無數(shù)條直線互相平行時(shí)，α與萬可

能相交；若α,￡平行于同一條直線，則α與夕可以平行也可以相交；若明夕垂直于同一

個(gè)平面，則α與“可以平行也可以相交，故A,C,D中條件均不是α〃夕的充要條件.根

據(jù)兩平面平行的判定定理知，若一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則兩平面平

行，反之也成立.因此B中條件是a〃￡的充要條件.

2.（2021?西安質(zhì)檢）設(shè)“，〃為兩條不同直線，α,￡,y為三個(gè)不同平面，則下列命題正確的

是（）

A.若a〃a,h∕∕a,貝∣Jn〃方

B.若aUa,bU∕},a//β,則a〃b

C.若“〃α,a∕∕β,則α〃夕

D.若α〃夕，aClγ=a,β∏γ^b,則a〃b

答案D

解析A不正確：”〃?；颚僚cZ?相交或異面；

B不正確，α〃〃或。與是異面直線；

C不正確，α〃/?或平面6(與￡相交.

D正確，根據(jù)面面平行的性質(zhì)，可得

3.在正方體ABCz)-A∕∣CQ∣中，下列結(jié)論正確的是(填序號(hào)).

①A。1〃BC1；

②平面ABQl〃平面BDC1;

③AQi〃OG；

④ADl〃平面BDCi.

答案①②④

解析如圖,因?yàn)锳B彳透C?D?,

所以四邊形AaG8為平行四邊形.

故ADSBCi,從而①正確；

易證B￡>〃8i￡)i,ABi∕/DCi,

又ABlnB∣O∣=B∣,

BDCDCl=D,

故平面ABl￡>1〃平面BDC1,從而②正確；

由圖易知An與DG異面，故③錯(cuò)誤；

因?yàn)??！?C∣,A。Q平面BOC1,BClU平面BOG,

所以AQl〃平面BQCt,故④正確.

感悟升華直線、平面間平行的判定方法

(1)關(guān)注是否符合判定定理與性質(zhì)定理，并注意定理中易忽視的條件.

(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷.

(3)利用實(shí)物進(jìn)行空間想象，比較判斷.

(4)熟記一些常見結(jié)論，如垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行等.

考點(diǎn)二直線與平面平行的判定與性質(zhì)多維探究

角度1直線與平面平行的判定

[例1](20⑼全國(guó)I卷)如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4,AB

=2,/540=60。，E,M,N分別是BC,BBi,AI。的中點(diǎn).

(1)證明:MN〃平面GDE；

(2)求點(diǎn)C到平面CQE的距離.

⑴證明如圖，連接BC,ME.

因?yàn)镸,E分別為BBi,BC的中點(diǎn),

所以ME〃BlC,且ME=；BiC.

又因?yàn)镹為A。的中點(diǎn)，所以ND=%ιD.

由題設(shè)知4B∣統(tǒng)。C,

可得3C統(tǒng)4。，故ME^ND,

因此四邊形MNDE為平行四邊形，

所以MN〃ED.

又MNa平面CiDE,OEU平面CQE,

所以MV〃平面CiDE.

(2)解過點(diǎn)C作GE的垂線，垂足為H.

由已知可得。EJ_BC,DErGC,又BCnCIC=C,BC,GCU平面CIC￡,所以。E_L平面

CiCE,

故。EJ_CH.所以CHl,平面GOE,

故CH的長(zhǎng)即為點(diǎn)C到平面GOE的距離.

由已知可得CE=1,GC=4,

所以CιE=y∕行,故CH=喟■.

從而點(diǎn)C到平面ClOE的距離為生伊.

感悟升華1.利用線面平行的判定定理證明直線與平面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條與

已知直線平行的直線.

2.利用面面平行的性質(zhì)證明線面平行時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造過該直線與所證平面平行的平面，這

種方法往往借助于比例線段或平行四邊形.

【訓(xùn)練1】如圖，四邊形ABCQ是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCO外一點(diǎn)，M是PC的中

點(diǎn)，在OM上取一點(diǎn)G,過G和AP作平面交平面BZ)M于GH.求證：GH〃平面

證明如圖，連接AC交8。于點(diǎn)。，連接M。,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，

所以。是AC的中點(diǎn).又"是PC的中點(diǎn)，

所以AP〃。暇

根據(jù)直線和平面平行的判定定理，

則有BA〃平面BMD.

因?yàn)槠矫妯M?"GC平面BMD=GH,

根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)定理，所以B4〃G〃.

因?yàn)镚Ha平面%。，％U平面力￡>,

所以GH〃平面PAD.

角度2線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用

【例2】(2021?河南、江西五岳聯(lián)考)如圖，在四棱錐P-ABC。中，氏_L底面ABCO,AD

/∕BC,ZDAB=90o,AB=BC=∕?=)θ=2,E為PB的中點(diǎn)，尸是PC上的點(diǎn).

P

(1)若E尸〃平面附。，證明：尸為PC的中點(diǎn)；

(2)求點(diǎn)C到平面PBD的距離.

⑴證明因?yàn)?C〃AD,BCQ平面∕?O,A。U平面網(wǎng)￡),

所以8C〃平面PAD.

因?yàn)镻∈平面PBC,P∈平面以。，所以可設(shè)平面PBCrI平面%O=PM,

又因?yàn)锽CU平面PBC,所以BC〃PM,

因?yàn)镋F〃平面∕?Q,EFU平面PBC,

所以E尸〃PM,從而得EF〃BC.

因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以F為PC的中點(diǎn).

(2)解因?yàn)锽4_L底面ABC。，ND48=90。，AB=JBC=B4=%O=2,

所以PB=y]PA2+AB2=2√2,PD^?∣PA2+AD1=2√5,

BD=y∣BA2+AD2=2√5,

所以SADPB="=6.

設(shè)點(diǎn)C到平面PBQ的距離為“，

由VC-PBD=VP-BCD，得gS<?O戶B?a=WSABCO,勿=1X]XBCX4BXΛ4,

12

則6d=]X2X2X2,解得

感悟升華在應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時(shí)，一定注意定理成立的條件，通常應(yīng)

嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟，如：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，必須說清經(jīng)過

已知直線的平面和已知平面相交，這時(shí)才有直線與交線平行.

【訓(xùn)練2】如圖所示，已知四邊形ABCf)是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF

的中點(diǎn).

E

F

DA

⑴求證：AM〃平面BDE；

(2)若平面4。Mrl平面BDE=I,平面ABMrI平面BDE=m,試分析I與m的位置關(guān)系，并

證明你的結(jié)論.

⑴證明如圖，記AC與8。的交點(diǎn)為0,連接OE

因?yàn)?,M分別為AC,EF的中點(diǎn)，四邊形ACEF是矩形,

所以四邊形AoEM是平行四邊形，所以AM〃OE

又因?yàn)镺EU平面BDE,AMa平面BDE,

所以AM〃平面BDE.

(2)解l∕∕m,證明如下：

由⑴知AM〃平面BDE,

又AMU平面ACM,平面A。MrI平面BQE=/,

所以l//AM,

同理，AM〃平面BDE,

又AMU平面ABM,平面ABMrl平面BDE=〃?,

所以加〃A所以/〃利

考點(diǎn)三面面平行的判定與性質(zhì)典例遷移

【例3】(經(jīng)典母題)如圖所示，在三棱柱ABC-AIBIG中，E,F,G,”分別是4B,AC,

AιB∣,AIG的中點(diǎn)，求證：

(DB,C,H,G四點(diǎn)共面;

(2)平面EMI〃平面BCHG.

證明(1)?.?G,H分別是A∣Bj,4C∣的中點(diǎn)，

GH是AAiBiG的中位線,則GH〃B∣G.

又，：BlCi〃BC,

.?GH∕∕BC,：.B,C,H,G四點(diǎn)共面.

(2)VE,尸分別為FB,AC的中點(diǎn),J.EF//BC,

'：EFa平面BCHG,BCU平面BCHG,

〃平面BCHG.

又G,E分別為A山I,AB的中點(diǎn)，AiBi/A分

：.A?GEB,

二四邊形4EBG是平行四邊形，.?AiE//GB.

「AiE。平面BCHG,GBU平面8CHG,

.?.AιE〃平面BCHG.又YAiECEF=E,

平面￡74〃平面BCHG.

【遷移1】在本例中，若將條件“E,F,G,H分別是A8,AC,AlBl,4G的中點(diǎn)”變

為“Di,。分別為BIC1,BC的中點(diǎn)”，求證:平面A∣8Qι〃平面AGD

證明如圖所示，連接AIC交AG于點(diǎn)M,

,/四邊形A∣ACC,是平行四邊形，

二例是4C的中點(diǎn)，連接仞。，

VD為BC的中點(diǎn)，

.".A?B∕∕DM.

YAiBU平面A∣BDι,

OMa平面A∣βD∣,

二。M〃平面AιBD∣,

又由三棱柱的性質(zhì)及。，A分別為8C,BlG的中點(diǎn)知，DICl舔BD,

四邊形BDGDl為平行四邊形，.?DC↑∕/BDi.

又OG。平面Am,B0U平面AB。,

.?.DG〃平面AiBDl,

又。CmoM=。，DC1,QMU平面ACiQ,

因此平面A山￡)1〃平面AC?D.

【遷移2】在本例中，若將條件“E,F,G,”分別是AB,AC,A1βl,AlG的中點(diǎn)”變

?Γ)

為“點(diǎn)。，G分別是4C,4G上的點(diǎn)，且平面BGo〃平面ABlOJ,試求反的值.

解連接AIB交ABl于0,連接。

由平面BClZ)〃平面ABiDi,

且平面4∣BCm平面BCiD=BCi,

平面A∣3G∩平面AB?D?-D?0,

所以BC"∕dO,則給=%=L

-7上日而lAlDlDC

又由屜以VOlG-N5,

?,堪=1，即?l=ι?

感悟升華1.判定面面平行的主要方法

(1)利用面面平行的判定定理.

(2)線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行).

2.面面平行條件的應(yīng)用

(1)兩平面平行，分別構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線平行.

(2)兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面平行.

提醒利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明是在一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相

交直線.

【訓(xùn)練3】(2021?成都五校聯(lián)考)如圖，在四棱錐P-ABC。中，平面網(wǎng)O_L平面ABCD,

PA=PD,AB=AD,PAlPD,ADLCD,NBAO=60。，M,N分別為AD,附的中點(diǎn).

(1)證明：平面BMN〃平面Pa)；

(2)若AO=6,求三棱錐尸一BMN的體積.

⑴證明連接BD,如圖所示.

?"AB=^AD,NBA￡)=60。，Z?A8O為正三角形.

：M為AQ的中點(diǎn)，J.BMLAD.

'：ADLCD,CD,BMU平面ABC。，.?BM∕∕CD.

又BMa平面PCr>,Cf)U平面PC力，.?.BM〃平面PCD

'：M,N分別為A￡>,BA的中點(diǎn)，J.MN//PD.

又MMl平面PCD,PoU平面PCD,

,MN〃平面PCD.

又BM,MNU平面BMN,BMCMN=M,

平面BMN〃平面PCD.

(2)解在(1)中已證LAD.

?.?平面Z?O1.平面ABCD,8MU平面ABCD,

.?.BΛ√L平面PAD.

又AC=6,NBAD=60。,ΛBM=3√3.

?'PA^PD,PALPD,AD=6,

、eL

二=尸￡>=予4。=35，

'：M,N分別為AO,BA的中點(diǎn)，

?'?S?PM∕v=∣S?raD=∣×∣×(3√2)2=∣.

.?.三棱錐P-BMN的體積V=VB-PMN=WSAPMMBM

課后鞏固作業(yè)分層訓(xùn)練提升能力

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.下列命題中正確的是（）

A.若α,6是兩條直線，且?！▋耗敲?。平行于經(jīng)過6的任何平面

B.若直線。和平面α滿足a〃a,那么。與ɑ內(nèi)的任何直線平行

C.平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行

D.若直線”,人和平面α滿足“〃b,a//a,bQa,則人〃α

答案D

解析A中，”可以在過人的平面內(nèi)；B中，”與α內(nèi)的直線也可能異面；C中，兩平面可

相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知6〃a,正確.

2.如果AB,BC,CD是不在同一平面內(nèi)的三條線段，則經(jīng)過它們中點(diǎn)的平面和直線AC的

位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交

C.AC在此平面內(nèi)D.平行或相交

答案A

解析把這三條線段放在正方體內(nèi)可得如圖，顯然AC〃EF,ACQ平面EFG,：,EFU平面

EFG,故AC〃平面EFG,故選A.

D

3.（2021?重慶聯(lián)考）如圖，四棱柱ABC。-4B∣CQ∣中，四邊形ABCD為平行四邊形，E,F

)

答案B

Γ?LJΓ?p1

解析如圖所示，延長(zhǎng)AE交CO于凡連接FH,則所以布=麗,因

為平面4EF〃平面BOiG,平面4EF∩平面COOiC="/,平面BD]G∩平面CDDiCι=f)ιG,

所以9〃OG又四邊形COaG是平行四邊形，所以△。尸HS△.口,所以用=能,

由?DHDH1所以當(dāng)斗因?yàn)槟隙匪詍=CGDF=CG,所以怒=3,

^^CιDι~AB~29

故選B.

4.（2021?蘭州診斷）如圖所示的三棱柱ABC-AiB↑Ci中，過的平面與平面ABC交于OE,

則DE與AB的位置關(guān)系是（）

A.異面B.平行

C.相交D.以上均有可能

答案B

解析在三棱柱ABC-AleCl中，A8"4∣8ι,

「ABU平面ABC,A∣BN平面A8C,

.?.AιB∣〃平面ABC.

:過AIBl的平面與平面ABC交于DE,

：.DE//AiBi,.'.DE//AB.

5.（2021?河南名校聯(lián)考）在正方體ABCD—AIBcQl中，E,F,G分別是BBi,DDi,A1B1

的中點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.BiO〃平面4尸ClB.CE〃平面AlFCl

C.GE〃平面AIFGD.AE〃平面AIFCl

答案C

解析作出圖形如圖所示，觀察可知，BiD∕∕F0,CE//AiF,AE//CiF,又F。U平面AlFe∣,

AIFU平面AIFG,CIFU平面AIFe與加平面AIFCι,CE。平面AIFCι,AEC平面AIFC∣,

所以選項(xiàng)A,B,D正確；因?yàn)镚E〃4B,所以GE與平面Al尸Cl相交，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

故選C.

AlGB1

6.若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐中與平面α平行的棱有（）

A.O條B.1條

C.2條D.1條或2條

答案C

解析如圖所示，平面α即平面EFG”,則四邊形EFGH為平行四邊形，貝IJE/〃GH.

?.?ERI平面BC￡>,GHU平面BCD,

.二E尸〃平面BCD.

又,：EFC平面ACD,平面BCDC平面ACD=CD,：.EF//CD.

又EFU平面EFGH,CZM平面EFGH.

二CC〃平面EFG”，同理，AB〃平面EFGH,

所以與平面α（平面EFGH）平行的棱有2條.

二、填空題

7.如圖，在正方體ABC。-AJBIG。中，A8=2,E為AO的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在CQ上，若E尸〃

平面ABlC,則EF=.

AlB1

答案√2

解析根據(jù)題意，因?yàn)镋尸〃平面ABlC,EFU平面4C。，平面ACD∩平面4B∣C=AC,所

以EF〃AC.又E是AO的中點(diǎn)，所以F是C。的中點(diǎn).因?yàn)樵赗t△￡>EF中，DE=DF=1,

故EF=y∣2.

8.設(shè)α,y是三個(gè)不同的平面，〃?，〃是兩條不同的直線，在命題"aC0=m,∏Cy,且

,則機(jī)〃〃”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題.

@a//y,nUfj；@m//γ,n∕∕β↑@n//β,mUy.

可以填入的條件有（填序號(hào)）.

答案①或③

解析由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)山〃％〃〃”時(shí)，”和機(jī)可能平行或異面，

②錯(cuò)誤；當(dāng)〃〃￡,"?Uy時(shí)，〃和,"在同一?平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，所以加〃”，③正確.

9.如圖所示,在正四棱柱ABCz）—A∣8∣Gf>∣中，E,F,G,9分別是棱CC”CtDi,DiD,

OC的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),點(diǎn)V在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng),則M只需滿足條件

時(shí)，就有MN〃平面SBDd（注：請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮全部可能情

況）.

答案點(diǎn)例在線段/”上（或點(diǎn)M與點(diǎn)〃重合）

解析連接“N,FH,FN,

則/7/〃。HN//BD,

且FHCHN=H,DIDCBD=D,

平面FHN〃平面BIBDDI,只需MGFH,

則MNU平面FHN,：.MN〃平面BlBDDI.

三、解答題

10.（2021.綿陽診斷）如圖，四邊形ABCD是正方形，％J_平面ABeD,點(diǎn)E、F分別是線段

AD,PB的中點(diǎn)，∕?=A8=2.

（1）證明：EF〃平面PCn

（2）求三棱錐F-PCD的體積.

⑴證明取PC的中點(diǎn)G,連接DG,FG.

丁四邊形ABCD為正方形，且DE^^BC,FG//BC,且FG=?8C,

：.DE〃FG&DE=FG,

二四邊形DEFG為平行四邊形，

J.EF//DG,

又；ERI平面PC。，OGU平面PCD,

.?.E尸〃平面PCD.

⑵解：E/〃平面PCD,到平面PCO的距離等于E到平面PCZ）的距離,

P.

BC

.?.VF-PCD=VE-PCD

=2^A-PCD=^YP-ACD-

?.?Λ?1.平面ABC。，

ι114

?,?Vp-ACD=^×SΔACD×Λ4=2×2×22×2=2.

?17、-Al/=2

??Vk-PCD-2*^P~ACD—?-

11.如圖，四邊形ABe。與四邊形AoE尸均為平行四邊形，M,N,G分別是AB,AD,EF

的中點(diǎn).求證：

(I)BE〃平面DMF；

(2)平面8。E〃平面MNG.

證明(1)如圖，連接AE,則AE必過。F與GN的交點(diǎn)。，因?yàn)樗倪呅?。EF為平行四邊

形，所以。為AE的中點(diǎn).

連接M0,則M。為AABE的中位線，所以B￡〃M。，

又BEa平面DMF,MoU平面DMF,

所以8E〃平面DMF.

(2)因?yàn)镸G分別為平行四邊形AOEF的邊A。，EF的中點(diǎn)，所以。E〃GN,

又DEQ平面MVG,GNU平面MNG,

所以O(shè)E〃平面MNG.

因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，N為Ao的中點(diǎn)，

所以MN為AABO的中位線，

所以BD//MN,

又BZK平面MNG,MNU平面MNG,

所以平面MNG,

又。E與BO為平面B。E內(nèi)的兩條相交直線，

所以平面BoE〃平面MNG.

B級(jí)能力提