七年級(jí)數(shù)學(xué)試題

第五章相交線與平行線5.1相交線5.1.1相交線典型例題精析1．鄰補(bǔ)角的定義：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角，鄰補(bǔ)角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角，是兩角互補(bǔ)的特例．2．對(duì)頂角（1）定義：①兩條直線相交所成的四個(gè)角中，其中不相鄰的兩個(gè)角叫對(duì)頂角；②一個(gè)角的兩邊是另一個(gè)角兩邊的反向延長(zhǎng)線，這兩個(gè)角是對(duì)頂角．（2）對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等．3．基本圖形（如圖5-1-1）（1）對(duì)頂角：∠AOD與∠BOC；∠AOC與∠BOD.（2）鄰補(bǔ)角：∠AOD與∠AOC，∠AOD與∠BOD，∠BOC與∠AOC，∠BOC與∠BOD．典型例題精析題型1識(shí)別與相交線有關(guān)的角例1如圖5-1-2，圖中的對(duì)頂角共有（）A．1對(duì)B．2對(duì)C．3對(duì)D．4對(duì)變式練習(xí)1．下列圖形中，∠1和∠2是鄰補(bǔ)角的是（）2．（2023蕪湖期末）下列圖形中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是（）題型2利用對(duì)頂角的性質(zhì)求角的度數(shù)例2如圖5-1-3，三條直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)O，∠AOF=3∠FOB，∠AOC=90°，求∠EOC的度數(shù)．變式練習(xí)3．（2023西城區(qū)月考）如圖5-1-4，直線AB、CD交于點(diǎn)O，射線OM平分∠AOC．若∠BOD=76°，則∠BOM的度數(shù)為（）A．38°B．104° C．142°D．144°4．如圖5-1-5，直線AB、CD交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD．若∠3：∠2=8：1，求∠AOC的度數(shù)．基礎(chǔ)過關(guān)精練1．下列四個(gè)圖形中，∠1與∠2是對(duì)頂角的圖形是（）2．（2023青海）如圖5-1-6，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOD=140°，則∠AOC的度數(shù)是（）A．40°B．50° C．60°D．70°3．（2023河南）如圖5-1-7，直線AB、CD相交于點(diǎn)O．若∠1=80°，∠2=30°，則∠AOE的度數(shù)為（）A．30°B．50°C．60°D．80°4．（2023東營(yíng)期末）如圖5-1-8是一把剪刀．若∠AOB＋∠COD=20°，則∠BOD=．5．（2023丹東期末）如圖5-1-9，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOD．若∠BOC=80°，則∠COE的度數(shù)是.6．（2023開州區(qū)期末）如圖5-1-10，AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOD，∠AOC：∠AOE=4：1，則∠BOD=.7．如圖5-1-11，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE把∠BOD分成兩部分，且∠BOE：∠DOE=2：3．若∠AOC=70°，求∠AOE的度數(shù).8．如圖5-1-12，已知直線AB和CD相交于點(diǎn)O，∠COE=90°，OF平分∠AOE，∠COF=34°，求∠BOD的度數(shù).能力提升演練9．如圖5-1-13，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOE=90°，∠DOF=90°，OB平分∠DOG，給出下列結(jié)論：①當(dāng)∠AOF=60°時(shí)，∠DOE=60°②OD為∠EOG的平分線；③與∠BOD相等的角有三個(gè)；④∠COG=180°－2∠EOF.其中正確的結(jié)論為（）A．①②④ B．②③④C．①③④ D．①②③④10．如圖5-1-14，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，作∠DOE=∠BOD，OF平分∠AOE．若∠AOC=28°，則∠EOF=.拓展探究訓(xùn)練11．如圖5-1-15，直線AB和CD相交于點(diǎn)，OE把∠AOC分成兩部分，且∠AOE：∠EOC=2：3，OF平分∠BOE．（1）若∠BOD=65°，求∠BOE的度數(shù)；（2）若∠AOE=∠BOF－10°，求∠COE的度數(shù).解∵∠AOE=∠BOF－10°，∴∠BOF=4x＋20°.∵OF平分∠BOE，∴∠BOE=2∠BOF=8x＋40°.∵∠AOE＋∠BOE=2x＋8x＋40°=180°，∴x=14°，∴∠COE=3x=42°.5.1.2垂線知識(shí)要點(diǎn)導(dǎo)航1．垂線的定義（1）兩條直線相交所成的四個(gè)角中，當(dāng)有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直．其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．（2）符號(hào)語言：（如圖5-1-16）①由兩條直線垂直可得4個(gè)角為直角．∵AB⊥CD，∴∠AOD=90°②由兩條直線相交成直角，可得兩條直線互相垂直．∵∠AOD=90°，∴AB⊥CD2．垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.3．垂線段：過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線，以這點(diǎn)和垂足為端點(diǎn)的線段就是這點(diǎn)到這條直線的垂線段．連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．4．垂線的畫法：“一靠、二過、三畫、四標(biāo)”．5．點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度.注：“垂線段”和“點(diǎn)到直線的距離”是兩個(gè)不同的概念．垂線段是圖形，點(diǎn)到直線的距離是一個(gè)長(zhǎng)度，是一個(gè)數(shù)量，不是垂線段這個(gè)圖形本身，但在求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，需先作出垂線段，然后計(jì)算或度量出該垂線段的長(zhǎng)度．典型例題精析題型1垂線（段）的有關(guān)概念及垂線的畫法例1讀句子畫圖，并回答問題．（1）作∠BAC=90°，交直線l于B、C兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD⊥l于點(diǎn)D；（2）根據(jù)所畫圖形，判斷下列說法是否正確．①線段BC的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)B到直線AC的距離．（）②線段AD的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)A到直線l的距離．（）③線段AD叫做點(diǎn)B到直線AD的距離．（）④在線段AB、AC、AD中，AD最短．（）變式練習(xí)1．如圖5-1-17，若以P為端點(diǎn)在河上搭建一座橋，則搭建距離最短的是（）A．PNB．PMC．PCD．PQ2．如圖5-1-18，AC⊥CD，∠BED=90°回答下列問題：（1）∠ACD=；（2）直線AD與BE的位置關(guān)系是；（3）點(diǎn)B到直線AD的距離是線段的長(zhǎng)度，點(diǎn)D到直線AB的距離是線段的長(zhǎng)度；（4）在線段DA、DB、DC中，長(zhǎng)度最短的是線段；在線段BA、BE、BD中，線段最短，理由是.題型2利用垂線的定義求角的度數(shù)例2如圖5-1-19，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OM⊥AB，ON把∠AOD分成兩部分.（1）若∠1=∠2，求∠NOD的度數(shù)；（2）若∠1=∠BOC，求∠BOD的度數(shù).變式練習(xí)3．如圖5-1-20，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，EO⊥CD，∠BOE=58°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．58°B．30°C．42°D．32°4．（2023武漢期中）如圖5-1-21，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，垂足為O.（1）若∠EOD=38°，求∠COB的度數(shù)；（2）若∠AOC：∠COB=3：7，求∠EOD的度數(shù).基礎(chǔ)過關(guān)精練1．已知直線AB、CB、l在同一平面內(nèi)，若AB⊥l，垂足為B，CB⊥l，垂足也為B，則符合題意的圖形可以是（）2．下列語句中：①有公共頂點(diǎn)且相等的角是對(duì)頂角；②直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做點(diǎn)到直線的距離；③兩點(diǎn)之間直線最短；④同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.其中正確的有 （）A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)3．在直線AB上任取一點(diǎn)O，過點(diǎn)O作射線OC、OD，使得OC⊥OD，當(dāng)∠AOC=30°時(shí)，∠BOD的度數(shù)是（）A．60° B．120°C．60°或90° D．60°或120°4．如圖5-1-22，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D.①點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AB；②點(diǎn)A到BC的距離是線段AD；③線段AB的長(zhǎng)度是點(diǎn)B到AC的距離；④∠BAD=∠C.上面的結(jié)論中，正確的有（填序號(hào)）5．如圖5-1-23，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，EO⊥AB，垂足為O，且∠BOC=2∠AOC，則∠DOE的度數(shù)是.6．給下面的推理過程填寫依據(jù).已知：如圖5-1-24，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，EO⊥CD，垂足為O，OF平分∠BOD.試說明：∠EOF=∠BOC.7．如圖5-1-25，在這個(gè)圖形中完成下列作圖：（1）作出點(diǎn)A到BC的垂線段AD，并量出點(diǎn)A到直線BC的距離；（2）過點(diǎn)B作AC的垂線，垂足為E；過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為F；（3）延長(zhǎng)線段DA、CF、BE，你發(fā)現(xiàn)了什么有趣的結(jié)論?解：（1）如圖，線段AD為所求作垂線段，點(diǎn)A到直線BC的距離約為0.8cm.（2）如圖，BE、CF為所求作的垂線.（3）發(fā)現(xiàn)DA、CF、BE交于同一點(diǎn)G.8．（2023婁底期末）如圖5-1-26，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OM⊥AB.（1）若∠1=∠2，判斷ON與CD的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若∠BOC=4∠1，求∠MOD的度數(shù).能力提升演練9．如圖5-1-27，直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，且∠FOD=28°，則∠AOG的度數(shù)為（）A．56° B．59° C．60° D．62°10．如圖5-1-28，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥OF，OC平分∠AOE，且∠BOF=2∠BOE，則∠BOD=.11．如圖5-1-29，直線AB、CD、EF交于點(diǎn)O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE=64°，求∠AOF、∠DOG的度數(shù).拓展探究訓(xùn)練12．如圖5-1-30，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥CD.（1）如圖①，將射線OB沿著直線CD翻折得到射線OF，即∠BOD=∠FOD．求證：OE平分∠AOF；（2）如圖②，在（1）的條件下，過點(diǎn)O作OG⊥AB，當(dāng)∠FOG：∠AOE=2：3時(shí)，求∠COG的度數(shù).5.1.3同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角知識(shí)要點(diǎn)導(dǎo)航同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的特征角的名稱位置特征基本圖形圖形結(jié)構(gòu)特征同位角在兩條被截直線的同旁，在截線的同側(cè)形如字母“F”(或倒置、反置)內(nèi)錯(cuò)角在兩條被截直線之間，在截線的兩側(cè)(交錯(cuò))形如字母“Z”（或反置）同旁內(nèi)角在兩條被截直線之間，在截線的同側(cè)形如字母“U”注：要熟練掌握各種角的基本圖形，才能從復(fù)雜的圖形中識(shí)別出兩角的關(guān)系.典型例題精析題型1識(shí)別同位角，內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角例1如圖5-1-31.（1）∠1和∠3是直線和被直線所截而成的角；（2）能用圖中數(shù)字表示的∠3的同位角是；（3）圖中與∠2是同旁內(nèi)角的角有個(gè).變式練習(xí)1．如圖5-1-32，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．∠1與∠2是同位角B．∠4與∠3是同位角C．∠5與∠3是內(nèi)錯(cuò)角D．∠4與∠5是同旁內(nèi)角2．如圖5-1-33，直線AB、CD被直線EF所截，直線EF與AB、CD分別交于點(diǎn)E、F，下列結(jié)論正確的是（）①∠1與∠2互為同位角；②∠3和∠4互為內(nèi)錯(cuò)角；③∠1=∠4； ④∠4＋∠5=180°.A．②③ B．②④C．①③ D．③④題型2三線八角的計(jì)數(shù)問題例2如圖5-1-34，直線AB、CD分別與EF相交，AB與EF相交于點(diǎn)M，MN是射線，CD與EF相交于點(diǎn)G.請(qǐng)指出圖中同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的對(duì)數(shù).變式練習(xí)3．（2023龍巖期中）如圖5-1-35，直線l1、l2、l3兩兩相交于點(diǎn)A、B、C，生成的∠1~∠12的12個(gè)小于平角的角中，互為同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的對(duì)數(shù)分別記為a，b，c，則a+b+c的值為（）A．18B．24C．30D．364．如圖5-1-36，圖中同位角的對(duì)數(shù)是，內(nèi)錯(cuò)角的對(duì)數(shù)是，同旁內(nèi)角的對(duì)數(shù)是.基礎(chǔ)過關(guān)精練1．下列圖形中∠1與∠2是內(nèi)錯(cuò)角的是（）2．下列圖形中，∠1與∠2不是同位角的是（B）3．如圖5-1-37，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．∠2與∠6是同位角B．∠3與∠4是內(nèi)錯(cuò)角C．∠1與∠3是對(duì)頂角D．∠3與∠5是同旁內(nèi)角4．如圖5-1-38，直線AC和FD相交于點(diǎn)B．下列判斷：①∠GBD和∠HCE是同位角；②∠ABD和∠ACH是同位角；③∠FBC和∠ACE是內(nèi)錯(cuò)角；④∠FBC和∠HCE是內(nèi)錯(cuò)角；⑤∠GBC和∠BCE是同旁內(nèi)角.其中正確的是（填序號(hào)）5．如圖5-1-39（1）與∠1是同位角的是；（2）與∠1是內(nèi)錯(cuò)角的是；（3）與∠1是同旁內(nèi)角的是.6．如圖5-1-40，如果∠1=40°，∠2=100°，那么∠3的同位角等于，∠3的內(nèi)錯(cuò)角等于，∠3的同旁內(nèi)角等于.7．如圖5-1-41，已知同位角有a對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有b對(duì)，同旁內(nèi)角有c對(duì)，則a+b+c的值是.8．如圖5-1-42，直線a、b被直線c所截，∠1=40°，∠2=105°．求：（1）∠1的同位角的度數(shù)；（2）∠4的內(nèi)錯(cuò)角的度數(shù)；（3）∠3的同旁內(nèi)角的度數(shù).能力提升演練9．如圖5-1-43，下列說法：①∠H與∠A是同旁內(nèi)角；②∠D與∠A是同旁內(nèi)角；③∠E與∠EFG是內(nèi)錯(cuò)角；④∠H與∠EFG是內(nèi)錯(cuò)角；⑤圖中沒有同位角.其中正確的有（）A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤10．如圖5-1-44，圖中共有對(duì)同位角，共有對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，共有對(duì)同旁內(nèi)角．11．如圖5-1-45，已知直線AB、CD被直線EF所截，G、H為它們的交點(diǎn)，∠1：∠2=5：3，∠2與它的內(nèi)錯(cuò)角相等，HP平分∠CHG．求：（1）∠4的度數(shù)；（2）∠CHP的度數(shù).∴∠4=∠2=67.5°.（2）∵∠4與∠CHG互補(bǔ)，∴∠CHG=180°－∠4=112.5°.又∵HP平分∠CHG，∴∠CHP=∠CHG=56.25°.拓展探究訓(xùn)練12．對(duì)于復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，我們常會(huì)把它分解為基本問題來研究，化繁為簡(jiǎn)，化整為零，這是一種常見的數(shù)學(xué)解題思想．（1）如圖5-1-46①，在同一平面內(nèi)，直線l1、l2被直線l3所截，在這個(gè)基本圖形中，形成了對(duì)同旁內(nèi)角；（2）如圖5-1-46②，在同一平面內(nèi)有三條直線l1、l2、l3兩兩相交，交點(diǎn)分別為A、B、C，則圖中一共有對(duì)同旁內(nèi)角；（3）若在同一平面內(nèi)有四條直線兩兩相交，則最多可以形成對(duì)同旁內(nèi)角；（4）若在同一平面內(nèi)有n條直線兩兩相交，則最多可以形成對(duì)同旁內(nèi)角.5.2平行線及其判定5.2.1平行線知識(shí)要點(diǎn)導(dǎo)航1．平行線的定義在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.平行用符號(hào)“//”表示，讀作“平行于”.注：（1）平行線的定義有三個(gè)特征：①在同一平面內(nèi)；②兩條直線；③不相交，三者缺一不可.（2）射線與線段平行指的是它們所在直線平行.（3）同一平面內(nèi)，兩直線的位置關(guān)系只有相交和平行兩種，重合的直線視為一條直線，不屬于上述任何一種位置關(guān)系.2．平行線的畫法：一貼、二靠、三移、四畫.3．平行基本事實(shí)及推論（1）過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行；（2）如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.典型例題精析題型1平行線的概念、基本事實(shí)及推論例1判斷下列說法是否正確，如果不正確，請(qǐng)給予改正：（1）不相交的兩條直線必定是平行線；解：錯(cuò)誤，平行線是“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線”?！霸谕黄矫鎯?nèi)”是一個(gè)重要條件，不能遺漏；（2）在同一平面內(nèi)不重合的兩條直線，如果不平行，那么這兩條直線一定相交；解：正確；（3）過一點(diǎn)可以且只可以畫一條直線與已知直線平行.變式練習(xí)1．在同一平面內(nèi)的兩條不重合的直線的位置關(guān)系可能是（）A．平行或相交 B．平行或垂直C．平行、垂直或相交 D．垂直或相交2．（2023陽江月考）下列說法中，正確的個(gè)數(shù)為（）①過一點(diǎn)有無數(shù)條直線與已知直線平行；②如果a//b，a//c，那么b//c；③如果兩線段不相交，那么它們就平行；④如果兩直線不相交，那么它們就平行.A．1 B．2C．3 D．4題型2會(huì)畫平行線例2根據(jù)下列語句，在圖5-2-1中畫出符合要求的圖形.（1）過△ABC的頂點(diǎn)A，畫MN//BC；（2）過△ABC的邊AC的中點(diǎn)D，畫平行于AB的直線，交BC于點(diǎn)E.變式練習(xí)3．若點(diǎn)M在直線a和直線b上，但是不在直線c上，直線a、b、c兩兩相交，則下列圖形正確的是（）4．如圖5-2-2，根據(jù)下列語句，在△ABC中畫出符合要求的圖形.（1）過其頂點(diǎn)A作AN//BC；（2）過△ABC的邊AC的中點(diǎn)D作DE//BC，交AB于點(diǎn)E；（3）根據(jù)所畫圖形判斷AN與DE的位置關(guān)系，并簡(jiǎn)單說明理由.基礎(chǔ)過關(guān)精練1．下面推理正確的是（）A.∵a//b，b//c，∴c//dB.∵a//c，b//d，∴c//dC.∵a//b，a//c，∴b//cD.∵a//b，c//d，∴a//c2．工人師傅在架設(shè)電線時(shí)，為了檢驗(yàn)三條電線是否平行，只需檢查其中兩條是否分別與第三條平行即可，這種做法的根據(jù)是（）A.兩點(diǎn)確定一條直線B.兩點(diǎn)之間，線段最短C.如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也平行D.經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行3．下列說法正確的是（）A.具有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角是對(duì)頂角B.A、B兩點(diǎn)之間的距離就是線段ABC.兩點(diǎn)之間，線段最短D.不相交的兩條直線叫做平行線4．如圖5-2-3，用直尺和三角尺作直線AB、CD，從圖中可知，直線AB與直線CD的位置關(guān)系為.5．在同一平面內(nèi)，下列說法：①兩條不重合的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；②過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；③過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；④兩點(diǎn)間的距離是指連接兩點(diǎn)的線段；⑤垂直于同一條直線的兩條直線也互相垂直.其中正確的有.（填序號(hào)）6．在同一平面內(nèi)的兩條直線a、b，分別根據(jù)下列情形，寫出a、b的位置關(guān)系.（1）如果它們沒有公共點(diǎn)，那么；（2）如果它們都平行于第三條直線，那么；（3）如果它們有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么；（4）過平面內(nèi)的同一點(diǎn)分別畫它們的平行線，若能畫出兩條，則；若只能畫出一條，則；7．按要求作圖：（1）如圖5-2-4①，過點(diǎn)P分別作直線m//直線a，直線n//直線b；（如圖）（2）如圖5-2-4②，過點(diǎn)B作BE//AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.（如圖）8．如圖5-2-5，若AO//CD，BO//CD，且∠AOC：∠BOC=1：2，求∠AOC的度數(shù).能力提升演練9．如圖5-2-6，在長(zhǎng)方體中，和BC平行的棱有（）A.1條B.2條C.3條D.4條10．在平面上畫出三條直線，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.0或1 B.1或2C.2或3 D.0或1或2或311．下列語句：①過兩條平行線AB、CD外一點(diǎn)P作一條直線MN，使得MN//AB且MN//CD；②過兩條平行線AB、CD外一點(diǎn)P作一條直線MN，使得MN//AB，則MN//CD；③過兩條平行線AB、CD外一點(diǎn)P作一條直線MN，使得MN與AB相交于點(diǎn)Q，則MN與CD一定交于一點(diǎn).其中正確的有.（填序號(hào)）拓展探究訓(xùn)練12．如圖5-2-7，已知AD//BC，按要求解答下列各題.（1）取AB的中點(diǎn)M，過點(diǎn)M作直線MN與BC平行交DC于點(diǎn)N；（2）用三角尺檢驗(yàn)AD與MN是否平行?為什么?（3）判斷N是否是線段CD的中點(diǎn)；（4）量出線段AD、MN、BC的長(zhǎng)，它們有什么聯(lián)系?解：（1）如圖，MN即為所求作.（2）AD//MN.理由如下：∵AD//BC，MN//BC，∴AD//MIN（平行于同一直線的兩直線平行）.（3）N是線段CD的中點(diǎn)（4）AD＋BC=2MN.結(jié)論：梯形兩腰中點(diǎn)的連線的長(zhǎng)度等于梯形上下底之和的一半.5.2.2平行線的判定知識(shí)要點(diǎn)導(dǎo)航1．平行線的判定方法1：同位角相等，兩直線平行.幾何語言：（如圖5-2-8）∵∠1=∠2，∴AB//CD（同位角相等，兩直線平行）.2．平行線的判定方法2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.幾何語言：（如圖5-2-9）∵∠1=∠2，∴AB//CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.3．平行線的判定方法3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.幾何語言：（如圖5-2-10）∵∠1＋∠2=180°，∴AB//CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.4．平行線的判定方法4：在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線互相平行.幾何語言：（如圖5-2-11）∵a⊥c，b⊥c，∴a//b.典型例題精析題型1平行線的判定方法例1如圖5-2-12，在下列條件中：①∠1=∠2；②∠BAD＋∠ADC=180°；③∠ABC=∠ADC；④∠3=∠4.能判定AB//CD的有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)變式練習(xí)1．如圖5-2-13，下列能判定AD//BC的條件是（C）A.∠B＋∠BCD=180°B.∠3=∠4C.∠1=∠2D.∠B=∠52．如圖5-2-14，回答下列問題：（1）由∠C=∠2，可判定；（2）由∠2=∠3，可判定；（3）由∠C＋∠D=180°，可判定.題型2利用平行線的判定進(jìn)行推理例2如圖5-2-15，已知∠A=∠D，∠B=∠FCB，試問ED與CF平行嗎?并說明理由.【分析】先用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行證ED//AB，CF//AB，再根據(jù)平行于同一直線的兩直線平行可證得ED//CF.變式練習(xí)3．（2023天水期末）如圖5-2-16，點(diǎn)C在CD上，已知∠BAG＋∠AGD=180°，EA平分∠BAG，F(xiàn)C平分∠AGC，請(qǐng)說明AE//GF的理由.4．如圖5-2-17，∠1：∠2：∠3=2：3：4，∠AFE=60°，∠BDE=120°，請(qǐng)寫出圖中平行的直線，并說明理由.基礎(chǔ)過關(guān)精練1．如圖5-2-18，BE平分∠ABC，∠E平分∠BCD，那么下列選項(xiàng)能判斷AB//CD的是（）A.∠1=∠2B.∠2=∠4C.∠2＋∠3=90°D.∠1＋∠2=90°2．如圖5-2-19，將一副三角尺如此擺放，使得BO和CD平行，則∠AOD的度數(shù)為（）A.10° B.15°C.20° D.25°3．（2023黃岡期中）如圖5-2-20，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.因?yàn)椤?=∠2，所以AE//BDB.因?yàn)椤?=∠4，所以AB//CDC.因?yàn)椤?=∠1＋∠3，所以AE//BDD.因?yàn)椤?=∠2＋∠4，所以AE//BD4．如圖5-2-21，完成下列推理過程，并在括號(hào)內(nèi)注明依據(jù)：5．（2023鐵嶺期末）如圖5-2-22，∠ABC=∠ADC，BF、DE分別是∠ABC、∠ADC的平分線，∠1=∠2，試探究AB與DC的位置關(guān)系并說明理由.請(qǐng)完成下列解題過程.6．如圖5-2-23，已知AB⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2，試完成下面的填空并注明推理的依據(jù).7．如圖5-2-24，已知∠1=∠2，∠3=123°，∠4=57°.試說明：AB//EF.8．如圖5-2-25，PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，∠1=40°，∠2=50°.試說明：AB//CD.能力提升演練9．一輛汽車在公路上行駛，兩次拐彎后，仍在原來的方向上平行行駛，那么兩次拐彎的角度可能為（）A.先向左轉(zhuǎn)130°，再向左轉(zhuǎn)50°B.先向左轉(zhuǎn)50°，再向右轉(zhuǎn)50°C.先向左轉(zhuǎn)50°，再向右轉(zhuǎn)40°D.先向左轉(zhuǎn)50°，再向左轉(zhuǎn)40°10．如圖5-2-26，F(xiàn)A⊥MN于點(diǎn)A，HC⊥MN于點(diǎn)C.下列各判斷中，錯(cuò)誤的是（）A.由∠CAB=∠NCD，得AB//CDB.由∠DCG=∠BAC，得AB//CDC.由∠MAE=∠ACG，∠DCG=∠BAE，得AB//CDD.由∠MAB=∠ACD，得AB//CD11．如圖5-2-27，已知點(diǎn)E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF.（1）求證：EA平分∠BEF；（2）若∠1=∠A，∠4=∠C，求證：AB//CD.拓展探究訓(xùn)練12．（2023達(dá)州期末）（1）如圖5-2-28①，若∠B＋∠D=∠BED，試猜想AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖5-2-28②，要想得到AB//CID，則∠1、∠2、∠3之間應(yīng)滿足怎樣的位置關(guān)系?并說明理由.5.3平行線的性質(zhì)5.3.1平行線的性質(zhì)知識(shí)要點(diǎn)導(dǎo)航1．平行線的性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等.幾何語言：（如圖5-3-1）∵AB//CD，∴∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）.2．平行線的性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.幾何語言：（如圖5-3-2）3．平行線的性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).幾何語言：（如圖5-3-3）∵AB//CD，∴∠1＋∠2=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.注：從角的關(guān)系得到兩直線平行是平行線的判定，從平行線得到角的關(guān)系是平行線的性質(zhì).典型例題精析題型1平行線性質(zhì)的運(yùn)用例1如圖5-3-4，已知AD//BC，∠A=∠C.試說明AB//CD.【方法總結(jié)】關(guān)于平行線的性質(zhì)的三點(diǎn)說明：（1）平行線的性質(zhì)是已知直線的位置關(guān)系，由此得出角的關(guān)系；（2）解題時(shí)要善于根據(jù)圖形的特征，由條件推可知，由問題推須知，不斷轉(zhuǎn)化，建立聯(lián)系，尋求解題途徑；（3）綜合運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定時(shí)要注意區(qū)分平行線的性質(zhì)和判定，兩者的條件和結(jié)論剛好相反.變式練習(xí)1．（2023婁底一模）如圖5-3-5，AM//BN，∠ACB=90°，∠MAC=25°，則∠CBN的度數(shù)為（）A.25°B.50°C.65°D.75°2.（2023濟(jì)南期末）完成下面的證明.已知：如圖5-3-6，BC//DE，BE、DF分別是∠ABC、∠ADE的平分線.求證：∠1=∠2.3．如圖5-3-7，已知∠1＋∠2=180°，∠A=∠C，AD平分∠BDF，試說明BC平分∠DBE.題型2添加平行線進(jìn)行計(jì)算或推理例2如圖5-3-8，已知AB//DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，求∠BCD的度數(shù).變式練習(xí)4．（2023泌陽三模）如圖5-3-9，已知AB//DE，∠ABC=150°，∠CDE=75°，則∠BC