第22講 圓錐曲線解答題中的弦長面積問題3種常考題型（解析版）-2024高考數(shù)學(xué)?？碱}型

第22講圓錐曲線解答題中的弦長面積問題3種常考題型【考點分析】考點一：弦長公式設(shè)，根據(jù)兩點距離公式．注意：①設(shè)直線為上，代入化簡，得;②設(shè)直線方程為，代入化簡，得③，其中為直線與圓錐曲線聯(lián)立后得到的一元二次方程的判別式，為二次項系數(shù)考點二：三角形的面積處理方法①底·高（通常選弦長做底，點到直線的距離為高）②水平寬·鉛錘高或③在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點分別為，，，三角形的面積為．考點三：四邊形面積處理方法①若四邊形對角線與相互垂直，則②將四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積進(jìn)行解決【題型目錄】題型一：求弦長及范圍問題題型二：三角形面積及范圍問題題型三：四邊形面積及范圍問題【典型例題】題型一：求弦長及范圍問題【例1】已知橢圓：的離心率為且經(jīng)過點1)，直線經(jīng)過且與橢圓相交于兩點．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)求此時直線的方程；【答案】(1)；(2)或為.【分析】（1）根據(jù)離心率及橢圓過點列方程求解即可；（2）分直線的斜率是否存在兩種情況討論，當(dāng)直線斜率不存在時驗證知不符合題意，斜率存在時，設(shè)直線方程，利用弦長公式求出斜率k即可得解.(1)，，即，，又經(jīng)過點1)，，解得，所以橢圓方程為.(2)當(dāng)直線的斜率不存在時，即直線的方程，此時，直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組可得消可得，其判別式，，，整理可得，解得即此時直線方程為或為.【例2】已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓右焦點作兩條互相垂直的弦AB與CD，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)題意，由離心率可得的關(guān)系，再將點的坐標(biāo)代入即可得到橢圓方程；（2）根據(jù)題意，先討論兩條弦中一條斜率為0時，另一條弦的斜率不存在，再討論兩條弦斜率均存在且不為0，此時設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，聯(lián)立橢圓與直線方程，結(jié)合韋達(dá)定理與弦長公式分別表示出弦長與弦長，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）∵，所以.設(shè)橢圓方程為，將代入，得.故橢圓方程為.（2）①當(dāng)兩條弦中一條斜率為0時，另一條弦的斜率不存在，易得其中一條弦為長軸，另一條弦長為橢圓的通徑為，即；②當(dāng)兩條弦斜率均存在且不為0時，設(shè)，，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，將直線的方程代入橢圓方程中，并整理得：，∴，，∴，同理，，∴，令，則，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴.綜合②可知，的取值范圍為.【例3】已知橢圓的左焦點，長軸長與短軸長的比是．(1)求橢圓的方程；(2)過作兩直線交橢圓于四點，若，求證：為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）由題可知，即可求解的值，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時，可得，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，得到的值，利用弦長公式得到的值，同理可得的值，計算即可.(1)解：由題可知，，又，故，所以橢圓的方程為：.(2)證明：當(dāng)直線斜率不存在時，此時．當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由，得．設(shè)，則有，，因為，所以直線的方程為，

同理，所以，綜上為定值．【題型專練】1．橢圓C：左右焦點為，，離心率為，點在橢圓C上．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點，傾斜角為直線l與橢圓交于B，C兩點，求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用橢圓的離心率，過點，及，列方程解出即可得橢圓方程；（2）由已知可得直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式求解.（1）解：由題意得，解得，又因為點在橢圓C上，帶入得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：易得直線l的解析式為，設(shè)，聯(lián)立橢圓的方程得，所以．2.已知橢圓：過點且與拋物線：有一個公共的焦點．(1)求橢圓與拋物線的方程；(2)過點的直線與橢圓交于，兩點，與拋物線交于，兩點．是否存在這樣的直線，使得？若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由．【答案】(1)，；(2)存在，【分析】（1）由題意橢圓與拋物線共焦點，由焦點得出基本量，即可求出橢圓與拋物線的方程.（2）分直線的斜率存在與不存在，在直線斜率不存在時求出直線方程，并驗證是否成立，再求直線斜率存在時，設(shè)直線的斜率為，聯(lián)立直線與橢圓方程，求得當(dāng)滿足時直線的斜率，即可求得直線方程.【詳解】（1）由，，得，，所以橢圓的方程：，由，得，所以拋物線的方程：．（2）當(dāng)直線斜率不存在時，，得，，不符合；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，，，，由得，，，，由得，，，，，由，得，，，經(jīng)檢驗符合.故存在直線，方程為.3.已知橢圓的離心率為，且過點．(1)求的方程；(2)若是上兩點，直線與圓相切，求的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此可求得橢圓的方程.（2）對直線斜率分成不存在、直線的斜率為、直線的斜率不為三種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合弦長公式、基本不等式求得的取值范圍.（1）由題意得，，解得，所以的方程為.（2）圓的圓心為，半徑圓.①當(dāng)直線的斜率不存在時，方程為或，于是有或解得，所以.

②當(dāng)直線的斜率為時，方程為或，于是有或解得，所以.

③當(dāng)直線的斜率不為時，設(shè)斜率為，方程為，因為直線與圓相切，所以，得建立方程組，消并化簡得，.設(shè),,則,，所以=而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.所以，所以.綜上所述，的取值范圍是.4.已知橢圓，，分別為左右焦點，點，在橢圓E上.(1)求橢圓E的離心率；(2)過左焦點且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l交橢圓E于A，B兩點，若的中點為M，O為原點，直線交直線于點N，求取最大值時直線l的方程.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓過點的坐標(biāo)，求出橢圓方程，即可求出橢圓的離心率；（2）設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可得到的中點的坐標(biāo)，從而求出直線的方程，即可得到的坐標(biāo)，表示出、，即可得到，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最大值；（1）解：將，代入橢圓方程，解得，所以橢圓的方程為，又，所以（2）解：設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立可得；則，且，，設(shè)的中點，則，，∴坐標(biāo)為，，因此直線的方程為，從而點為，又，，所以，令，則，因此當(dāng)，即時，最大值為3.所以的最大值為，此時，直線l的方程為.題型二：三角形面積及范圍問題【例1】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：與橢圓有相同的焦點，，且右焦點到上頂點的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)若過橢圓左焦點，且斜率為的直線與橢圓交于，兩點，求的面積．【答案】(1)，(2)【分析】根據(jù)題意可得，，所以，即可求得橢圓的方程；設(shè)，，過且斜率為的直線方程為：，直線與橢圓方程聯(lián)立，消得的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求的面積．（1）橢圓的焦點為，，半焦距，橢圓的右焦點到上頂點的距離為，，橢圓的方程為．（2）設(shè)，，過且斜率為的直線方程為：，代入橢圓的方程，化簡可得，，則，.【例2】已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點O，對稱軸分別為x軸、y軸，且過，兩點．(1)求E的方程；(2)設(shè)F為橢圓E的一個焦點，M，N為橢圓E上的兩動點，且滿足，當(dāng)M，O，N三點不共線時，求△MON的面積的最大值．【答案】(1)；(2)【分析】(1)將給定點代入設(shè)出的方程求解即可；(2)根據(jù)題意可得：，進(jìn)而得到直線的斜率，設(shè)直線的方程，與曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長公式求出，再利用點到直線的距離公式求出點到直線的距離，進(jìn)而求出面積的最值.【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為，因為橢圓過點，，所以，解得：，所以橢圓的方程為：.（2）不妨設(shè)為橢圓的下焦點，由(1)可知：點，則，因為，則，所以，設(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立方程組，整理可得：，則，即（*），由韋達(dá)定理可得：，，由弦長公式可得：，點到直線的距離，所以，所以當(dāng)時，的面積最大，最大為.【例3】已知橢圓：的離心率，短軸長為2．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為橢圓的右頂點，，是軸上關(guān)于軸對稱的兩點，直線與橢圓的另一個交點為，點為中點，點在直線上且滿足（為坐標(biāo)原點），記，的面積分別為，，若，求直線的斜率．【答案】(1)；(2)【分析】（1）列方程組解得a、b、c的值即可.（2）設(shè)出直線AB的方程，可得直線AD的方程、點C的坐標(biāo)、點D的坐標(biāo)，聯(lián)立直線AB方程與橢圓方程可得點B的坐標(biāo)、點E的坐標(biāo)，由可得直線CH的方程，聯(lián)立直線CH的方程與直線AD的方程可得點H的坐標(biāo)，由各點的坐標(biāo)可求得、、、，代入面積之比方程中可得結(jié)果.【詳解】（1）∴橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）如圖所示，由（1）知，，由題意知，直線AB的斜率存在且不為0，所以設(shè)：，則：，設(shè)，令x=0，分別代入直線AB的方程與直線AD的方程可得：，，，∴

即：∴，∴AB的中點E的坐標(biāo)為：，∴又∵∴∴∴：，

即：∴∴∴又∵∴∴，∴【例4】已知橢圓的離心率為，過右焦點的直線與橢圓交于兩點，且當(dāng)軸時，.(1)求橢圓的方程；(2)若直線的斜率存在且不為0，點在軸上的射影分別為，且三點共線，求證：與的面積相同.【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率以及通徑的長度即可聯(lián)立求解的值，（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)斜率公式可證明三點共線，根據(jù)，所以，進(jìn)而可證明與面積相等.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為.依題意，，故①.聯(lián)立解得，故②.聯(lián)立①②，解得，故橢圓的方程為.（2）易知橢圓的右焦點為.設(shè)直線的方程為.由得，設(shè)，則.因為軸，所以.直線的方程為，所以.因為軸，所以.因為，所以，所以三點共線.因為，所以，而，所以與的面積相同.【點睛】關(guān)鍵點點睛：聯(lián)立直線與曲線的方程得到韋達(dá)定理是常用和必備的步驟.由韋達(dá)定理以及弦長公式，點到直線的距離即可求解面積以及長度以及最值，最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解.在處理共線問題是，要借助于向量以及兩點斜率公式.【例5】已知橢圓的上?下頂點分別為，點在橢圓內(nèi)，且直線分別與橢圓交于兩點，直線與軸交于點．已知．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)的面積為的面積為，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)條件列式求，可求橢圓方程；（2）利用直線與橢圓方程聯(lián)立求點的坐標(biāo)，再求直線的方程，得點的坐標(biāo)，并利用坐標(biāo)表示，并根據(jù)的范圍，求的取值范圍．【詳解】（1），,，因為，所以，解得：，所以橢圓方程；（2），所以直線方程是，聯(lián)立，，得或，即，所以直線方程是，聯(lián)立，得，得或，,，直線的方程，令，得，即,,，因為點在橢圓內(nèi)，所以，又，得，，設(shè)，【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線與橢圓方程聯(lián)立的綜合應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是計算繁瑣，尤其求點的坐標(biāo)和直線的方程時，注意化簡的準(zhǔn)確性.【題型專練】1.已知橢圓的左，右焦點分別為，，焦距為，點在上.(1)是上一動點，求的范圍；(2)過的右焦點，且斜率不為零的直線交于，兩點，求的內(nèi)切圓面積的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】(1)結(jié)合焦距及點坐標(biāo)，求得橢圓的方程：，設(shè)點，得，結(jié)合橢圓有界性解得范圍即可；(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理得，，利用等面積法求解內(nèi)切圓半徑，進(jìn)而求得內(nèi)切圓面積.【詳解】（1）由題意知，所以.將點代入，解得，所以橢圓的方程為：.設(shè)點，則.又因為，所以的范圍是.（2）依題意可設(shè)直線的方程為，，.聯(lián)立得.所以，，所以，又因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以.又因為三角形內(nèi)切圓半徑滿足.所以的內(nèi)切圓面積的最大值為.2．已知O為坐標(biāo)原點，點皆為曲線上點，為曲線上異于的任意一點，且滿足直線的斜率與直線的斜率之積為.(1)求曲線的方程：(2)設(shè)直線與曲線相交于兩點，直線的斜率分別為（其中），的面積為，以為直徑的圓的面積分別為、，若恰好構(gòu)成等比數(shù)列，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】(1)設(shè)，由題意可知，化簡即可；(2)設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線和橢圓方程得，由可得，設(shè)，結(jié)合韋達(dá)定理、點到線的距離公式及三角形的面積公、圓的面積公式可得，，，由成等比數(shù)列，可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)，即可求得答案.【詳解】（1）解：設(shè)，則有所以，所以，化簡得：，所以曲線的方程為：；（2）解：設(shè)直線的方程為：，則由，可得，則，所以，即，設(shè)，則有，，所以，又因為原點到直線的距離，所以，又因為，所以，同理可得，又因為以，，又因為成等比數(shù)列，所以，所以，所以，即，即有，又因為，，所以，，解得，所以，所以，當(dāng)時取等號.又因為，即，所以，即.【點睛】方法點睛：對于解答直線與圓錐曲線問題的題，常用的方程是設(shè)而不解，聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，再利用韋達(dá)定理、弦長公式進(jìn)行解答即可.3.已知橢圓：的長軸為4，離心率為(1)求橢圓的方程；(2)如圖，過點的直線與交于，，過，作直線：的垂線，垂足分別為，，記，，的面積分別為，，，問：是否存在實數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由【答案】(1)(2)時，定值，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意列出等式，即可求解；（2）設(shè)，，：，由題意可得，聯(lián)立與，得到，代入即可求解【詳解】（1）因為橢圓：的長軸為4，離心率為，所以，解得，，故，所以橢圓的方程為（2）設(shè)，，：，則，，，則①，聯(lián)立與，消去得，則，得，代入①得則當(dāng)即時，為定值【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.4．已知橢圓經(jīng)過點且焦距為4，點分別為橢圓的左右頂點，點在橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線的斜率分別為，求的值；(3)是橢圓上的兩點，且不在坐標(biāo)軸上，滿足，，問的面積是否是定值？如果是，請求出的面積；如果不是，請你說明理由.【答案】(1)；(2)；(3)是，.【分析】（1）根據(jù)題意建立方程，聯(lián)立解出即可，（2）由題意，是橢圓上非頂點的兩點，且，，設(shè)，然后表示出直線的斜率，化簡即可得.（3）利用（2）中的結(jié)論，設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組消元，寫出韋達(dá)定理，找出參數(shù)變量間的關(guān)系，利用三角形面積公式表示出，化簡求出面積為定值即可.【詳解】（1）橢圓經(jīng)過點且焦距為4，得，即，①，②，③解得，，所以橢圓方程為．（2）由題意，是橢圓上非頂點的兩點，且，，設(shè)，則.（3）因為，，所以，設(shè)直線的方程為，由，得，④設(shè)，則，，，所以，得，又，即的面積為定值.5．已知圓：，點，是圓上的一個動點，線段的中垂線交于點.(1)求點的軌跡的方程；(2)若點，過點A的直線與C交于點M，與y軸交于點N，過原點且與平行的直線與C交于P、G兩點，求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)幾何圖形，結(jié)合橢圓的定義，即可求解；（2）首先轉(zhuǎn)化，再利用直線與橢圓方程聯(lián)立，利用兩點間距離公式求弦長，即可求解比值.【詳解】（1）因為，所以由橢圓的定義可知：Q的軌跡C的方程為：.（2）設(shè)過原點且與平行的直線和距離為，則由題意可知直線AM的斜率一定存在.則設(shè)直線AM的方程為，直線OP的方程為，則，由，得.則-2，是方程的兩個根，，所以，所以，又，所以.由得.設(shè)，則，，所以.所以，.6.若橢圓與橢圓滿足，則稱這兩個橢圓為“相似”，相似比為m.如圖，已知橢圓的長軸長是4，橢圓的離心率為，橢圓與橢圓相似比為.(1)求橢圓與橢圓的方程；(2)過橢圓左焦點F的直線l與、依次交于A、C、D、B四點.①求證：無論直線l的傾斜角如何變化，恒有.②點M是橢圓上異于C、D的任意一點，記面積為，面積為，當(dāng)時，求直線l的方程.【答案】(1)橢圓的方程，橢圓的方程是；(2)①證明見解析；②或.【分析】（1）由已知可得，結(jié)合相似比及的離心率、橢圓參數(shù)關(guān)系求出橢圓參數(shù)，進(jìn)而寫出、的方程.（2）①討論l與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系，設(shè)l為，聯(lián)立橢圓方程判斷AB和CD的中點是否重合即可；②由弦長公式求、，根據(jù)面積比可得，結(jié)合①的結(jié)論及題圖有，進(jìn)而求出參數(shù)t，即可得直線l的方程.(1)由已知，則，又，故.又橢圓的離心率，所以，由，則，從而，所以橢圓的方程，橢圓的方程是.(2)①要證明，即證明線段AB和CD的中點重合，當(dāng)直線l與坐標(biāo)軸重合時，由對稱性知：結(jié)論成立.當(dāng)直線l與坐標(biāo)軸不重合時，不妨設(shè)直線l為，，，，，代入橢圓C1方程得，即，故，，代入橢圓方程得，即，故，，由，可得線段AB和CD的中點重合，故.綜上，恒成立.②由①得：，，而，則，由①知：，所以，即，可得.所以直線l的方程為或.7.已知橢圓C的焦點在x軸上，左右焦點分別為、，離心率，P為橢圓上任意一點，的周長為6.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)過點且斜率不為0的直線l與橢圓C交于Q，R兩點，點Q關(guān)于x軸的對稱點為，過點Q1與R的直線交x軸于T點，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值：若不存在，請說明理由【答案】(1)；(2)存在，【分析】(1)根據(jù)已知條件列方程組，求得，從而求得橢圓的方程.(2)設(shè)直線的方程為并與橢圓的方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，求得三角形的面積的表達(dá)式并利用基本不等式求得最大值.【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為，由題可知.，聯(lián)立，解得，故橢圓C的方程為.（2）不妨設(shè)過點且斜率不為0的直線l方程為，設(shè)，則，聯(lián)立，消x得，，即，由韋達(dá)定理有，直線1的方程為，令，得，將①②)代入上式得，則，又(當(dāng)且僅當(dāng)時取等)所以面積的最大值為【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.題型三：四邊形面積及范圍問題【例1】已知橢圓C：＋＝1，過A(2，0)，B(0，1)兩點.(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求四邊形ABNM的面積.【答案】(1)，，(2)2【分析】（1）根據(jù)橢圓的基本量求解即可；（2）設(shè)P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，再分別求得直線PA和PB的方程，進(jìn)而得到的表達(dá)式，再代入面積的公式，結(jié)合橢圓的方程化簡即可(1)由題意知，a＝2，b＝1，所以橢圓C的方程為，因為c＝＝，所以橢圓C的離心率.(2)設(shè)P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，則因為A(2，0)，B(0，1)，所以直線PA的方程為，令x＝0，得，從而|BM|＝1－yM＝直線PB的方程為y＝x＋1，令y＝0，得xN＝－，從而|AN|＝2－xN＝2＋.所以四邊形ABNM的面積S＝|AN|·|BM|＝·＝＝＝2，所以四邊形ABNM的面積為2.【例2】設(shè)橢圓的左焦點為F，上頂點為P，離心率為，O是坐標(biāo)原點，且.(1)求橢圓C的方程；(2)過點F作兩條互相垂直的直線，分別與C交于A，B，M，N四點，求四邊形面積的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合離心率及橢圓的關(guān)系列出方程即可得到結(jié)果；（2）當(dāng)，中有一條斜率不存在時，；當(dāng)，的斜率都存在時，設(shè)過點的兩條互相垂直的直線：，直線：，聯(lián)立求出與，所以代入整理成關(guān)于的式子，求式子的值域即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，所以因為，所以，又，，所以，即所以所以（2）當(dāng)，中有一條斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，此時直線與軸重合，即，所以；當(dāng)，的斜率都存在時，設(shè)過點的兩條互相垂直的直線：，直線：由得此時，，則.把上式中的換成得：則四邊形的面積為令，則，且，，，，所以四邊形的面積的取值范圍是.【例3】橢圓經(jīng)過點且離心率為；直線與橢圓交于A，兩點，且以為直徑的圓過原點.(1)求橢圓的方程；(2)若過原點的直線與橢圓交于兩點，且，求四邊形面積的最大值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓過的點以及橢圓的離心率，可列出等式，求得a,b，即得答案；（2）分類討論直線AB的斜率不存在和存在兩種情況，斜率存在時，設(shè)直線AB方程，聯(lián)立橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，根據(jù)條件求出參數(shù)之間的關(guān)系式，進(jìn)而表示出四邊形的面積，進(jìn)行化簡，可求得答案.（1）橢圓經(jīng)過點，,橢圓的離心率為，則，即,即，解得，所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)以AB為直徑的圓的圓心為，則，則不妨取，故，解得，故方程為，直線過中點，即為軸，得，，故；直線斜率存在時，設(shè)其方程為，，，聯(lián)立，可得，則①，②，

③，以為直徑的圓過原點即，化簡可得，將②③兩式代入，整理得，即④，將④式代入①式，得恒成立，則，設(shè)線段中點為，由，不妨設(shè)，得，又∵，∴，又由，則點坐標(biāo)為，化簡可得，代回橢圓方程可得即，則，綜上，四邊形面積的最大值為.【點睛】本題考查了橢圓方程的求法以及直線和橢圓相交時的四邊形的面積的最大值問題，綜合性強，計算量大，解答的關(guān)鍵是表示出四邊形ACBD的面積，并能進(jìn)行正確的化簡，求得最值.【例4】在平面直角坐標(biāo)系中，動圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動圓的圓心的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)不過圓心且與軸垂直的直線交軌跡于兩個不同的點，連接交軌跡于點.（i）若直線交軸于點，證明：為一個定點；（ii）若過圓心的直線交軌跡于兩個不同的點，且，求四邊形面積的最小值.【答案】(1)，(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切和外切列出圓心距與半徑的關(guān)系，即可發(fā)現(xiàn)圓心的軌跡滿足橢圓的定義，進(jìn)而可求其方程，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得韋達(dá)定理，根據(jù)點坐標(biāo)可得方程，進(jìn)而代入韋達(dá)定理即可求出坐標(biāo)，根據(jù)弦長公式可求長度，進(jìn)而得長，根據(jù)垂直，即可表示四邊形的面積，根據(jù)不等式即可求解最值.（1）設(shè)動圓的半徑為，圓心的坐標(biāo)為由題意可知：圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為.動圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，動圓的圓心的軌跡是以為焦點的橢圓，設(shè)其方程為：，其中從而軌跡的方程為：（2）（i）設(shè)直線的方程為，則由可得：直線的方程為，令可得點的橫坐標(biāo)為：為一個定點，其坐標(biāo)為（ii）根據(jù)（i）可進(jìn)一步求得：.，則，四邊形面積（法一）等號當(dāng)且僅當(dāng)時取，即時，（法二）令，則當(dāng)，即時，【點睛】本題考查了橢圓的方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，綜合性較強.利用幾何法求軌跡方程時，要多注意圖形位置間體現(xiàn)的等量關(guān)系，可通過先判斷軌跡，再求其方程.直線與橢圓相交問題，聯(lián)立方程是常規(guī)必備步驟，韋達(dá)定理得弦長，求面積或者長度最值時，往往需要先將其表達(dá)出來，再利用不等式或者函數(shù)的知識進(jìn)行求解.【題型專練】1．已知橢圓，離心率為，其左右焦點分別為，，點在橢圓內(nèi)，P為橢圓上一個動點，且的最大值為5．(1)求橢圓C的方程；(2)在橢圓C的上半部分取兩點M，N（不包含橢圓左右端點），且，求四邊形的面積．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題得，，，即得的值，即得解；（2）延長交橢圓于點，連接,四邊形的面積等于的面積.求出弦長和到直線的距離，即得解.【詳解】（1）解：由題意知：，即，又由橢圓定義可得：，又∵，且，故可得，，．即橢圓的方程為.（2）解：延長交橢圓于點，連接,由，根據(jù)橢圓的對稱性可得，過原點，，所以四邊形的面積等于的面積.設(shè)，，則．顯然，．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，，∴①，②，又，得③，由①②③得．得直線的方程為，即，設(shè)到直線的距離為，則由距離公式得，又由弦長公式得：將代入上式得，設(shè)四邊形的面積為，易知.【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是把四邊形的面積利用橢圓的對稱性轉(zhuǎn)化為的面積，這樣便可以利用公式求三角形的面積了.2．已知的上頂點到右頂點的距離為，離心率為，右焦點為F，過點F的直線（不與x軸重合）與橢圓C相交于A、B兩點，直線與x軸相交于點H，過點A作，垂足為D．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)①求四邊形OAHB（O為坐標(biāo)原點）面積的取值范圍；②證明直線BD過定點E，并求出點E的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)①；②證明見解析，【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，可得上頂點與右頂點的坐標(biāo)，由離心率與三參數(shù)之間的關(guān)系，可得方程，進(jìn)而解得答案；（2）①設(shè)過定點的直線方程，聯(lián)立方程，消元整理一元二次方程，寫出韋達(dá)定理，將四邊形分割成兩個頂?shù)椎娜切?，根?jù)面積公式，可得答案；②由題意設(shè)出兩點，整理出直線方程，由①中的直線與韋達(dá)定理，進(jìn)行等量代還，可得答案.（1）由題可知：，所以，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①由題，設(shè)直線，，，聯(lián)立，消去x，得，因為，，，則所以四邊形OAHB的面積，令，∴，∴因為（當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號），所以，所以四邊形OAHB的面積取值范圍為；②∵，，所以直線BD的斜率，所以直線BD的方程為，令，可得，①由（1）可得，，∴化簡①可得則直線BD過定點．3．已知過點的橢圓：上的點到焦點的最大距離為3.(1)求橢圓的方程；(2)已知過橢圓：上一點的切線方程為.已知點M為直線上任意一點，過M點作橢圓的兩條切線，為切點，與（O為原點）交于點D，當(dāng)最小時求四邊形的面積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于的方程組，即可求得答案；（2）設(shè)，，，，根據(jù)題意結(jié)合切線方程求得方程，設(shè)AB與x軸交于點E，則有，利用兩角和正切公式表示出，結(jié)合基本不等式確定其最小值，即可求得，進(jìn)而確定，從而聯(lián)立方程和橢圓方程，得根與系數(shù)關(guān)系，求得弦長，借助于三角形面積即可求得四邊形的面積.【詳解】（1）依題意有，，，則,由得，即，整理得，解得，或，由于