數(shù)學人教A版高中必修二（2019新編）6-1平面向量的概念（學案）

第01講平面向量的概念目標導航目標導航課程標準課標解讀1．掌握向量的模，零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念．2．會區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量．通過本節(jié)課的學習，要求掌握向量的概念及相關概念，掌握向量的線性關系，掌握向量的幾何表示.知識精講知識精講知識點1．向量的概念既有大小又有方向的量叫做向量．只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量，如長度、質(zhì)量、面積、體積等；而向量是不僅有大小而且有方向的量，如位移、速度、加速度、力等．數(shù)量可進行代數(shù)運算，向量不能比較大?。笮∈窍蛄康拇鷶?shù)特征，方向是幾何特征，即向量具有代數(shù)與幾何的雙重特征．溫馨提示：（1）向量的模：向量的大小，也就是向量的長度．記作．（2）零向量：長度為0的向量．記作．的方向是任意的．（3）單位向量：長度等于1個單位的向量，叫做單位向量．2．向量的表示法（1）幾何表示：用有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．（2）字母表示：用加粗的單個小寫字母表示．要注意手寫體與印刷體的不同．3．相等向量和共線向量（1）相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．若向量、相等，則記作．（2）共線向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共線向量、平行，記作．規(guī)定：零向量與任一向量平行，即對任一向量，都有．【即學即練1】下列說法正確的是（）A．向量與向量的長度相等B．兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同C．零向量沒有方向D．向量的模是一個正實數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)向量的概念、零向量的定義及向量模的性質(zhì)，即可判斷各選項的正誤.【詳解】A：與的長度相等，方向相反，正確；B：兩個有共同起點且長度相等的向量，若方向也相同，則它們的終點相同，故錯誤；C：零向量的方向任意，故錯誤；D：向量的模是一個非負實數(shù)，故錯誤.故選：A【即學即練2】下列說法錯誤的是（）A．向量與向量長度相等B．單位向量都相等C．向量的模可以比較大小D．任一非零向量都可以平行移動【答案】B【分析】A.由相反向量判斷；B.由單位向量判斷；C.由向量的長度是數(shù)量判斷；D.由相等向量判斷.【詳解】A.和長度相等，方向相反，故正確；B.單位向量長度都為1，但方向不確定，故錯誤；C.向量的長度可以比較大小，即模長可以比較大小，故正確；D.向量只與長度和方向有關，無位置無關，故任一非零向量都可以平行移動，故正確.故選：B.【即學即練3】．如圖所示，四邊形為正方形，為等腰直角三角形.（1）圖中與共線的向量有____________________；（2）圖中與相等的向量有_______________；（3）圖中與相等的向量有__________.【答案】【分析】根據(jù)共線向量與向量的模長相等的定義，寫出符合條件的向量即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，（1）圖中與共線的向量為；（2）圖中與相等的向量為．（3）圖中與相等的向量有【點睛】本題考查了共線向量與相等向量的應用問題，理解概念是解題的關鍵，是基礎題目．【即學即練4】如圖，某人想要從點A出發(fā)繞陰影部分走一圈，他可按圖中提供的向量行走，則將這些向量按順序排列為________．【答案】【分析】找出依次與陰影部分各邊表示的向量相等的向量即可.【詳解】若按的方向行走，由于相等向量的長度和方向相同，則與此個向量相等的向量依次為.若按的方向行走，與圖中提供的向量方向不同，不合題意.所以正確的排列順序為.【點睛】本題考查相等向量的判斷.【即學即練5】如圖是3×4的格點圖(每個小方格都是單位正方形)，若起點和終點都在方格的頂點處，則與平行且模為的向量共有_____個.【答案】24【分析】每個小正方中有兩個符合條件，找到正方形個數(shù)即可.【詳解】由題意知，的格點圖中包含12個小正方形，每個小正方形的對角線長為與平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24個向量滿足.故答案為：24.【即學即練6】在如圖所示的向量，，，，中（小正方形的邊長為1），是否存在：若存在，分別寫出這些向量．（1）共線向量？（2）相反向量？（3）相同的向量？（4）模相等的向量？【答案】（1）與共線，與共線（2）與（3）無相同向量（4）【分析】（1）利用共線向量的定義判斷，（2）利用相反向量的定義判斷，（3）利用相同向量的定義判斷，（4）求出各個向量的模進行判斷（1）與共線，與共線（2）與是相反向量（3）圖中無方向相同的向量，所以向量，，，，中無相同的向量（4）由圖可知，所以模相等的向量為能力拓展能力拓展考法011．向量的有關概念（1）向量的模①用有向線段表示向量時，向量的大小就是對應有向線段的長度，也叫做向量的模，記作．②的取值范圍為[0，+）．③向量由模、方向來確定，由于方向不能比較大小，因此向量不能比較大小，故故不能用“>”“<”連接，但向量的模是數(shù)量，可以比較大．（2）零向量零向量是從長度這個角度進行定義的，不涉及方向．因此，零向量的方向不確定．（3）單位向量模長為1的向量，叫單位向量，單位向量a僅具備|a|=1，方向由具體的向量確定．【典例1】下列物理量：①質(zhì)量；②路程；③位移；④重力；⑤加速度.其中，不能稱為向量的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)物理量的定義及性質(zhì)判斷是否為向量即可.【詳解】根據(jù)物理量的定義、性質(zhì)知：質(zhì)量、路程是標量，位移、重力、加速度為矢量即向量，∴③④⑤是向量，①②是標量.故選：C【典例2】在下列結論中，正確的為（）A．兩個有共同起點的單位向量，其終點必相同B．向量與向量的長度相等C．向量就是有向線段D．零向量是沒有方向的【答案】B【解析】A．單位向量的方向任意，所以當起點相同時，終點在以起點為圓心的單位圓上，終點不一定相同，所以該選項不正確；B．向量與向量只是方向相反，但長度相等，所以該選項正確；C．向量是既有大小，又有方向的向量，可以用有向線段表示，但不能說向量就是有向線段，所以該選項不正確；D．規(guī)定零向量的方向任意，而不是沒有方向，所以該選項不正確.故選B．【名師點睛】本題考查了向量的基本概念，屬于基礎題型.考法022．向量的表示法（1）幾何表示：向量一般用帶箭頭的有向線段表示，如圖中的向量．（2）字母表示：向量用起點和終點的字母表示時，起點在前終點在后，上方的箭頭不能丟掉，如．（3）向量與有向線段的區(qū)別和聯(lián)系：①區(qū)別：從定義上看，向量有大小和方向兩個要素，而有向線段有起點、方向和長度三個要素，因此它們們是兩個不同的量．在空間中，有向線段是固定的，而向量是可以自由平移的．②聯(lián)系：向量可以用有向線段表示，但并不能說向量就是有向線段．【典例3】分別以正方形ABCD的四個頂點為起點與終點的所有有向線段能表示的不同向量有（）A．4個 B．6個 C．8個 D．12個【答案】C【分析】由圖形一一列出可得答案.【詳解】如圖，以正方形ABCD的四個頂點為起點與終點的所有有向線段能表示的不同向量為：，共8個．故選：C．【典例4】已知圓心為O的上有三點A、B、C，則向量、、是（）A．有相同起點的相等向量 B．長度為1的向量C．模相等的向量 D．相等的向量【答案】C【解析】圓的半徑，不一定有r=1，故選C．【名師點睛】用有向線段表示向量的步驟：考法033．相等向量和共線向量（1）共線向量（也稱平行向量）向量“共線”的含義不是平面幾何里的“共線”的含義．向量中的共線包含基線平行和重合兩種情況．（2）相等向量①用有向線段表示向量時，向量與有向線段的起點位置沒有關系，即同向且等長的有向線段都表示同一向量．因此，我們用有向線段表示向量時，可以根據(jù)題意選擇合適的起點．②用有向線段的起點和終點的字母表示向量時，一定要注意搞清字母順序，起點在前，終點在后，例如與是大小相等、方向相反的兩個向量．③如圖，雖然下列向量的起點與終點不同，但表示同一向量．由此可知，向量是可以自由平移的．【典例5】在如圖所示的向量中（小正方形的邊長為1），判斷是否存在下列關系的向量：（1）是共線向量的有______；（2）方向相反的向量有______；（3）模相等的向量有______.【答案】和，和和，和【分析】（1）通過表示向量的有線段的關系，利用向量共線的定義找出共線向量

（2）利用相反向量的定義，從找出相反向量．

（3）直接由圖形中得出有線段的長度相等的即可.【詳解】解:（1），，故和，和是共線向量.（2）和，和是方向相反的向量.（3）由勾股定理可得，模相等的向量有.故答案為：（1）和，和；（2）和，和；（3）.【點睛】本題考查共線向量、相反向量的定義和向量的模長的定義，屬于基礎題．【典例6】給出下列四個命題：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，，則.其中正確的命題有（）A．0個 B．1個C．2個 D．3個【答案】A【解析】①忽略了0與的區(qū)別，應該是；②混淆了兩個向量的模相等和兩個實數(shù)相等，兩個向量的模相等，只能說明它們的長度相等，它們的方向并不確定；③兩個向量平行，可以得出它們的方向相同或相反，未必得到它們的模相等；④當時，可以為任意向量，故不一定平行于.故選A.【名師點睛】本題考查零向量的定義，共線向量的定義，注意④當時的討論，是易錯題.【典例7】如圖，設O是正六邊形ABCDEF的中心，在向量，，，，，，，，，，中與共線的向量有（）A．1個B．2個C．3個D．4個【解析】C【答案】在向量，，，，，，，，，，中與共線的向量有：向量，，．故選C．【名師點睛】共線向量和相等向量的判斷及應用1．利用向量相等可以證明線段相等或直線平行，但需說明兩向量所在的直線無公共點．用平行向量可證明（判斷）直線平行，但證明直線平行時，除說明向量平行外還需說明向量所在的直線無公共點．2．三點共線是幾何中經(jīng)常遇到的問題，直接證明往往很困難，用向量法解決則簡便得多用向量法證明三點共線的常用方法是：（1）證明由三點中任意兩點構造的兩個不同向量平行；（2）說明平行的兩向量有公共點．【典例8】如圖，在平行四邊形中，是兩對角線、的交點，設點集，向量集合．試求集合中元素的個數(shù)．【錯解】由題可知，集合中的元素實質(zhì)上是中任意兩點連成的有向線段，共有20個，即，，，；，，，；，，，；，，，；，，，．因此集合中共有20個元素．【錯解辨析】由于方向相同、長度相等的有向線段表示同一向量，應注意與，與，與，與，與，與，與，與在集合中分別只能算作一個元素．【正解】由平行四邊形的性質(zhì)可知，共有8對向量相等，即，，，，，，，，又因為集合中元素具有互異性，故集合中的元素共有12個．【名師點睛】平曲向量的實際背景及概念是向量的基礎內(nèi)容，是高中數(shù)學從“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)折點，單獨考査的情況并不多見，多與幾何知識綜合考査，難度不大，多以選擇題或填空題出現(xiàn)，解決此類問題的關鍵是要把握住圖形的特點，能用“數(shù)”解“形”，實現(xiàn)兩者完美結合．分層提分分層提分題組A基礎過關練1．已知向量，是單位向量，則下列說法正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)單位向量的概念進行分析即可.【詳解】單位向量的模長都為，方向不一定相同，所以正確，故選：C．2.下列結論中正確的為（）A．兩個有共同起點的單位向量，其終點必相同B．向量與向量的長度相等C．對任意向量，是一個單位向量D．零向量沒有方向【答案】B【分析】利用單位向量的概念可判斷A選項的正誤；利用向量模的定義可判斷B選項的正誤；取可判斷C選項的正誤；利用零向量的定義可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，兩個單位向量的模相等，但這兩個單位向量的方向不確定，故A錯；對于B選項，向量與向量的模相等，B對；對于C選項，若，則無意義，C錯；對于D選項，零向量的方向任意，D錯.故選：B.3.數(shù)軸上點A，B分別對應﹣1、2，則向量的長度是（）A．﹣1 B．2 C．1 D．3【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)軸上的點的位置，直接計算長度，即可得解.【詳解】數(shù)軸上點A，B分別對應﹣1、2，則向量的長度即||＝3，故選：D．4.給出下列命題：①兩個長度相等的向量一定相等；②零向量方向不確定；③若為平行六面體，則；④若為長方體，則．其中正確命題的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】對①，方向不一定相同；對②，根據(jù)零向量的定義可知正確；對③，兩個向量的方向不相同；對④，利用向量加法進行運算.【詳解】對①，方向不一定相同，故①錯誤；對②，根據(jù)零向量的定義可知正確，故②正確；對③，兩個向量的方向不相同，故③錯誤；對④，利用向量加法進行運算得：，，故④錯誤；故選：D.【點睛】本題考查向量的基本概念及向量加法的幾何意義，考查對概念的理解，屬于基礎題.5.下列關于向量的結論：（1）任一向量與它的相反向量不相等；（2）向量與平行，則與的方向相同或相反；（3）起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量與同向，且，則.其中正確的序號為A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）【答案】D【分析】根據(jù)向量的概念逐一判斷即可.【詳解】解：零向量與它的相反向量相等，故（1）錯誤；當向量為零向量時，其方向是任意的，不能說與的方向相同或相反，故（2）錯誤；相等向量是方向相同且模相等的向量，故（3）正確；向量是既有大小又有方向的量，向量只能相等，不能比較大小，故（4）錯誤.故選：D.【點睛】本題考查向量的概念，是基礎題.6.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，，分別是的邊，的中點，則（）A．且 B．且C．且 D．且【答案】B【分析】根據(jù)方格中的點線位置關系判定是的中位線，根據(jù)中位線關系，結合勾股定理求解.【詳解】因為是的中位線，所以，即.根據(jù)勾股定理可求得.故選：B【點睛】此題考查向量關系的判定，通過向量關系求模長關系，利用勾股定理求線段長度.7.下列說法正確的是（）①向量與是平行向量，則A、B、C、D四點一定不在同一直線上；②向量a與b平行，且|a|=|b|≠0，則a+b=0或a?b=0；③兩個有共同起點且相等的向量，其終點一定相同；④單位向量都相等．A．①③ B．②④C．①④ D．②③【答案】D【解析】對于①，向量平行時，表示向量的有向線段所在直線可以是重合的，故①錯；對于②，∵|a|=|b|≠0，∴a，b都是非零向量，∵a∥b，∴a與b的方向相同或相反，∴a+b=0或a?b=0，故②對；對于③，由相等向量知，起點相同則終點一定相同，故③對；對于④，單位向量不僅僅長度為1，還有方向，而向量相等需要長度相等而且方向相同，故④錯．故選D．8．下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則不是共線向量【答案】C【解析】向量不能比較大小，所以A不正確；需滿足兩個條件：同向且，所以B不正確，C正確；若是共線向量，則方向相同或相反，D不正確.故選C.【名師點睛】本題考查向量的基本概念，向量共線的判定，是基礎題.求解時，利用向量概念判斷A，利用共線向量判斷B，C，D.9.設點O是正方形的中心，則下列結論錯誤的是（）A． B．C．與共線 D．【答案】D【解析】如圖，與的方向相同，長度相等，A正確；，，三點在一條直線上，，B正確；，與共線，C正確；與的方向不同，，D錯誤.故選D．【名師點睛】本題考查相等向量、共線向量.熟練掌握相等向量和共線向量的定義是解決本題的關鍵.10.下列命題中正確的個數(shù)為（）①兩個有共同始點且相等的向量，其終點可能不同；②若非零向量與共線，則、、、四點共線；③若非零向量與共線，則；④四邊形是平行四邊形，則必有；⑤，則、方向相同或相反.A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】根據(jù)相等向量的定義判斷①的真假；根據(jù)共線向量的定義判斷②的真假；根據(jù)共線向量的等價條件判斷③的真假；根據(jù)相等向量的定義判斷④的真假；取判斷⑤的真假.【詳解】①相等向量是大小相等、方向相同的向量，如果兩個相等向量起點相同，則由定義知終點必相同，命題①是假命題；②共線向量是基線平行或重合的向量，若非零向量與共線且直線與平行時，、、、四點不共線，命題②是假命題；③若非零向量與共線，則存在非零實數(shù)，使得，命題③是假命題；④四邊形是平行四邊形，則，由相等向量的定義可知，命題④是真命題；⑤若為非零向量，，則、方向無法確定，命題⑤是假命題.故選：B.【點睛】本題考查相等向量、共線向量的有關知識，需掌握相等向量、共線向量的定義和特點，屬簡單題.11.設O是的外心，則，，是（）A．相等向量 B．模相等的向量 C．平行向量 D．起點相同的向量【答案】B【分析】易知O是外接圓的圓心，從而＝R（R為△ABC外接圓的半徑），由此可得結論．【詳解】∵三角形的外心是三角形外接圓的圓心，∴點O到三個頂點A，B，C的距離相等，∴,,是模相等的向量，即.故選：B【點睛】本題考查相等向量的定義，正確理解相等向量的定義是解決問題的關鍵，屬于基礎題.12.下列說法錯誤的是（）A．若非零向量有，，則 B．零向量與任意向量平行C．已知向量不共線，且，，則 D．平行四邊形中，【答案】D【分析】根據(jù)共線向量的定義和性質(zhì)逐一判斷即可選出正確答案.【詳解】選項A：因為都不是零向量，所以由，可知向量與向量具有相同或相反方向.又由，可得向量與向量具有相同或相反方向，所以向量與向量具有相同或相反方向，故，故本說法是正確的；選項B：零向量與任意向量平行這是數(shù)學規(guī)定，故本說法是正確的；選項C：由，，可知：與向量具有相同或相反方向，與向量具有相同或相反方向，但是向量不共線，所以，故本說法是正確的；選項D：平行四邊形中，應該有，故本說法是錯誤的.故選：D【點睛】本題考查了共線向量的定義和性質(zhì)，考查了相等向量的定義，考查了零向量的性質(zhì)，屬于基礎題.13.下列結論中，正確的是（）A．長的有向線段不可能表示單位向量B．若O是直線上的一點，單位長度已選定，則上有且只有兩個點A，B，使得，是單位向量C．方向為北偏西50°的向量與南偏東50°的向量不可能是平行向量D．一人從A點向東走500m到達B點，則向量不能表示這個人從A點到B點的位移【答案】B【分析】根據(jù)單位向量的定義、平行向量的定義、向量的定義直接判斷即可.【詳解】解析：一個單位長度取時，長的有向線段剛好表示單位向量，故A不正確；B顯然正確；方向為北偏西50°的向量與南偏東50°的向量是一對方向相反的向量，因此是平行向量，故C不正確；根據(jù)位移的定義可知向量表示這個人從A點到B點的位移，故D不正確.故選：B【點睛】本題考查了單位向量的定義，考查了平行向量的定義，考查了向量的定義，屬于基礎題.14.如圖，在中，向量是（）A．有相同起點的向量B．共線向量 C．模相等的向量 D．相等向量【答案】C【分析】向量是既有大小又有方向的量，通過大小和方向兩個方面逐一判斷即可.【詳解】解：起點并不全相同，故A錯誤；的方向均不相同，也不相反，故BD錯誤；圓的半徑，故C正確，故選C．【點睛】本題考查向量的概念，是基礎題.15.設四邊形ABCD中，有，且，則這個四邊形是（）A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形【答案】D【分析】由向量的關系得出線段的平行和相等關系，從而可判斷四邊形的形狀.【詳解】由，可知且，所以四邊形是平行四邊形.又，所以平行四邊形是菱形.【點睛】本題考查向量的基本概念問題.16.下列有關四邊形的形狀判斷錯誤的是（）A．若，則四邊形為平行四邊形B．若，則四邊形為梯形C．若，且，則四邊形為菱形D．若，且，則四邊形為正方形【答案】D【分析】根據(jù)向量共線、相等的知識確定正確答案.【詳解】A選項，，則，所以四邊形為平行四邊形，A正確.B選項，，則，所以四邊形為梯形，B正確.C選項，，則，四邊形是平行四邊形；由于，所以四邊形是菱形，C正確.D選項，，則，所以四邊形為平行四邊形；由于，所以四邊形為菱形，D選項錯誤.故選：D17.如圖，在正六邊形ABCDEF中，點O為其中心，則下列判斷錯誤的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正六邊形性質(zhì)得線段的長度關系及平行關系，然后判斷．【詳解】如圖正六邊形ABCDEF，設其邊長為a，依次分析選項：對于A、由正六邊形的性質(zhì)可得AB與OC平行且相等，則有，故A正確；對于B、由正六邊形的性質(zhì)可得AB與DE平行，即∥，故B正確；對于C、在正六邊形ABCDEF中，AD與BE均過中心O，則有AD＝BE＝2a，即有||＝||，故C正確；對于D、在正六邊形ABCDEF中，ACa，BE＝2a，則||≠|(zhì)|，故D錯誤；故選：D．題組B能力提升練1.（多選題）下列說法正確的有（）A．若，，則 B．若，，則C．若，則與的方向相同或相反 D．若、共線，則、、三點共線【答案】BD【分析】取可判斷AC選項的正誤；利用向量相等的定義可判斷B選項的正誤；利用共線向量的定義可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，若，、均為非零向量，則，成立，但不一定成立，A錯；對于B選項，若，，則，B對；對于C選項，若，，則的方向任意，C錯；對于D選項，若、共線且、共點，則、、三點共線，D對.故選：BD.2.（多選題）以下關于向量的說法正確的有（）A．若，則B．若將所有空間單位向量的起點放在同一點，則終點圍成一個圓C．若且，則D．若與共線，與共線，則與共線【答案】AC【分析】根據(jù)向量相等，向量共線的定義逐一判斷可得選項.【詳解】解：對于A：若，則，故A正確；對于B：將所有空間單位向量的起點放在同一點，則終點圍成一個球，故B不正確；對于C：由且，則，故C正確；對于D：與共線，與共線，則與共線，不正確，例如取時，與不一定共線.故選：AC.3.（多選題）如圖所示，每個小正方形的邊長都是1，在其中標出了6個向量，則在這6個向量中（）A．向量的模相等 B．C．向量共線 D．【答案】BC【分析】對于ABD，通過計算向量的模進行判斷即可，對于C，通過判斷直線的位置關系來判斷兩向量是否共線【詳解】對于A，因為，所以，所以A錯誤，對于B，因為，所以B正確，對于C，因為，所以∥，所以向量共線，所以C正確，對于D，因為，所以D錯誤，故選：BC4.（多選題）如圖所示，梯形為等腰梯形，則下列關系正確的是（）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)向量的模及共線向量的定義解答即可；【詳解】解：與顯然方向不相同，故不是相等向量，故錯誤；與表示等腰梯形兩腰的長度，所以，故正確；向量無法比較大小，只能比較向量模的大小，故錯誤；等腰梯形的上底與下底平行，所以，故正確；故選：.【點睛】本題考查共線向量、相等向量、向量的模的理解.5.判斷下列結論是否正確（正確的在括號內(nèi)打“√”，錯誤的打“×”），并說明理由.（1）若與都是單位向量，則.（）（2）方向為南偏西60°的向量與北偏東60°的向量是共線向量.（）（3）直角坐標平面上的x軸、y軸都是向量.（）（4）若與是平行向量，則.（）（5）若用有向線段表示的向量與不相等，則點M與N不重合.（）（6）海拔、溫度、角度都不是向量.（）【答案】（1）×；（2）√；（3）×；（4）×；（5）√；（6）√.【分析】（1）根據(jù)相等向量的定義判斷即可；（2）根據(jù)方位角的定義和共線向量的定義判斷即可；（3）根據(jù)向量的定義直接判斷即可；（4）根據(jù)平行向量和相等向量的定義判斷即可；（5）根據(jù)相等向量的定義進行判斷即可；（6）根據(jù)向量的定義直接判斷即可.【詳解】解：（1）×因為單位向量的長度（模）盡管都是1，但方向不一定相同.（2）√因為兩個向量的方向相反，所以是共線向量.（3）×因為x軸與y軸只有方向，沒有大小，所以不是向量.（4）×因為同向或反向的向量是平行向量，a與b的方向不一定相間，模也不一定相等，所以不一定成立.（5）√假設點M與N重合，則，這與與不相等矛盾.所以點M與N不重合.（6）√因為海拔、溫度、角度只有大小，沒有方向，所以它們都不是向量.故答案為：×；√；×；×；√；√【點睛】本題考查了相等向量的定義，考查了向量的定義，考查了平行向量的定義，考查了單位向量的定義.6.中國象棋中規(guī)定：馬走“日”字，象走“田”字.如圖，在中國象棋的半個棋盤（4×8的矩形中每個小方格都是單位正方形）中，若馬在A處，可跳到處，也可跳到處，用向量，表示馬走了“一步”.若馬在B或C處，則以B，C為起點表示馬走了“一步”的向量共有__________個.【答案】11【分析】畫圖列舉即可【詳解】馬在處有兩條路可走，在處有三條路可走，在處有八條路可走.如圖，以點為起點作向量，共3個；以點為起點作向量，共8個所以共有11個.故填11【點睛】本題考查向量的概念，考查數(shù)形結合思想7.已知飛機從甲地按北偏東30°的方向飛行2000km到達乙地，再從乙地按南偏東30°的方向飛行2000km到達丙地，再從丙地西南方向飛行km到達丁地，丁地與甲地的距離為________.【答案】1000km.【解析】根據(jù)題意畫出示意圖（如圖），用A，B，C，D分別表示甲地、乙地、丙地、丁地，依題意知△ABC為正三角形．所以AC=2000km．又因為∠ACD=45°，CD=1000km，所以△ACD為等腰直角三角形．所以AD=1000km．答案：1000km8.圖中，小正方形的邊長為1，則||＝__，||＝__，||＝__．【答案】32【分析】根據(jù)所給圖形，利用勾股定理，直接計算模長即可得解.【詳解】由題意可知：||3．||．||．故答案為：3；；2．9.已知在邊長為2的菱形中．．則________.【答案】【分析】根據(jù)條件解直角三角形即可.【詳解】解:易知且，設與交于點D，則．在中，易得，即，.故答案為：.【點睛】本題考核向量在幾何中的應用.10.若在一個邊長為5的正三角形中，一個向量所對應的有向線段為（其中D在邊上運動），則向量的模的最小值為_________.【答案】【分析】由題意可得，當D為BC的中點時，此時向量長度最小，問題得以解決．【詳解】根據(jù)題意，在正三角形中，有向線段的長度最小時，應與邊垂直，有向線段的長度的最小值為正三角形的高，即向量的模的最小值為.故答案為：【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及向量的模.11.已知命題“若，，則”是假命題，則__________.【答案】【分析】根據(jù)平面向量共線和零向量定義求解即可.【詳解】若，，則是假命題，則，，當時，，，當時，，，所以命題“若，，則”是假命題，則故答案為：12.如圖所示，在ABCD中，O是兩對角線AC，BD的交點，設點集，向量集合T={，，且M，N不重合}，則集合T中元素的個數(shù)為______.【答案】12個【分析】通常用有向線段表示向量，結合排列組合知識運算出有向線段共20條，由元素的互異性，找出相等向量8對，除去即可．【詳解】解：由題可知，集合中的元素實質(zhì)上是中任意兩點連成的向量，共有個，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.由平行四邊形的性質(zhì)可知，共有對向量相等，即，，，，，，，.集合中元素具有互異性，故集合中的元素共有個.故答案為：【點睛】本題考查了集合中元素的互異性及排列組合知識，屬于中檔題．C培優(yōu)拔尖練1.如圖，已知點O是正六邊形ABCDEF的中心．（1）在圖中標出的向量中，與向量長度相等的向量有多少個？（2）是否存在的相反向量？【答案】（1）11個（2）存在【分析】（1）正六邊形由對角線分割為六個全等的等邊三角形，進而求出向量長度相等的向量；（2）相反向量即模長相等，方向相反的兩個向量.（1）與向量長度相等的向量有：，，，，，，，，，，，共11個（2）存在，是的相反向量.2.判斷下列命題是否正確，并說明理由．①若向量與同向，且||>||，則>；②若向量，則與的長度相等且方向相同或相反；③對于任意||＝||，且與的方向相同，則＝；④向量與向量平