數(shù)學人教A版高中必修二（2019新編）6-10平面向量的應用（學案）

第10講平面向量的應用目標導航目標導航課程標準課標解讀掌握利用向量法解決平面幾何中的垂直、平行、長度、夾角、面積等問題.掌握利用向量法解決實際問題，如：力的大小、速度、位移、做功等問題.通過本節(jié)課的學習，要求能向量方法這一工具解決與平面幾何、三角函數(shù)、物理學中的相關問題，使得問題的處理簡便.知識精講知識精講知識點一、向量在平面幾何中的應用1．利用向量研究平面幾何問題的思想向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性，因此，用向量解決平面幾何問題，就是將幾何的證明問題轉化為向量的運算問題，將“證”轉化為“算”，思路清晰，便于操作．2．向量在平面幾何中常見的應用已知．（1）證明線段平行、點共線問題及相似問題，常用向量共線的條件：．（2）證明線段垂直問題，如證明四邊形是正方形、矩形，判斷兩直線（或線段）是否垂直等，常用向量垂直的條件：（其中為非零向量）．（3）求夾角問題，若向量與的夾角為，利用夾角公式：（其中為非零向量）．（4）求線段的長度或說明線段相等，可以用向量的模：，或（其中兩點的坐標分別為．（5）對于有些平面幾何問題，如載體是長方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐標法，建立平面直角坐標系，把向量用坐標表示出來，通過代數(shù)運算解決綜合問題．3．利用向量解決平面幾何問題的步驟（1）建立平面幾何與向量之間的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；（3）把運算結果“翻譯”成幾何關系．這其實也是用向量法解決其他問題的思路，即從條件出發(fā)，選取基底，把條件翻譯成向量關系式（用基底表示其他向量），然后通過一系列的向量運算，得到新的向量關系式，則這個新的向量關系式的幾何解釋就是問題的結論．二、向量在物理中的應用向量是在物理的背景下建立起來的，物理中的一些量，如位移、力、速度（加速度）、功等都與向量有著密切的聯(lián)系，因此可以利用向量來解決物理中的問題．具體操作時，要注意將物理問題轉化為向量關系式，通過向量的運算來解決，最后用來解釋物理現(xiàn)象．1．向量與力向量是既有大小又有方向的量，它們可以有共同的作用點，也可以沒有共同的作用點，但是力的三要素是大小、方向和作用點，所以用向量知識解決力的問題，通常要把向量平移到同一作用點上．2．向量與速度、加速度及位移速度、加速度與位移的合成與分解，實質(zhì)上就是向量的加減法運算．解決速度、加速度和位移等問題時，常用的知識主要是向量的加法、減法以及數(shù)乘運算，有時也借助于坐標運算來處理．3．向量與功、動量力做的功是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，實質(zhì)是力和位移兩個向量的數(shù)量積，為和的夾角）．動量實際上是數(shù)乘向量．【即學即練1】設點是正三角形的中心，則向量，，是（）．A．相同的向量B．模相等的向量C．共線向量D．共起點的向量【答案】B【分析】根據(jù)正三角形的中心到三個頂點的距離相等，得到這三個向量的模長相等，而這三個向量的方向不同，起點不同，所以它們只有模長相等的一個條件成立.【詳解】是正的中心，向量，，分別是以三角形的中心和頂點為起點和終點的，是正三角形的中心，到三個頂點的距離相等，即，故選：B.【即學即練2】．用力推動一物體水平運動，設與水平面的夾角為，則對物體所做的功為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接用向量的數(shù)量積即可求得.【詳解】力對物體所做的功為.故選：D.【即學即練3】物體受到一個水平向右的力及與它成60°角的另一個力的作用.已知的大小為2N，它們的合力F與水平方向成30°角，則的大小為（）A．3N B． C．2N D．【答案】C【分析】如圖所示，，即得解.【詳解】由題得,所以,所以,所以,所以和大小相等，都為2.故選：C【即學即練4】在中，，則的形狀是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不能確定【答案】B【分析】由，可得，分析即得解【詳解】由題意，，又為鈍角.則的形狀是鈍角三角形.故選：B【即學即練5】如圖所示，若D是△ABC內(nèi)的一點，且AB2-AC2=DB2-DC2，求證：AD⊥BC.【答案】證明見解析【分析】設=，=，=，=，=，根據(jù)向量加法得=+，=+，計算2﹣2結合條件可得·=·，即可證明.【詳解】設=，=，=，=，=，則=+，=+，所以2﹣2=(+)2-(+)2=2+2e·-2·-2，由條件知：2=2﹣2+2，所以·=·，即·(-)=0，即，所以AD⊥BC.【即學即練6】已知，當實數(shù)m為何值時，為等腰三角形？【答案】【分析】首先根據(jù)題意求出，進而求出，然后分類討論，，，分別列出方程，求解即可求出結果.【詳解】因為，所以，則，若，則，即；若，則，即；若，則，即；綜上：m的取值為.能力拓展能力拓展考法011．平面幾何中的垂直、平行問題對于線段垂直問題，可以聯(lián)想到兩個向量垂直的條件（向量的數(shù)量積為0），而對于這一條件的應用，可以考慮向量關系式的形式，也可以考慮坐標的形式．【典例1】求證：直徑所對的圓周角為直角.【答案】證明見解析【分析】設圓心為，圓半徑為，是圓的一條直徑，點是圓上不同于，的點，通過計算即可求證.【詳解】證明：如圖，設圓心為，圓半徑為，是圓的一條直徑，點是圓上不同于，的一點，則是直徑所對的圓周角.由，，其中，得.則，即為直角.所以直徑所對的圓周角為直角.【典例2】如圖，已知是的三條高，且交于點，于點，于點，求證：．【答案】證明見解析【分析】先由題意，得到，設，根據(jù)三角形相似，推出，，再由向量的線性運算，得到，即可得出結論成立．【詳解】證明：由題意，，，∴．設，則．同理．于是．∴，∴．【點睛】本題主要考查向量的應用，熟記向量的共線定理，以及向量的線性運算法則即可，屬于?？碱}型．【典例3】已知，判斷由此四點構成的四邊形的形狀．【答案】矩形【分析】根據(jù)可得四邊形為平行四邊形,再根據(jù)可得四邊形為矩形.【詳解】因為,,所以,所以四邊形是平行四邊形．因為,所以,所以,所以四邊形是矩形．因為,所以四邊形不是正方形．綜上,四邊形是矩形．【點睛】本題主要考查了利用向量共線與垂直的應用,屬于中等題型.【典例4】如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，求證：AF⊥DE．【答案】證明詳見解析．【解析】方法一設，則，又，所以．故，即AF⊥DE．方法二如題圖，建立平面直角坐標系，設正方形的邊長為2，則A（0，0），D（0，2），E（1，0），F(xiàn)（2，1），所以．因為，所以，即AF⊥DE．【名師點睛】用向量法解決平面幾何問題，一般來說有兩個方向：（1）幾何法：選取適當?shù)幕祝ūM量用已知模或夾角的向量作為基底），將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)計算；（2）坐標法：建立平面直角坐標系，實現(xiàn)向量的坐標化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉化為代數(shù)運算．一般地，存在坐標系或易建坐標系的題目適合用坐標法．考法022．平面幾何中的長度問題平面幾何中求線段的長度問題，在向量中就是求向量的模的問題，可適當構造向量，利用向量知識求解.【典例5】若平行四邊形兩鄰邊的長分別是4和4，它們的夾角是45°，則這個平行四邊形較長的那條對角線的長是________．【答案】4【分析】先利用題中的條件和兩個向量的數(shù)量積的定義求出及的值，再根據(jù)，求出的值．【詳解】如圖所示：設平行四邊形中，，，，則為平行四邊形中較長的對角線，由于，且，，．∴，故答案為.【點睛】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，向量在幾何中的應用，求向量的模的方法，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想．【典例6】如圖，平行四邊形ABCD中，已知AD=1，AB=2，對角線BD=2，則對角線AC的長為．【答案】【解析】設，則．∴，∴，∴．∴，即．【名師點睛】用向量法求平面幾何中的長度問題，即向量長度的求解，一是利用圖形特點選擇基底，向向量的數(shù)量積轉化，利用公式求解；二是建立平面直角坐標系，確定相應向量的坐標，代入公式求解，即若，則．考法033.平面幾何中的夾角問題【典例7】等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊所在的直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，設，則，∴．設向量的夾角為，則．【名師點睛】根據(jù)已知建立平面直角坐標系，將等腰直角三角形的兩直角邊所在直線作為x軸和y軸，分別設出三角形頂點和兩直角邊中點的坐標，再代入坐標求解兩中線所對應的向量的數(shù)量積和模，進而求得夾角的余弦值．【典例8】在四邊形中，已知，，，.（1）判斷四邊形的形狀；（2）若，求向量與夾角的余弦值.【答案】（1）四邊形是等腰梯形.（2）【分析】（1）由題可得,且,即可判斷四邊形的的形狀；（2）設,,,由可得,即可求得和,進而求解即可.【詳解】（1）由題,因為,,所以,又因為,,所以四邊形是等腰梯形（2）設,所以,,因為,所以,解得,所以,,設向量與夾角為,則,故向量與夾角的余弦值為【點睛】本題考查向量在幾何上的應用,考查向量的夾角,考查運算能力.考法044．平面向量在物理中的應用【典例9】河水的流速為2，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10的速度駛向?qū)Π叮瑒t小船的靜水速度為（）A．10 B． C． D．12【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，結合向量的運算，即可求解.【詳解】設河水的流速為，小船在靜水中的速度為，船的實際速度為，則，，所以，所以（），即小船在靜水中的速度大小為.故選：B.【典例10】若一個質(zhì)點同時受到同一平面內(nèi)三個力，，的作用，其中，方向為北偏東30°；方向為北偏東60°；，方向為北偏西30°建立如圖所示的平面直角坐標系，則合力________.【答案】【分析】分別求出的坐標，即得合力.【詳解】由題圖可知，，，所以.故答案為【點睛】本題主要考查平面向量的物理應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.【典例11】兩個力，作用于同一質(zhì)點，使該質(zhì)點從點移動到點（其中、分別是x軸正方向、y軸正方向上的單位向量，力的單位：N，位移的單位：m）.求：(1)，分別對該質(zhì)點做的功；(2)，的合力對該質(zhì)點做的功.【答案】(1)對該質(zhì)點做的功為（），對該質(zhì)點做的功（）；(2)（）.【解析】（1）根據(jù)題意，求出位移，結合功的計算公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，求出合力，結合功的計算公式，即可求解.(1)根據(jù)題意，，，，故對該質(zhì)點做的功（）；對該質(zhì)點做的功（）.(2)根據(jù)題意，，的合力，故，的合力對該質(zhì)點做的功（）.【典例12】如圖所示，一個物體受到同一平面內(nèi)三個力，，的作用，沿北偏東的方向移動了，其中，方向為北偏東；，方向為北偏東；，方向為北偏西，求合力所做的功.【答案】【解析】【分析】如圖建立平面直角坐標系，求出，，以及位移的坐標，進而可得合力的坐標，再由向量數(shù)量積的坐標運算計算即可求解.【詳解】如圖建立平面直角坐標系，由題意可得，，，位移，所以，所以合力所做的功為，考法055．利用向量解決其他問題【典例13】已知A，B是圓心為C，半徑為的圓上的兩點，且，則________.【答案】【分析】根據(jù)求得，結合向量的數(shù)量積的運算公式，即可求解.【詳解】由題意，圓的半徑為，且，可得，所以.故答案為：.【典例14】在四邊形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7，4)，＝(3，6)，則四邊形ABCD的面積是________．【答案】30【分析】先證明四邊形ABCD為矩形，然后即可求出面積.【詳解】，又因為所以四邊形ABCD為矩形，所以所以.故答案為：30.【典例15】若一個四邊形以、，、四點為頂點，則這個四邊形______（選填“是”或“不是”）梯形．【答案】不是【分析】根據(jù)題設，得到，且，即可得到答案.【詳解】由題意，四邊形以、，、四點為頂點，由，所以與不共線，即與不平行；由，所以與不共線，即與不平行；由，所以與不共線，即與不平行，所以這個四邊形不是梯形.故答案為：不是.【典例16】點O是△ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足，則點O是的__________心．【答案】垂【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運算律可整理出，即；同理可得，，由垂心定義可知為垂心.【詳解】，即同理可得：，點為的垂心本題正確結果：垂【點睛】本題考查三角形垂心的判斷，關鍵是能夠通過向量數(shù)量積的運算律整理出垂直關系.【典例17】已知位置向量,,的終點分別為,,,試判斷的形狀.【答案】為等腰直角三角形【分析】根據(jù)題意可設，，,根據(jù)平面向量的加法幾何意義可以求出,求出它們的模以及計算出它們的數(shù)量積,最后可以判斷出的形狀.【詳解】，，，，,,所以為等腰直角三角形.【點睛】本題考查了利用平面向量的模和平面向量的數(shù)量積判斷三角形形狀問題,考查了數(shù)學運算能力.分層提分分層提分題組A基礎過關練1．在中，斜邊長為2，O是平面外一點，點P滿足，則等于（）A．2 B．1 C． D．4【答案】B【分析】利用向量的減法可得，從而可得為斜邊的中線，即可求解．【詳解】，，，為斜邊的中線，．故選：B．2.某人順風勻速行走速度大小為，方向與風向相同，此時風速大小為，則此人實際感到的風速為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的運算法則及速度的合成，即可求解.【詳解】由題意，某人順風勻速行走速度大小為，方向與風向相同，此時風速大小為，根據(jù)向量的運算法則，可得此人實際感到的風速為.故選：A.3.在四邊形中，，且，那么四邊形為（）A．平行四邊形 B．菱形 C．長方形 D．正方形【答案】B【分析】由向量相等可知四邊形為平行四邊形，由向量模長相等可知鄰邊長相等，知四邊形為菱形.【詳解】，，四邊形為平行四邊形，又，平行四邊形為菱形.故選：B.4.長江某地南北兩岸平行，一艘游船南岸碼頭出發(fā)航行到北岸.假設游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為.設和的夾角為，北岸的點在的正北方向，則游船正好到達處時，（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設船的實際速度為，根據(jù)題意作圖，設與南岸上游的夾角為，由題意可得的值，再計算的值即可.【詳解】設船的實際速度為，與南岸上游的夾角為，如圖所示，要使得游船正好到達處，則，即，又因為，所以，故選：D.5.已知菱形中，，，點為上一點，且，則的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設與交于點，以為坐標原點，，所在的直線分別為，軸建立平面直角坐標系，利用向量的夾角公式可得答案.【詳解】設與交于點，以為坐標原點，，所在的直線分別為，軸建立平面直角坐標系如圖所示，則點，，，∴，，則，故選：D.【點睛】本題考查了向量在幾何中的應用，解題的關鍵點是建立平面直角坐標系，考查了學生的計算能力.6.小船以的靜水速度按垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為．則小船實際航行速度的大小為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意作出圖示，然后根據(jù)垂直位置關系對應的勾股定理求解出小船的實際航行速度.【詳解】如圖，設船在靜水中的速度為，河水的流速為．水流的速度為，則由，得，，取，即小船實際航行速度的大小為．故選：B．7.若平面四邊形滿足，在方向上的數(shù)量投影是0，則該四邊形一定是（）A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】C【分析】首先根據(jù)向量相等判斷四邊形為平行四邊形，再根據(jù)投影為零得到對角線互相垂直，即可判斷；【詳解】因為，所以，所以平面四邊形為平行四邊形，又，在方向上的數(shù)量投影是0，即，即，所以平行四邊形為菱形.故選：C8.已知三個力，，同時作用于某物體上一點，為使物體保持平衡，現(xiàn)加上一個力，則等于（）A．（1，2） B．（1，2） C．（1，2） D．（1，2）【答案】D【分析】根據(jù)合外力為零，4個向量相加等于零向量求解即可．【詳解】為使物體平衡，則合外力為零，即4個向量相加等于零向量，因為，，，所以，，．故選：．9.已知點是所在平面內(nèi)一點，若，則與的面積比為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】假設是等腰直角三角形，建立平面直角坐標系，求得點坐標，由此求得與的面積比.【詳解】假設是等腰直角三角形，且是直角，，建立如圖所示平面直角坐標系，設，則,，依題意，即，，.所以與的面積比為.故選：A10.在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境，兩個人共提一個行李包.假設行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個拉力分別為，，且，與的夾角為，下列結論中正確的是（）A．越小越費力，越大越省力B．的范圍為C．當時，D．當時，【答案】D【分析】根據(jù)為定值，求出，再對選項進行分析、判斷即可.【詳解】對A，為定值，，解得：；由題意知：時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，即越大越費力，越小越省力，故A錯誤；對B，當時，不滿足題意，故B錯誤；對C，當時，，，故C錯誤；對D，當時，，，故D正確.故選：D.11.已知點O、N、P在所在平面內(nèi)，且，，，則點O、N、P依次是的（）A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、內(nèi)心C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、內(nèi)心【答案】C【分析】由知O是的外心；利用共起點向量加法將變形為共線的兩向量關系，得到N點在中線上的位置，從而判斷為重心；由移項利用向量減法變形為，得出PB為CA邊上的高，同理得PC為AB邊上的高，故為垂心.【詳解】，則點O到的三個頂點距離相等，O是的外心.，，設線段AB的中點為M，則，由此可知N為AB邊上中線的三等分點(靠近中點M)，所以N是的重心.，.即，同理由，可得.所以P是的垂心.故選：C.【點睛】關于四心的向量關系式：O是的外心；O是的重心；O是的垂心；O是的內(nèi)心.(其中為的三邊)12.．如圖所示，一條河兩岸平行，河的寬度為米，一艘船從河岸的地出發(fā)，向河對岸航行．已知船的速度的大小為，水流速度的大小為，船的速度與水流速度的合速度為，那么當航程最短時，下列說法正確的是（）A．船頭方向與水流方向垂直 B．C． D．該船到達對岸所需時間為分鐘【答案】B【分析】分析可知，當船的航程最短時，，利用平面向量數(shù)量積可判斷ABC選項的正誤，利用路程除以速度可得航行時間，可判斷D選項的正誤.【詳解】由題意可知，，當船的航程最短時，，而船頭的方向與同向，由，可得，，A選項錯誤，B選項正確；，C選項錯誤；該船到達對岸所需時間為（分鐘），D選項錯誤.故選：B.題組B能力提升練1.在平面上，，.若，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】建立平面直角坐標系，設出點的坐標，根據(jù)已知條件求得的取值范圍，也即求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件知A，B1，P，B2構成一個矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直線為坐標軸建立直角坐標系，如圖設|AB1|＝a，|AB2|＝b，點O的坐標為(x，y)，則點P的坐標為(a，b)，.由得，則，又由，得，則，即①.又，得，則；同理由，得，即有②.由①②知，所以.而，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查利用坐標法求解平面幾何問題，屬于中檔題.2.如圖，在△中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為（）.A． B． C． D．【答案】C【分析】由及，將由三點共線可求m的值，再用、表示，進而求即可【詳解】∵，，即且∴，又C、P、D共線，有，即即，而∴∴=故選：C【點睛】本題考查了由向量的幾何應用求向量的數(shù)量積，首先應用定比分點結合向量的加法法則求參數(shù)值，由向量加法的幾何意義用已知向量表示目標向量，最后求向量的數(shù)量積.3.已知外接圓的圓心為O，半徑為2，且，則向量在方向上的投影的數(shù)量為（）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】由知四邊形為平行四邊形，再證明是正三角形，從而推出四邊形是邊長為2的菱形，代入投影計算公式即可求得答案.【詳解】如圖，∵，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形．又O為外接圓的圓心，且，∴是邊長為2的正三角形，∴平行四邊形是邊長為2的菱形且．∴，．故向量在方向上投影的數(shù)量為．故選：A【點睛】本題考查向量的基本運算，平面向量共線的性質(zhì)，菱形的證明，向量投影的求法，屬于中檔題.4.（多選題）設點M是所在平面內(nèi)一點，下列說法正確的是（）A．若，則的形狀為等邊三角形B．若，則點M是邊BC的中點C．過M任作一條直線，再分別過頂點A，B，C作l的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)，若恒成立，則點M是的垂心D．若，則點M在邊BC的延長線上【答案】AB【分析】根據(jù)題意，結合平面向量的線性運算，以及數(shù)量積運算，一一判斷即可.【詳解】對于選線A，如圖作的中點，連接，由，得，即，結合三角形性質(zhì)易知，，同理，，故的形狀為等邊三角形，故A正確；對于選項B，由，得，即，因此點M是邊BC的中點，故B正確；對于選項C，如圖當過點時，，由，得，則直線經(jīng)過的中點，同理直線經(jīng)過的中點，直線經(jīng)過的中點，因此點M是的重心，故C錯誤；對于選項D，由，得，即，因此點M在邊的延長線上，故D錯.故選：AB.5.(多選題)如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運動時設水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中，下列說法中正確的是（）A．繩子的拉力不斷增大 B．繩子的拉力不斷變小C．船的浮力不斷變小 D．船的浮力保持不變【答案】AC【分析】設水的阻力為f，繩的拉力為F，F(xiàn)與水平方向夾角為θ()，則由題意可得|F|cosθ＝|f|，然后逐個分析判斷即可【詳解】設水的阻力為f，繩的拉力為F，F(xiàn)與水平方向夾角為θ().則|F|cosθ＝|f|，∴|F|＝.∵θ增大，cosθ減小，∴|F|增大.∵|F|sinθ增大，|F|sinθ加上浮力等于船的重力，∴船的浮力減小.故選：AC6.．(多選題)已知O是四邊形內(nèi)一點，若，則下列結論錯誤的是（）A．四邊形為正方形，點O是正方形的中心B．四邊形為一般四邊形，點O是四邊形的對角線交點C．四邊形為一般四邊形，點O是四邊形的外接圓的圓心D．四邊形為一般四邊形，點O是四邊形對邊中點連線的交點【答案】ABC【分析】對于A，由推不出四邊形為正方形；對于BCD，設AB，CD的中點分別為E，F(xiàn)，由向量加法的平行四邊形法則知，即O是EF的中點；同理，可知O是MN的中點，所以O是四邊形對邊中點連線的交點.【詳解】對于A，若四邊形為正方形，點O是正方形的中心，則必有，但反過來，由推不出四邊形為正方形，故A錯誤；對于BCD，如圖所示，O是四邊形內(nèi)一點，且設AB，CD的中點分別為E，F(xiàn)，由向量加法的平行四邊形法則知，，，即O是EF的中點；同理，設AD，BC的中點分別為M，N，由向量加法的平行四邊形法則知，，即O是MN的中點；所以O是EF，MN的交點，故BC錯誤，D正確；故選：ABC【點睛】關鍵點點睛：本題考查向量在幾何圖形中的應用，解題的關鍵是利用向量加法的平行四邊形法則知O是EF的中點，同理O是MN的中點，考查學生的數(shù)形結合思想.7.（多選題）已知是邊長為2的等邊三角形，，分別是、上的兩點，且，，與交于點，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．在方向上的投影為【答案】BCD【分析】以E為原點建立平面直角坐標系，寫出所有點的坐標求解即可.【詳解】由題E為AB中點，則，以E為原點，EA，EC分別為x軸，y軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示：所以，，設，∥，所以，解得：，即O是CE中點，，所以選項B正確；，所以選項C正確；因為，，所以選項A錯誤；，，在方向上的投影為，所以選項D正確.故選：BCD【點睛】此題考查平面向量基本運算，可以選取一組基底表示出所求向量的關系，對于特殊圖形可以考慮在適當位置建立直角坐標系，利于計算.8.三纖夫用牽繩拉船，船的航行方向由至，若三纖夫所用力分別為，，，則三纖夫?qū)Υ龅墓開_____．【答案】-12【分析】首先求出合力，再求出位移，最后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示計算可得；【詳解】因為，，，所以，因為船的航行方向由至，所以，所以.故答案為：9.如圖，在△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于點D．若的模為2，的模為3，的模為1，則的模為____.

【答案】【分析】作出輔助線，證得△ADE∽△BDC，進而根據(jù)相似比即可求出結果.【詳解】如圖，延長CD，過點A作BC的平行線交CD的延長線于點E.因為∠ACD=∠BCD=∠AED，所以||=||.因為△ADE∽△BDC，所以，故||=.故答案為：.10.一條河寬為800m，一船從A處出發(fā)垂直到達河正對岸的B處，船速為20km/h，水速為12km/h，則船到達B處所需時間為________min.【答案】3【分析】由題得v實際＝v1＋v2，求出|v實際|=16,即得解.【詳解】∵v實際＝v船＋v水＝v1＋v2，|v1|＝20km/h，|v2|＝12km/h，∴|v實際|＝＝＝16(km/h).∴所需時間t＝＝0.05(h)＝3(min).∴該船到達B處所需的時間為3min.故答案為：3【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵在于求出|v實際|.11.已知為的中線，G為重心，點，，則點D的坐標為________．【答案】【分析】設出，然后表示出點，進而根據(jù)重心坐標與三個頂點的關系列出方程組，求解即可.【詳解】設，因為為的中線，則，因為G為重心且點，，則，解得，所以，故答案為：12.如圖，用兩條繩提起一個物體處于平衡狀態(tài)，此時每條繩用力5N，且兩條繩的夾角是120°，則物體G的重量是____N．【答案】5【分析】根據(jù)題意，只需求兩個力的合力大小即可.【詳解】由題意知，物體G的重量與兩條繩用力的合力的大小相等.根據(jù)每條繩用力5N，且兩條繩的夾角是120°，可得.∴∴兩條繩用力的合力的大小為5N∴物體G的重量為5N．故答案為：513.伴隨著國內(nèi)經(jīng)濟的持續(xù)增長，人民的生活水平也相應有所提升，其中旅游業(yè)帶來的消費是居民消費領域增長最快的，因此挖掘特色景區(qū)，營造文化氛圍尤為重要．某景區(qū)的部分道路如圖所示，，，，，要建設一條從點到點的空中長廊，則______．【答案】【分析】根據(jù)題中條件，先得到，，利用向量數(shù)量積的運算法則，計算，即可求出結果.【詳解】由題可知，所以，由可得，，又，，，所以，則．故答案為：.14.四邊形的兩條對角線與相交于點，且，，過點作，垂足為，若，則四邊形的面積為_______．【答案】【分析】本題首先可以作，然后通過計算出的長，再然后通過三角形相似求出的長，最后將四邊形拆成兩個三角形并利用三角形面積公式即可得出結果．【詳解】如圖所示，作，設，，，則，因為，所以，即，因為，，,所以，，所以．【點睛】本題考查四邊形面積的求法以及向量的數(shù)量積的相關性質(zhì)，在計算四邊形的面積的時候可以將四邊形分為兩個三角形進行求解，向量的數(shù)量積公式為，考查計算能力，是中檔題．C培優(yōu)拔尖練1.用向量的方法證明：在中，．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)線段的幾何關系有＝＋再兩邊平方，結合平面向量數(shù)量積的運算律可證結論.【詳解】∵＝＋，∴()2＝(＋)2＝()2＋()2＋2·，即||2＝||2＋||2＋2||||cos(180°－A)，∴.2.已知ABC的三個頂點的直角坐標分別為A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0)（１）若c=5，求sin∠A的值；（２）若∠A為鈍角，求c的取值范圍；【答案】（1）（2）c的取值范圍為（，+）【詳解】(1),當c=5時，進而(2)若A為鈍角，則-3(c-3)+(-4)2<0解得c>顯然此時有AB和AC不共線，故當A為鈍角時，c的取值范圍為（，+）3.如圖，在中，點E，F(xiàn)分別是AD，DC邊的中點，BE，BF分別與AC交于R，T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR，RT，TC之間的關系嗎？用向量方法證明你的結論.【答案】，證明見解析.【分析】由于是對角線上的兩點，要判斷之間的關系，只需分別判斷與之間的關系即可.【詳解】設，，，則.由，可設，又，，可設，∵，∴，綜上，有，即，由于與不共線，則，解得，∴.同理，，.∴.4.三個力?和作用于同一質(zhì)點，且N，N，N，若三個力的夾角都為120°，求合力的大小和方向.【答案】合力的大小為N，方向與?分別成90°?30°的角【解析】【分析】建立直角坐標系，運用正交分解法，先分解再合成，求解三個力的合力，從而即可求解.【詳解】建立如圖所示的坐標系，采用正交分解法，將三個共點力分別投影到坐標軸上，進行合成與分解，則，，，，，，那么三個力的合力大小，與軸的夾角為，即方向與?分別成90°?30°的角答：合力的大小為N，方向與?分別成90°?30°的角.5.如圖，在四邊形中，．（1）若△為等邊三角形，且，是的中點，求；（2）若，，，求．【答案】(1)11,(2)【分析】（1）直接利用向量的線性運算和數(shù)量積求出結果．（2）利用向量的線性運算和向量的模求出結果．【詳解】（1）因為△ABC為等邊三角形，且AD∥BC，所以∠DAB=120°．又AD=2AB，所以AD=2BC，因為E是CD的中點，所以：==．又，所以，=．=，=11．（2）因為AB=AC，AB=2，所以：AC=2．因為：，所以：．所以：．又=4．所以：．所以：=．故：．【點睛】本題考查的知識要點：向量的線性運算，向量的模的應用.6.長江某段南北兩岸平行，如圖，江面寬度．一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸．已知游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為．設和的夾角為，北岸的點在A的正北方向．(1)當時，試判斷游船航行到達北岸的位置是在的左側還是右側，并說明理由．(2)當多大時，游船能到達處？需要航行多長時間？（不必近似計算）(3)當時，游船航行到達北岸的實際航程是多少？【答案】(1)的左側.(2)，航行小時.(3)【解析】【分析】（1）只需確定在反方向上的分速度與的大小，即可判斷游船航行到達的位置.（2）要使游船能到達處則在反方向上的分速度與相等，列方程即可求，進而求垂直方向上的分速度，即可知航行時間.（3）根據(jù)題設，求出水平方向上的位移大小，結合勾股定理即可求實際航程.(1)由題設，在反方向上的分速度為，∴游船航行到達北岸的位置是在的左側.(2)要使能到達處，則在反方向上的分速度為，∴，故，又，此時，∴垂直方向上的速度，∴.(3)由（1）知：垂直方向航行時間為，∴水平方向航行距離為，∴游船航行到達北岸的實際航程.7.已知是等腰直角三角形，，是邊的中點，，垂足為，延長交于點，連接，求證：.【答案】證明見解析【分析】以為原點，所在直線分別為軸，軸建立平面直角坐標系，證明的夾角與的夾角相等，從而證得結論。【詳解】如圖，以為原點，所在直線分別為軸，軸建立平面直角坐標系.設，則，.設，則.又因為，，所以，所以，解得，所以.所以.又因為，所以，.又因為，所以.【點睛】本題考查向量數(shù)積在平面幾何圖形中的運用，考查坐標化思想方法的運用和基本的運算求解能力，注意向量的夾角的定義，即兩個向量必需要有相同的起點。8.已知，，今有動點P從開始，沿著與向量相同的方向做勻速直線運動，速度為；另一動點Q從開始，沿著與向量相同的方向做勻速直線運動，速度為，設P，Q在s時分別在，處，當時所需的時間t為多少秒?