數(shù)學(xué)人教A版高中必修二（2019新編）8-4平面（學(xué)案）

第04講平面目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀理解三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換與翻譯，三個(gè)基本事實(shí)的掌握與運(yùn)用；會(huì)用圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示點(diǎn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系．3.能初步判斷點(diǎn)與線(xiàn)、點(diǎn)與面、線(xiàn)與面的位置關(guān)系.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握三種語(yǔ)言表達(dá)幾何中的位置關(guān)系，并能運(yùn)用基本事實(shí)及推論證明點(diǎn)與線(xiàn)、點(diǎn)與面、線(xiàn)與面的位置關(guān)系.知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)一、平面1．平面的概念生活中的一些物體通常呈平面形，課桌面、黑板面、海面都給我們以平面的形象．幾何里所說(shuō)的“平面”（plane）就是從這樣的一些物體中抽象出來(lái)的．但是，幾何里的平面是無(wú)限延展的，一個(gè)平面可以將空間分成兩部分．2．平面的畫(huà)法在立體幾何中，我們通常用平行四邊形來(lái)表示平面．（1）當(dāng)平面水平放置時(shí)，如圖（1），平行四邊形的銳角通常畫(huà)成45°，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍；當(dāng)平面豎直放置時(shí)，如圖（2），平行四邊形的一組對(duì)邊通常畫(huà)成鉛垂線(xiàn)．（2）如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，我們常把被遮擋部分用虛線(xiàn)畫(huà)出來(lái)，也可以不畫(huà)．如圖（1）表示平面在平面的上面，圖（2）表示平面在平面的前面．3．平面的表示為了表示平面，我們常把希臘字母α，β，γ等寫(xiě)在代表平面的平行四邊形的一個(gè)角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)表示，還可以用代表平面的平行四邊形的相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫(xiě)英文字母表示．如圖中的平面可以表示為：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．4．點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間位置關(guān)系的符號(hào)表示點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系通常借助集合中的符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示，點(diǎn)為元素，直線(xiàn)、平面都是點(diǎn)構(gòu)成的集合．集合中很多符號(hào)的規(guī)定都源于將圖形視為點(diǎn)集．點(diǎn)與直線(xiàn)（平面）之間的位置關(guān)系用符號(hào)“”，“”表示，直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系用符號(hào)“”，“”表示等．點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間位置關(guān)系的符號(hào)表示如下：點(diǎn)P在直線(xiàn)a上，記作Pa；點(diǎn)Q不在直線(xiàn)a上，記作Qa；點(diǎn)A在平面α內(nèi)，記作Aα；點(diǎn)B不在平面α內(nèi)，記作Bα；直線(xiàn)a在平面α內(nèi)，記作aα；直線(xiàn)l不在平面α內(nèi)，記作lα；直線(xiàn)a與b相交于點(diǎn)A，記作a∩b=A；平面α，β相交于直線(xiàn)l，記作α∩β=l．二、平面的基本性質(zhì)1．三個(gè)基本事實(shí)：（1）基本事實(shí)1：如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi)．符號(hào)表示：Al，Bl，且Aα，Bα?l?α．如圖所示：作用：①判斷直線(xiàn)是否在平面內(nèi)，點(diǎn)是否在平面內(nèi)；②用直線(xiàn)檢驗(yàn)平面．（2）基本事實(shí)2：過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．符號(hào)表示：A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)?有且只有一個(gè)平面α，使Aα，Bα，Cα．如圖所示：作用：①確定一個(gè)平面；②判斷兩個(gè)平面重合；③證明點(diǎn)、線(xiàn)共面．（3）基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)．符號(hào)表示：Pα，且Pβ?α∩β＝l，且Pl．如圖所示：作用：①判斷兩個(gè)平面相交；②證明點(diǎn)共線(xiàn)；③證明線(xiàn)共點(diǎn)．2.三個(gè)推論（1）推論1：經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．符號(hào)語(yǔ)言：若點(diǎn)直線(xiàn)a，則A和a確定一個(gè)平面．如圖所示：（2）推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面．符號(hào)語(yǔ)言：?有且只有一個(gè)平面，使，．如圖所示：（3）推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面．符號(hào)語(yǔ)言：?有且只有一個(gè)平面，使，．如圖所示：【微點(diǎn)撥】對(duì)三個(gè)基本事實(shí)的理解（1）對(duì)于基本事實(shí)1，我們可以知道：一是整條直線(xiàn)在平面內(nèi)；二是直線(xiàn)上的所有點(diǎn)在平面內(nèi)．（2）“不在一條直線(xiàn)上”和“三點(diǎn)”是基本事實(shí)2的重點(diǎn)字眼，如果沒(méi)有前者，那么只能說(shuō)“有一個(gè)平面”，但不唯一；如果將“三點(diǎn)”改成“四點(diǎn)”，那么過(guò)四點(diǎn)不一定存在一個(gè)平面．由此可見(jiàn)，“不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)”是確定一個(gè)平面的條件．（3）基本事實(shí)3反映了平面與平面的一種位置關(guān)系——相交，且交線(xiàn)唯一．【即學(xué)即練1】如圖所示，用符號(hào)語(yǔ)言可表示為（）A．，， B．，，C．，，， D．，，，【答案】A【解析】【分析】由圖可知兩平面相交于直線(xiàn)，直線(xiàn)在平面內(nèi)，兩直線(xiàn)交于點(diǎn)，從而可得答案【詳解】由圖可知平面相交于直線(xiàn)，直線(xiàn)在平面內(nèi)，兩直線(xiàn)交于點(diǎn)，所以用符號(hào)語(yǔ)言可表示為，，，故選：A【即學(xué)即練2】以下說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是（）①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)；②若直線(xiàn)a，b共面，直線(xiàn)a，c共面，則直線(xiàn)b，c共面；③首尾依次相接的四條線(xiàn)段必共面．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)知①中若有三點(diǎn)共線(xiàn)則必四點(diǎn)共面，②中只能得到兩個(gè)平面有交線(xiàn)，不能得到兩面重合③可由空間四邊形知結(jié)論錯(cuò)誤.【詳解】①正確，若四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線(xiàn)，則可以推出四點(diǎn)共面，這與四點(diǎn)不共面矛盾；②不正確，共面不具有傳遞性；③不正確，因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形的四條邊可以不在一個(gè)平面內(nèi),故選：B【即學(xué)即練3】下列敘述中，正確的是（）．A．因?yàn)?，，所以B．因?yàn)?，，所以C．因?yàn)椋?，，所以D．因?yàn)?，，所以【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本事實(shí)1判斷選項(xiàng)A、C，根據(jù)基本事實(shí)3判斷選項(xiàng)B、D.【詳解】A：因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；B：因?yàn)椋曰?，故B錯(cuò)誤；C：因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；D：因?yàn)?，所以，故D正確.故選：D【即學(xué)即練4】以下四個(gè)命題：①三個(gè)平面最多可以把空間分成八部分；②若直線(xiàn)平面α，直線(xiàn)平面β，則“a與b相交”與“α與β相交”等價(jià)；③若，直線(xiàn)平面α，直線(xiàn)平面β，且，則；④若n條直線(xiàn)中任意兩條共面，則它們共面．其中正確的是A．①② B．②③ C．③④ D．①③【答案】D【解析】【分析】利用公理求解空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系．【詳解】對(duì)于①，正確；對(duì)于②，逆推“α與β相交”推不出“a與b相交”，也可能是或異面，如長(zhǎng)方體的面對(duì)角線(xiàn)；對(duì)于③，由“基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)”可知正確；對(duì)于④，反例：正方體的側(cè)棱任意兩條都共面，但這4條側(cè)棱卻不共面，故④錯(cuò)．所以正確的是①③．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查空間線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面和面面的位置關(guān)系的判斷，考查空間想象能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．【即學(xué)即練5】如圖所示，平面平面，點(diǎn)，點(diǎn)，直線(xiàn).設(shè)過(guò)三點(diǎn)的平面為，則（）A．直線(xiàn) B．直線(xiàn)C．直線(xiàn) D．以上均不正確【答案】C【解析】由是平面和的兩個(gè)公共點(diǎn)，由兩個(gè)平面若有交點(diǎn)，所有的交點(diǎn)都在同一條直線(xiàn)上，即可進(jìn)行判斷.【詳解】，平面平面，，.又三點(diǎn)確定的平面為，.又是平面和的公共點(diǎn)，.故選：C【點(diǎn)睛】如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)，因此兩個(gè)不重合的平面的兩個(gè)公共點(diǎn)的連線(xiàn)必為這兩個(gè)不重合的平面的交線(xiàn).【即學(xué)即練6】以下四個(gè)命題中，不正確的命題是（）A．不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)B．若點(diǎn)共面，點(diǎn)共面，則共面C．若直線(xiàn)共面，直線(xiàn)共面，則直線(xiàn)共面D．依次首尾相接的四條線(xiàn)段必共面【答案】BCD【解析】【分析】利用反證法可知正確；直線(xiàn)與直線(xiàn)異面時(shí)，不共面，判斷；中可為異面直線(xiàn)，判斷；中四條線(xiàn)段可構(gòu)成空間四邊形，判斷.【詳解】選項(xiàng)：若任意三點(diǎn)共線(xiàn)，則由該直線(xiàn)與第四個(gè)點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)平面，則與四點(diǎn)不共面矛盾，則任意三點(diǎn)不共線(xiàn)，正確；選項(xiàng)：若三點(diǎn)共線(xiàn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)異面，此時(shí)不共面，錯(cuò)誤；選項(xiàng)：共面，共面，此時(shí)可為異面直線(xiàn)，錯(cuò)誤；選項(xiàng)：依次首尾相接的四條線(xiàn)段可構(gòu)成空間四邊形，錯(cuò)誤.故選：BCD【即學(xué)即練7】在平地上，自行車(chē)側(cè)旁的撐腳放下能確保自行車(chē)的穩(wěn)定，其反映的立體幾何知識(shí)是：______________________.【答案】不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面【解析】【分析】根據(jù)底面是三角形時(shí)，立體幾何比較穩(wěn)定即可得出答案.【詳解】自行車(chē)的前輪、后輪有兩個(gè)著地點(diǎn)，撐腳放下，在地面上形成三角形，由基本事實(shí)3可確定自行車(chē)的穩(wěn)定.故答案為：不在同一條直線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面.【即學(xué)即練8】經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可作___________個(gè)平面，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)可作___________個(gè)平面，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)可作___________個(gè)平面，經(jīng)過(guò)不共面的四點(diǎn)可作___________個(gè)平面.【答案】無(wú)數(shù)無(wú)數(shù)一或無(wú)數(shù)4##四【解析】【分析】根據(jù)平面的性質(zhì)作答即可.【詳解】經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可作無(wú)數(shù)個(gè)平面，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)可作無(wú)數(shù)個(gè)平面，經(jīng)過(guò)三點(diǎn),若三點(diǎn)不在一條直線(xiàn)上，可作一個(gè)平面，若三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上可作無(wú)數(shù)個(gè)平面，故經(jīng)過(guò)三點(diǎn)可作一或無(wú)數(shù)個(gè)平面經(jīng)過(guò)不共面的四點(diǎn)，任取3點(diǎn)可作一個(gè)平面，一共可作4個(gè)平面.故答案為：無(wú)數(shù)；無(wú)數(shù)；一或無(wú)數(shù)；4.【即學(xué)即練9】在空間四邊形中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在，，，上，若直線(xiàn)與相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P與直線(xiàn)的關(guān)系是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)線(xiàn)、線(xiàn)面關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)，即可判斷點(diǎn)線(xiàn)關(guān)系.【詳解】由題意，，而面，面，∴面，面，而面面，∴.故答案為：【即學(xué)即練10】畫(huà)出滿(mǎn)足下列條件的圖形（其中A，B，M表示點(diǎn)，m，n，a，b表示直線(xiàn)，，表示平面）：(1)，，，；(2)，，，，；(3)，，，．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析.【分析】利用點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系的圖形表示，即可得到答案；【解析】(1)(2)(3)【即學(xué)即練11】請(qǐng)指出下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由：(1)空間三點(diǎn)確定一個(gè)平面；(2)如果平面與平面有公共點(diǎn)，那么公共點(diǎn)就不止一個(gè)；(3)因?yàn)槠降男蔽菝娌慌c地面相交，所以屋面所在的平面與地面不相交．【答案】(1)錯(cuò)誤，理由見(jiàn)解析；(2)正確，理由見(jiàn)解析；(3)錯(cuò)誤，理由見(jiàn)解析.【分析】利用平面的定義和性質(zhì)的應(yīng)用即可得出結(jié)果.【解析】(1)錯(cuò)誤，因?yàn)橹挥胁辉谕粭l直線(xiàn)上的三點(diǎn)，才能確定一個(gè)平面，故(1)錯(cuò)誤；(2)正確，若平面與有公共點(diǎn)，那么這些公共點(diǎn)可以構(gòu)成一條直線(xiàn)，故公共點(diǎn)就不止一個(gè)，故(2)正確；(3)錯(cuò)誤，平的斜屋面所在的平面與底面不相交，只是斜屋面不夠大，由于平面是無(wú)限延展的，所以必相交，故(3)錯(cuò)誤.【即學(xué)即練12】如圖，已知平面，，且.若梯形中，，且，.求證：，l共點(diǎn)（相交于一點(diǎn)）.【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】利用平面基本事實(shí)2可以證明三線(xiàn)共點(diǎn)：設(shè)直線(xiàn)直線(xiàn)，先證明M為的公共點(diǎn)，再證明，從而可以證明，l共點(diǎn).【詳解】因?yàn)樘菪沃?，，所以是梯形的兩?所以直線(xiàn)必相交于一點(diǎn).設(shè)直線(xiàn)直線(xiàn).又因?yàn)椋?所以.又因?yàn)?，所以，即，l共點(diǎn)（相交于一點(diǎn)）.能力拓展能力拓展考法011．三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換學(xué)習(xí)幾何問(wèn)題，三種語(yǔ)言間的互相轉(zhuǎn)換是一種基本技能．要注意：（1）正確區(qū)分點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間位置關(guān)系的符號(hào)表示；（2）用圖形表示時(shí)，正確區(qū)別實(shí)線(xiàn)和虛線(xiàn)．【典例1】如圖所示，用符號(hào)語(yǔ)言表示以下圖形中點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系：①點(diǎn)，在直線(xiàn)上________；②直線(xiàn)在平面內(nèi)________；③點(diǎn)在直線(xiàn)上，點(diǎn)在平面內(nèi)________.【答案】，，【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系及其表示方法即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系及其表示方法可知：①，；②；③，.故答案為：①，；②；③，【典例2】把下列符號(hào)敘述所對(duì)應(yīng)的圖形的字母編號(hào)填在題后橫線(xiàn)上.（1）A?α，a?α_____.

（2）α∩β=a，P?α，且P?β_____.

（3）α∩β=a，α∩γ=c，β∩γ=b，a∩b∩c=O_____.【答案】BCA【解析】【分析】根據(jù)圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化即可判斷【詳解】根據(jù)圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化即可判斷（1）對(duì)應(yīng)的是圖B；（2）對(duì)應(yīng)的是圖C；（3）對(duì)應(yīng)的是圖A,故答案為：B；C；A.【典例3】用符號(hào)語(yǔ)言表示下列語(yǔ)句，并畫(huà)出圖形：（1）三個(gè)平面α，β，γ相交于一點(diǎn)P，且平面α與平面β相交于PA，平面α與平面γ相交于PB，平面β與平面γ相交于PC；（2）平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC．【答案】答案詳見(jiàn)解析．【解析】（1）符號(hào)語(yǔ)言表示：α∩β∩γ=P，α∩β=PA，α∩γ=PB，β∩γ=PC，圖形表示：如圖（1）．（2）符號(hào)語(yǔ)言表示：平面ABD∩平面BDC=BD，平面ABC∩平面ADC=AC，圖形表示：如圖（2）．（1）（2）【名師點(diǎn)睛】要注意符號(hào)語(yǔ)言的意義，如點(diǎn)與直線(xiàn)、點(diǎn)與平面之間的位置關(guān)系只能用“”或“”，直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系只能用“”或“”．用圖形語(yǔ)言表示點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系時(shí)，要注意實(shí)線(xiàn)和虛線(xiàn)的區(qū)別．【典例4】用符號(hào)表示下列語(yǔ)句：(1)點(diǎn)A在直線(xiàn)l上，l在平面內(nèi)；(2)平面和平面的交線(xiàn)是直線(xiàn)l，直線(xiàn)m在平面內(nèi)；(3)點(diǎn)A在平面內(nèi)，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且直線(xiàn)l在平面外；(4)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)M．【答案】(1)；(2)平面平面=直線(xiàn)l，直線(xiàn)m平面；(3)點(diǎn)A平面，點(diǎn)A直線(xiàn)l，直線(xiàn)l平面；(4)點(diǎn)M平面，點(diǎn)M直線(xiàn)l.【解析】【分析】利用點(diǎn)與直線(xiàn)、點(diǎn)與平面、直線(xiàn)與平面的關(guān)系直接求解.(1)點(diǎn)A在直線(xiàn)l上，l在平面內(nèi)，記為：；(2)平面和平面的交線(xiàn)是直線(xiàn)l，直線(xiàn)m在平面內(nèi)，記為：平面平面=直線(xiàn)l，直線(xiàn)m平面；(3)點(diǎn)A在平面內(nèi)，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且直線(xiàn)l在平面內(nèi)外，記為：點(diǎn)A平面，點(diǎn)A直線(xiàn)l，直線(xiàn)l平面；(4)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)M，記為：點(diǎn)M平面，點(diǎn)M直線(xiàn)l.考法022.點(diǎn)、線(xiàn)共面問(wèn)題基本事實(shí)1、基本事實(shí)2及其推論是證明點(diǎn)、線(xiàn)共面的主要依據(jù)．常用的方法有：（1）納入平面法：先由部分元素確定一個(gè)平面，再證明其他的元素也在此平面內(nèi)．（2）輔助平面法：先證明有關(guān)點(diǎn)、線(xiàn)確定平面，再證明其余點(diǎn)、線(xiàn)確定平面，最后證明，重合．【典例5】下面三條直線(xiàn)一定共面的是（）A．a(chǎn)，b，c兩兩平行 B．a(chǎn)，b，c兩兩相交 C．a(chǎn)∥b，c與a，b均相交 D．a(chǎn)，b，c兩兩垂直【答案】C【解答】解：對(duì)于A，直線(xiàn)a，b，c兩兩平行，不一定得出a、b、c共面；對(duì)于B，直線(xiàn)a，b，c兩兩相交，不一定得a、b、c共面；對(duì)于C，a∥b，且c與a、b都相交，則a、b、c三條直線(xiàn)共面；對(duì)于D，a，b，c兩兩垂直，不一定得出a、b、c共面．故選：C．【名師點(diǎn)睛】本題考查了空間中的三條直線(xiàn)位置關(guān)系應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．根據(jù)題意分別判斷選項(xiàng)中的命題結(jié)論是否正確即可．【典例6】如圖，在正方體中，判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由.（1）由點(diǎn)A，O，C可以確定一個(gè)平面；（2）由點(diǎn)A，，確定的平面為平面.【答案】（1）不正確，理由見(jiàn)解析；（2）正確，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由正方體的性質(zhì)知A，O，C在同一條直線(xiàn)上，此三點(diǎn)所成平面有無(wú)數(shù)個(gè)，可知正誤.（2）由正方體的性質(zhì)知A，不共線(xiàn)且，即可判斷A，，的平面.【詳解】（1）不正確，由點(diǎn)A，O，C在同一條直線(xiàn)上，則不能確定一個(gè)平面，而有無(wú)數(shù)個(gè)平面.（2）正確，由A，不共線(xiàn)，則可確定一個(gè)平面.又，則面.∴由點(diǎn)A，，確定的平面為面.【典例7】如圖所示，在空間四邊形中，，分別為，的中點(diǎn)，，分別在，上，且．求證：（1）、、、四點(diǎn)共面；（2）與的交點(diǎn)在直線(xiàn)上．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）由平行關(guān)系轉(zhuǎn)化，可得，即可證明四點(diǎn)共面；（2）由條件證明與的交點(diǎn)既在平面上，又在平面上，即可證明.【詳解】證明（1）∵，∴．∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，∴，∴，，，四點(diǎn)共面．（2）∵，不是，的中點(diǎn)，∴，且，故為梯形．∴與必相交，設(shè)交點(diǎn)為，∴平面，平面，∴平面，且平面，∴，即與的交點(diǎn)在直線(xiàn)上．【典例8】求證：兩兩相交且交點(diǎn)不止一個(gè)的四條直線(xiàn)a、b、c、d共面．【答案】證明詳見(jiàn)解析．【解析】（1）無(wú)三線(xiàn)共點(diǎn)情況，如圖（1）．設(shè)，，，，，．因?yàn)?，所以a，d可確定一個(gè)平面．因?yàn)?，，所以，，所以，即．同理，，所以a，b，c，d共面．（2）有三線(xiàn)共點(diǎn)的情況，如圖（2）．設(shè)b，c，d三線(xiàn)相交于點(diǎn)K，與a分別交于點(diǎn)N，P，M，且，因?yàn)?，所以K和a確定一個(gè)平面，設(shè)為．因?yàn)?，，所以．所以，即．同理，，．所以a，b，c，d共面．由（1）（2）知，a、b、c、d共面．考法033．平面的交線(xiàn)問(wèn)題根據(jù)基本事實(shí)3，如果不重合的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們必定還有其他公共點(diǎn)，只要找出這兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn)，就找出了它們的交線(xiàn)．因此求兩個(gè)平面的交線(xiàn)的突破口是找到這兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn)．【典例9】如圖，在正方體中，若P為棱的中點(diǎn)，判斷平面與平面ABCD是否相交．如果相交，作出這兩個(gè)平面的交線(xiàn)．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】根據(jù)基本事實(shí)2可作兩個(gè)平面的交線(xiàn).【詳解】平面與平面ABCD相交，如圖，連接、并延長(zhǎng)交于，連接，則平面平面.【典例10】在三棱錐A－BCD的棱AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，如果EF∩HG＝P，則點(diǎn)P（）A.一定在直線(xiàn)BD上B.一定在直線(xiàn)AC上C.在直線(xiàn)AC或BD上D.不在直線(xiàn)AC上，也不在直線(xiàn)BD上【答案】B【解析】如圖所示，∵EF?平面ABC，HG?平面ACD，EF∩HG＝P，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD.又∵平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC，故選B.【典例11】．如圖，平面平面，直線(xiàn)，過(guò)三點(diǎn)確定的平面為，則平面的交線(xiàn)必過(guò)（）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn)，但不過(guò)點(diǎn) D．點(diǎn)和點(diǎn)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)及推論推導(dǎo)即可【詳解】由題意知，，，∴，又，∴，即在平面與平面的交線(xiàn)上，又，，∴點(diǎn)C在平面與平面的交線(xiàn)上，即平面的交線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)故選：D.考法044．三點(diǎn)（多點(diǎn)）共線(xiàn)問(wèn)題點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題就是證明三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，主要依據(jù)是公理3．常用方法有：（1）首先找出兩個(gè)平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3知這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線(xiàn)上；（2）選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，然后證明其他點(diǎn)也在這條直線(xiàn)上．【典例12】已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線(xiàn)滿(mǎn)足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示，求證：P，Q，R三點(diǎn)共線(xiàn).【答案】證明見(jiàn)解析【解析】【分析】推導(dǎo)出P，Q，R都在平面ABC與平面α的交線(xiàn)上，即可證明.【詳解】證明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事實(shí)3可知：點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線(xiàn)上，同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線(xiàn)上.∴P，Q，R三點(diǎn)共線(xiàn).法二：∵AP∩AR＝A，∴直線(xiàn)AP與直線(xiàn)AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三點(diǎn)共線(xiàn).【典例13】如圖所示，四邊形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延長(zhǎng)線(xiàn))分別與平面α相交于E，F(xiàn)，G，H，求證：E，F(xiàn)，G，H必在同一直線(xiàn)上．【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】根據(jù)推論3及基本事實(shí)2可知，兩條平行直線(xiàn)AB和CD可以確定一個(gè)平面ABCD，并且平面ABCD與平面的所有的公共點(diǎn)應(yīng)該在一條直線(xiàn)上，根據(jù)題意，這些公共點(diǎn)即E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，所以這四點(diǎn)必定共線(xiàn).【詳解】證明：因?yàn)锳B∥CD，所以AB，CD確定平面AC，因?yàn)锳B∩α＝E，所以E∈平面AC，E∈α，由基本事實(shí)3可知，E必在平面AC與平面α的交線(xiàn)上．同理F，G，H都在平面AC與平面α的交線(xiàn)上，因此E，F(xiàn)，G，H必在同一直線(xiàn)上．【點(diǎn)睛】在立體幾何的問(wèn)題中，證明若干點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，常運(yùn)用基本事實(shí)2，即先證明這些點(diǎn)都是某二平面的公共點(diǎn)，而后得出這些點(diǎn)都在二平面的交線(xiàn)上的結(jié)論.考法055．三線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題證明三線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題，一般先證明待證的三條直線(xiàn)中的兩條相交于一點(diǎn)，再證明第三條直線(xiàn)也過(guò)該點(diǎn)．常結(jié)合公理3，證明該點(diǎn)在不重合的兩個(gè)平面內(nèi)，故該點(diǎn)在它們的交線(xiàn)（第三條直線(xiàn)）上，從而證明三線(xiàn)共點(diǎn)．【典例14】如圖，在四面體ABCD中，E，G分別為BC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，點(diǎn)H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3，DH∶HA＝1∶3.求證：EF，GH，BD交于一點(diǎn)．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】【分析】利用基本事實(shí)4和基本事實(shí)2可證三線(xiàn)共點(diǎn).【詳解】證明連接GE，HF.因?yàn)镋，G分別為BC，AB中點(diǎn)，所以.因?yàn)镈F∶FC＝1∶3，DH∶HA＝1∶3，所以.從而GE∥HF且，故G，E，F(xiàn)，H四點(diǎn)共面且四邊形為梯形，因?yàn)镋F與GH不能平行，設(shè)EF∩GH＝O，則O∈平面ABD，O∈平面BCD.而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EF，GH，BD交于一點(diǎn)．【典例15】如圖，不共面的四邊形ABB'A'，BCC'B'，CAA'C'都是梯形．求證：三條直線(xiàn)AA'，BB'，CC'相交于一點(diǎn)．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】【分析】分析先證其中兩條直線(xiàn)共面且交于一點(diǎn)，再證這點(diǎn)也在第三條直線(xiàn)上即可．【詳解】因?yàn)樵谔菪蜛BB'A'中，A'B'∥AB，所以AA'，BB'在同一平面A'B內(nèi)．設(shè)直線(xiàn)AA'，BB'相交于點(diǎn)P，如圖所示．同理BB'，CC'同在平面BC'內(nèi)，CC'，AA'同在平面A'C內(nèi)．因?yàn)镻∈AA'，AA'?平面A'C，所以P∈平面A'C．同理點(diǎn)P∈平面BC'，所以點(diǎn)P在平面A'C與平面BC'的交線(xiàn)上，而平面A'C∩平面BC'=CC'，故點(diǎn)P∈直線(xiàn)CC'，即三條直線(xiàn)AA'，BB'，CC'相交于一點(diǎn)．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.下列敘述錯(cuò)誤的是（）A．若p∈α∩β，且α∩β=l，則p∈l.B．若直線(xiàn)a∩b=A，則直線(xiàn)a與b能確定一個(gè)平面.C．三點(diǎn)A，B，C確定一個(gè)平面.D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α則lα.【答案】C【解析】由空間線(xiàn)面位置關(guān)系，結(jié)合公理即推論，逐個(gè)驗(yàn)證即可．【詳解】選項(xiàng)，點(diǎn)在是兩平面的公共點(diǎn)，當(dāng)然在交線(xiàn)上，故正確；選項(xiàng)，由推論可知，兩相交直線(xiàn)確定一個(gè)平面，故正確；選項(xiàng)，只有不共線(xiàn)的三點(diǎn)才能確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)，由基本事實(shí)1，直線(xiàn)上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則整條直線(xiàn)都在平面內(nèi)．故選：C2.下面四個(gè)條件中，能確定一個(gè)平面的是（）A．空間中任意三點(diǎn) B．空間中兩條直線(xiàn)C．空間中兩條相交直線(xiàn) D．一條直線(xiàn)和一個(gè)點(diǎn)【答案】C【解析】根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)，可舉出相應(yīng)的反例進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】A,空間任意三點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)能確定一條直線(xiàn)而不是平面，故不正確；B.空間兩條直線(xiàn)，當(dāng)兩條直線(xiàn)重合時(shí)，過(guò)這條直線(xiàn)的平面有無(wú)數(shù)個(gè)，故不正確；C.空間兩條平行直線(xiàn)，根據(jù)課本中的判定得到是正確的；D.一條直線(xiàn)和一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)這個(gè)點(diǎn)在直線(xiàn)上時(shí)，過(guò)這條直線(xiàn)的平面有無(wú)數(shù)個(gè)，故不正確.故選：C.3.設(shè)l，m表示兩條不同的直線(xiàn)，α，β表示兩個(gè)不同的平面，Q表示一個(gè)點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題是（）①，②，③，，，④且，，，A．①② B．②③ C．②③ D．③④【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系，判斷①的正確性.根據(jù)基本事實(shí)1判斷②的正確性，根據(jù)基本事實(shí)2及其推論判斷③的正確性，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，判斷④的正確性.【詳解】對(duì)于①，點(diǎn)和直線(xiàn)都在平面內(nèi)，但是不一定在直線(xiàn)上，故①錯(cuò)誤.對(duì)于②，根據(jù)條件可知直線(xiàn)有一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)，根據(jù)公理1，無(wú)法判斷直線(xiàn)是否含于平面，故②錯(cuò)誤.對(duì)于③，由于，所以與共面，直線(xiàn)與確定一個(gè)平面，且，，所以，故③正確.對(duì)于④，且，而，，，過(guò)一點(diǎn)只能作平面的一條垂線(xiàn)，且，所以，故④成立故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系有關(guān)命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.4.空間中五點(diǎn)不共面，已知在同一平面內(nèi)，在同一平面內(nèi)，那么三點(diǎn)（）A．一定構(gòu)成三角形 B．一定共線(xiàn) C．不一定共線(xiàn) D．與共面【答案】B【解析】【分析】由已知條件可知，既在平面上又在平面上，結(jié)合公理3即可得出．【詳解】設(shè)平面為，平面為，且不共面，則，，則必相交于直線(xiàn)，且，故三點(diǎn)一定共線(xiàn)且位于平面與平面的交線(xiàn)上.【點(diǎn)睛】本題對(duì)空間中三點(diǎn)共線(xiàn)進(jìn)行考查，解題的關(guān)鍵是基本事實(shí)3的運(yùn)用．5.如圖，四棱錐，，是的中點(diǎn)，直線(xiàn)交平面于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A．四點(diǎn)不共面 B．四點(diǎn)共面C．三點(diǎn)共線(xiàn) D．三點(diǎn)共線(xiàn)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本事實(shí)一、二、三逐一排除即可．【詳解】直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，所以平面與平面交于點(diǎn)O，所以必相交于直線(xiàn)，直線(xiàn)在平面內(nèi)，點(diǎn)故面，故四點(diǎn)共面，所以A錯(cuò)．點(diǎn)若與共面，則直線(xiàn)在平面內(nèi)，與題目矛盾，故B錯(cuò)．為中點(diǎn)，所以，，故，故C錯(cuò)．故選D．【點(diǎn)睛】本題屬于中檔題，考查基本事實(shí)一、二、三的應(yīng)用，學(xué)生不易掌握，屬于易錯(cuò)題．6.一個(gè)平面將空間分成兩部分，兩個(gè)平面最多將空間分成四部分，三個(gè)平面最多將空間分成八部分……由此猜測(cè)，個(gè)平面最多將空間分成（）部分.A．2n B． C． D．【答案】D【解析】由2，3，4，5個(gè)平面把空間最多分成的部分?jǐn)?shù)可排除A,B,C．【詳解】由一個(gè)平面將空間分成兩部分，兩個(gè)平面最多將空間分成四部分，三個(gè)平面最多將空間分成八部分，可以排除兩個(gè)選項(xiàng).四個(gè)平面時(shí)，可以考慮在三個(gè)平面最多將空間分成八部分的情況下再加一個(gè)平面，則第四個(gè)平面最多可以將該八部分中的七個(gè)分為兩部分，所以四個(gè)平面最多將空間分成十五部分，可以排除C選項(xiàng).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面分空間問(wèn)題，解題時(shí)通過(guò)從特殊到一般進(jìn)行歸納，也可通過(guò)特殊個(gè)數(shù)平面分空間個(gè)數(shù)來(lái)否定三個(gè)選項(xiàng)．7.如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】利用異面直線(xiàn)的判定方法可得正確的選項(xiàng).【詳解】在A圖中，分別連接，則，所以四點(diǎn)共面，在B圖中，過(guò)可作一個(gè)正六邊形，如圖所示，故四點(diǎn)共面，在C圖中，分別連接，則，所以四點(diǎn)共面，在D圖中，與為異面直線(xiàn)，所以四點(diǎn)不共面，故選:D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵在于對(duì)異面直線(xiàn)的判定方法的理解，難度屬于基礎(chǔ)題8.下列結(jié)論中不正確的是（）A．若兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則它們有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)B．若已知四個(gè)點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)C．若點(diǎn)既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，則與相交于，且點(diǎn)在上D．任意兩條直線(xiàn)不能確定一個(gè)平面【答案】D【解析】【分析】由平面基本性質(zhì)若兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則兩平面相交于過(guò)這一點(diǎn)的一條直線(xiàn)，有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，可判斷A,C正確，由直線(xiàn)與直線(xiàn)外一點(diǎn)確定一個(gè)平面可得選項(xiàng)B正確；由兩條直線(xiàn)平行或相交，則可以確定一個(gè)平面可得選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】解：由平面基本性質(zhì)可知，若兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則兩平面相交于過(guò)這一點(diǎn)的一條直線(xiàn)，有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，因此選項(xiàng)A，C正確；當(dāng)平面四個(gè)點(diǎn)中，有三點(diǎn)共線(xiàn)，由直線(xiàn)與直線(xiàn)外一點(diǎn)確定一個(gè)平面可得此四個(gè)點(diǎn)共面，故假設(shè)不成立，即其中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)，因此選項(xiàng)B正確；若兩條直線(xiàn)平行或相交，則可以確定一個(gè)平面，因此選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了平面的基本性質(zhì)、線(xiàn)面關(guān)系，重點(diǎn)考查了空間想象能力，屬基礎(chǔ)題.9.在空間四邊形各邊、、、上分別取點(diǎn)、、、，若直線(xiàn)、相交于點(diǎn)，則（）A．點(diǎn)必在直線(xiàn)上 B．點(diǎn)必在直線(xiàn)上C．點(diǎn)必在平面內(nèi) D．點(diǎn)必在平面內(nèi)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)公理，利用兩個(gè)平面的公共點(diǎn)在兩平面的公共直線(xiàn)上來(lái)判斷即可.【詳解】解：∵在面上，而在面上，且、能相交于點(diǎn)，∴在面與面的交線(xiàn)上，∵是面與面的交線(xiàn)，所以點(diǎn)必在直線(xiàn)上．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平面的基本性質(zhì)及其推論，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．10.A，B，C表示不同的點(diǎn)，n，l表示不同的直線(xiàn)，α，β表示不同的平面，下列推理表述不正確的是（）A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?αB．A∈α，A∈β，B∈β，B∈α?α∩β＝直線(xiàn)ABC．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線(xiàn)?α與β重合D．lα，nα，l∩n＝A?l與n不能確定唯一平面【答案】D【解析】【分析】由平面性質(zhì)的三個(gè)公理得選項(xiàng)A正確；α∩β＝直線(xiàn)AB，所以選項(xiàng)B正確；因?yàn)椴还簿€(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)只能確定一個(gè)平面，所以選項(xiàng)C正確；l與n能確定唯一平面，所以選項(xiàng)D不正確.【詳解】由平面性質(zhì)的三個(gè)公理得選項(xiàng)A正確；由題得，所以α∩β＝直線(xiàn)AB，所以選項(xiàng)B正確；因?yàn)椴还簿€(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)只能確定一個(gè)平面，所以α與β重合，所以選項(xiàng)C正確；lα，nα，l∩n＝A，l與n能確定唯一平面，所以選項(xiàng)D不正確.11.平面內(nèi)條直線(xiàn)沒(méi)有四條直線(xiàn)共點(diǎn)，最多三條直線(xiàn)平行，至少有幾個(gè)交點(diǎn)（）A．個(gè) B．個(gè)C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，可以有二組三條直線(xiàn)平行，再分析如何增加兩條直線(xiàn)使交點(diǎn)最少，作圖即可求解.【詳解】因?yàn)樽疃嗳龡l直線(xiàn)平行，可以有二組三條直線(xiàn)平行，如圖，，這條線(xiàn)共有個(gè)交點(diǎn)，如圖交點(diǎn)分別為，若要使交點(diǎn)最少可以使過(guò)兩組平行線(xiàn)的三個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)沒(méi)有增加新的交點(diǎn)，因?yàn)槠矫鎯?nèi)條直線(xiàn)沒(méi)有四條直線(xiàn)共點(diǎn)，不能過(guò)三條線(xiàn)的公共點(diǎn)，比如不能過(guò)圖中的，由于不能過(guò)點(diǎn)為了保證交點(diǎn)最少，可以過(guò)兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)，最少增加個(gè)新的交點(diǎn)，如圖點(diǎn)，所以至少有個(gè)交點(diǎn)，故選：C.題組B能力提升練1.（多選）已知A，B，C表示不同的點(diǎn)，l表示直線(xiàn)，，表示不同的平面，則下列推理正確的是（）A．，，， B．，，，C．， D．，，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系即可得到答案.【詳解】根據(jù)公理1可知A正確；根據(jù)公理3可知B正確；易知D正確；點(diǎn)A可以為的交點(diǎn)，C錯(cuò)誤.故選：ABD.2.(多選)以下四個(gè)命題中，正確的是（）A．不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)B．若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面C．若直線(xiàn)a，b共面，直線(xiàn)a，c共面，則直線(xiàn)b，c共面D．兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線(xiàn)確定一個(gè)平面【答案】AD【解析】【分析】A選項(xiàng)舉出反例即可說(shuō)明；C選項(xiàng)根據(jù)共面不具有傳遞性即可判斷；B選項(xiàng)根據(jù)點(diǎn)共面的性質(zhì)判定即可；D選項(xiàng)根據(jù)過(guò)直線(xiàn)與直線(xiàn)外一點(diǎn)可確定個(gè)平面,即可判斷.【詳解】A正確，可以用反證法證明，假設(shè)任意三點(diǎn)共線(xiàn)，則四個(gè)點(diǎn)必共面，與不共面的四點(diǎn)矛盾；B從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A，B，C，但是若A，B，C共線(xiàn)，則結(jié)論不正確；C不正確，共面不具有傳遞性，若直線(xiàn)a，b共面，直線(xiàn)a，c共面，則直線(xiàn)b，c可能不在一個(gè)平面內(nèi)；D正確，兩兩相交的直線(xiàn)有三個(gè)公共點(diǎn)，確定一個(gè)平面.故選：AD.3.如圖所示，在正方體中，為的中點(diǎn)，直線(xiàn)交平面于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．，，三點(diǎn)共線(xiàn) B．，，，四點(diǎn)共面C．，，，四點(diǎn)共面 D．，，，四點(diǎn)共面【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)與線(xiàn)、點(diǎn)與面、線(xiàn)與面的位置關(guān)系判斷即可；【詳解】解：在正方體中，為的中點(diǎn)，直線(xiàn)交平面于點(diǎn)，在選項(xiàng)中，直線(xiàn)交平面于點(diǎn)，平面，直線(xiàn)，又平面，平面，為的中點(diǎn)，平面，底面為正方形，所以為的中點(diǎn)，平面，且平面，又平面，且平面，，，三點(diǎn)共線(xiàn)，故選項(xiàng)正確；在選項(xiàng)中，，，三點(diǎn)共線(xiàn)，，，，四點(diǎn)共面，故正確；在選項(xiàng)中，，，三點(diǎn)共線(xiàn)，，，，四點(diǎn)共面，故正確；在選項(xiàng)中，直線(xiàn)，，，，，四點(diǎn)不共面，故錯(cuò)誤．故選：．4.在空間四面體中，如圖，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的為（）A． B．C．與相交 D．【答案】ABC【解析】【分析】由題易得四邊形為平行四邊形，即可得到結(jié)論.【詳解】如圖∵分別是的中點(diǎn)，∴且，且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴選項(xiàng)ABC正確；又由題可知，與不一定相等，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.5.三個(gè)平面可以把空間分成n個(gè)部分，在下列選項(xiàng)中，n的值正確的有（）A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【答案】BCD【解析】【分析】三個(gè)平面可以把空間分成個(gè)部分，即可選出答案.【詳解】三個(gè)平面兩兩平行，分成4個(gè)部分，如圖1三個(gè)平面中有2個(gè)平行，另一個(gè)與它們相交，分成6個(gè)部分，如圖2三個(gè)平面兩兩相交于同一直線(xiàn)，分成6個(gè)部分，如圖3三個(gè)平面兩兩相交，三條交線(xiàn)兩兩平行，這時(shí)把空間分成7個(gè)部分，如圖4三個(gè)平面兩兩相交，三條交線(xiàn)共點(diǎn)，這時(shí)把空間分成8個(gè)部分，如圖5故選：BCD6.(多選題)如圖，正方體中，若分別為棱的中點(diǎn)，分別是四邊形，的中心，則（）A．四點(diǎn)共面B．四點(diǎn)共面C．四點(diǎn)共面D．四點(diǎn)共面【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，易知共面，再判斷是否在這個(gè)平面即可；對(duì)于B，顯然在平面內(nèi)，D不在平面內(nèi)，可知四點(diǎn)不共面；對(duì)于C，由已知可知，可判斷四點(diǎn)共面；對(duì)于D，連接并延長(zhǎng)，交于H，連接，可知，可判斷四點(diǎn)共面.【詳解】對(duì)于A，由是四邊形的中心，知是的中點(diǎn)，所以在平面內(nèi)，所以四點(diǎn)共面，故A正確；對(duì)于B，由分別為棱的中點(diǎn)，知在平面內(nèi)，D不在平面內(nèi)，所以四點(diǎn)不共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由已知可知，所以四點(diǎn)共面，故C正確；對(duì)于D，連接并延長(zhǎng)，交于H，則H為的中點(diǎn)，連接，則，所以四點(diǎn)共面，故D正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查點(diǎn)共面問(wèn)題的證明，證明點(diǎn)或線(xiàn)共面問(wèn)題的兩種方法：①首先由所給條件中的部分線(xiàn)(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(xiàn)(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．7.空間給定不共面的A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)間的距離都不相同，考慮具有如下性質(zhì)的平面：A，B，C，D中有三個(gè)點(diǎn)到的距離相同，另一個(gè)點(diǎn)到的距離是前三個(gè)點(diǎn)到的距離的2倍，這樣的平面的個(gè)數(shù)是___________個(gè)【答案】32【解析】【分析】按照四個(gè)點(diǎn)的位置不同分類(lèi)討論，即可求解【詳解】首先取3個(gè)點(diǎn)相等，不相等的那個(gè)點(diǎn)由4種取法；然后分3分個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，有以下兩種可能性：（1）全同側(cè)，這樣的平面有2個(gè)；（2）不同側(cè)，必然2個(gè)點(diǎn)在一側(cè)，另一個(gè)點(diǎn)在一側(cè)，1個(gè)點(diǎn)的取法有3種，并且平面過(guò)三角形兩個(gè)點(diǎn)邊上的中位線(xiàn)，考慮不相等的點(diǎn)與單側(cè)點(diǎn)是否同側(cè)有兩種可能，每種情況下都唯一確定一個(gè)平面，故共有6個(gè)，所有這兩種情況共有8個(gè)，綜上滿(mǎn)足條件的這樣的平面共有個(gè)，故答案為：328.若直線(xiàn)與平面相交于點(diǎn)，、，、，且，則、、三點(diǎn)的位置關(guān)系是______．【答案】共線(xiàn)【解析】【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系分析出在兩平面的交線(xiàn)上，由此判斷出三點(diǎn)位置關(guān)系.【詳解】如下圖所示，因?yàn)椋运狞c(diǎn)共面，又因?yàn)槠矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以在平面與平面的交線(xiàn)上，又平面平面，所以，所以三點(diǎn)共線(xiàn)，故答案為：共線(xiàn).9.如圖，在四面體中作截面，若的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)．則三點(diǎn)的位置關(guān)系是_______．【答案】共線(xiàn)【解析】【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系，分析即可得答案.【詳解】因?yàn)?，直線(xiàn)平面，，直線(xiàn)平面，所以是平面與平面的一個(gè)公共點(diǎn)，所以在平面與平面的交線(xiàn)上．同理可證，也在平面與平面的交線(xiàn)上．所以三點(diǎn)共線(xiàn)．故答案為：共線(xiàn)10.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點(diǎn)，過(guò)C，M，D1作正方體的截面，則截面的面積是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可以判斷截面是一個(gè)梯形，計(jì)算出其面積即可.【詳解】由面面平行的性質(zhì)知截面與平面ABB1A1的交線(xiàn)MN是△AA1B的中位線(xiàn)，所以截面是梯形CD1MN，，設(shè)梯形的高為，則，所以其面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體截面面積的計(jì)算，確定截面形狀是解題的關(guān)鍵.11.思考辨析.（1）直線(xiàn)l在平面α內(nèi)，記作l∈α.()（2）若a∩b＝?，則a與b平行．()（3）若l∩α≠?，則直線(xiàn)l與平面α有公共點(diǎn)．()（4）若直線(xiàn)l在平面α外，則直線(xiàn)l與平面α平行．()（5）若α∩β≠?，則平面α與平面β相交，且交于一個(gè)點(diǎn)．()【答案】錯(cuò)誤錯(cuò)誤正確錯(cuò)誤錯(cuò)誤【解析】直接利用空間線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系、線(xiàn)面關(guān)系、面面關(guān)系的定義判斷即可.【詳解】（1）直線(xiàn)l在平面α內(nèi)，記作，所以錯(cuò)誤；（2）若a∩b＝?，則a與b平行或異面，所以錯(cuò)誤；（3）若l∩α≠?，則直線(xiàn)l與平面α有一個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，所以正確；（4）若直線(xiàn)l在平面α外，則直線(xiàn)l與平面α平行或相交，所以錯(cuò)誤；（5）若α∩β≠?，則平面α與平面β有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，所以錯(cuò)誤故答案為：錯(cuò)誤，錯(cuò)誤，正確，錯(cuò)誤，錯(cuò)誤【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系、線(xiàn)面關(guān)系、面面關(guān)系的定義，考查了空間想象能力.12.如圖所示，在正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在體對(duì)角線(xiàn)上（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合），則平面可能經(jīng)過(guò)該正方體的頂點(diǎn)是______.（寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的所有頂點(diǎn)）【答案】【解析】【分析】取中點(diǎn)E，取中點(diǎn)F,在平面兩側(cè)，在平面兩側(cè)，分析即得解.【詳解】見(jiàn)上面左圖，取中點(diǎn)E，因?yàn)镸E,所以A,M,E,四點(diǎn)共面，在平面兩側(cè)，所以和平面交于點(diǎn)N,此時(shí)平面AMN過(guò)點(diǎn)A,;見(jiàn)上面右圖，取中點(diǎn)F,因?yàn)?所以四點(diǎn)共面，在平面兩側(cè)，所以和平面交于點(diǎn)N,此時(shí)平面AMN過(guò)點(diǎn)A,;綜上，平面可能經(jīng)過(guò)該正方體的頂點(diǎn)是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查棱柱的幾何特征和共面定理，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.13.在正方體中，下列說(shuō)法正確的是_________.（填序號(hào)）（1）直線(xiàn)在平面內(nèi)；（2）設(shè)正方形與的中心分別為，，則平面與平面的交線(xiàn)為；（3）由確定的平面是；（4）由確定的平面與由確定的平面是同一個(gè)平面.【答案】（2）（3）（4）【分析