必修4-第二章-平面向量-知識點詳解

必修4第二章平面向量知識點詳解2.1平面向量的實際背景及根本概念向量：既有大小又有方向的量。向量的模：向量的大小即向量的模〔長度〕，如的模分別記作||和。

注：向量不能比擬大小，但向量的?？梢员葦M大小。幾類特殊向量零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行，

零向量＝｜｜＝0。由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關向量平行〔共線〕的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件。〔注意與0的區(qū)別〕單位向量：模為1個單位長度的向量，向量為單位向量。將一個向量除以它的模即得到單位向量，如的單位向量為：平行向量〔共線向量〕：方向相同或相反的非零向量，稱為平行向量。記作∥。規(guī)定：與任何向量平等，任意一組平行向量都可以移到同一直線上，由于向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。數(shù)學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的。〔4〕相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。記作。關于相反向量有：①零向量的相反向量仍是零向量，②=；③；④假設、是互為相反向量，那么=,=,+=?！?〕相等向量：長度相等且方向相同的向量。記為。相等向量經(jīng)過平移后總可以重合。2.2平面向量的線性運算1.向量加法〔1〕定義：求兩個向量和的運算叫做向量的加法設，那么+==。規(guī)定：；〔2〕向量加法的法那么—“三角形法那么”與“平行四邊形法那么”用平行四邊形法那么時，兩個向量是要共始點的，和向量是始點與向量的始點重合的那條對角線。三角形法那么的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和。

注：當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法那么；當兩向量是首尾連接時，用三角形法那么。

向量加法的三角形法那么可推廣至多個向量相加：，但這時必須“首尾相連”?！?〕向量加法的運算律：①交換律：②結合律：2.法向量的減定義：假設那么向量叫做與的差，記為。求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。向量減法的法那么—“三角形法那么”與“平行四邊形法那么”BC三角形法那么：當有共同起點時，表示為從減向量的終點指向被減向量的終點的向量。BC平行四邊形法那么：兩個向量是要共始點的，差向量是如下圖的對角線。設那么-=.3.實數(shù)與向量的積定義：實數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：；當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，，方向是任意的。數(shù)乘向量的運算律；②；③。2.3平面向量的根本定理及坐標表示平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底，由平面向量的根本定理知，該平面內的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(x,y)是一一對應的，因此把(x,y)叫做向量的坐標，記作=(x,y)，其中x叫作的橫坐標，y叫做作縱坐標。規(guī)定：①，②相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量；③向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關,只與其相對位置有關平面向量的坐標運算：①假設，那么；②假設，那么；③假設=(x,y)，那么=(x,y)；④假設，那么；⑤假設，那么二．向量的表示方法：1．幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在后；2．符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如，，等；3．坐標表示法：在平面內建立直角坐標系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量，為基底，那么平面內的任一向量可表示為，稱為向量的坐標，＝叫做向量的坐標表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同。運算向量形式坐標形式：；加法<1>平行四邊形法那么：起點相同，對角線為和向量。<2>三角形加法法那么：首尾相連。記：減法起點相同的兩個向量的差，〔箭頭指向被減向量〕記：數(shù)乘是一個向量，方向：時，與同向；時，與反向；時，數(shù)量積運算性質=1\*GB3①交換律：；=2\*GB3②結合律：；=3\*GB3③。加法：減法：2.4平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積的定義向量，的夾角：兩個非零向量，過O點作，那么∠AOB=θ〔00≤θ≤1800〕叫做向量，的夾角。當且僅當兩個非零向量同方向時，θ=00，當且僅當反方向時θ=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題。垂直；如果的夾角為900那么稱垂直，記作。的數(shù)量積：兩個非零向量，它們的夾角為θ，那么叫做稱的數(shù)量積〔或內積〕，記作，即=，規(guī)定=0非零向量當且僅當時，θ=900，這時=0。④在方向上的投影：〔注意是射影〕所以，的幾何意義：等于的長度與在方向上的投影的乘積。平面向量數(shù)量積的性質設是兩個非零向量，是單位向量，于是有：①；②；③當同向時，；當反向時，，特別地，。④；⑤(3)平面向量數(shù)量積的運算律①交換律成立：②對實數(shù)的結合律成立：③分配律成立：特別注意：〔1〕結合律不成立：；〔2〕消去律不成立不能得到〔3〕=0不能得到=或=0④但是乘法公式成立：；平面向量數(shù)量積的坐標表示假設=(x1,y1),=(x2,y2)那么=x1x2+y1y2假設=(x,y),那么||=.=x2+y2,假設A(x1,y1),B(x2,y2),那么假設=(x1,y1),=(x2,y2)那么〔注意與時條件區(qū)別，〕假設=(x1,y1),=(x2,y2)那么Vre2.5平面向量應用列舉線段的定比分點〔1〕定義：設P1,P2是直線L上的兩點，點P是L上不同于P1,P2的任意一點，那么存在一個實數(shù)，使，叫做點P分有向線段所成的比。當點P在線段上時，；當點P在線段或的延長線上時，<0〔2〕定比分點的坐標形式,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)，向量形式呢？〔3〕中點坐標公式當=1時，分點P為線段的中點，即有，向量形式呢？2、平移〔1〕圖形平移的定義：設F是坐標平面內的一個圖形，將圖上的所有點按照同一方向移動同樣長度，得到圖形F’，我們把這一過程叫做圖形的平移?！?〕平移公式設P(x,y)是圖形F上任意一點，它在平移后圖形上的對應點P’(x’,y’’)，且的坐標為(h,k)，那么有，這個公式叫做點的平移公式，它反映了圖形中的每一點在平移后的新坐標與原坐標間的關系。五、解三角形及應用舉例1、角的變換：在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=-tanC．三角形邊、角關系定理——正弦定理，余弦定理．〔1〕正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即==.利用正弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題.①兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；②兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.〔從而進一步求出其他的邊和角〕〔2〕余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2+c2－2bccosA；b2=c2+a2－2cacosB； c2=a2+b2－2abcosC. 在余弦定理中，令C=90°，這時cosC=0，所以c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.由①②③可得cosA=；cosB=；cosC=.利用余弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題：①三邊，求三