預習02導數的運算（七大考點）

預習02導數的運算一、導數的計算1.基本初等函數的導數公式基本初等函數導函數基本初等函數導函數（為常數）2.導數的運算法則若存在，則有：加減運算乘法運算除法運算，則．3.復合函數的導數復合函數的導數和函數，的導數間關系為：二、求切線方程1.求曲線“在”點處的切線方程：第一步：計算切點的縱坐標；第二步：計算切線斜率；第三步：計算切線方程.切線過切點，切線斜率；第四步：根據直線的點斜式方程得到切線方程：.2.求曲線“過”點處的切線方程第一步：設切點為；第二步：求出函數在點處的導數；第三步：利用Q在曲線上和，解出及；第四步：根據直線的點斜式方程得到切線方程：.考點01基本初等函數的導數【方法點撥】（1）若求導函數符合導數公式,則直接利用公式求解.（2）對于不能直接利用公式的類型,一般遵循“先化簡,再求導”的基本原則,避免不必要的運算失誤.【例1】已知，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函數的導函數，再代入計算可得.【詳解】因為，所以，所以.故選：C【例2】下列導數公式不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據基本初等函數的導數公式直接判斷即可．【詳解】根據基本初等函數的導數公式可知，ABD正確；C錯誤，應為.故選：C.【變式11】下列導數運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據基本初等函數的求導公式即可結合選項求解.【詳解】對于A,,故A錯誤，對于B，，故B正確，對于C，，故C錯誤，對于D,,故D錯誤，故選：B【變式12】求下列函數的導數：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用基本初等函數的導數公式求解；（2）利用基本初等函數的導數公式求解.【詳解】（1）.（2）.【變式13】已知函數及其導數，若存在使得，則稱是的一個“巧值點”.下列四個函數中，沒有“巧值點”的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求導，然后直接解方程可判斷ACD；根據函數與的圖象是否有交點可判斷B.【詳解】對于A：，由解得或，所以存在“巧值點”；對于B：，作函數與的圖象，由圖可知存在“巧值點”；對于C：，由得，解得，所以存在“巧值點”；對于D：，因為，所以無實數解，所以不存在“巧值點”.故選：D考點02導數運算法則【方法點撥】應用基本初等函數的導數公式和求導的四則運算法則可迅速解決一些簡單函數的求導問題,要透徹理解函數求導法則的結構特點,熟記公式,還要注意挖掘知識的內在聯系及其規(guī)律.注意:當不易直接應用導數公式時,應先對函數進行化簡,再求導.【例3】已知函數，則（

）A．12 B． C．28 D．【答案】A【分析】由題意對函數求導，然后分別代入求值即可.【詳解】由題意得，，所以.故選：A.【例4】（多選）下列求導運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據導數的計算公式以及導數運算法則，逐項判斷即可得出結果.【詳解】由基本初等函數的求導公式以及導數運算法則可得：對A，，A正確；對B，，B錯誤；對C，，C錯誤；對D，，D正確.故選：AD【變式21】設函數．若，則．【答案】【分析】根據題意，求得，結合，列出方程，即可求解.【詳解】由函數，可得，因為，可得，即，解得.故答案為：.【變式22】求下列函數的導數：(1)(2)(3)(4)(5)；(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】利用基本函數的求導公式及導數的運算法則可得結果.【詳解】（1）.（2）.（3）因為，所以.（4）.（5）.（6）因為，所以.【變式23】設，且，則，．【答案】10【分析】先求導，再代入解方程組得出結果.【詳解】，由，得解得.故答案為：1；0．考點03復合函數的導數【方法點撥】求復合函數的導數的步驟：①選擇中間變量,寫出構成它的內、外層函數；②分別求各層函數對相應變量的導數；③把上述求導的結果相乘；④把中間變量回代【例5】（多選）下列求導運算正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據求導公式與求導法則，可得答案.【詳解】對于A：，A正確；對于B：，B錯誤；對于C：，C錯誤；對于D：，D正確；故選：AD.【例6】求下列函數的導數．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）利用復合函數求導運算求解即可；（2）利用復合函數求導運算求解即可；（3）利用復合函數求導運算求解即可；（4）誘導公式和二倍角公式先化簡，再直接求導；（5）利用復合函數求導運算求解即可；（6）利用復合函數求導運算求解即可.【詳解】（1）由，則.（2）由，則.（3）由，則.（4）由，則.（5）由，則.（6）由，則.【變式31】（多選）下列結論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BCD【分析】由導數的四則運算和復合函數的導數公式計算.【詳解】對A,若，則，A選項不正確；對B,若，則，B選項正確；對C,若，則，C選項正確．對D,若，則，D選項正確．故選：BCD【變式32】求下列函數的導數：(1)(2)【答案】(1)；(2).【分析】（1）應用導數加減、乘法及簡單復合函數導數求法求函數的導函數；（2）應用導數除法法則求函數的導函數.【詳解】（1）（2）【變式33】若函數滿足，則（

）A．0 B．1 C．2 D．1【答案】A【分析】根據給定條件，結合復合函數求導法則兩邊分別求導，再賦值計算即得.【詳解】由兩邊分別求導得：，當時，，所以.故選：A考點04解析式中含【方法點撥】注意是一個數字，不是一個函數【例7】已知函數，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根據導數的求導法則，求導代入即可求解.【詳解】對求導可得，所以，所以，故選：C【例8】已知函數，則（

）A．－12 B．12 C．－26 D．26【答案】C【分析】求出導數，令，求出，再求出.【詳解】因為函數，所以，令則，，解得，所以，，所以，，所以.故選：C【變式41】設函數的導數為，且，則.【答案】【分析】根據求導法則，建立方程，可得答案.【詳解】由題意，可得，所以，即，解得：.故答案為：.【變式42】已知函數，則.【答案】24【分析】求導后代入即可得，代入求解即可.【詳解】，故，解得，故，所以.故答案為：24【變式43】已知函數（是的導函數），則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對于原函數和導函數，分別取，代入運算求解即可.【詳解】因為，則，又因為，當時，，解得，所以.故選：D.考點05求“在”點處的切線方程【方法點撥】此類問題往往涉及切點、切點處的導數、切線方程三個主要元素，其他的條件可以進行轉化,從而轉化為這三個要素間的關系.【例9】已知函數，則曲線在點處的切線經過定點（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導數的幾何意義求切線斜率，由點斜式得切線方程，再由直線方程不受參數的影響找到定點.【詳解】因為，所以，則，又，直線過，則直線方程為，即，令，得，即直線不受參數的影響，恒過定點.故選：A.【例10】已知函數，則曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】求導得切點處的導數值，由點斜式求解切線方程，求出截距即可求解面積.【詳解】，則，切點坐標為，又，則切線斜率，所以曲線在點處的切線是，即，取，得，取，得，故切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為：.故選：C.【變式51】求函數在處的切線的斜率及切線的方程．【答案】斜率，切線方程為【分析】求出函數的導函數，即可求出切線的斜率，再由點斜式求出切線方程.【詳解】函數，則，，所以，所以函數在處的切線的斜率，切線的方程為，即.【變式52】函數的圖象在處的切線在x軸上的截距為．【答案】【分析】由導數的幾何意義先求得切線方程為，再令求解即可.【詳解】記函數的圖象在處的切線的斜率為，因為，所以，所以切線方程為，即，令得.故答案為：．【變式53】已知函數的圖象過點，且.(1)求，的值；(2)求曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題目條件列出方程組求解；（2）利用導數求出切線斜率，再求直線在坐標軸上的截距即可求三角形面積.【詳解】（1）由，得，由題意可得，，解得；（2）由（1）得，，，∴，，∴曲線在點處的切線方程為，即.取，得，取，得.∴曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積.考點06求“過”點處的切線方程【方法點撥】注意題意中的點并不是切點，需假設切點坐標【例11】已知函數，過點作該函數曲線的切線，則該切線方程為（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】求出函數的導數，再利用導數的幾何意義求出切線方程作答.【詳解】函數，求導得：，設切點坐標為，于是，解得，則，所以所求切線方程為，即.故選：D【例12】已知函數的零點為，過原點作曲線的切線，切點為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導得到切線方程，將原點代入切線方程，求出，再由，計算出.【詳解】，切點為，則切線方程為，因為過原點，所以，解得，則，由，可得，故.故選：B【變式61】過點作曲線的切線，請寫出切線的方程.【答案】或【分析】設切點，求導并寫出切線方程，代入點求出值即可.【詳解】設切點為，而，所以切線的斜率，故切線方程為，因為切線過點，，化簡可得或，則切點為或，則代入得切線方程為：或，故答案為：或.【變式62】已知曲線，過點作該曲線的兩條切線，切點分別為，，則.【答案】3【分析】設切點，根據導數的幾何意義求出曲線的切線方程，將點代入，整理可得，而是此方程的兩個實根，結合韋達定理即可求解.【詳解】設切點為，由，得，則切線的斜率為，所以切線為，又切線過點，所以，整理得，而是此方程的兩個實根，所以.故答案為：3【變式63】已知函數.(1)求在點處的切線方程；(2)過點作曲線的切線，求的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函數的導函數，求得切線的斜率，由點斜式方程即可得到切線的方程.（2）設切點，利用導函數求得切線的斜率，利用點斜式寫出切線方程，再將點代入切線方程，求出，進而求得切線方程.【詳解】（1），因此，所以在點處的切線方程為：，即.（2）設切點，則切線的斜率為，切線為過，所以整理得，從而斜率，所以切線的方程為.考點07已知切線（斜率）求參數【例13】已知直線與曲線相切，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據導數的幾何意義，求出切點坐標，再根據切點在直線上求出的值.【詳解】設切點為，由得，因為直線與曲線相切，所以，解得，，所以，又在直線上，所以，解得.故選：B.【例14】若直線與曲線相切，則實數a的值為（

）A． B．0 C． D．【答案】A【分析】根據導數的幾何意義分析運算．【詳解】，則，設直線l與曲線的切點，則直線l的斜率，由于直線斜率為，則，解得，所以，即切點為，故，解得．故選：A.【變式71】已知曲線的一條切線的斜率是，則切點的坐標為．【答案】【分析】根據導數的幾何意義，即可求解.【詳解】設切點坐標為，根據導數的幾何意義可知，，得，所以切點坐標為.故答案為：【變式72】已知函數在處的切線方程為，則．【答案】/【分析】求導得到導函數，根據切線方程得到，解得答案.【詳解】，，函數在處的切線方程為，即，則，解得或（舍），故.故答案為：【變式73】若直線與曲線相切于點，則．【答案】【分析】將代入得到關于，的方程，當時，導函數的值為，聯立解方程即可．【詳解】直線與曲線相切于點，則，故．又，當時，，所以，則．故答案為：3一、單選題1．若函數，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由導數運算法則計算即可得.【詳解】，則.故選：B.2．已知是奇函數，則在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據得，根據奇函數的以及對數的運算即可求解，求導得切線斜率，即可根據點斜式求解方程.【詳解】為奇函數，所以，解得，所以，，故，故，故，解得，由于，所以，所以，定義域為，關于原點對稱，符合題意，故，則，切點為，故，故切線方程為.故選：A3．曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導，結合導數的幾何意義分析求解.【詳解】由題意可得：，則，可知：所求切線的斜率為2，所以曲線在點處的切線方程為，即.故選：B.4．已知函數滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出導函數，代入，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，則，所以，.故選：A.5．以正弦曲線上一點P為切點得切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是（

）A．∪ B．C． D．∪【答案】A【分析】根據導數求解點的斜率，然后結合三角函數與直線傾斜角范圍判斷；【詳解】因為，所以，∴切線的斜率范圍是，∴傾斜角的范圍是∪，故選：A.6．在平面直角坐標系中，若曲線（，為常數）過點，且該曲線在點處的切線與直線平行，則（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】由題意將點代入得，求導得，由題意將點代入得，聯立即可得解.【詳解】∵函數的導數為，∴曲線在點處的切線斜率為，由兩直線平行可得①.又∵點在曲線上，∴②，由①②解得，.故選：C.二、多選題7．下列求函數的導數正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】分析函數的構成，利用基本初等函數的求導公式，導數的四則運算法則，復合函數的求導公式逐一判斷即可．【詳解】對于A選項：，故A正確；對于B選項：令，則，故B正確；對于C選項：利用復合函數的求導公式得：，故C不正確；對于D選項：利用復合函數的求導公式得：，故D不正確．故選：AB．8．定義在上的函數滿足，則的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據已知，令，可得，即函數的圖象過點，當時，變形為，根據導數的運算法則可得，即，即可得出原函數（為常數），即，即可對選項進行判斷.【詳解】當時，由，得；當時，可得，則，所以（為常數），所以，選項A，C，D分別符合，故選：ACD.9．若曲線（e為自然對數的底數）有兩條過坐標原點的切線，則a的取值可以是（

）A． B． C．0 D．1【答案】AD【分析】設切點為，求導得出斜率，利用點斜式得到切線方程，因為切線過坐標原點，可得到，有兩條切線轉化為有兩個不等的實根，即可求出a的取值范圍，進而得到正確選項.【詳解】設切點為，，所以切線的斜率，則此曲線在P處的切線方程為，又此切線過坐標原點，所以，由此推出有兩個不等的實根，所以，解得或，故選：AD．三、填空題10．已知函數的導數為，則的解集為．【答案】【分析】首先求函數的導數，再求解不等式.【詳解】，則，即，解得：或，舍去，所以不等式的解集為.故答案為：11．若，則曲線在處的切線方程為