2024一輪收尾之統(tǒng)計模塊（原卷版）

2024一輪收尾——統(tǒng)計模塊講義及練習(xí)（原卷版）目錄1.1隨機抽樣1.1.1簡單隨機抽樣1.簡單隨機抽樣的定義2.簡單隨機抽樣的特點3.兩種常用的簡單隨機抽樣方法1.1.2系統(tǒng)抽樣1.系統(tǒng)抽樣的定義2.抽樣概念的性質(zhì)1.1.3分層抽樣1.為何要進行分層抽樣2.分層抽樣的步驟1.2用樣本估計總體1.2.1樣本與總體全面調(diào)查和抽樣調(diào)查1.2.2樣本頻率分布估計總體取值規(guī)律1.條形/扇形與折線統(tǒng)計圖2.頻率分布直方圖及特征3.密度曲線與頻率折線圖4.利用頻率直方圖估計統(tǒng)計量.1.2.3樣本特征值估計總體數(shù)據(jù)1.常用統(tǒng)計量及定義2.各統(tǒng)計量特征與對比3.第p百分位數(shù)4.標(biāo)準(zhǔn)差與方差1.3成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析1.3.1相關(guān)系數(shù)與一元線性回歸1.最小二乘法求回歸直線2.相關(guān)系數(shù)3.相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系異同點1.3.2獨立性檢驗列聯(lián)表與獨立性檢驗1.1隨機抽樣1.1.1簡單隨機抽樣知識點引入與思路分析：簡單隨機抽樣的定義一般地，設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本（n≤N），如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．簡單隨機抽樣的特點特點如下：有限性：總體個體數(shù)有限；逐個性：每次只抽取一個個體；不放回：抽取樣本不放回，樣本無重復(fù)個體；等概率：每個個體被抽到的機會相等．適用于總體中個數(shù)較少的情況．隨機抽樣不是隨意或隨便抽取，隨意或隨便抽取都會帶有主觀或客觀的影響因素．兩種常用的簡單隨機抽樣方法最常用的簡單隨機抽樣方法有兩種：隨機數(shù)法和抽簽法.抽簽法:先把總體中的個體編號,然后把所有編號寫在外觀、質(zhì)地等無差別的小紙片(也可以是卡片、小球等)上作為號簽,并將這些小紙片放在一個⑤不透明的盒里,充分攪拌.最后從盒中不放回地逐個抽取號簽,使與號簽上的編號對應(yīng)的個體進入樣本,直到抽足樣本所需要的個體數(shù).隨機數(shù)法:先把總體中的個體編號,用隨機數(shù)工具產(chǎn)生已編號范圍內(nèi)的整數(shù)隨機數(shù),把產(chǎn)生的隨機數(shù)作為抽中的編號,使與編號對應(yīng)的個體進入樣本,重復(fù)上述過程,直到抽足樣本所需要的個體數(shù).產(chǎn)生隨機數(shù)的方法:(i)用隨機試驗生成隨機數(shù);(ii)用信息技術(shù)生成隨機數(shù).典例及真題：例．下列關(guān)于簡單隨機抽樣的敘述不正確的是()A．—定要逐個抽取B．它是一種最簡單、最基本的抽樣方法C．總體中的個數(shù)必須是有限的D．先被抽取的個體被抽到的可能性較大知識點練習(xí)：1．一個總體的60個個體編號為00,01，…，59，現(xiàn)需從中抽取一個容量為6的樣本，請從下面給出的隨機數(shù)表的第10列開始向右讀取，直到取足樣本，則抽取的第五個樣本的號碼是________．953395220018747200183879586932817680269282808425391.1.2系統(tǒng)抽樣知識點引入與思路分析：1.系統(tǒng)抽樣的定義系統(tǒng)抽樣：將總體均勻分成幾個部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取。在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣 總體均分幾段，每段T個，第一段取a1，第二段取a1+T，第三段取a1+2T，……適用于總體中的個體數(shù)較多的情況2.抽樣概念的性質(zhì)抽樣過程是不放回抽樣，每個個體被抽到的機會均等，總體容量N，樣本容量n，每個個體被抽到的概率典例及真題：例．采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機編號為1，2，…，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9。抽到的32人中，編號落入?yún)^(qū)間[1,450]的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間[451,750]的人做問卷B，其余的人做問卷C。則抽到的人中，做問卷B的人數(shù)為()A.7 B.9 C.10 D.15知識點練習(xí)：1．高三某班有學(xué)生56人，現(xiàn)將所有同學(xué)隨機編號，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本，已知5號、33號、47號學(xué)生在樣本中，則樣本中還有一個學(xué)生的編號為()A．13 B．17C．19 D．211.1.3分層抽樣知識點引入與思路分析：1.為何要進行分層抽樣總體中的個體數(shù)較多當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時，為了使樣本更客觀地反映總體的情況，常將總體按不同的特點分成層次比較分明的幾部分，然后按各部分在總體中所占的比例進行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分的各部分叫“層”．2.分層抽樣的步驟分層抽樣的關(guān)鍵是根據(jù)樣本特征的差異進行分層，實質(zhì)是等比例抽樣，抽樣比.典例及真題：例．防疫站對學(xué)生進行身體健康調(diào)查，欲采用分層隨機抽樣的辦法抽取樣本．某中學(xué)共有學(xué)生2000名，抽取了一個容量為200的樣本，樣本中男生103人，則該中學(xué)共有女生()A．1030人 B．97人C．950人 D．970人知識點練習(xí)：1．為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()A．簡單隨機抽樣B．按性別分層抽樣QUOTEC．按學(xué)段分層抽樣 D．系統(tǒng)抽樣1.2用樣本估計總體1.2.1樣本與總體知識點引入與思路分析：1.全面調(diào)查和抽樣調(diào)查全面調(diào)查(普查)對每一個調(diào)查對象都進行調(diào)查的方法,稱為全面調(diào)查,又稱普查。在一個調(diào)查中,我們把調(diào)查對象的全體稱為總體。組成總體的每一個調(diào)查對象稱為個體抽樣調(diào)查根據(jù)一定目的,從總體中①抽取一部分個體進行調(diào)查,并以此為依據(jù)對總體的情況作出估計和推斷的調(diào)查方法,稱為抽樣調(diào)查，把從總體中抽取的那部分個體稱為樣本.樣本中包含的個體數(shù)稱為樣本量1.2.2樣本頻率分布估計總體取值規(guī)律1.條形/扇形與折線統(tǒng)計圖條形統(tǒng)計圖可以清楚地呈現(xiàn)各種數(shù)量的多少。但是條形統(tǒng)計圖不容易看出各部分量與總量的關(guān)系；扇形統(tǒng)計圖可以清楚地呈現(xiàn)各部分數(shù)量同總量之間的關(guān)系，即百分比或分數(shù)比；折線統(tǒng)計圖表示數(shù)量變化情況2.頻率分布直方圖及特征頻率分布直方圖：在直角坐標(biāo)系中，橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示頻率與組距的比值，將頻率分布表中的各組頻率的大小用相應(yīng)矩形面積的大小來表示，由此畫成的統(tǒng)計圖叫做頻率分布直方圖．頻率分布表與頻率分布直方圖的繪制步驟如下：a.求極差，即求一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差；b.決定組距與組數(shù)；c.將數(shù)據(jù)分組；d.列頻率分布表，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做頻數(shù)，每小組的頻數(shù)與樣本容量的比值叫做這一小組的頻率，計算各小組的頻率，列出頻率分布表；e.畫頻率分布直方圖，依據(jù)頻率分布表畫出頻率分布直方圖，其中縱坐標(biāo)（小長方形的高）表示頻率與組距的比值，其相應(yīng)組距上的頻率等于該組上的小長方形的面積，即每個小長方形的面積.各個小長方形面積的總和等于1頻率分布直方圖的特征：①圖中各個長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率的數(shù)值，所有小矩形面積和為1．②從頻率分布直方圖可以清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢．③從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息被抹掉．3.密度曲線與頻率折線圖總體分布的密度曲線：如果將樣本容量取得足夠大，分組的組距取得足夠小，則相應(yīng)的頻率分布折線圖將趨于一條光滑曲線，我們稱這條光滑曲線為總體分布的密度曲線．如果將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點順次連結(jié)起來，就得到頻率分布折線圖，簡稱頻率折線圖．4.利用頻率直方圖估計統(tǒng)計量利用頻率分布直方圖估計眾數(shù)：頻率分布直方圖面積最大的方條的橫軸中點數(shù)字．（最高矩形的中點）估計中位數(shù)：中位數(shù)把頻率分布直方圖分成左右兩邊面積相等．估計平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和．平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”．典例及真題：例．200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如圖所示，則時速的眾數(shù)、中位數(shù)的估計值分別為()A．62,62.5B．65,62C．65,62.5D．62.5,62.5知識點練習(xí)：1.某城市在進行創(chuàng)建文明城市的活動中，為了解居民對“創(chuàng)建文明城”的滿意程度，組織居民給活動打分(分數(shù)為整數(shù)，滿分100分)，從中隨機抽取一個容量為120的樣本，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)據(jù)均在[40,100]內(nèi)．現(xiàn)將這些分數(shù)分成以下6組并畫出樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形，如圖所示．觀察圖形，則下列說法錯誤的是()A．第三組的頻數(shù)為18人B．根據(jù)頻率分布直方圖估計眾數(shù)為75分C．根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù)為75分D．根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的中位數(shù)為75分2.某調(diào)查機構(gòu)對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進行調(diào)查統(tǒng)計，得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖，則下列結(jié)論正確的是()注：90后指1990年及以后出生，80后指1980－1989年之間出生，80前指1979年及以前出生．A．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中從事技術(shù)和運營崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的三成以上B．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%C．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)90后比80前多D．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多3.下表是某電器銷售公司2018年度各類電器營業(yè)收入占比和凈利潤占比統(tǒng)計表：空調(diào)類冰箱類小家電類其它類營業(yè)收入占比90.10%4.98%3.82%1.10%凈利潤占比95.80%﹣0.48%3.82%0.86%則下列判斷中正確的是（）A．該公司2018年度冰箱類電器銷售虧損B．該公司2018年度小家電類電器營業(yè)收入和凈利潤相同C．該公司2018年度凈利潤主要由空調(diào)類電器銷售提供D．剔除冰箱類電器銷售數(shù)據(jù)后，該公司2018年度空調(diào)類電器銷售凈利潤占比將會降低1.2.3樣本特征值估計總體數(shù)據(jù)知識點引入與思路分析：1.常用統(tǒng)計量及定義眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛．眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).2.各統(tǒng)計量特征與對比樣本眾數(shù)通常用來表示分類變量的中心值，比較容易計算，但是它只能表示樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分信息．中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端值的影響，容易計算，它僅利用了數(shù)據(jù)排在中間的數(shù)據(jù)的信息．樣本平均數(shù)與每個樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，所以，任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變．這是中位數(shù)，眾數(shù)都不具有的性質(zhì)，也正因為這個原因，與眾數(shù)，中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息．如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù)，說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值；反之，說明數(shù)據(jù)中存在許多較小的極端值．3.第p百分位數(shù)第p百分位數(shù)：一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有①p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值,且至少有(100p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟：第1步,按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步,計算i=③n×p%.第3步,若i不是整數(shù),而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則第p百分位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).4.標(biāo)準(zhǔn)差與方差對標(biāo)準(zhǔn)差和方差概念的理解:標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍:[0,+∞).標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時,樣本各數(shù)據(jù)全相等,表明數(shù)據(jù)沒有波動幅度,數(shù)據(jù)沒有離散性.因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度上是一樣的,但在解決實際問題時,一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.典例及真題：例．某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則（

）A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差防疫站對學(xué)生進行身體健康調(diào)查，欲采用分層隨機抽樣的辦法抽取樣本．某中學(xué)共有學(xué)生2000名，抽取了一個容量為200的樣本，樣本中男生103人，則該中學(xué)共有女生()A．1030人 B．97人C．950人 D．970人知識點練習(xí)：1．演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分．7個有效評分與9個原始評分相比，發(fā)生改變的數(shù)字特征是（）A．中位數(shù)B．平均數(shù) C．方差 D．極差2．已知隨機變量X的分布列是X123Peq\f(1,4)ab若E(X)＝2，則D(X)的值是()A.eq\f(17,36)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4)D.eq\f(17,18)3.某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進行次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，試驗結(jié)果如下試驗序號12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率536527543530560533522550576536記，記的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，

（1）求，.

（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）1.3變量間的相關(guān)關(guān)系1.3.1相關(guān)系數(shù)與一元線性回歸知識點引入與思路分析：1.最小二乘法求回歸直線從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.回歸方程為，其中.通過求的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法.2.相關(guān)系數(shù)當(dāng)r＞0時，表明兩個變量正相關(guān)；當(dāng)r＜0時，表明兩個變量負相關(guān).r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強.r的絕對值越接近于0時，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.通常|r|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關(guān)性.相關(guān)指數(shù)與相關(guān)系數(shù)在含有一個解釋變量的線性回歸模型中是等價的量，都是用來判斷線性回歸模型擬合效果好不好的量．判斷兩組數(shù)據(jù)是否具有線性相關(guān)關(guān)系的方法：散點圖，相關(guān)系數(shù)．3.相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系異同點共同點：二者都是指兩個變量間的關(guān)系.不同點：函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，體現(xiàn)的是因果關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，體現(xiàn)的不一定是因果關(guān)系，可能是伴隨關(guān)系.①回歸直線必過樣本點的中心，這個結(jié)論既是檢驗所求回歸直線方程是否準(zhǔn)確的依據(jù)，也是求參數(shù)的一個依據(jù).②r的符號表明兩個變量是正相關(guān)還是負相關(guān)；|r|的大小表示線性相關(guān)性的強弱.獨立性檢驗是對兩個變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對其是否有關(guān)系的判斷.典例及真題：例．下列命題：①相關(guān)指數(shù)R2越小，則殘差平方和越大，模型的擬合效果越好．②對分類變量X與Y的隨機變量K2的觀測值k來說，k越小，“X與Y有關(guān)系”可信程度越大．③殘差點比較均勻地落在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越寬，說明模型擬合精度越高．④兩個隨機變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近0．其中錯誤命題的個數(shù)為．知識點練習(xí)：某公司為了了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入3.5萬元廣告費用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從0開始計數(shù)的．(1)根據(jù)頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度；(2)估計該公司投入3.5萬元廣告費用之后，對應(yīng)銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點值代表該組的取值)；(3)該公司按照類似的研究方法，測得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到下表：廣告投入x(單位：萬元)12345銷售收益y(單位：萬元)2327表中的數(shù)據(jù)顯示，x與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系，請將(2)中的結(jié)果填入空白欄，并計算y關(guān)于x的線性回歸方程．1.3.2獨立性檢驗知識點引入與思路分析：獨立性檢驗y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表稱為2×2列聯(lián)表為K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量).典例及真題：例.通過隨機詢問某中學(xué)110名中學(xué)生是否愛好跳繩，得到如下列聯(lián)表：跳繩性別合計男女愛好402060不愛好203050合計6050110已知，，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，以下結(jié)論正確的為（）A．愛好