6.2.4向量的數(shù)量積原卷版

6.2.4向量的數(shù)量積【考點梳理】考點一：向量的數(shù)量積的定義和幾何意義考點二：數(shù)量積的運算考點三：數(shù)量積和模關(guān)系問題考點四：向量夾角的計算考點五：垂直關(guān)系的向量表示考點六：已知模求參數(shù)問題考點七：向量的數(shù)量積綜合問題考點八：向量的數(shù)量積的綜合問題【知識梳理】考點一兩向量的夾角與垂直1.夾角：已知兩個非零向量a和b，O是平面上的任意一點，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角(如圖所示).當θ＝0時，a與b同向；當θ＝π時，a與b反向.2.垂直：如果a與b的夾角是eq\f(π,2)，則稱a與b垂直，記作a⊥b.考點二向量數(shù)量積的定義非零向量a，b的夾角為θ，數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積等于0.考點三投影向量在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則eq\o(OM1,\s\up6(→))與e，a，θ之間的關(guān)系為eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.考點四平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)向量a與b都是非零向量，它們的夾角為θ，e是與b方向相同的單位向量.則(1)a·e＝e·a＝|a|·cosθ. (2)a⊥b?a·b＝0.(3)當a∥b時，a·b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a||b|，a與b同向，,－|a||b|，a與b反向.))特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)|a·b|≤|a||b|.考點五平面向量數(shù)量積的運算律1.a·b＝b·a(交換律).2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(數(shù)乘結(jié)合律).3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).【題型歸納】題型一：向量的數(shù)量積的定義和幾何意義1．（2023下·高一單元測試）已知下列命題中：（1）若，且，則或；（2）若，則或；（3）若不平行的兩個非零向量，滿足，則；（4）若與平行，則；（5）.其中真命題的個數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2023下·北京西城·高一北京師大附中?？计谀┤鐖D，圓為的外接圓，，，為邊的中點，則（

）A．26 B．13 C．10 D．53．（2022下·吉林長春·高一長春市實驗中學?？计谀┤鐖D，的外接圓圓心為O，，，則（

）A． B． C．3 D．2題型二：數(shù)量積的運算4．（2023下·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）已知平面向量，滿足，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．5．（2023下·吉林遼源·高一?？茧A段練習）已知向量，，與的夾角為.求(1)(2)求；(3)求.6．（2023下·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，分別為上的點，且(1)求的值；(2)求.題型三：數(shù)量積和模關(guān)系問題7．（2024·全國·高一）已知向量，，，且，則（

）A． B． C． D．8．（2023下·福建福州·高一福州三中?？计谀┰谥校阎?，向量在向量方向上的投影向量為，，則（

）A．12 B．8 C．6 D．49．（2023下·江蘇揚州·高一統(tǒng)考期中）已知非零向量，滿足，，若的取值范圍為，則向量，的夾角的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型四：向量夾角的計算10．（2023下·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）在任意四邊形中，點，分別在線段，上，且，，，，，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．11．（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期中）若向量，滿足，，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．12．（2023下·安徽合肥·高一統(tǒng)考期中）在中，設(shè)是的外心，且，則（

）A． B． C． D．題型五：垂直關(guān)系的向量表示13．（2024·全國·高一）已知平面向量的夾角為，若，則（

）A． B． C． D．14．（2023下·高一單元測試）已知向量，向量滿足，且，則與夾角為（

）A．0 B． C． D．15．（2023下·陜西西安·高一期中）已知向量滿足，且的夾角為.(1)求的模；(2)若與互相垂直，求λ的值.題型六：已知模求參數(shù)問題16．（2023下·廣東揭陽·高一校聯(lián)考期中）已知向量，若與的夾角為；若與的夾角為鈍角，則取值范圍為（

）A． B．C． D．17．（2023·全國·高一專題練習）兩不共線的向量，，滿足，且，，則（

）A． B． C． D．18．（2021下·浙江·高一期末）設(shè)為兩個非零向量的夾角，且，已知對任意實數(shù)，無最小值，則以下說法正確的是（

）A．若和確定，則唯一確定B．若和確定，則有最大值C．若確定，則D．若不確定，則與的大小關(guān)系不確定題型七：向量的數(shù)量積綜合問題19．（2023下·內(nèi)蒙古包頭·高一統(tǒng)考期末）已知的外接圓圓心為O，且，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．20．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期末）已知向量和滿足，，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．21．（2023下·河南鄭州·高一統(tǒng)考期末）已知的外心為O，且，，向量在向量上的投影向量為（

）A． B．C． D．題型八：向量的數(shù)量積的綜合問題22．（2023下·浙江紹興·高一紹興市稽山中學?？计谥校┮阎?1)求與的夾角；(2)若在方向上的投影向量為，求的值．23．（2023下·江蘇連云港·高一連云港高中?？计谥校┮阎叫兴倪呅沃?，，，，點是線段的中點．(1)求的值；(2)若，且，求的值．24．（2023上·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽中學校考期末）如圖，在中，，，，且，，設(shè)與交于點．(1)求；(2)求．【雙基達標】一、單選題25．（2024上·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學?？计谀┮阎?，的夾角為，則（

）A．1 B． C．2 D．26．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知非零向量與滿足，若，則（

）A． B． C． D．27．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在三角形中，，，，則（

）A．10 B．12 C． D．28．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知單位向量，的夾角為，向量，，，向量，的夾角的余弦值為，則（

）A．1 B． C．2 D．29．（2023下·江蘇連云港·高一?？茧A段練習）已知向量與的夾角，且，．(1)求，；(2)求；(3)與的夾角的余弦值．30．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，已知，，，、邊上的兩條中線、相交于點.(1)求、的長；(2)求的余弦值.【高分突破】一、單選題31．（2023下·寧夏吳忠·高一吳忠中學?？计谀┤簦菉A角為的兩個單位向量，且與的夾角為（

）A． B． C． D．32．（2023下·吉林長春·高一長春外國語學校?？茧A段練習）設(shè)向量、滿足，且，若為在方向上的投影向量，并滿足，則（

）A． B． C． D．33．（2023下·四川遂寧·高一射洪中學?？茧A段練習）已知中，，，，為的外心，若，則的值為（）A．1 B．2 C． D．34．（2023下·山東泰安·高一泰安一中校考期中）已知，，若，則（

）A． B． C． D．435．（2023下·全國·高一期末）下列關(guān)于向量，，的運算，一定成立的有（

）A． B．C． D．36．（2023下·浙江金華·高一浙江省東陽中學校聯(lián)考階段練習）在中，點滿足，且所在直線交邊于點，有，，，則的值為（

）A． B．2 C． D．4二、多選題37．（2023下·全國·高一隨堂練習）下列說法正確的是（

）A．對任意向量，都有B．若且，則C．對任意向量，都有D．對任意向量，都有38．（2023上·河北保定·高一校聯(lián)考期中）已知向量滿足，則有關(guān)的最值下列結(jié)論正確的是（

）A．最小值為2 B．最小值為4C．最大值為4 D．最大值為39．（2023下·廣東佛山·高一佛山市順德區(qū)樂從中學校考階段練習）若向量，滿足，，則（

）A． B．與的夾角為C． D．在上的投影向量為40．（2023下·河南鄭州·高一校聯(lián)考期中）點為△所在平面內(nèi)一點，則（

）A．若，則點為△的重心B．若，則點為△的垂心C．若．則點為△的垂心D．在中，設(shè)，那么動點的軌跡必通過△的外心41．（2023下·海南省直轄縣級單位·高一校考期中）已知非零向量，則下列命題正確的是（

）A．B．向量在向量上的投影向量為C．若，則D．向量共線的充分必要條件是存在唯一的實數(shù)，使三、填空題42．（2023上·浙江金華·高一浙江金華第一中學?？茧A段練習）已知向量滿足，則的最大值是，最大值是．43．（2023下·全國·高一隨堂練習）已知平面向量滿足，則實數(shù)的值為．44．（2023下·云南昆明·高一昆明市第一中學西山學校校考階段練習）已知非零向量滿足，，則在方向上的投影向量的模為．45．（2023下·廣東湛江·高一湛江市第二中學?？计谥校┰谄叫兴倪呅沃校?，，若，，則與夾角的余弦值是.四、解答題46．（2024上·