2023年上海市16區(qū)數(shù)學(xué)中考二模匯編5 圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、新定義（18題）含詳解

專題05圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、新定義（18題）

一、單選題

1.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考二模）下列軸對(duì)稱圖形中，對(duì)稱軸條數(shù)最多的是（）

A.等邊三角形B.菱形C.等腰梯形D.圓

2.（2023?上海嘉定?統(tǒng)考二模）下列圖形中既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）

A.等邊三角形B.等腰梯形C.矩形D.正五邊形

二、填空題

3.（2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模）我們規(guī)定：兩個(gè)正多邊形的中心之間的距離叫做中心距，在同一個(gè)平面內(nèi)有邊長(zhǎng)

都為6的正三角形和正方形，當(dāng)它們的一邊重合時(shí)，中心距為.

4.（2023?上海寶山?統(tǒng)考二模）如圖，已知C中，ZBAC=30o,NB=70°,如果將一ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到

ΔA'B'C,使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'落在邊AC上，那么NAA片的度數(shù)是.

A

BC

5.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考二模）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)A（l,-3）,8（4,-1）,將線段A8平移得到線段ABl

（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)4，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B］）,如果點(diǎn)A坐標(biāo)是（-2。），那么點(diǎn)Bl的坐標(biāo)是.

6.（2023?上海靜安?統(tǒng)考二模）如圖，在JlBC中，AB=AC,將一AfiC繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)C落在AC邊上的點(diǎn)

E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)。處，OE與A8相交于點(diǎn)/，如果BE=BF,那么—DBC的大小是.

3

7.（2023?上海金山?統(tǒng)考二模）已知一ABC中，ZBAC=90o,A8=3,tanC=■,點(diǎn)。是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E

4τ

在線段AC上，如果點(diǎn)E關(guān)于直線Ao對(duì)稱的點(diǎn)F恰好落在線段BC上，那么CE的最大值為.

8.（2023?上海閔行?統(tǒng)考二模）閱讀理解：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)內(nèi)角α、夕滿足2a+￡=90。，那么我們稱這

個(gè)三角形為特征三角形.

4

問(wèn)題解決：如圖，在..ΛBC中，NACB為鈍角，AB=25,tanA=-,如果ABC是特征三角形，那么線段AC的

長(zhǎng)為_(kāi)__________

9.（2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模）如圖，將矩形ABCO紙片沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)8落在點(diǎn)E處，EC與邊AE）相

交于點(diǎn)F?如果AO=2AB,那么/Ob的正弦值等于

I)

H

10.（2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模）如圖，拋物線C∣:丫=犬+2》-3與拋物線6：>=+法+。組成一個(gè)開(kāi)口向上

的“月牙線"，拋物線G和拋物線G與X軸有著相同的交點(diǎn)A、8（點(diǎn)8在點(diǎn)4右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為C、

D.如果Bo=CD,那么拋物線G的表達(dá)式是,

IL（2023?上海寶山?統(tǒng)考二模）如果一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與夕滿足2a+/=90。，那么我們稱這樣的三角形為

“倍角互余三角形已知在RtZ?ABC中，ZAeB=90。，AC=4,8C=5,點(diǎn)。在邊BC上，且是“倍角互

余三角形"，那么Bo的長(zhǎng)等于.

12.（2023?上海崇明?統(tǒng)考二模）如圖，已知在兩個(gè)直角頂點(diǎn)重合的RtS48C和Rt回CDE中，ZACB=NDCE=90°,

NC4B=NCDE=30。，BC=3,CE=2,將..COE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)。恰好落在AB邊上時(shí)，聯(lián)結(jié)8E,

那么BE=.

A

13.（2023?上海閔行?統(tǒng)考二模）如圖，在菱形A88中，43=6,ZA=80。，如果將菱形ABC。繞著點(diǎn)。逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)A恰好落在菱形ABQ）的初始邊A8上的點(diǎn)E處，那么點(diǎn)E到直線BO的距離為.

14.（2023?上海嘉定?統(tǒng)考二模）如圖，在RtABC中，ZC=90o,AC=4,BC=2,點(diǎn)、D、E分別是邊BC、

54的中點(diǎn)，連接OE?將一友）E繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，點(diǎn)。、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)R、場(chǎng).如果點(diǎn)回落在線段

ACL,那么線段CA=.

三、解答題

15.（2023?上海靜安?統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，拋物線y=0χ2-4x+c（αHθ）與X軸分別交于點(diǎn)

A（l,（））、點(diǎn)8（3,0）,與V軸交于點(diǎn)C,連接BC,點(diǎn)P在線段BC上，設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為機(jī).

⑴求直線BC的表達(dá)式;

⑵如果以尸為頂點(diǎn)的新拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)為。:

①求新拋物線的表達(dá)式（用含m的式子表示），并寫出優(yōu)的取值范圍;

②過(guò)點(diǎn)P向X軸作垂線，交原拋物線于點(diǎn)E,當(dāng)四邊形AaP是一個(gè)軸對(duì)稱圖形時(shí)，求新拋物線的表達(dá)式.

16.（2023?上海松江?統(tǒng)考二模）如圖,AB是半圓。的直徑，C是半圓O上一點(diǎn)，點(diǎn)0'與點(diǎn)。關(guān)于直線AC對(duì)

稱，射線AO'交半圓。于點(diǎn)弦AC交O7O于點(diǎn)E、交。。于點(diǎn)尺

（1）如圖，如果點(diǎn)O'恰好落在半圓。上，求證：ON=BC;

EF

⑵如果ND43=300,求方萬(wàn)的值;

⑶如果OA=3,O'O=l,求。F的長(zhǎng).

17.(2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模)如圖，已知拋物線y=χ2+fer+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,7),與X軸交于點(diǎn)8、C(5,0).

⑴求拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

⑵點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，且位于X軸的上方，將CE沿直線BE翻折，如果點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸恰好落在拋物線

的對(duì)稱軸上，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

⑶點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)Q是拋物線上位于第四象限內(nèi)的點(diǎn)，當(dāng)CPQ為等邊三角形時(shí)，求直線8Q的表

達(dá)式.

18.(2023?上海松江?統(tǒng)考二模)在平面直角坐標(biāo)系XOy中(如圖)，已知直線y=-χ+2與y軸交于點(diǎn)A,拋物線

y=(x-r)2-l(r>0)的頂點(diǎn)為8.

(1)若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,求拋物線解析式；

(2)將線段08繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)。落在點(diǎn)C處，如果點(diǎn)C在拋物線上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)：

⑶設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線y=-x+2交于點(diǎn)。，且點(diǎn)。位于X軸上方，如果NBQ￡)=45。，求f的值.

專題05圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、新定義（18題）

一、單選題

1.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考二模）下列軸對(duì)稱圖形中，對(duì)稱軸條數(shù)最多的是（）

A.等邊三角形B.菱形C.等腰梯形D.圓

【答案】D

【分析】依據(jù)軸對(duì)稱圖形的意義，即在同一個(gè)平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿某條直線對(duì)折，對(duì)折后的兩部分都能完全重

合，則這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形，這條直線就是其對(duì)稱軸，從而可以畫出它們的對(duì)稱軸.

【詳解】解：等邊三角形有3條對(duì)稱軸，菱形有2條對(duì)稱軸，等腰梯形有1條對(duì)稱軸，圓形有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，圓

的對(duì)稱軸條數(shù)最多，

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查如何確定軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸條數(shù)及位置，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的概念.

2.（2023?上海嘉定?統(tǒng)考二模）下列圖形中既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）

A.等邊三角形B.等腰梯形C.矩形D.正五邊形

【答案】C

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義、中心對(duì)稱圖形的定義逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】A選項(xiàng)：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形.故本選項(xiàng)不合題意；

B選項(xiàng)：等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形.故本選項(xiàng)不合題意；

C選項(xiàng)：矩形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.故本選項(xiàng)符合題意；

D選項(xiàng)：正五邊形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形，理解定義，會(huì)根據(jù)定義判斷軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形是解答的

關(guān)鍵.

二、填空題

3.（2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模）我們規(guī)定：兩個(gè)正多邊形的中心之間的距離叫做中心距，在同一個(gè)平面內(nèi)有邊長(zhǎng)

都為6的正三角形和正方形，當(dāng)它們的一邊重合時(shí)，中心距為.

【答案】3-6或3+6

【分析】分兩種情況，結(jié)合正方形和正三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：如圖，在正方形A8C。和正三角形BCE中，連接AC,8。交于點(diǎn)O,正三角形BCE的中線EG,BF交

于點(diǎn)F,則點(diǎn)O,尸分別正方形A68和正三角形BCE的中心，

在正方形ABC。和正三角形BCE中，OB=OC,OB±OC,BG=CG,BE=CE,NCB尸=30°,

13點(diǎn)O,E均在BC的垂直平分線上，

13點(diǎn)E,O,P,G四三點(diǎn)共線，

回正方形AeC。和正三角形BCE的邊長(zhǎng)都為6,

團(tuán)BC=BE=6.

^OG=BG=-BC=-×6=3,

22

SPG=BG×tanZCβF=3×-=√3,

3

00P=OG-PG=3-小;

即中心距為3-石；

如圖，在正方形ABC。和正三角形BCE中，連接AC,BD交于點(diǎn)。，正三角形BCE的中線EG,B尸交于點(diǎn)尸，則點(diǎn)

O,尸分別正方形ABCo和正三角形8CE的中心，

在正方形ABC。和正三角形BCE中，OB=OC,OB±OC,BG=CG,BE=CE,ZCBF=30°,

13點(diǎn)O,E均在BC的垂直平分線上，

GI點(diǎn)E,0,P,G四三點(diǎn)共線，

回正方形ABCD和正三角形BCE的邊長(zhǎng)都為6,

0BC=BE=6.

^OG=BG=-BC=-×6=3,

22

圈PG=BGXtanNC8F=3x立=有，

3

@OP=OG-PG=3+6；

即中心距為3+JL

綜上所述，中心距為3-G或3+G?

故答案為：3-√J或3+6

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形和正三角形的性質(zhì)，解直角三角形，利用分類思想解答是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?上海寶山?統(tǒng)考二模）如圖，已知.AfiC中，ZBAC=30°,/8=70。，如果將ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

到4A'B'C,使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)9落在邊AC上，那么NAA5的度數(shù)是.

A

BC

【答案】20o∕20>

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得N3'AC=ZABC=30。，ZA,C4=ZACB=80°,A!C=AC,等邊對(duì)等角得

ZCAA'=Ne4'A=50°,根據(jù)ZAA'B'=ZCA'A-N8'A'C即可求解.

【詳解】解：0ZBAC=30°,/5=70。，

0ZACB=180o-70°-30°=80°.

El將二ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AAEC,使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'落在邊AC上，

GIzB'A'C=NBAC=3（）°,ZA'CA=ZACB=80o,ArC=AC,

0ZCAA'=ZCA'A=J（180°-80°）=50°,

SZAAB'=ZCA'A-ZB'A'C=50o-30o=20o.

故答案為：20°.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是關(guān)鍵.

5.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考二模）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)A（L-3）,B（4,-l）,將線段AB平移得到線段AA（點(diǎn)

A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)A，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)用），如果點(diǎn)A坐標(biāo)是（-2,0）,那么點(diǎn)用的坐標(biāo)是.

【答案】（1，2）

【分析】各對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系是橫坐標(biāo)減3,縱坐標(biāo)加3,那么讓點(diǎn)8的橫坐標(biāo)減3,縱坐標(biāo)加3即為點(diǎn)用的坐

標(biāo).

【詳解】解：回A。，-3）平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,0）,

0A點(diǎn)的平移方法是：先向左平移3個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，

0B點(diǎn)的平移方法與A點(diǎn)的平移方法是相同的，

138（4,—1）平移后的坐標(biāo)是：（4-3,-1+3）即（1,2）.

故答案為：（1,2）.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)的平移規(guī)律與圖形的平移，關(guān)鍵是掌握平移規(guī)律，左右移，縱不變，橫減加，上下

移，橫不變，縱加減.

6.（2023?上海靜安?統(tǒng)考二模）如圖，在√lfiC中，AB=AC,將MC繞著點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)C落在AC邊上的點(diǎn)

E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)。處，OE與A8相交于點(diǎn)/，如果BE=BF,那么208C的大小是.

【答案】108°/108Jg

【分析】設(shè)NA=X,由AB=AC,BE=BF得NABC=NC,NBEF=一班E,再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得

/DEB=NC=NABC=NDBE,BE=BC,從而有/CβE=NA=x,同理可證：ZEBF=ZA=X,利用三角形

的內(nèi)角和定理構(gòu)造方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)，A=x,

0AB=AC,BE=BF,

*ABC=∠zC,ZBEF=ZBFE,

回將，43C繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)C落在AC邊上的點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)。處，OE與AB相交于點(diǎn)F,

*DEB=NC=NABC=NDBE,BE=BC,

0ZBEC+ZC+ZCBE≈ZABC++zfA=180°,

團(tuán)NCBE=NA=X,

同理可證：NEBF=NA=x,

EZDBE=ZABC=∕C=ZBEC=Ix,

0ZABC+/C+NA=180°,

I22x+2x+x=18θ°,

解得X=36。，

回NDBC=NDBE+NCBE=3x=1（）8°

故答案為108。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及一元一次方程的應(yīng)用，熟練

掌握三角形的內(nèi)角和定理時(shí)解題的關(guān)鍵.

3

7.（2023?上海金山?統(tǒng)考二模）已知JIBC中，Zβ4C=90o,AB=3,tanC=?,點(diǎn)￡）是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E

74

在線段AC上，如果點(diǎn)E關(guān)于直線Ao對(duì)稱的點(diǎn)F恰好落在線段BC上，那么CE的最大值為.

【答案W

P

【分析】過(guò)A點(diǎn)作AG,BC于點(diǎn)G,先解直角三角形求出AC=4,BC=5,然后利用面積求出AG=彳，當(dāng)尸與

G重合時(shí)A尸最小，即CE最大，求出最大值即可.

【詳解】解：如圖，過(guò)A點(diǎn)作AG_L8C于點(diǎn)G,

3

0ZBAC=9Oo,AB=3,tanC=-,

4

0AC=4,

則3C=JAB?+a。，=M+42=5,

又團(tuán)

SΛxΠhCc=—2BC×AG=—2ACXAB，,

AC×AB3x412

BC55

回點(diǎn)E、點(diǎn)尸關(guān)于直線Ao對(duì)稱，

^AF^AE,

又點(diǎn)尸恰好落在線段BC上，

Sl當(dāng)F與G重合時(shí)AF最小，即CE最大，

13CE最大值為4一￡=%

Q

故答案為：I

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握垂線段最短是解題的關(guān)鍵.

8.(2023?上海閔行?統(tǒng)考二模)閱讀理解：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)內(nèi)角α、4滿足2。+￡=90。，那么我們稱這

個(gè)三角形為特征三角形.

4

問(wèn)題解決：如圖，在中，NACB為鈍角，AB=25,tanΛ=-t如果.ABC是特征三角形，那么線段AC的

長(zhǎng)為.

【答案】y

【分析】由題意可分：①設(shè)4=α,NB=),則在AB上截取一點(diǎn)Q,使得Cn=C4,此種情況不符合題意；②設(shè)

ZA=β,ZB=a,過(guò)點(diǎn)8作BE,AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CF工AB于點(diǎn)凡然后根據(jù)三角函數(shù)及勾股定理可進(jìn)行求

解.

【詳解】解：由題意可分：①設(shè)ZA=MNB=4，則在A8上截取一點(diǎn)。，使得CD=C4,如圖所示：

0ZA=ZAT>C,

4

團(tuán)tanA=一,

3

4

0tanZADC=—,

3

回/Cr)B為鈍角，故不存在2。+/7=90。；

②設(shè)NA=∕7,ZB=a,過(guò)點(diǎn)B作AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作C尸工AB于點(diǎn)凡如圖所示:

B

團(tuán)ABC是特征三角形，即2a+￡=90。，且NA+N/WE=90。,

0ZASE=2ZAβC,

團(tuán)8C平分

⑦CF=CE,

4

團(tuán)tanA=—,

3

CFBE

0-----=------，

AFAE

?AF=3x,CF-CE=4x,AC=5x,則有AE=9x,

團(tuán)BE=12Λ^,

團(tuán)AB=25,

回在RtZXABE中，由勾股定理得81/+144/=625,

解得：X=(

25

^AC=-

3

故答案為g?

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)及勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

9.(2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模)如圖，將矩形ABCO紙片沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，EC與邊AZ)相

交于點(diǎn)F.如果4>=2A8,那么NZXT='的正弦值等于.

I)

3

【答案】I

【分析】通過(guò)證明(AAS)得到EF=JD尸，AF^CF,在RtAE尸中，根據(jù)勾股定理列出等量關(guān)系

式，得出邊之間的關(guān)系，即可求解.

【詳解】解：0AD=2AB,

回設(shè)AB=a,AD=2a,

S）4AEC由..ABC沿AC折疊得至∣J,

^?AE=AB=CD=a,NE=NB=N￡)=90。，

在aAEF和，CDF中，

NE=NQ=90°

-NAFE=NCFD,

AE=CD

EΛAEF^ΛCDF(AAS),

⑦EF=DF,AF=CF,

設(shè)EF=DF=b,則AF=B=AD-Z)F=24-b,

在RtAE尸中，根據(jù)勾股定理可得：AE2+EF2=AF2,

即/+/=(2α-∕√,整理得：b=^a,

0CF=2a-b=-a,

4

3

0sinZDCF=-=1-=-,

CFIa5

4

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的折疊問(wèn)題，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定

理，以及解直角三角形的方法和步驟.

10.（2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模）如圖，拋物線C∣:y=f+2χ-3與拋物線C?：y=α√+6x+c組成一個(gè)開(kāi)口向上

的“月牙線"，拋物線G和拋物線C?與X軸有著相同的交點(diǎn)A、8（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與），軸的交點(diǎn)分別為C、

D.如果BD=CD,那么拋物線G的表達(dá)式是

4

【答案】y=-(x+3)(x-l)

【分析】先求出A、B、C的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,〃?)，則OD=-加，利用勾股定理結(jié)合Br)=CD得到

2

∕Π+1=(3+√,解得根=-；貝IJD(O,一￡,可設(shè)拋物線C2的解析式為y="(x+3)(x-l),利用待定系數(shù)法求

,4

出。=一.

9

【詳解】解：在y=∕+2x-3中，令X=0,貝IJy=—3,

0C(θ,-3),

在y=/+2x-3中，令y=0,則d+2χ-3=0,解得x=l或X=—3,

0A(-3,O),B(LO),

團(tuán)OB=1,

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0，則Qf)=Tn

團(tuán)Cr)=3+m，BD=NObI+Bb1=J∕√+1,

⑦BD=CD,

22

0w÷1=(3÷∕n)f

4

解得〃2=-：，

MOv),

回拋物線C?經(jīng)過(guò)A、B,

13可設(shè)拋物線C2的解析式為y=α(x+3)(x-1),

4

0Λ(O+3)(O-1)=--,

4

解得

4

回拋物線C?的解析式為y=?^(x+3)(x-1),

4

故答案為：y=g(x+3)(x-1).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，勾股定理，求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，正確求出點(diǎn)Q

的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

11.(2023?上海寶山?統(tǒng)考二模)如果一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與P滿足2a+￡=90。，那么我們稱這樣的三角形為

“倍角互余三角形己知在RlAABC中，NAa3=90。，AC=4,BC=5,點(diǎn)Z)在邊BC上，且AABD是“倍角互

余三角形”，那么8。的長(zhǎng)等于.

【答案】,或41-4/T

55

【分析】分兩種情況討論，當(dāng)Nδ=∕C4D時(shí)，利用tanNZMC=tanN8,列式計(jì)算即可求解；當(dāng)NBW=Nc4。

時(shí)，即40是/B4C的角平分線，利用角平分線的性質(zhì)以及勾股定理即可求解.

【詳解】解：當(dāng)∕3=∕CW時(shí)，ΛB÷ACAD+ABAD=90o,BP2ZB+ZBAD=90o,Z?ABZ）是“倍角互余三角

形〃,

CDCD4

0tanZDAC=---

AC~7~5

回T

169

SlBD=5——=-

55

當(dāng)NBAQ=NCW時(shí)，AB+ACAD+ΔBAD=90o,BPZB+2ZBAD=90o,4ABO是“倍角互余三角形”，此時(shí)

AZ）是/胡C的角平分線,

作。EIAB于E,則f>C=OE,

∣3AD=AD,0Rt?ADC^Rt?ADE（HL）,回AE=AC=4,

回，ZACB=90°,AC=4,BC=5,fflAB=√42+52=√44>0BE=√44-4,

設(shè)M=x,則CD=f>E=5-x,在Rlz?BZ）E中，由勾股定理得（質(zhì)-4）2+（5-x『=/,解得X=II二生亙.

綜上，BD的長(zhǎng)等于）或41一4府.

55

故答案為：1或竺二也.

35

【點(diǎn)睛】本題考查了正切函數(shù)的定義，角平分線的性質(zhì)以及勾股定理，分情況討論是解題的關(guān)鍵.

12.（2023?上海崇明?統(tǒng)考二模）如圖，已知在兩個(gè)直角頂點(diǎn)重合的RtMBC和Rt回CQE中，ZACB=ZDCE=90。，

ZCAB=ZCDE=30°,BC=3,CE=2,將一CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)。恰好落在A8邊上時(shí)，聯(lián)結(jié)把,

那么BE—.

［答案］3癢"

2

ΔΓ）L

【分析】利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)，分別求出A8,DE的長(zhǎng)，證明AACDsaBCE,得到黑=布，推

BE

出/。麻=90。，在Rt.。BE中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：團(tuán)ZACB=ZDCE=90。，ZCAB=ZCDE=30o,BC=3,CE=I,

^AB=2BC=6,DE=2CE=4,ZABC=60。，an30°=-=—=—,ZACD=ABCE=90°-ZBCD,

tDCAC3

團(tuán)ΛACDSABCE,

?nL

0—=√3,NCBE=NA=30。，

BE

⑦NDBE=ZABC+NCBE=90。,

設(shè)BE=X,則：AD=>∕3x，

^BD=AB-AD=6-y∕3χf

22222

在RtDBE中,DE=BE+BDf即：4=x,

解得：χ=36-"或χ=3?+"（不合題意，舍去）；

22

RBE=3邑幣.

2

故答案為：3人一"

2

【點(diǎn)睛】本題考查含30度的直角三角形，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方

程.熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，證明三角形相似，是解題的關(guān)鍵.

13.（2023?上海閔行?統(tǒng)考二模）如圖，在菱形ABCO中，AB=6,ZA=80。，如果將菱形ABCD繞著點(diǎn)。逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)A恰好落在菱形ABCo的初始邊AB上的點(diǎn)E處，那么點(diǎn)E到直線BO的距離為.

A

【答案】3

【分析】如圖，旋轉(zhuǎn)、菱形的性質(zhì)可知，DE=AD=AB=6,則NDEA=NA=80。，

1Q0O_/4

ZABD=ZADB=-------------=50o,ZADE=?80o-ZDEA-ZA=20°,2BDE?ADB?ADE30?,根據(jù)E到直線

2

8。的距離為DE?sinNBQE,計(jì)算求解即可.

【詳解】解：如圖，菱形ABCQ繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后為菱形OEFG,

由旋轉(zhuǎn)、菱形的性質(zhì)可知，DE=AD=AB=6,

1QQO一ZX

0ZDE4=ZΛ=8Oo,ΛABD=ZADB=-------------=50°,

2

團(tuán)NAZ）E=I80。-NoE4—NA=20。，

團(tuán)？BDE2ADB?ADE30?,

此到直線BO的距離為。E?sinN8OE=6χ1=3,

2

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，正弦等知識(shí).解題的關(guān)鍵

在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

14.（2023?上海嘉定?統(tǒng)考二模）如圖，在RtABC中，NC=90。，AC=4,BC=2,點(diǎn)。、E分別是邊8C、

BA的中點(diǎn)，連接DE?將一BDE繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，點(diǎn)。、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)R、E1.如果點(diǎn)回落在線

段AC上，那么線段C。=.

B

D-------------

C1--------------------------?//

【答案】∣√5

BDBC1

【分析】根據(jù)勾股定理求得A8,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出NA8&=NCBR,端1=耳=木，進(jìn)而得出

OC,∣DA√5

ABERCBR,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】在Rt-ABC中，ZC=90o,AC=4,BC=2,1D、E分別是邊BC、BA的中點(diǎn)，

回AB=√AC2+BC2=2小，CD=BD=^BC=I,AE=BE=;AB=下,

如圖所示，點(diǎn)片落在線段AC上，

設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a,

∣3ZABEl=ZCBO1,

旋轉(zhuǎn),

國(guó)BE、=BE=6,BD?=BD=1,

BDlBC1

13函=詼=F

團(tuán)ABETSCBDl,

22

OCEl=VEB-BC=√5-4=l,=AC-CE1=4—1=3,

CD'G=冷

故答案為：?.

5

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

15.(2023?上海靜安,統(tǒng)考二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，拋物線y=0χ2-4x+c(α*0)與X軸分別交于點(diǎn)

A(1,O)、點(diǎn)8(3,0),與>軸交于點(diǎn)C,連接3C,點(diǎn)P在線段BC上，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為小.

⑴求直線6C的表達(dá)式；

(2)如果以P為頂點(diǎn)的新拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D：

①求新拋物線的表達(dá)式(用含加的式子表示)，并寫出加的取值范圍；

②過(guò)點(diǎn)?向X軸作垂線，交原拋物線于點(diǎn)E,當(dāng)四邊形AEDP是一個(gè)軸對(duì)稱圖形時(shí)，求新拋物線的表達(dá)式.

［答案］⑴y=r+3

(2)(Dy=w-3(x-w)2-m+3,0<m<3↑(2)y=-^-(x-2)2+1

m4

【分析】(1)先利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析

式即可;

(2)①先求出尸(〃?，-加+3),設(shè)新拋物線解析式為y=a'(x-""-w+3,把原點(diǎn)坐標(biāo)代入新拋物線解析式求出新

拋物線解析式，再根據(jù)點(diǎn)P在線段BC上，可得0<m<3;②先求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，再分當(dāng)四邊形血>P關(guān)于Az)

對(duì)稱時(shí)，當(dāng)四邊形AEZm關(guān)于PE對(duì)稱時(shí)，兩種情況分類討論求出m的值即可得到答案.

【詳解】(1)解：把4(1,0)、8(3,0)代入拋物線解析式中得：J%I2+C=O'

回

回拋物線解析式為y=9—敘+3,

在y=f-4χ+3中，令χ=0,則y=3,

EC(0,3);

設(shè)直線BC的解析式為y="+b,

3k+b=0

回

b=3

圖直線BC的解析式為y=-χ+3；

(2)解：①12點(diǎn)尸在線段BC上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為用.

回網(wǎng)〃?,-，〃+3),

圖可設(shè)新拋物線解析式為y=√(x-√-∕n+3,

回新拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

0a,(θ-w)^-?7+3=0,

回新拋物線解析式為y="(χ-機(jī)J-機(jī)+3,

IYT

團(tuán)點(diǎn)尸在線段BC上，

0O<m<3;

②EI新拋物線解析式為y==(X-，")2-〃7+3與X軸的一個(gè)交點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線x="J

YYT

回新拋物線解析式為y==(x-")2-m+3與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2相,0),

tn~

團(tuán)PEJ_X軸，

團(tuán)￡(加，nι2-4m+3)；

當(dāng)四邊形AEZ"關(guān)于AD對(duì)稱時(shí)，則-m+3=-w2+4m-3,

解得機(jī)=2或機(jī)=3(舍去)，

1?

回新拋物線解析式為y=--(x-2)^+l;

當(dāng)四邊形AEDP關(guān)于PE對(duì)稱時(shí)，

回點(diǎn)。與。關(guān)于PE對(duì)稱，

回點(diǎn)D與點(diǎn)A不關(guān)于PE對(duì)稱，

回此種情況不成立；

綜上所述，新拋物線解析式為y=-；(*-2)2+1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，軸對(duì)稱的性質(zhì)，求一次函數(shù)解析式等等，靈活運(yùn)用所學(xué)

知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

16.(2023?上海松江?統(tǒng)考二模)如圖，A3是半圓。的直徑，C是半圓O上一點(diǎn)，點(diǎn)O'與點(diǎn)。關(guān)于直線AC對(duì)

稱，射線交半圓。于點(diǎn)D,弦AC交。'。于點(diǎn)E、交OD于點(diǎn)凡

⑴如圖，如果點(diǎn)O'恰好落在半圓。上，求證：O1A=BC

EF

(2)如果ND48=300,求3萬(wàn)的值；

(3)如果。4=3,07)=1,求。尸的長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)解析

⑵手

4

Q9

(3)0F='或0F=g.

【分析】(1)如圖：連接Oeo'C,先根據(jù)圓的性質(zhì)和對(duì)稱的性質(zhì)說(shuō)明，OAO'是等邊三角形，0,C=BC，然后再

說(shuō)明ZCO<y=NBoC=60。即可證明結(jié)論；

(2)設(shè)圓。的半徑為2”，則O4=Q4=2α,如圖：作ONLAD于N；先根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可

得NoD4=NOAD=30。,NAor>=120。，然后解直角三角形可得加=僅道-2)a、EF=OE=娓”a,最后代

入計(jì)算即可：

(3)分O'在半圓。內(nèi)和圓外兩種情況，分別利用面積法解答即可.

【詳解】(1)解：如圖：連接。COC,

E

B

回點(diǎn)o'恰好落在半圓。上，

ISOOz=OA,

圖點(diǎn)O'與點(diǎn)。關(guān)于直線AC對(duì)稱

SAO,=OA=CO'=CO,NO'AC=ZOAC,

回—040’是等邊三角形，OC=BC,

SZOAOz=60°,

SNCOO'=ZBOC=∣(180o-ZOAO')=60°,

SZAOO,=ZSOC=60°,

^O'A=BC-

(2)解：設(shè)圓。的半徑為2α,C∕A=OA=2a,

如圖：作ONLAD于N

^OA=OD,ZOAD=30°,

SZODA=ZOAD=30o,ZAOD=120°,

在RtΔ1AON中，0∕V=OA?sin300=a,Λ^=<9Λ?cos300=√3α,

^ON±AD,

^AD=2AN=2>∕3a,

又1304=04=2?,

Sθ,D=(2√3-2)α,

0θW=2α-√3α,

在Rt_O'ON中，0。=JeW-+CW〃=j8∕-4島2=(#-?〃,

由軸對(duì)稱可得：(XE=OE=Loo'=#Na,ΛDAC=ZOAC=?5o,OELAF

22

ZAFO=AD+ADAC=45o,ZOEF=90°,

13—0砂為等腰直角三角形

⑦EF=OE=a,

2

團(tuán)EF=2=也.

O,D~2√3-2-4

(3)解：當(dāng)O,在半圓。內(nèi)時(shí)，則AD=O'A+O7)=O4+O7)=4,

由對(duì)稱性可得：ZOAF=ZOAF,

如圖：過(guò)戶作QVLAB于N,FMJ_AD于M,

c-AD×FMλγ.

01≡=2____=四

SOFA-AO×FNA0

2

SDF

又回不~OFt

ADDF44

即DF=-OF,

AO^OF^33

又團(tuán)。+Z)b=QQ=3,

9

團(tuán)OF=—；

7

當(dāng)O'在半圓O外時(shí)，由對(duì)稱性可得：ZDAF=ZOAFf

如圖：作EM_LA。于M,FNtAo于?N,

團(tuán)BV=PM,

c-AD×FMS

∣s??=2________=生

S^OFA-AOxFNAo

2

SMFD_DF

又回

)FAOF

ADDF

"~Aδ~~OF,

又13AD=O'A—07)=一0Z)=3—1=2,

X0OF+DF=3,

9

^OF=-.

5

99

綜上，。/==或Ob=

75

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)、圓周角定理、解直角三角形、對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線是

解答本題的關(guān)鍵.

17.(2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模)如圖,已知拋物線y=f+fer+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,7),與X軸交于點(diǎn)B、C(5,0).

⑴求拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo);

⑵點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，且位于X軸的上方，將-BCE沿直線BE翻折，如果點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸恰好落在拋物線

的對(duì)稱軸上，求點(diǎn)E的坐標(biāo);

⑶點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)Q是拋物線上位于第四象限內(nèi)的點(diǎn)，當(dāng)CPQ為等邊三角形時(shí)，求直線BQ的表

達(dá)式.

【答案】⑴y=Y-4x-5,頂點(diǎn)坐標(biāo)為：M(2,-9).

(2)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,⑹;

⑶直線BQ的函數(shù)表達(dá)式為y=-^χ---

【分析】(I)利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，再化為頂點(diǎn)式，即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)先求解拋物線與X軸交于3(T,O),C(5,0),可得5C=6,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,設(shè)拋物線的對(duì)稱

軸與X軸交于點(diǎn)H,則4點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0),BH=3,由翻折得C3=ΛB=6,由勾股定理，得

FH=^FB2-BH2=3√3-求解N尸8"=60。，由翻折得NEBH=；/尸8”=30。，再利用三角函數(shù)可得答案；

(3)連接CF,證明二FCB為等邊三角形，證明*BCQ絲-ECP,可得NCFH=30。=NCBQ,設(shè)BP與X軸相

交于點(diǎn)κ,可得點(diǎn)K的坐標(biāo)為再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可.

【詳解】(1)解：回拋物線y=Y+云+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(-2,7),與X軸交于點(diǎn)8、C(5,0).

14-2Z?+c=7?=-4

回〈,解得:

25+5/?+C=Oc=-5

自拋物線為：y^x2-4x-5^(x-2)2-9,

團(tuán)頂點(diǎn)坐標(biāo)為：M(2,-9).

(2)如圖，令y=f—4x-5=0,

回拋物線與X軸交于B(TO),C(5,0),

ΞBC=6,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,

設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與X軸交于點(diǎn)H,則H點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0),BH=3,

由翻折得Cδ=Fβ=6,

由勾股定理，得FH=JFB2-BH?=3√5，

回點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,36）,tanNFB4=券=JL

13ZFBH=60°,

由翻折得NEBH=?4FBH=30°,

Γ

EH=Mtan30o=3×-=√3,

3

回點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2,⑹；

（3）連接CF,

^?BF=BC,NEeC=60