2024屆遼寧省名校聯(lián)盟高考模擬卷（調(diào)研卷）數(shù)學(xué)試題（一）

遼寧省名校聯(lián)盟2024年高考模擬卷（調(diào)研卷）數(shù)學(xué)（一）本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題紙上.2.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題紙對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.答非選擇題時，將答案寫在答題紙上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，則（）A.-24B.-23C.-22D.-212.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A.B.C.D.3.第19屆亞運(yùn)會于2023年9月至10月在杭州舉行，來自浙江某大學(xué)的4名男生和3名女生通過了志愿者的選拔，若從這7名大學(xué)生中選出2人或3人去某場館擔(dān)任英語翻譯，并且至少要選中1名女生，則不同的挑選方案共有（）A.15種B.31種C.46種D.60種4.下圖是2022年5月一2023年5月共13個月我國純電動汽車月度銷量及增長情況統(tǒng)計圖（單位：萬輛），則下列說法錯誤的是（）（注：同比：和上一年同期相比）A.2023年前5個月我國純電動汽車的銷量超過214萬輛B.這13個月我國純電動汽車月度銷量的中位數(shù)為61.5萬輛C.這13個月我國純電動汽車月度銷量的眾數(shù)為52.2萬輛D.和上一年同期相比，我國純電動汽車月度銷量有增有減5.已知為橢圓的右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，且軸，若，則的長軸長為（）A.B.C.D.6.過圓上的兩點(diǎn)分別作圓的切線，若兩切線的交點(diǎn)恰好在直線上，則的最小值為（）A.B.3C.D.7.已知數(shù)列滿足，則“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件可以是（）A.B.C.D.8.已知滿足，且，則（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知滿足，則（）A.B.復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限C.D.的實(shí)部與虛部之積為-410.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上有且僅有一個零點(diǎn)，則的值可以為（）A.B.C.D.11.中國古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長.如圖①所示的五脊殿是中國傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖是如圖②所示的五面體，在圖②中，四邊形為矩形，，與是全等的等邊三角形，則（）A.五面體的體積為B.五面體的表面積為C.與平面所成角為D.當(dāng)五面體的各頂點(diǎn)都在球的球面上時，球的表面積為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，則__________，__________.13.已知圓臺的上?下底面的面積分別為，側(cè)面積為，則該圓臺的高為__________.14.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作斜率為的直線與的右支交于點(diǎn)，且點(diǎn)滿足，且，則的離心率是__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線的方程；（2）討論的極值.16.（15分）如圖，在三棱柱中，平面是線段上的一個動點(diǎn)，分別是線段的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為.（1）求證：；（2）當(dāng)二面角的大小為時，求.17.（15分）近年來，某大學(xué)為響應(yīng)國家號召，大力推行全民健身運(yùn)動，向全校學(xué)生開放了兩個健身中心，要求全校學(xué)生每周都必須利用課外時間去健身中心進(jìn)行適當(dāng)?shù)捏w育鍛煉.（1）該校學(xué)生甲?乙?丙三人某周均從兩個健身中心中選擇其中一個進(jìn)行健身，若甲?乙?丙該周選擇健身中心健身的概率分別為，求這三人中這一周恰好有一人選擇健身中心健身的概率；（2）該校學(xué)生丁每周六?日均去健身中心進(jìn)行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個健身中心的其中一個，其中周六選擇健身中心的概率為.若丁周六選擇健身中心，則周日仍選擇健身中心的概率為；若周六選擇健身中心，則周日選擇健身中心的概率為.求丁周日選擇健身中心健身的概率；（3）現(xiàn)用健身指數(shù)來衡量各學(xué)生在一個月的健身運(yùn)動后的健身效果，并規(guī)定值低于1分的學(xué)生為健身效果不佳的學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其值低于1分的概率為0.02.現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，如果抽取到的學(xué)生不是健身效果不佳的學(xué)生，則繼續(xù)抽取下一個，直至抽取到一位健身效果不佳的學(xué)生為止，但抽取的總次數(shù)不超過.若抽取次數(shù)的期望值不超過23，求的最大值.參考數(shù)據(jù)：.18.（17分）已知平面上一動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到定直線的距離小，記動點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）點(diǎn)為上的兩個動點(diǎn)，若恰好為平行四邊形的其中三個頂點(diǎn)，且該平行四邊形對角線的交點(diǎn)在第一?三象限的角平分線上，記平行四邊形的面積為，求證：.19.（17分）給定正整數(shù)，設(shè)集合.對于集合中的任意元素和，記.設(shè)，且集合，對于中任意元素，若，則稱具有性質(zhì).（1）若集合具有性質(zhì)，試寫出的表達(dá)式；（2）判斷集合是否具有性質(zhì)？若具有，求的值；若不具有，請說明理由；（3）是否存在具有性質(zhì)的集合？若存在，請找出來；若不存在，請說明理由.數(shù)學(xué)（一）一?選擇題1.B【解析】，10），，所以.故選B項.2.A【解析】因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，解得4.故選A項.3.C【解析】至少要選中一名女生的對立事件是選中的全為男生，故所求挑選方案的種數(shù)為.故選項.4.B【解析】2023年前5個月我國純電動汽車的銷量為萬輛萬輛，項正確；將這13個月純電動汽車的月度銷量由小到大依次排列為，，則中位數(shù)為其中第7個數(shù)據(jù)，即49萬輛，B項錯誤；這些數(shù)據(jù)中只有52.2出現(xiàn)2次，其他數(shù)據(jù)均只出現(xiàn)1次，故眾數(shù)為52.2萬輛，C項正確；2023年1月的同比增長率為負(fù)數(shù)，故和上一年同期相比，我國純電動汽車月度銷量有增有減，D項正確.故選B項.5.B【解析】設(shè)，如圖，記為的左焦點(diǎn)，連接，則由橢圓的對稱性可知，由，設(shè)，則.又軸，所以，即，所以解得所以的長軸長為.故選B項.6.D【解析】因?yàn)閳A的方程為，所以圓心，半徑.因?yàn)槭菆A的兩條切線，所以，由圓的知識可知四點(diǎn)共圓，且，所以，又，所以當(dāng)最小，即時，取得最小值，此時，所以.故選D項.7.B【解析】由，得①，當(dāng)時，②，由①-②得，即的奇數(shù)項和偶數(shù)項均為公差為2的等差數(shù)列，所以，若為等差數(shù)列，則其公差顯然為1，即.又，所以，此時，即，所以為等差數(shù)列，即“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件可以是.故選B項.8.D【解析】因?yàn)?，所以，由，可得，故和是方程的兩個實(shí)數(shù)根.因?yàn)?，所以和的取值范圍都是，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上均單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故方程在區(qū)間上只有一個根，所以，所以，所以，所以.故選D項.二?選擇題9.ACD【解析】設(shè)，則由已知得，即，所以解得所以，則，故A項正確，B項錯誤；的實(shí)部為-4，虛部為1，所以的實(shí)部與虛部之積為-4，故C，D項正確.故選ACD項.10.BC【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)樵趨^(qū)間上有且僅有一個零點(diǎn)，所以在區(qū)間上有且僅有一個實(shí)數(shù)根，所以，解得.因?yàn)椋?，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，且根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，解得.綜上，的取，值范圍是.故選項.11.ACD【解析】如圖①，可將該五面體分割成四棱錐，直三棱柱，四棱錐三部分，由對稱性可知四棱錐與四棱錐的體積相等，易求得的邊上的高，所以五面體的體積項正確.五面體的表面積3），B項錯誤.設(shè)與平面所成角為，則，又為銳角，所以，C項正確.如圖②，連接交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢榫匦危詾榫匦瓮饨訄A的圓心，連接，則平面，分別取的中點(diǎn)，根據(jù)幾何體EFBCDA的對稱性可知，直線交于點(diǎn).連接，則，且為的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，連接，在與中，易知，梯形為等腰梯形，所以，且.設(shè)，球的半徑為，連接，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，由球的性質(zhì)可知，易得，則，此時無解；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時，由球的性質(zhì)可知，解得.所以，所以球的表面積，D項正確.故選ACD項.三?填空題12.【解析】由題意得，所以.13.【解析】由題意得圓臺的上?下底面的半徑分別為2，6，設(shè)圓臺的母線長為，高為，則該圓臺的側(cè)面積，解得，所以.14.【解析】如圖，直線的斜率為.由，得點(diǎn)為的中點(diǎn)，又，所以是線段的垂直平分線，所以，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由已知得，所以，所以，所以，即，所以，又，所以，所以，所以，由雙曲線的定義可得，即，所以，可得，整理得，即，解得或（舍去），又題中直線與的右支有交點(diǎn)，所以，即，所以，即，所以，即，所以的離心率為.四?解答題15.解：（1）當(dāng)時，，所以，因?yàn)?，所以，所以的方程?），即.（2）的定義域?yàn)椋?因?yàn)?，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得極大值為，無極小值.16.（1）證明：因?yàn)榉謩e是線段的中點(diǎn)，所以.在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，所以，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?因?yàn)槠矫?，平面平面，所?（2）解：解法一：在直三棱柱中，平面，所以，又，所以兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則所以.設(shè)平面的法向量為，則即令，得.平面的一個法向量為，4），則，解得或（舍去）.綜上，當(dāng)二面角的大小為時，.解法二：作，交于點(diǎn)，連接.因?yàn)?，所以，所以四點(diǎn)共面，所以平面平面.因?yàn)?，所以平面，所以平面，所以，所以為二面角的平面?若，則在Rt中，，又，所以，又，所以.17.解：（1）由題意得這三人中這一周恰好有一人選擇健身中心健身的概率.（2）記事件：丁周六選擇健身中心，事件：丁周日選擇健身中心，則由全概率公式得.故丁周日選擇健身中心健身的概率為.（3）設(shè)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽取到的學(xué)生是健身效果不佳的學(xué)生的概率為，則，設(shè)抽取次數(shù)為，則的分布列為123故p），又，兩式相減得，所以，而在時單調(diào)遞增，結(jié)合0.535，可知當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，23.25.若抽取次數(shù)的期望值不超過23，則的最大值為30.18.（1）解：解法一：設(shè)，易知，根據(jù)題意可得，化簡得，所以的方程為.解法二：因?yàn)辄c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到定直線的距離小，所以點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等，由拋物線的定義可知，點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以的方程為.（2）證明：設(shè)，直線的斜率為，線段的中點(diǎn)為，因?yàn)槠叫兴倪呅蜯ANB對角線的交點(diǎn)在第一?三象限的角平分線上，所以線段的中點(diǎn)在直線上，設(shè)，所以所以，又所以，即.設(shè)直線的方程為，即，聯(lián)立整理得，所以，解得，，則....又點(diǎn)到直線的距離為，所以..，記，因?yàn)?，所以，所?令，則，令，可得，當(dāng)時，在區(qū)