2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第二章第6節(jié)　對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

第6節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

考綱要求1.理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或

常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用；2.理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對數(shù)函

數(shù)圖象通過的特殊點，會畫底數(shù)為2,10,T的對數(shù)函數(shù)的圖象；3.體會對數(shù)函數(shù)是一類重要

的函數(shù)模型；4.了解指數(shù)函數(shù)y=∕(a>0,且a#1)與對數(shù)函數(shù)y=log>0,且“六1)互為反

函數(shù).

知識分類落實回扣知識?夯實基礎(chǔ)

知識梳理

L對數(shù)的概念

如果爐=Ma>0，且。#1)，那么X叫做以。為底N的對數(shù)，記作x=l(‰N,其中“叫做對

數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

2.對數(shù)的性質(zhì)、運算性質(zhì)與換底公式

⑴對數(shù)的性質(zhì)：①HogH=N;②IogM=仇α>0,且αWl).

(2)對數(shù)的運算性質(zhì)

如果4>0且“≠l,M>0,N>0,那么

①log/MM=bg,,M+loqN;

?M

②log“W=log“M-IogJV;

③log"ΛΓ=∕?M("∈R).

(3)換底公式：logW=??,6均大于零且不等于1,7V>0).

3.對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)概念：函數(shù)y=logux(α>0,且"Wl)叫做對數(shù)函數(shù)，其中X是自變量，函數(shù)的定義域是(0,

+∞).

(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>?0<a<?

)

\『1戶IogMx=l

圖象\；(1,0)

。心0)?

?v

1>=∣0g,Λ

定義域：(0,+8)

值域:R

當(dāng)x=l時，y=0,即過定點(1,0)

性質(zhì)

當(dāng)Ql時，y>0；當(dāng)x>l時，y<0;

當(dāng)0<x<l時，><0當(dāng)0<x<l時，y>0

在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

4.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=α"3>0,且4Wl)與對數(shù)函數(shù)y=logd(a>0,且αWl)互為反函數(shù)，它們的圖象

關(guān)于直線三對稱.

?—常用結(jié)論與微點提醒—?

?

1.換底公式的兩個重要結(jié)論

(I)Iog〃Z?=]0O/Q(〃>O,且ar1；?≥0,且

Yl

w

(2)loga,,,ft=_log,,fe(a>0,且a≠l;?>0;m,∕ι∈R,且m≠0).

2.在第一象限內(nèi)，不同底的對數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.

3.對數(shù)函數(shù)y=k>gox(a>0,且aWl)的圖象過定點(1,0),且過點(a,1),&-1),函數(shù)圖

象只在第一、四象限.

診斷自測

??思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

2

(l)Iθg2X=21θg2Λ.()

(2)函數(shù)y=l0g2(x+l)是對數(shù)函數(shù).()

]+χ

(3)函數(shù)y=lnQ與y=ln(l+x)—In(I-X)的定義域相同.()

(4)當(dāng)x>l時，若IogeIc)gg則a<b.()

答案(1)×(2)×(3)√(4)X

解析(I)IOg>2=21og2∣H,故(1)錯誤.

(2)形如y=logd(a>0,且QwI)為對數(shù)函數(shù)，故(2)錯誤.

(4)#0<b<l<a9則當(dāng)時，logd>log∕Λ,故(4)錯誤.

〉教材衍化

2.1og29×log34+21og5?0+log50.25=()

A.0B.2C.4D.6

答案D

2

解析原式=2log23X(21og32)+log5(10×0.25)=4+log525=4+2=6.

3.函數(shù)y=log，%-1)+2(“>0,且αW1)的圖象恒過的定點是.

答案⑵2)

解析當(dāng)x=2時，函數(shù)y=log,,(x—l)+2(α>0,且的值為2,所以圖象恒過定點(2,2).

>考題體驗

4.(2020?全國I卷)設(shè)HOg34=2,則4]=()

B9C?8DI

答案B

解析法一因為Hog34=2,所以log34"=2,則4"=32=9,所以O(shè)"=/=3.故選B.

2

法二因為αlog34=2,所以α=荔N=2iog43=log432=log49,所以4"=4—log49

=41og49∣=91=1故選B.

5.(2019?天津卷)已知。=log27,?=log38,C=O.3%則小5C的大小關(guān)系為()

A.c<b<aB.tz<?<cC.b<c<aD.c<a<b

答案A

解析顯然C=O.3θ?2∈(O,1).因為Iog33<log38<log39,所以1<&<2.因為log27>log24=2,所

以〃>2.故c<b<a.

6.(2021?陜西名校聯(lián)考)若log2x+log4γ=h則()

A?x2y=2BT=4C,xy1=2D,xy2=4

答案B

I11

1--

解析log2x+log4y=log2x+5log2y=log2x+log2)R=log2(xy2)=l,所以孫2=2,兩邊平方得

x2y=4.

考點分層突破考點聚焦?題型剖析

考點一對數(shù)的運算自主演練

1.設(shè)2"=5方=加，此+卷=2,則m=()

A.√10B.10C.20D.100

答案A

解析由已知，得α=log2",?=log5∕∕2,

--

則+r^=log"2+log,“5=log,w10=2.

ablθg2∕H10g5∕H&&&

因此“2=10,機(jī)=#5.

2.(2019?北京卷)在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度

滿足他一如=|康，其中星等為儂的星的亮度為E/=l,2).已知太陽的星等是一26.7,

天狼星的星等是一1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為()

A.1OIOJB.10.1C.lg10.1D.10101

答案A

解析依題意，，"1=-26.7,"22=-1.45,代入所給公式得號g言=-1.45—(—26.7)=25.25.

所以Ig葛=25.25x1=1。/，即M=Iom.

2

一、，,(I-IOg63)+log62?log618

3?計算：log64=-------------

答案1

1—21oge3+(Iog。3)2+log6β?log6(6×3)

解析原式=-----------------癡L-------------

1—21og63+(Iog63)2+1—(Iog63)?

Iogδ4

2(1—k>g63)log66-log63匕虛

21ogβ2-logβ2-log62-'

4.已知α>A>l,若log.b+k)g∕,α=5,Ob=見貝IJa=,b=.

答案42

解析設(shè)IOgba=t,則r>l,

因為r+∣=∣,

ba

所以t=2,則Q=ZA又a=b9

所以從。=加2,即2。=火

又0>fc>l,解得b=2,a=4.

感悟升華1.在對數(shù)運算中，先利用賽的運算把底數(shù)或算數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形

式，使賽的底數(shù)最簡，然后用對數(shù)運算法則化簡合并.

2.先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算法則，轉(zhuǎn)化為同底

對數(shù)真數(shù)的積、商、幕再運算.

3d=N0b=log,N(a>O,且αWl)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運算中應(yīng)注意

互化.

考點二對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用師生共研

【例1】(1)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=5，y=k)g"Q+0(α>O,且a#l)的圖象可能是

()

lθg2X>x>0,

(2)已知函數(shù)T(X)=L八且關(guān)于X的方程7U)+x—α=o有且只有一個實根，則實數(shù)4

,3Λ,XW0,

的取值范圍是.

答案(I)D(2)(1,+∞)

解析(1)若則y=5單調(diào)遞減，A,B,D不符合，且y=log.(x+9過定點Q，0)，C

項不符合，

因此(Xa<l.

當(dāng)0<α<l時，函數(shù)y=爐的圖象過定點(0,1),在R上單調(diào)遞減，于是函數(shù)y=5的圖象過

定點(0,1),在R上單調(diào)遞增，函數(shù)y=log((x+;)的圖象過定點&0)，在+8)上

單調(diào)遞減.因此，選項D中的兩個圖象符合.

(2)如圖，在同一坐標(biāo)系中分別作出y=,*x)與y=-x+α的圖象，其中。表示直線y=—x+。

在y軸上的截距.

由圖可知，當(dāng)時，直線y=-x+α與y=7U)只有一個交點.

感悟升華1.在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點（與坐

標(biāo)軸的交點、最高點、最低點等）排除不符合要求的選項.

2.一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

【訓(xùn)練1】⑴已知函數(shù)y=log"（x+c）（α,C為常數(shù)，其中α>0,且“≠l）的圖象如圖，則下

列結(jié)論成立的是（）

A.4>l,OlB.a>l,O<c<l

C.O<tz<l,OlD.O<α<1,0<c<1

xlx2x3

(2)(2021?西安調(diào)研)設(shè)MX2,X3均為實數(shù),且e~=lnxt,e~=ln(x2+Qe~=lg??,則()

A?Λ1<%2<X3B.X|<Y3<%2CaD.X2<X↑<X3

答案(I)D(2)D

解析⑴由題圖可知，函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，所以O(shè)<α<l.又當(dāng)x=0時，)>0,即IogaC>0,

所以O(shè)<c<l.

X

(2)畫出函數(shù)y=g,y=lnx,y=ln(x+l),y=lgx的圖象，如圖所示：

考點三解決與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題多維探究

角度1比較對數(shù)值大小

2

【例2】（1）（2020?全國III卷）設(shè)α=log32,?=log53,c=g,貝∣J（）

?.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

(2)(2021?衡水中學(xué)檢測)已知，?=log10.2,c=α”,則α,4c的大小關(guān)系是()

2

?.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a

答案(I)A(2)B

解析(I)?.?31og32=log38v2,.?.log32q,即4<c.

V?log??=log527>2,Λlog53>∣,即b>c.

??.α<c<A.故選A.

X0.2

(2)函數(shù)y=(；)與y=k)g產(chǎn)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，貝∣J0<(；)<Klog10.2,J.a<b.

22

1

0.21og-0.2Iog10.20.20.2

又C=M=6)-=(，2=O.2°?2<(0=a9所以fc>α>c.

角度2解簡單的對數(shù)不等式

【例3】已知定義域為R的偶函數(shù)在(一8,0］上是減函數(shù),且<1)=2,則不等式"og2x)>2

的解集為()

A.(2,+∞)B.(θ,∣)u(2,+∞)

C(O,^U(√2,+∞)D.(√2,+∞)

答案B

解析因為偶函數(shù)火X)在(-8,0］上是減函數(shù)，所以Tu)在(0,+8)上是增函數(shù).

又IAl)=2,所以不等式./(log2x)>2=∕U),

即∣log2x∣>l,解得0<Λ<∣或x>2.

角度3對數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

［例4］(2020,合肥調(diào)研)己知函數(shù)70:)=1082?+，.

(1)若函數(shù)?r)是R上的奇函數(shù)，求“的值；

(2)若函數(shù);(X)的定義域是一切實數(shù)，求”的取值范圍；

(3)若函數(shù)兀V)在區(qū)間［0,I］上的最大值與最小值的差不小于2,求實數(shù)”的取值范圍.

解⑴若函數(shù)γω是R上的奇函數(shù)，則,*o)=o,

.*.log2(l+a)=0,，。=0.

當(dāng)Q=O時，y(x)=-X是R上的奇函數(shù).

所以a=0.

(2)若函數(shù)火x)的定義域是一切實數(shù)，則!+α>0恒成立.

即”>一萬恒成立，由于一±∈(-8,0),

故只要“20,則a的取值范圍是［0,+∞).

(3)由已知得函數(shù)段)是減函數(shù),故y(x)在區(qū)間［0,1］上的最大值是Ko)=IOg2(l+α),最小值

是加)=1。826十，

由題設(shè)得l0g2(1÷α)—log2Q÷2,

則k>g2(l+a)21og2(4a+2).

fl+o24q+2,I∣

?L+2>O,解彳y)?

故實數(shù)α的取值范圍是(一；，-1.

感悟升華1.比較對數(shù)值的大小與解形如lθg√(x)>lθgαg(x)的不等式，主要是應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)

性求解，如果”的取值不確定，需要分”>l與0<a<l兩種情況討論.

2.與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問

題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些

基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.

【訓(xùn)練2］(1)已知a=log23+log2√3,fc=log29~log2√3,C=IOg32,則a,b,C的大小關(guān)

系是()

A..a=b<cB.a=h>cC.a<h<cD.a>h>c

(2)已知函數(shù)兀V)=IOga(8-nx)(α>0,且αWl),若加)>1在區(qū)間［1,2］上恒成立，則實數(shù)〃的

取值范圍是.

答案(I)B(2)。，D

解析⑴因為α=log23+k>g2小=log23小=Tc)g23>l,b=log29—log2√3=log23??∕3=a,c=

Iog32<log33=1.所以cι=b>c.

⑵當(dāng)時，yω=k)g,(8—Or)在［1,2］上是減函數(shù),由式戲>1在區(qū)間［1,2］上恒成立，

=

則/(?)ininfi2)—lθgrt(8-2〃)>1,

即8~2a>a9且8—2π>0,

Q

解得?<a<-.

當(dāng)O<α<l時，於)在[1,2]上是增函數(shù)，

由於)>1在區(qū)間口,2]上恒成立，

知7(x)min=∕U)=log"(8-α)>l,且8-2tz>O.

Λ8-a<α?8-2a>0,此時解集為0.

綜上可知，實數(shù)”的取值范圍是(1,I).

課后鞏固作業(yè)分層訓(xùn)練?提升能力

A級基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.設(shè)α=logθ2θ.3,Z>=log20.3,則()

A.α+X"<0B.ab<a+b<0

C+b<0<abD.ab<0<a+b

答案B

解析由題設(shè)，得5=k>go,3θ.2>θ,∣=logo,32<0.

0<^+∣=logo.30.4<1,BP0<r^<1.

又a>0,?<0,故ab<a+b<0.

2.(2021?濮陽模擬)已知函數(shù)y(x)=lg(3*+*+,")的值域是全體實數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍

是()

A.(—4,+co)B.[—4,+°o)

C.(—8,—4)D.(—8,—4]

答案D

4

解析由題意可知3*+京+機(jī)能取遍所有正實數(shù).

4

又3*+市+機(jī)2加+4,所以m+4W0,即mW—4.

3

???實數(shù)機(jī)的取值范圍為(-8,-4].

3.已知lgα+lgb=O,則函數(shù)/冗)=。一*與函數(shù)g(x)=log∕Λ的圖象可能是()

答案c

解析由lga+Igb=0,得次?=L

~x

.\危)=小=a=bx,

因此yU)=Z∕與g(x)=lθg∕Λ單調(diào)性相同.

A,B,D中的函數(shù)單調(diào)性相反，只有C的函數(shù)單調(diào)性相同.

4.若函數(shù)y(x)=R+Λ3,則∕lg2)+,(lg+y(lg5)+.(lg=()

A.2B.4C.6D.8

答案A

解析由于/(x)=∣x∣+x3,得火一x)+y(x)=2∣x∣.

又IgI=-?g2,IgI=-Ig5.

所以原式=2∣lg2∣+2∣lg5∣=2(lg2+Ig5)=2.

5.已知"=log3^,/>=（；）,C=IOgL/，則”，?,C的大小關(guān)系為（）

?.cι>b>cB.h>a>cC.c>h>aD.c>a>h

答案D

解析log?7=log3-ι5l=log35,因為函數(shù)y=logsx在（0,+8）上為增函數(shù),

所以log35>log3^>log33=l,因為函數(shù)y=G）在R上為減函數(shù)，所以Qyo=1，故c>a>b.

6.若函數(shù)/（x）=log"（χ2+∣χ）3>0,且αWl）在區(qū)間（：，+8）內(nèi)恒有犬χ）>o,則段）的單調(diào)遞增

區(qū)間為（）

A.(0,+∞)B.(2,+∞)C.(I,+∞)D.k,+∞J

答案A

解析令M=Λ2+,X,當(dāng)XW&+8)時，M∈(l,+∞),恒有段)>0,所以“>1,所以函

2

數(shù)y=IogJW為增函數(shù)，又M=(X+,),

因為M的單調(diào)遞增區(qū)間為(一*+∞).

33

又/+/>0,所以x>0或x<一,，

所以函數(shù)火X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(O,+∞).

二、填空題

7.若Iog43=mlog23,則Iog電，〃=.

答案一2

解析Vlog43=^log23,Λwj=∣,/.log電機(jī)=-2.

8.(2021?濟(jì)南一中檢測)已知函數(shù)y=log"(2χ-3)+2(a>0且4Wl)的圖象恒過定點A,若點A

也在函數(shù)./U)=3*+b的圖象上，則匕=.

答案一7

解析令Zv-3=1,得x=2,.?.定點為A(2,2),將定點A的坐標(biāo)代入函數(shù)加x)中，得2=

32+b,解得b=-7.

2IrXVl

'''則滿足兀v)W2的X的取值范圍是________.

{1—10g2X,x>l?

答案［0,+∞)

解析當(dāng)XWI時，由2∣r<2,解得x20,所以O(shè)WXW1；

當(dāng)x>l時，由1—log2%W2,解得x2；，所以x>l.

綜上可知，xN0.

三、解答題

10.已知y(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x20時，式X)=Iog"(x+l)(α>0,且αWl).

(1)求函數(shù)式x)的解析式；

(2)若一l<√U)vl,求實數(shù)4的取值范圍.

解(1)當(dāng)x<0時，-x>0,

由題意知火-x)=log“(一x+1),

又兀0是定義在R上的偶函數(shù)，所以五一X)=AX).

所以當(dāng)x<0時，危)=k>g“(-x+l),

所以函數(shù)式x)的解析式為

∣0g(%+1),X≥0,

f(χ)='α

IOgU(-χ+1),x<0.

(2)因為一1勺所以一IVIOga2v<

所以log^<logrt2<log√z.

μ<2,

①當(dāng)“>1時，原不等式等價于V解得〃>2；

、〃>2,

∫i>2,

②當(dāng)(X"<ι時，原不等式等價于F

0<2,

解得0<?<1.

綜上，實數(shù)”的取值范圍為(0,，U(2,+∞).

11.已知函數(shù)/U)=log?為常數(shù))是奇函數(shù).

(1)求a的值與函數(shù)y(x)的定義域；

(2)若當(dāng)XG(1,+8)時，y(χ)+iog2(χ-1)AW恒成立，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

解(1)因為函數(shù)<X)=log2罟?是奇函數(shù),

所以貝一X)=—/U),

1—ax1+ax

所以bg2*T-Iθg2-P

ax—1χ-l

即logτT+Γ=*og2ι?,

1+χ

所以。=1,於)=log2￡7p

1+χ

令K>°,解得x<τ或9,

所以函數(shù)的定義域為{x∣XV—1或X>1}.

(2Mx)+log2(χ-l)=log2(l+x),

當(dāng)x>l時，x+l>2,所以Iog2(l+x)>log22=l.

因為Xe(1,+8)時，y(x)+iog2(x—1)>機(jī)恒成立,

所以機(jī)<1,所以機(jī)的取值范圍是(-8,