單元提升卷07 平面向量與復(fù)數(shù)（解析版）

單元提升卷07平面向量與復(fù)數(shù)（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)以及復(fù)數(shù)的除法運算，即可求得答案.【詳解】由題意得，故選：B2．如圖，在梯形中，，，設(shè)，，則（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的線性運算，即可求得答案.【詳解】由題意得E為中點，故，故選：C3．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量與平行．若，，則BC邊上的中線AD為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量平行列方程，利用平方的方法求得.【詳解】由于向量與平行，所以，由正弦定理得，由于所以，由于，所以.，兩邊平方得，所以.故選：D4．已知兩個單位向量滿足．則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知求得，再由數(shù)量積求向量的夾角公式求解．【詳解】由已知可得，，由，得，則，，，，∴向量與的夾角為.故選：B5．已知復(fù)數(shù)，是關(guān)于的方程的兩根，則下列說法中不正確的是（

）A． B．C． D．若，則【答案】B【分析】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程得，，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的概念、運算判斷各選項．【詳解】對于關(guān)于的方程，則，∴，不妨設(shè)，，，故A正確；，故C正確；，∴，當時，，故B錯誤；當時，，，所以，，，同理，故D正確．故選：B．6．設(shè)為函數(shù)（）圖象上一點，點，為坐標原點，，的值為（

）A．-4 B． C．4 D．1【答案】A【分析】由數(shù)量積的定義表示求出，再利用條件，結(jié)合點在函數(shù)（）圖象上，可求出點，從而解決問題.【詳解】設(shè)點，則，，

，又，則可得，又，則，解得，所以.故選：A

7．在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境，兩個人共提一個行李包.假設(shè)行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個拉力分別為，，且，與的夾角為.給出以下結(jié)論：①越大越費力，越小越省力；②的范圍為；③當時，；④當時，.其中正確結(jié)論的序號是（

）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】利用平面向量的加法運算以及模長、數(shù)量積公式進行求解.【詳解】對于②，當時，故無法抬動物體，故②錯誤；對于①，根據(jù)題意，得，所以，解得，因為時，單調(diào)遞減，所以越大越費力，越小越省力，故①正確；對于③，因為，所以當時，，所以，故③錯誤；對于④，因為，所以當時，，所以，故④正確.故選：B.8．在中，，，.若，分別為邊，上的點，且滿足，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量基底法進行轉(zhuǎn)化并結(jié)合數(shù)量積運算公式、二次函數(shù)相關(guān)知識求解即可.【詳解】由題意得，，，因為，，所以，，所以，因為，所以，函數(shù)開口向下，對稱軸為，當時，取最大值.故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．下列與平面向量相關(guān)的結(jié)論正確的是（

）．A．在四邊形中，若，則該四邊形為平行四邊形B．對任意一個等邊，都成立C．對于非零向量，，成立的充要條件是，方向相同D．對于非零向量，，成立的充要條件是，方向相同【答案】AD【分析】根據(jù)向量相等的定義，以及向量數(shù)量積的公式，即可判斷選項.【詳解】A.由向量相等可知，，且，所以四邊形為平行四邊形，故A正確；B.對任意一個等邊，應(yīng)是都成立，故B錯誤；C.因為，所以，若，則，則或，即，方向相同或相反，反過來，，方向相同，則，即，所以應(yīng)是充分不必要條件，故C錯誤；D.對于非零向量，，成立的充要條件是，方向相同，故D正確.故選：AD10．已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．B．C．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點的坐標是D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為，則【答案】AB【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷BCD，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計算即可求解B.【詳解】由已知，其對應(yīng)點坐標為，C錯；，A正確；由知對應(yīng)的點在以對應(yīng)點為圓心，2為半徑的圓上，，因此，B正確；對應(yīng)點坐標為，因此,故D錯誤，故選：AB.11．已知點O為所在平面內(nèi)一點，且，則下列選項正確的是（

）A．直線不過邊的中點B．C．若，則D．【答案】ABC【分析】利用向量加法法則結(jié)合向量線性運算計算判斷D；假定AO過BC的中點，利用平面向量基本定理判斷A；取點使得，結(jié)合重心性質(zhì)計算判斷B，利用數(shù)量積及運算律計算判斷C作答.【詳解】對于D，，因為，，所以，即，則，可得，故D錯誤；對于A，設(shè)的中點為，則.若直線過的中點，則存在實數(shù)滿足，由選項D知，，而與不共線，則有且，無解，即不存在，不過邊的中點，故A正確；對于B，取點使得，則，即點為的重心，如圖，則.而，同理可得，因此，故B正確；對于C，由，得，而，則，解得，所以，故C正確.故選：ABC.12．如圖1，甲同學(xué)發(fā)現(xiàn)家里的地板是正方形的形狀，地板的平面簡化圖如圖2所示，四邊形和四邊形均為正方形，且為的中點，則下列各選項正確的是（

）A．B．C．向量在向量上的投影向量為D．向量在向量上的投影向量為【答案】BCD【分析】連接，取的中點，取的中點，則為的中點，易得，分別是，的中點．利用勾股定理判斷A，根據(jù)正方形的性質(zhì)及向量線性運算判斷B，過作于，利用等面積法求出，即可求出，即可判斷C，依題意可得且，即可判斷D.【詳解】如圖，連接，取的中點，取的中點，則為的中點，易得，分別是，的中點．因為，所以，即，故A錯誤．易得，則，因為，，所以，故B正確．過作于，設(shè)，則，，由等面積法得，得，則，所以，所以向量在向量上的投影向量為，故C正確．易得，，所以，因為，所以，則向量在向量上的投影向量為，故D正確．故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復(fù)數(shù)滿足，則.【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)條件得到，求出和的值即可.【詳解】設(shè)，，?則，而，由題意知，，則，解得，所以.故答案為：14．已知，，則在方向上的投影向量的坐標為．【答案】【分析】根據(jù)平面數(shù)量積的幾何意義，結(jié)合數(shù)乘的坐標表示，可得答案.【詳解】設(shè)與的夾角為，在方向上的投影向量為.故答案為：.15．已知對任意平面向量，把B繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到向量叫做把點B繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到點P.已知平面內(nèi)點，點，把點B繞點A沿逆時針后得到點P，向量為向量在向量上的投影向量，則.【答案】/【分析】根據(jù)題意，計算出，再利用投影向量的定義及模長公式即得.【詳解】因為，，所以，，所以P點坐標為，所以，所以.故答案為：.16．在直角梯形，，，，，，分別為，的中點，點在以為圓心，為半徑的圓弧上變動（如圖所示），若，其中，，則的取值范圍是.【答案】【分析】結(jié)合題意建立直角坐標系，得到各點的坐標，再由得到，，從而得到，由此可求得的取值范圍.【詳解】結(jié)合題意建立直角坐標，如圖所示：.則，，，，，，則，，，，∵，∴，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故，即.故答案為:四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．在①，②為虛數(shù)，③為純虛數(shù)，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.已知復(fù)數(shù)：.（1）若_______，求實數(shù)的值；（2）若復(fù)數(shù)的模為，求的值.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）從所給條件中選擇其一，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念進行計算即可得解；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，由模長公式進行計算即可得解.【詳解】（1）選擇①，則，解得.選擇②為虛數(shù)，則，解得.選擇③z為純虛數(shù)，則，，解得或.（2）由可知復(fù)數(shù).依題意，解得.因此.18．已知向量：.(1)求與的模長.(2)求與的數(shù)量積.(3)求與的夾角的余弦值.(4)借助向量和單位圓求證：【答案】(1)；(2)；(3)；(4)證明見解析.【分析】（1）利用向量模的坐標表示計算作答.（2）利用數(shù)量積的坐標表示計算作答.（3）利用（1）（2）的結(jié)論，結(jié)合向量夾角公式求解作答.（4）求出角的終邊與單位圓的交點坐標，再利用向量夾角公式推理作答.【詳解】（1）向量，則.（2）向量，則.（3）由（1）（2）知，與的夾角的余弦值.（4）令角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓分別交于點，

則，即，存在，使得或于是，所以.19．已知關(guān)于x的方程的兩個虛數(shù)根為．(1)若，求的取值范圍；(2)若，求實數(shù)a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)的運算可得，根據(jù)判別式得出的范圍，從而得出答案；（2）將平方，將韋達定理代入，結(jié)合判別式得出的范圍，可得答案.【詳解】（1）因為關(guān)于x的方程的兩個虛數(shù)根為，，則，，，且復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，即，若，，因為，所以，所以的取值范圍是；（2），因為，所以，所以.20．如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為CD，BC的中點，BE與AC，AF分別相交于M，N兩點.

(1)若，求λ；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意以為基底向量，根據(jù)平面向量基本定理運算求解；（2）由（1）可得，根據(jù)幾何性質(zhì)可得，進而結(jié)合數(shù)量積的定義以及運算律運算求解.【詳解】（1）以為基底向量，則，因為，所以，又因為∥，則存在唯一實數(shù)，使得，即，可得，解得，所以實數(shù)的值為.（2）由（1）可得因為∥，則，可得，由題意可得：，則，所以.21．如圖，向量，為單位向量，，點在內(nèi)部，，，.(1)當時，求，的值；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）以為原點，建立平面直角坐標系，設(shè)，其中，根據(jù)，得到，再由，得到，聯(lián)立方程組求得，結(jié)合，列出方程，即可求解；（2）根據(jù)題意得到，其中，結(jié)合，求得，得到，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：以為原點，以所在的直線為軸，以過點垂直軸的直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示，因為向量，為單位向量且，可得，設(shè)，其中，可得，又因為，可得，即，由，可得，聯(lián)立方程組，解得，又由，可得，可得.（2）解：因為且，可得，所以，其中，又因為，可得，可得，解得，所以，因為，可得，當時，即，此時，可得取得最大值，又由，所以的取值范圍為.22．已知，是平面內(nèi)任意兩個非零不共線向量，過平面內(nèi)任一點O作，，以O(shè)為原點，分別以射線、為x、y軸的正半軸，建立平面坐標系，如圖（1）.我們把這個由基底，確定的坐標系稱為基底坐標系.當向量，不垂直時，坐標系就是平面斜坐標系，簡記為.對平面內(nèi)任一點P，連結(jié)OP，由平面向量基本定理可知，存在唯一實數(shù)對，使得，則稱實數(shù)對為點Р在斜坐標系中的坐標.

今有斜坐標系（長度單位為米，如圖（2）），且，，設(shè)(1)計算的大?。?2)質(zhì)點甲在上距O點4米的點A處，質(zhì)點乙在oy上距O點1米的點B處，現(xiàn)在甲沿的方向，乙沿的方向同時以3米/小時的速度移動.①若過2小時后質(zhì)點甲到達C點，質(zhì)點乙到達D點，請用，，表示；②若時刻，質(zhì)點甲到達M點，質(zhì)點乙到達N點，求兩質(zhì)點何時相距最短，并求出最短距離.【答案】(1