第06講 向量概念（四大題型）（解析版）

第06講向量概念【題型歸納目錄】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．2、數(shù)量：只有大小，沒有方向的量（如年齡、身高、長(zhǎng)度、面積、體積和質(zhì)量等），稱為數(shù)量．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）本書所學(xué)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無(wú)特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．（2）看一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個(gè)要素．（3）向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大?。R(shí)點(diǎn)二：向量的表示法1、有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．2、向量的表示方法：（1）字母表示法：如等．（2）幾何表示法：以A為始點(diǎn)，B為終點(diǎn)作有向線段（注意始點(diǎn)一定要寫在終點(diǎn)的前面）．如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說向量． 知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）用字母表示向量便于向量運(yùn)算；（2）用有向線段來(lái)表示向量，顯示了圖形的直觀性．應(yīng)該注意的是有向線段是向量的表示，不是說向量就是有向線段．由于向量只含有大小和方向兩個(gè)要素，用有向線段表示向量時(shí)，與它的始點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，即同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量．知識(shí)點(diǎn)三：向量的有關(guān)概念1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用來(lái)表示向量的有向線段的長(zhǎng)度）．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）向量的模．（2）向量不能比較大小，但是實(shí)數(shù)，可以比較大小．2、零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫零向量．記作，它的方向是任意的．3、單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）在畫單位向量時(shí)，長(zhǎng)度1可以根據(jù)需要任意設(shè)定；（2）將一個(gè)向量除以它的模，得到的向量就是一個(gè)單位向量，并且它的方向與該向量相同．4、相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．知識(shí)點(diǎn)詮釋：在平面內(nèi)，相等的向量有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們的方向相同且長(zhǎng)度相等．知識(shí)點(diǎn)四：向量的共線或平行方向相同或相反的非零向量，叫共線向量（共線向量又稱為平行向量）．規(guī)定：與任一向量共線．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、零向量的方向是任意的，注意與0的含義與書寫區(qū)別．2、平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系．3、共線向量與相等向量的關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量．【典型例題】題型一：向量的基本概念【例1】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）溫度、速度、位移、功這些物理量是向量；（2）零向量沒有方向；（3）向量的模一定是正數(shù)；（4）非零向量的單位向量是唯一的．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】對(duì)于（1），溫度與功沒有方向，不是向量，故（1）錯(cuò)誤，對(duì)于（2），零向量的方向是任意的，故（2）錯(cuò)誤，對(duì)于（3），零向量的?？赡転?，不一點(diǎn)是正數(shù)，故（3）錯(cuò)誤，對(duì)于（4），非零向量的單位向量的方向有兩個(gè)，故（4）錯(cuò)誤，故選：A．【變式1-1】（2024·新疆·高一?？计谀┫铝姓f法正確的是（

）A．身高是一個(gè)向量B．溫度有零上溫度和零下溫度之分，故溫度是向量C．有向線段由方向和長(zhǎng)度兩個(gè)要素確定D．有向線段和有向線段的長(zhǎng)度相等【答案】D【解析】A：由向量即有大小（模長(zhǎng)）又有方向的量，顯然身高不是向量，故A錯(cuò)；B：溫度有零上溫度和零下溫度，顯然溫度可以比較大小，但無(wú)方向，故B錯(cuò)；C：有向線段有起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度三要素確定，故C錯(cuò)；D：有向線段和有向線段的長(zhǎng)度相等，故D對(duì).故選：D【變式1-2】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．質(zhì)量、速度、位移、加速度、功都是向量．B．方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大?。瓹．兩個(gè)向量相等，則表示它們的有向線段的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同．D．向量的?？梢员容^大?。敬鸢浮緿【解析】A.質(zhì)量、功不是向量，故A錯(cuò)誤；B.向量不能比較大小，故B錯(cuò)誤；C.相等向量指方向相同，長(zhǎng)度相等的向量，與起點(diǎn)和終點(diǎn)無(wú)關(guān)，故C錯(cuò)誤；D.向量的模是數(shù)量，可以比較大小，故D正確.故選：D【變式1-3】（2024·山西陽(yáng)泉·高一陽(yáng)泉市第十一中學(xué)校?？计谀┫铝忻}中真命題的個(gè)數(shù)是（

）（1）溫度?速度?位移?功都是向量（2）零向量沒有方向（3）向量的模一定是正數(shù)（4）直角坐標(biāo)平面上的x軸?y軸都是向量A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】（1）錯(cuò)誤，只有速度，位移是向量；溫度和功沒有方向，不是向量；（2）錯(cuò)誤，零向量有方向，它的方向是任意的；（3）錯(cuò)誤，零向量的模為0，向量的模不一定為正數(shù)；（4）錯(cuò)誤，直角坐標(biāo)平面上的軸、軸只有方向，但沒有長(zhǎng)度，故它們不是向量.故選：A.題型二：向量的表示方法【例2】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，某人從點(diǎn)A出發(fā)，向西走了200m后到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東走了200m到達(dá)D點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)D點(diǎn)在B點(diǎn)的正北方．(1)作出、、（圖中1個(gè)單位長(zhǎng)度表示100m）；(2)求的模．【解析】（1）根據(jù)題意可知，B點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，又因?yàn)镈點(diǎn)在B點(diǎn)的正北方，所以，又，所以，即D、C兩點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，；即可作出、、如下圖所示.（2）如圖，作出向量，由題意可知，且，所以四邊形是平行四邊形，則，所以的模為【變式2-1】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）用有向線段表示下列物體運(yùn)動(dòng)的速度．(1)向正東方向勻速行駛的汽車在2h內(nèi)的位移是60km（用的比例尺）；(2)做自由落體運(yùn)動(dòng)的物體在1s末的速度（用1cm的長(zhǎng)度表示速度2m/s）．【解析】（1），以為起點(diǎn)，向右作有向線段，它的長(zhǎng)度是3cm，（2），時(shí)，，以為起點(diǎn)，向下作有向線段，長(zhǎng)度為：【變式2-2】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）選擇適當(dāng)?shù)谋壤?，用有向線段表示下列向量．(1)終點(diǎn)A在起點(diǎn)O正東方向3m處；(2)終點(diǎn)B在起點(diǎn)O正西方向3m處；(3)終點(diǎn)C在起點(diǎn)O東北方向4m處；(4)終點(diǎn)D在起點(diǎn)O西南方向2m處．【解析】（1）從向東作長(zhǎng)度為3m的有向線段：（2）從向西作長(zhǎng)度為3m的有向線段：（3）從點(diǎn)起向北偏東方向作長(zhǎng)度為4m的有向線段：（4）從點(diǎn)起向南偏西方向作長(zhǎng)度為2m的有向線段：【變式2-3】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，與x軸的正方向所成的角為30°，與y軸的正方向所成的角為120°，試作出.【解析】如圖，根據(jù)方位角及長(zhǎng)度來(lái)確定.題型三：利用向量相等或共線進(jìn)行證明【例3】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形中，，分別是，的中點(diǎn).(1)寫出與向量共線的向量；(2)求證：.【解析】（1）因?yàn)樵谄叫兴倪呅沃?，，分別是，的中點(diǎn)，，，所以四邊形為平行四邊形，所以.所以與向量共線的向量為：，，.（2）證明：在平行四邊形中，，.因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，，故.【變式3-1】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，M，N分別為AD和BC的中點(diǎn)，以A，B，C，D，M，N為起點(diǎn)和終點(diǎn)作向量，回答下列問題：(1)在模為1的向量中，相等的向量有多少對(duì)？(2)在模為的向量中，相等的向量有多少對(duì)？【解析】（1）在模為1的向量中，相等的向量有:①，共有6對(duì)；②，共有6對(duì)；③，共有3對(duì)；④，共有3對(duì)；所以模為1的向量中，相等的向量共有18對(duì).（2）在模為的向量中，相等的向量有:.共有4對(duì).【變式3-2】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，，，分別是平面四邊形的邊，，，的中點(diǎn)，求證：．【解析】證明：如圖，連接AC，因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以，且，同理，因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，因?yàn)橄蛄颗c方向相同，所以.【變式3-3】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）在四邊形中，已知，求證：四邊形為平行四邊形．【解析】證明：在四邊形ABCD中，，所以，且所以四邊形為平行四邊形．題型四：向量知識(shí)在實(shí)際問題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例4】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，某船從點(diǎn)O出發(fā)沿北偏東30°的方向行駛至點(diǎn)A處，求該船航行向量的長(zhǎng)度（單位：nmile）．

【解析】由題意，所以向量的長(zhǎng)度為2nmile．【變式4-1】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）在如圖的方格紙上，已知向量，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1．(1)試以為終點(diǎn)畫一個(gè)有向線段，設(shè)該有向線段表示的向量為，使．(2)在圖中畫一個(gè)以為起點(diǎn)的有向線段，設(shè)該有向線段表示的向量為，且，并說出點(diǎn)的軌跡是什么？【解析】（1）如圖，感覺向量相等的定義，與的方向相同，長(zhǎng)度相等，即，即可得到向量；（2）如圖，畫出一個(gè)滿足條件的向量，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑的圓.【變式4-2】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）一艘軍艦從基地A出發(fā)向東航行了200海里到達(dá)基地B，然后改變航線向東偏北航行了400海里到達(dá)C島，最后又改變航線向西航行了200海里到達(dá)D島．（1）試作出向量；（2）求．【解析】（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，向量即為所求．（2）根據(jù)題意，向量與方向相反，故向量，又，∴在中，，故為平行四邊形，∴，則（海里）．【變式4-3】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知飛機(jī)從地按北偏東方向飛行到達(dá)地，再?gòu)牡匕茨掀珫|方向飛行到達(dá)地，再?gòu)牡匕次髂戏较蝻w行到達(dá)地．畫圖表示向量，并指出向量的模和方向．【解析】以為原點(diǎn)，正東方向?yàn)檩S正方向，正北方向?yàn)檩S正方向建立直角坐標(biāo)系．由題意知點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在x軸正半軸上，點(diǎn)在第四象限，向量如圖所示，由已知可得，為正三角形，所以．又，，所以為等腰直角三角形，所以，．故向量的模為，方向?yàn)闁|南方向．【變式4-4】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某人從A點(diǎn)出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向沿東北方向走了米到達(dá)C點(diǎn)，到達(dá)C點(diǎn)后又改變方向向西走了10米到達(dá)D點(diǎn)．（1）作出向量，，；（2）求的模．【解析】（1）作出向量，，；如圖所示：（2）由題意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝(米)，所以|米.【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列命題正確的是（

）A．零向量沒有方向 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【解析】對(duì)于A項(xiàng)：零向量的方向是任意的并不是沒有方向，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)：因?yàn)橄蛄康哪Ｏ嗟?，但向量不一定相等，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)：因?yàn)椋?，所以可得：，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)：若，則不共線的，也有，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.2．（2024·新疆烏魯木齊·高一?？计谀┫铝忻}：①方向不同的兩個(gè)向量不可能是共線向量；②長(zhǎng)度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量；④若，則.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】對(duì)于①，由共線向量的定義可知：方向相反的兩個(gè)向量也是共線向量，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，長(zhǎng)度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正確；對(duì)于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若，可能只是方向不相同，但模長(zhǎng)相等，故④錯(cuò)誤.故選：A3．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列命題不正確的是（

）A．零向量是唯一沒有方向的向量B．零向量的長(zhǎng)度等于0C．若，都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線D．若，，則【答案】A【解析】A選項(xiàng)，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由零向量的定義知，零向量的長(zhǎng)度為0，故B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)榕c都是單位向量，所以只有當(dāng)與是相反向量，即與是反向共線時(shí)才成立，故C正確；D選項(xiàng)，由向量相等的定義知D正確.故選：A4．（2024·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）下列結(jié)論中，不正確的是（

）A．向量共線與向量∥意義是相同的B．若=，則∥C．若向量，滿足，則=D．若向量=則向量=【答案】C【解析】選項(xiàng)A,由向量共線的定義可得向量共線與向量意義是相同的,故A正確;選項(xiàng)B,當(dāng)向量,則一定有,故B正確;選項(xiàng)C,向量滿足,但方向不定,故不一定有,故C錯(cuò)誤;選項(xiàng)D,由向量和相反向量可得向量,故D正確.故選:C.5．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）判斷下列各命題的真假，其中假命題的個(gè)數(shù)為（

）（1）向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等；（2）、是兩非零向量，且與平行，則與方向相同或相反；（3）如果表示兩個(gè)向量的有向線段有共同的終點(diǎn)，則這兩個(gè)向量一定是共線向量；（4）向量和向量是共線向量，則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線上；（5）為模為1的向量，則．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】對(duì)于（1），根據(jù)向量的模的概念，可知（1）正確；對(duì)于（2），根據(jù)平行向量的概念，可知（2）正確；對(duì)于（3），如圖1，的終點(diǎn)都是點(diǎn)，但是不共線，故（3）錯(cuò)誤；對(duì)于（4），如圖2，正方形中，向量和向量是共線向量，但是點(diǎn)A、B、C、D不在同一條直線上，故（4）錯(cuò)誤；對(duì)于（5），根據(jù)向量的概念，可知（5）錯(cuò)誤.所以，（3）（4）（5）為假命題.故選：C.6．（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知四邊形，下列說法正確的是（

）A．若，則四邊形為平行四邊形B．若，則四邊形為矩形C．若，且，則四邊形為矩形D．若，且，則四邊形為梯形【答案】A【解析】A選項(xiàng)，若，則且，則四邊形為平行四邊形，正確；選項(xiàng)，如圖，但是四邊形不是矩形，錯(cuò)誤；選項(xiàng)，若，且，則四邊形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故錯(cuò)誤．選項(xiàng)，若，且，則四邊形可以是平行四邊形，也可以是梯形，故錯(cuò)誤.故選：A7．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）下列命題：①若，則；②若，，則；③的充要條件是且；④若，，則；⑤若、、、是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件.其中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對(duì)于①，因?yàn)椋?、的方向不確定，則、不一定相等，①錯(cuò)；對(duì)于②，若，，則，②對(duì)；對(duì)于③，且或，所以，所以，“且”是“”的必要不充分條件，③錯(cuò)；對(duì)于④，取，則、不一定共線，④錯(cuò)；對(duì)于⑤，若、、、是不共線的四點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則且，此時(shí)，四邊形為平行四邊形，當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，由相等向量的定義可知，所以，若、、、是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件，⑤對(duì).故選：A.8．（2024·高一單元測(cè)試）如圖，等腰梯形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在兩腰、上，過點(diǎn)，且，則下列等式中成立的是（）

A． B．C． D．【答案】D【解析】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均錯(cuò)；因?yàn)椋瑒t，則，則，即，即，，則，，即為的中點(diǎn)，所以，，C錯(cuò)，D對(duì).故選：D.二、多選題9．（2024·寧夏銀川·高一?？茧A段練習(xí)）在下列結(jié)論中，正確的結(jié)論為（

）A．且是的必要不充分條件B．且是的既不充分也不必要條件C．與方向相同且是的充要條件D．與方向相反或是的充分不必要條件【答案】ACD【解析】因?yàn)榍?，所以或，若，則與方向相同且，所以且是的必要不充分條件，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)榕c方向相同且，所以，反之，若，則與方向相同且，所以與方向相同且是的充要條件，正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若與方向相反或，則，若，則與方向不同或，即由得不到與方向相反或，所以與方向相反或是的充分不必要條件，正確.故選：ACD10．（2024·高一校考課時(shí)練習(xí)）下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．若||=||，則=B．若≠，則||≠|(zhì)|C．零向量的長(zhǎng)度為0D．若則【答案】AB【解析】因?yàn)橄蛄考扔写笮∮钟蟹较?所以只有方向相同、大小(長(zhǎng)度)相等的兩個(gè)向量才相等,故A錯(cuò)誤;兩個(gè)向量不相等,但它們的?？梢韵嗟?故B錯(cuò)誤;零向量的長(zhǎng)度為0,故C正確;,則它們的相反向量也相等,故D正確.故選：AB.三、填空題11．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）給出下列命題：①若，則；②若單位向量的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)相同；③起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量；④向量與是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)必在同一直線上．其中正確命題的序號(hào)是．【答案】③【解析】①考慮的情況；②根據(jù)單位向量的定義判斷.③根據(jù)相等向量的定義判斷.④共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，所在直線可能平行也可能重合.①錯(cuò)誤．若，則①不成立；②錯(cuò)誤．起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)未必相同；③正確．對(duì)于一個(gè)向量只要不改變其大小和方向，是可以任意移動(dòng)的；④錯(cuò)誤．共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個(gè)向量與必須在同一直線上．故答案為：③12．（2024·廣東湛江·高一雷州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列四個(gè)說法：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，，則．其中錯(cuò)誤的是（填序號(hào)）．【答案】②③④【解析】由零向量的定義可知，①正確；時(shí)，不知道兩個(gè)向量的方向，不能得到或，②錯(cuò)誤；兩個(gè)向量共線，與模是否相等無(wú)關(guān)，③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，滿足，，但不能得到，④錯(cuò)誤.故答案為：②③④13．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列四個(gè)條件：①；②；③與方向相反；④或，其中能使成立的條件是.【答案】①③④【解析】因?yàn)榕c為相等向量，所以，即①能夠使成立；由于并沒有確定與的方向，即②不一定能使成立；因?yàn)楫?dāng)與方向相反時(shí)，則，即③能夠使成立；因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量共線，所以或時(shí)，能夠成立.故使成立