福建卷第21題 【尺規(guī)作圖與證明】（解析版）

押福痛卷第21題

尺規(guī)作圖與證明

押題探究

解題秘籍

解題技巧

(1)尺規(guī)作圖：考生備考時(shí)，要熟練掌握尺規(guī)基礎(chǔ)四種做法：畫線段、畫角、畫角平

分線、畫垂直平分線；所有尺規(guī)都需要由這四種去實(shí)現(xiàn)題目所要求圖形性質(zhì)。

(2)相關(guān)證明：需要掌握等腰、等邊三角形、直角三角形、平行線、相似三角形、勾

股定理、三角函數(shù)等相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)。掌握幾何題的推理能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想，從而實(shí)現(xiàn)解

題。

真題回顧

【真題1】(2022?福建?統(tǒng)考中考真題)如圖，8。是矩形488的對(duì)角線.

（1）求作使得□/與80相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，設(shè)8。與口/相切于點(diǎn)E,CFQBD,垂足為F.若直線CF與相切

于點(diǎn)G,求tan乙4DB的值.

【答案】（1）作圖見解析

【分析】（1）先過(guò)點(diǎn)/作8。的垂線，進(jìn)而找出半徑，即可作出圖形：

（2）根據(jù)題意，作出圖形，設(shè)N4C8=α,/的半徑為r,先判斷出8E=Z）E,進(jìn)而得出

四邊形力EFG是正方形，然后在R/ABE'V,根據(jù)勾股定理建立方程求解BE=rtanα,再

判定△ABE^?CDF,根據(jù)BE=DF=rtanα,DE=DF+EF=rtanα+r,在用ADE中，

利用tan乙4。E=保，得到taMα+tana—1=0,求解得到tan/￡>8的值為與?.

【詳解】（1）解：如圖所示，□/即為所求作：

DC

（2）解：根據(jù)題意，作出圖形如下:

設(shè)乙40B=a,A的半徑為r,

BDHlA相切于點(diǎn)E,CF與匚/1相切于點(diǎn)G,

DAEUBD,AGCG,即AEF^'AGF=90°,

QCFiBD,

□□E/G=90°,

四邊形/EFG是矩形，

又AE=AG=r,

∏四邊形/EFG是正方形，

□EF=AE=r,

在RtQAEB和RtDAB中，?BAE+4ABD=90o,?ADB+?ABD=90°,

D/.BAE—/.ADB=a,

?RtOABEΦ,tanΛBAE=—AE,

□BE=rtanα,

四邊形48C。是矩形，

UABHCDfAB=CD,

Π?ABE=?CDFfX?AEB=?CFD=90°,

□△ABE=△CDF,

DBE=DF=rtanα,

□DE=DF+EF=rtanα+r,

在中，—,即

QEMZ)Etan?ADE=DEDE?tana=AE,

□(rtana+r)tanɑ=r,即taMa+tana—1=0,

tana>0,

□tana=g?,即tanADB的值為與?.

【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了尺規(guī)作圖，切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，

正方形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，利用三角函數(shù)得出線

段長(zhǎng)建立方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【真題2](2021?福建?統(tǒng)考中考真題)如圖，已知線段MN=α,4RJ,4K,垂足為α.

(1)求作四邊形4BCD,使得點(diǎn)8,。分別在射線4K,4R上，且4B=BC=α,?ABC=60°,

CD〃AB；(要求:尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

（2）設(shè)P,。分別為（1）中四邊形力BCC的邊AB,CD的中點(diǎn)，求證：直線AD,BC,PQ相交

于同一點(diǎn).

【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)48=α,點(diǎn)8在射線AK匕過(guò)點(diǎn)/作4B=α;根據(jù)等邊三角形性質(zhì)，得

AB=BC=AC,分別過(guò)點(diǎn)/、B,α為半徑畫圓弧，交點(diǎn)即為點(diǎn)C；再根據(jù)等邊三角形的性

質(zhì)作8,即可得到答案：

（2）設(shè)直線BC與力。相交于點(diǎn)S、直線PQ與4。相交于點(diǎn)S',根據(jù)平行線和相似三角形的性

質(zhì)，得器=染從而得VD=SC,即可完成證明.

【詳解】（1）作圖如下：

四邊形ABC。是所求作的四邊形；

（2）設(shè)直線8C與4。相交于點(diǎn)S,

DDC//AB,

ASBASZkSM

SAAB

Li—=一

SDDC

設(shè)宜線PQ與相交于點(diǎn)S',

同理=".

1jS,DQD

P，0分別為AB,CD的中點(diǎn),

DPA=-ABQD=-DC

2fy2

PAAB

--=--

QDDC

S,ASA

^———，

S,DSD

S，D+4DSD+AD

S'D一SD，

ADAD

LJ?-:^~?=---,

S,DSD

,

ΩSD=SDf

」點(diǎn)S與S'重合，即三條直線4,8&「（2相交于同一點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查r尺規(guī)作圖、等邊三角形、直角三角形、平行線、相似三角形等基礎(chǔ)知識(shí),

解題的關(guān)鍵是熟練掌握推理能力、空間觀念、化歸與轉(zhuǎn)化思想，從而完成求解.

【真題3］（2020?福建?統(tǒng)考中考真題）如圖，C為線段4B外一點(diǎn).

AH

（1）求作四邊形4BCD,使得C/V/AB,且CD=24B；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留

作圖痕跡）

（2）在（1）的四邊形ABCD中，AC,BZ）相交于點(diǎn)P,AB,CC的中點(diǎn)分別為M,N,求證：

M,P,N三點(diǎn)在同一條直線上.

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析

【分析】（1）按要求進(jìn)行尺規(guī)作圖即可；

（2）通過(guò)證明角度之間的大小關(guān)系，得至此CPN+NCPM=180。，即可說(shuō)明M,P,N三點(diǎn)在同

一條直線上.

【詳解】解：（I）

則四邊形ABCD就是所求作的四邊形.

(2)DABHCD,/.ABP=/.CDP,乙BAP=4DCP,

ARAP

DΔABP-ΔCDP,.

CDCP

□M,N分別為4B,CO的中點(diǎn),

AMAP

UAB=2AM,CD=2CN,□”=竺.

CNCP

連接MP,NP,又□NB4P=乙。CP,

QΔAPM-ΔCPN1□乙APM=乙CPN,

點(diǎn)P在AC上NAPM+4CPM=180。，乙CPN+乙CPM=I80。,

MP,N三點(diǎn)在同一條直線上.

【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識(shí),

考查推理能力、空間觀念與幾何直觀，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.

押題沖關(guān)

1.（2023?福建福州?福建省福州第十九中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在矩形48C。中，AB=4,

BC=6,點(diǎn)P是BC的中點(diǎn).

AK--------------------------P

（1）在AP上求作一點(diǎn)E,使△4DESAPAB（尺規(guī)作圖，不寫作法）；

（2）在（1）的條件下，求4E的長(zhǎng).

【答案】（I）見解析

⑵￡

【分析】（1）過(guò)。作DEJ.AP于E,△4DE即為所求；

（2）先根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到4Z）∣∣BC,貝IJND4E=NAPB,又由NDEA=4B=90。，根據(jù)

有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似，即可證明出AZMEsA/PB,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成

比例，即可求出4E的長(zhǎng).

【詳解】（1）解：過(guò)。作。EJ.4P于E,Z?4DE即為所求；

-----------------------------ytD

（2）解：???四邊形ABCD是矩形,

.?.AD??BC,

?Z-DAE=?APB,

又????DEA=?B=90o,

??.△Zλ4E~△APB,

：.AE:AD=PB:AP1

???P邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)C=6,

，BP=3,

又???∕8=4,NB=90。，

：?AP=5,

???AE:6=3:5,

.L18

二AE——.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似的變換和勾股定理等知識(shí)，根據(jù)利用勾股定理求

線段長(zhǎng)，相似三角形判定和性質(zhì)求出線段比是解題的關(guān)鍵.

2.（2023春?福建廈門?九年級(jí)廈門市蓮花中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖,在RtAABC中,NC=90。,

點(diǎn)。為邊4C上一點(diǎn).

（1）尺規(guī)作圖：在邊AB上找一點(diǎn)E,使得NDEA=24BDE.

⑵在（1）的條件下以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑的圓分別與AB,BC交于M,N點(diǎn)，且4DEM=

乙DEN.求證：AC與C）E相切.

【答案】⑴見解析

（2）見解析

【分析】（1）由/CE4=2NBDE,乙DEA=乙BDE+乙DBE,可知4BDE=4DBE,進(jìn)而可

知點(diǎn)E在線段DB的垂直平分線上，因此線段DB的垂直平分線SMB的交點(diǎn)即為點(diǎn)E；

（2）連接EN,由HF垂直平分BD,可得EC=EB,利用圓周角定理可得/DEM=4DEN=

2乙DBN,結(jié)合4DE4=24BDE可得4BDE=乙DBN,進(jìn)而依次推出BC||DE,?ADE=4C=

90°,即可證明AC與OE相切.

【詳解】（1）解：如圖，連接BD,作BD的垂直平分H凡交48于點(diǎn)E,點(diǎn)E即為所求；

C

(2)證明：如圖，連接EN,DE,

由的作圖可知：，/垂直平分8。，

DDE=BE,

(BDE=Zl,

□BE是半徑，

DE也是。E的半徑，

?DEA=2乙BDE,

U?DEA=2Z1,

IJZDEM=CDEN,

口乙DEN=2Z1,

U?DEN=2Z2,

□Z1=Z2,

□乙2=?BDE,

DDEWBCf

□乙ADE=ZC=90°,

∏DFIACf

DE也是OE的半徑，

□4C與OE相切.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一復(fù)雜作圖，圓周角定理，切線的判定等.解第一問(wèn)的關(guān)鍵是作出BD

的垂直平分線，解第二問(wèn)的關(guān)鍵是設(shè)法證明CEII8C.

3.(2023春?福建廈門?九年級(jí)廈門市第十中學(xué)校考階段練習(xí))如圖，AB=AD,?BAD=

2?BAC.

D

(1)在AC上方求作一點(diǎn)E,使得4CAE=4BAD,且AC=4E,連接CE(要求：尺規(guī)作圖，保

留作圖痕跡，不寫作法).

(2)在(1)的條件下，連接DE、BC、BE,若。E=1,CE=√2,求NEBC的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)4CBE=90o

【分析】(1)作/BAD的平分線，取AC=AE即可；

(2)由等腰三角形的性質(zhì)得力E垂直平分80,則BE=DE=1,再證明A4E8≡Δ?CB(SAS),

得BE=BC=L利用勾股定理的逆定理即可證明結(jié)論.

【詳解】(1)作4B4D的平分線，取AC=AE,連接CE,如圖所示

DAB=AD,AE平分aW,

ZME垂直平分BD,

BE=DE=1,?BAE=?DAE=-/LBAD

2

DZ-BAD=2?BACf

?BAE=?DAE=ABAC

UAE=AC,AB是公共邊，

□?ΛFB=Δi4CB(SAS),

DBE=BC=1,

DCE=√2

DBC2+BE2=2=CE2,

UZ.CBE=90o.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，尺規(guī)作圖等知識(shí),

證明△AEB≤?ACB(SAS)是解題的關(guān)鍵.

4.(2023?福建三明??？家荒?如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC.

(1)在線段AC上求作點(diǎn)D,使得點(diǎn)。到力B和BC的距離相等(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法,

保留作圖痕跡)；

(2)在(1)所作的圖形中，連接8D,若AD=BD,求乙4的度數(shù).

【答案】(I)圖見解析

(2)乙4=36°

【分析】(1)作乙4BC的角平分線，以點(diǎn)B為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，與4B、BC相交于

兩點(diǎn)，再以這兩點(diǎn)為圓心，以大于兩點(diǎn)的長(zhǎng)度為半徑畫弧，交于一點(diǎn)，連接此點(diǎn)與點(diǎn)B,交

Ae于點(diǎn)。；根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，即可證明點(diǎn)D到兩邊的距離相等；

(2)根據(jù)等邊對(duì)等角，得出4ABC=",44=44BD,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得出

?BDC=2?ABD,再根據(jù)角平分線的定義，得出"IBC=NCBD,進(jìn)而得出“=NABC=

2?ABD,再根據(jù)等量代換，得出乙4BC="=4BDC,設(shè)乙4=X,則NBCC=2x,進(jìn)而

得出44BC=4C=4BDC=2x,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得出x+2x+2x=180。，

解出即可得出答案.

【詳解】⑴解：點(diǎn)。即為所求,

證明：過(guò)點(diǎn)。作DF,48于點(diǎn)凡DEIBC與點(diǎn)E,

乙BFD=乙BED=90°,

BD是乙ABC的角平分線,

□乙FBD=乙EBD,

DBD=BD,

□XBFD≤?BED(AAS),

QDF=DE；

(2)解：如圖,

A

BQ-------?e

QAB=ACt

匚NTlBC=乙C,

QAD=BD,

□Zτ4=乙ABD,

口iBDC=Z-A+?ABD=2?ABDf

匚BD是乙4BC的角平分線，

CJiABD=乙CBD,

□ZC=?ABC=乙ABD+乙CBD=2乙ABD,

?C=乙BDC,

U?ABC=Z.C=乙BDC,

設(shè)NA=X,51UBDC=?A+?ABD=2x,

U?ABC=Z.C=乙BDC=2%,

在448C中，

?A+?ABC÷ZC=180°,

即％+2x+2X=180°,

解得：X=36°,

口乙4=36°.

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖一角平分線、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊對(duì)等角、三角形

外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、解一元一次方程，解本題的關(guān)鍵在正確得出點(diǎn)>

5?（2023春?福建廈門?九年級(jí)廈門市華僑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在AABC中，AB=G

AC=>!e>,BC=3,將△4BC沿射線BC平移，使邊AB平移到OE,得到ADEF.

（1）作出平移后的ADEF（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）若4C,DE相交于點(diǎn)4,BE=2,求AEHC的面積.

【答案】（1）見解析

【分析】（1）根據(jù)作三角形的方法作圖即可；

（2）先利用勾股定理得逆定理證明△力BC是直角三角形，即乙4=90。,然后求出SAZIBC=苧，

CE=1,由平移的性質(zhì)得到/BHDE,即可證明^CEHCBA,得到SAEHC=

9SAABCD=6

【詳解】（1）解：如圖所示，ADE尸即為所求；

（2）解：口4B=√5,AC=顯,BC=3,

DAB2+/IC2=3+6=9=32=SC2,

□△4BC是直角三角形，即乙4=90。，

□S-8C=那TC=乎，

口BE=2,

口CE=BC-BE=1,

由平移的性質(zhì)可知48HDE,

□△CEHfCBAf

□組口=隹）2=

5"BC?BC）9

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理得逆定理，平移的性質(zhì)，尺規(guī)

作圖——作三角形，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?福建龍巖??？家荒＃┤鐖D，△4BC是直角三角形，?ACB=90°.

B

（1）動(dòng)手操作：利用尺規(guī)作乙4BC的平分線，交AC于點(diǎn)0,再以。為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑作

QO（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）綜合運(yùn)用：請(qǐng)根據(jù)所作的圖，若力C=8,SinNOBC=1,求OB的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析

⑵弓

【分析】（1）根據(jù)角平分線和圓的尺規(guī)作圖方法作圖即可；

（2）如圖所示,過(guò)點(diǎn)。作OD14B于D,由角平分線的性質(zhì)得到OC=0D,設(shè)OC=0D=x,

OA=8-X,解RtAOBC求出。B=3x,BC=2√2x,再證明△4。。S△4CB,利用相似三

角形的性質(zhì)求出AD=2√Σ,在RtAADO中，由勾股定理得，（8—x）2=r+（2√I）,解得

X=-,貝IJOB=3x=—.

22

【詳解】（I）解：如圖所示，即為所求；

(2)解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作。。J.4B于。,

口0B平分4ABC,/.ACB=90o,ODLAB,

UOC=0D,

設(shè)。C=OD=x,OA=8—x,

在RtAOBC中,SinzOBC=-=

OB3

OB=30C=3%>

QBC=√OB2-OC2=2√2x,

□z√4=z,AfZ.AD0=?ACBf

□△ADO?AACB,

ADOD日∣^∣4DX

5?=前'即T=赤，

AD=2√2,

在Rt△/WO中，由勾股定理得042=。。2+4。2,

,2

□(8-x)2=%2+(2√2),

解得X=5

21

UOB=Sx=-.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線和圓的尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定

理，相似三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

7.（2023春?福建福州?九年級(jí)福建省福州楊橋中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知四邊形ZBCD是矩

形，Ae為對(duì)角線.

⑴把△4BC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度α得到AEFC,點(diǎn)/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,且在4。的延長(zhǎng)線

上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F,請(qǐng)你在圖中作出AEFC.（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖

痕跡）

（2）在（1）的條件下，若4CEF=26。，求旋轉(zhuǎn)角ɑ的大小.

【答案】（1）見解析

（2）52°

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；

（2）利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明z?C0=4DCE,再利用平行線的性質(zhì)求出

?ACD=26。，可得結(jié)論.

【詳解】（1）如圖，AEFC即為所求；

(2)口四邊形48CD是矩形，

DZ.ADC=90o,AB||CD,

DCDLAE.

QCA=CE,CD1AE,

D/.ACD=乙DCE.

□ZCEF=4CAB=26°,

Π?CAB=?ACD=乙DCE=26°.

U?ACE=52°.

Oa=52°.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

8.（2023秋?福建泉州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形Z8CZ）中,NBAC=乙B=90。,NC=75。,

（1）尺規(guī)作圖：在BC上求作一點(diǎn)E,使得乙4EC=150。；（保留作圖的跡，不寫作去）

（2）在（1）的條件下，連接。E.求證：AADESXDCE.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）以力為圓滿心，AD為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)E,連接AE即可；

（2）先求出/ZME=NABE=30。，再利用等腰三角形的性質(zhì)證乙4CE=N4E。=

j（180o-ZMF）=75°,平行線的性質(zhì)得NCEC=4ADE=75。，從而得NADE=NDEC,

ΛAED=乙C,即可由相似三角形的判定定理得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)E即為所求的點(diǎn)，

[JAE=2AB.

□zβ=90o,

Q?AEB=30o,

Q?AEC=150°：

ULAEB=180o-?AEC=30o,

D?BAD=乙B=90o,

□AD∣∣BC,

U?DAE=KABE=30o,

由作圖得，AD=AE,

Π?ADE=?AED=?（180o-4DAE）=75o,

UAD??BC,

?DEC=/.ADE=75°

又□∕C=75°,

乙

Z-ADE=Z-DEC1Z.AED=C,

□?ADE^△DCE.

【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖，相似三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理,

熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

9.（2022秋?福建泉州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△4BC中，NB=Io8。，AB=BC.

（1）尺規(guī)作圖：在AC上求作一點(diǎn)。，使得8。=CD;（不寫作法，保留作圖痕跡）

⑵在（1）作圖的基礎(chǔ)上，連接BD,求證：AB2=AC-CD.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（I）利用尺規(guī)作線段BC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D,

（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，證明ACDBACBA即可.

QAB=BC,□Z.√1=Z.C.

又BD=CD,DZCfiD=ZC,即NCBD=乙4.

在ACD8與ACBm,ZC=ZC,Z.CBD=?A,

□?CDB?CBA,

,BPfiC2=ACCD.

BCAC

又AB=BC,CAB2=ACCD.

【點(diǎn)睛】本題考查了作垂直平分線，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握垂直平分線的性質(zhì)以及

相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

10.（2023?福建福州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知鈍角AABC中,CA=CB.

（1）請(qǐng)?jiān)趫D中用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作"C8的平分線CD交AB于點(diǎn)。；作A48C的外

接圓O。；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）中，若AB=2√3,NACB=I20。，則此。。的半徑為.（如需畫草

圖，請(qǐng)使用備用圖）

【答案】(1)見解析

(2)2

【分析】(1)利用基本作圖作角平分線，然后作4C的垂直平分線交于點(diǎn)O,然后以。為圓

心，OC為半徑作外接圓；

(2)連接。4則AOZC為等邊三角形，利用勾股定理求出半徑.

【詳解】(1)如圖，CC和O。即為所作；

(2)如圖，連接。如

口CD平分NAC8,CA=CB

DzACD=-?ACB=-×120°=60。，AD=iAB=?×2√3=√3,OCLAB

2222

又□O4=OC,

△04;為等邊三角形，

OOD=ToC

設(shè)半徑為七

則/?2=(√3)2+(i∕?)2

解得：R=2

故答案為：2

【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖一作角平分線和垂直平分線，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定

理，會(huì)利用方程解決幾何問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

11.(2022秋?福建漳州?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在矩形力BCD中，AC與BD相交于點(diǎn)0.

1>

(1)在C。邊上求作一點(diǎn)E,使得NCEB=4BCA；(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作

法)

(2)在(1)的條件下，設(shè)BE交AC于點(diǎn)尸，若DE=BE,求證：OC?=AB?CE.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)過(guò)B作BE14C交CD于點(diǎn)E,交4C于點(diǎn)F,證明△CEF-ΔBCF,即可得到“EB=

?BCA;

(2)首先證明ABCE?ZM8C,BO?=4B?CE,根據(jù)四邊形4BCD為矩形，得到08=OC=

0D,進(jìn)而可證。8=BC=OC,于是可得到答案.

.?.?ABC=乙BCD=90°,

?(1)得NCEB=?BCA,

???△BCEABC9

?Zl=N2,

???四邊形48CD是矩形,

??.OB=OC=0D,

?Zl=Z3,

.?.z.1=z2=z.3?

XzFFC=乙OFB,

???乙CEB=Z4=?BCA,

?OB=BC=OC,

2

vBC=ABCE9

OC2=ABCE.

【點(diǎn)睛】本題主要考查作垂線，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握作圖方法以及

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.(2023春?福建南平?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，在矩形4BCD中，點(diǎn)E是線段4。上的一點(diǎn)，

且BE=BC,連接CE,設(shè)NCBE=α.

(1)尺規(guī)作圖：將線段BA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段BG,連接CG交BE于點(diǎn)〃;

(2)試判斷G〃與CH的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

【答案】(1)圖見解析

(2)GH=CH,證明見解析

【分析】(1)利用尺規(guī)作44BG=NCBE,BG=BA,然后連接CG交BE于點(diǎn)H即可；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BG=B4/.ABG=Z-CBE,根據(jù)已知可得NBEC=NBCE,根據(jù)平行

線的性質(zhì)得至此BCE=ZDEC.過(guò)點(diǎn)C作BE的垂線CF,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CF=CD,結(jié)

合矩形的性質(zhì)可得BG=CF,最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到證明.

【詳解】(1)解：如圖，以點(diǎn)B為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別與48、BE、BC,交于點(diǎn)

。、P、Q；

然后以點(diǎn)。為圓心，以PQ長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在線段AB左側(cè)交于點(diǎn)K；

作射線BK,以點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線BK于點(diǎn)G：

連接CG與BE交于點(diǎn)H.

(2)GH=CH.

證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作C尸IBE于尸，

Q?CFH=?CFE=90o,

將線段Ba繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段BG,乙CBE=a,

BG=BAf乙ABG=乙CBE=a,

□四邊形ABC。是矩形，

DAB=CD,Zi4BC=zD=90o,AD??BC,

o

?ABG+?ABE=?CBE+?ABE=90f

□ZGBH=900,

□乙GBH=4CFH=90°,

DBE=BC,

UZBEC=乙BCE,

QADWBCf

乙DEC=乙BCE,

乙BEC=乙DEC,

口EC平分乙BED,

zCFF=90o,zD=90o,

□CF=CD,

BG=CF1

在AGBH和ACT〃中，

NGBH=乙CFH

乙GHB=乙CHF，

GB=CF

?GBH≡?CF∕7(AAS),

GH=CH.

【點(diǎn)睛】本題是旋轉(zhuǎn)綜合題，考查了尺規(guī)作圖，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，角平分線的判定

和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).正確作出

輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

13.（2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)校考一模）如圖，ABWCD,以點(diǎn)/為圓心，小于

/C長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交NB,NC于E,尸兩點(diǎn)，再分別以E,尸為圓心，大于方尸長(zhǎng)為

半徑作圓弧，兩條圓弧交于點(diǎn)P,作射線/P,交CD于點(diǎn)、M.

⑴求證：AP^CAB；

（2）若EMCZ）=II4。，求1ΞM48的度數(shù).

【答案】（1）見解析

（2）33°

【分析】（1）利用全等三角形的判定和性質(zhì)得出FAP=EAP,即可證明；

（2）根據(jù)∕5∣∣C0,UACD=WAo,得出口。2=66。，再根據(jù)是CB的平分線，即可

得出M48的度數(shù).

【詳解】（1）證明：連接EP，F(xiàn)P,

根據(jù)題意得/尸=∕E,EP=FP,AP=AP,

QMPFAAPE,

?JUE4P=JEAP,

MP平分CAB；

（2）□√lβ∣∣CO,

□IXCTHCAB=?S0°,

又口EMCC=114°,

」。8=66。，

由（1）知，ZW是的平分線，

□.MAB=-CAB=33o.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及角平分線的作法，掌握兩

直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是正確解答本題的關(guān)鍵.

14.（2022秋?福建莆田?九年級(jí)福建省莆田市中山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知：在正方

形N88中，Λ/是BC邊的中點(diǎn)，連接NM.

（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在ZM上求作一點(diǎn)P,使得ADRlABM；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若/8=4,求OP的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析

【分析】（1）由點(diǎn)P在∕Λ∕上，ADPAABM,即得出乙4P。=90。，即過(guò)點(diǎn)。作的垂

線即可；

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理結(jié)合題意可求出AM=2√5,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

可得出黑=”，代入數(shù)據(jù)即可求出PD的長(zhǎng)?

ABAM

（1）

□四邊形ABCD是正方形，

□□B=900,AB=BC=AD=4,

UBM=MC=I,

口4M=AMB2+BM2=√42+22=2√5.

UfJDB4ABM,

-PD=一AD,

ABAM

PD4

T=5√5,

□PD=^.

5

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一做垂線，正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì).利用數(shù)形

結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

15.（2023?福建?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在AABC中，AB=AC,射線CMllAB.

C

---------'B

（1）在線段4B上取一點(diǎn)E,使得CE=CB,在射線CM上確定一點(diǎn)D,使ACDE是以CE為底邊

的等腰三角形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）的條件下，連接4D,求證：AD=BC.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）以點(diǎn)C為圓心，C8為半徑畫弧，交/8于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)E,作CE的垂直

平分線，交CM于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)。，連接8、即可；

（2）證明四邊形48。是平行四邊形即可.

【詳解】（1）解：以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑畫弧，交/8于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)E,

作CE的垂直平分線，交CM于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)。，如圖所示：

DDABC=aACB=DCEB,

OCDHAB,

QCEB=DDCE,

QDE=DC,

Γ?QDCE=^DEC=U?ABC=HACB,

ΠDDCEABC(ASA),

CD=AB,

CD??AB,

四邊形/8CO是平行四邊形，

AD=BC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的

判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型.

16.(2022春?福建福州?九年級(jí)福建省福州屏東中學(xué)?？计谥?如圖，線段BC關(guān)于某直線蚱

軸對(duì)稱變換，得到線段EF,其中點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)E.

BC

E

(1)請(qǐng)確定直線/的位置(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)；

⑵在(1)的情況下，點(diǎn)”位于BC的上方，點(diǎn)。位于EF的右側(cè)，且A48C,ADEF均為等邊

三角形.求證：ACE尸可由AABC關(guān)于直線I作軸對(duì)稱變換得到.

【答案】(I)答案見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)連接BE,作線段BE的垂直平分線即可；

(2)令SE交直線/于點(diǎn)“，交直線/于點(diǎn)G,連接N”,DH,AD,根據(jù)SAS證明

△ABHDEH,得出“G垂直平分”。，進(jìn)而得出結(jié)論.

(1)

解：如圖所示，直線/即為所求.

(2)

證明：令BE交直線/于點(diǎn)”，NO交直線/于點(diǎn)G,連接/〃，DH,AD,

BC,E/關(guān)于直線/對(duì)稱，

OOCBH=JFEH,BH=EH,

又A48。和AOEF為等邊三角形，

AB=BC,EF=DE,ABC=DEF=60o,

□□4BH=nDEH,

又BC=EF,

口4B=DE,

UUABHUDEH(SAS),

QQAHB≈~]DHE,AH=DH

又□GHB=口GHE=90°,

DOAHG=ΓDHG,

4G語(yǔ)直平分/。，

DA,。關(guān)于直線/對(duì)稱，

即ADEF可由AABC關(guān)于直線/作軸對(duì)稱變換得

【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的作圖以及垂直平分線的判定，軸對(duì)稱的性質(zhì)，借助于全等三

角形以及等腰三角形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

17.（2022春?福建福州?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖,在Rt△4BC中，NACB=90。.

（1）分別在BC,AB邊求作點(diǎn)D,E,使DEJ.BC,且ZE=DE；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法,

保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，BE=4,AC=3,求AB的長(zhǎng).

【答案】⑴作圖見解析

（2）6

【分析】（1）作/3平分。2交CB于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作f>E□8C交/8于點(diǎn)E；點(diǎn)D,E即

為所求作的點(diǎn)；

(2)證明△BDEBC4,利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

(?)

解：如圖所示：點(diǎn)D,E即為所求作的點(diǎn)，

(2)

解：DDEJBC

QDEDB=C=90o,

DDEWAC,

**.△BDEBCA,

BAAC,而BE=4,AC=3,AE=DE,

「4DE

-----——，

4+DE3

CDE2+4DE-?2=0,

□DE=2(負(fù)根舍去)

AE=DE=2,AB=AE+￡J5=2+4=6.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

18.(2022?福建?九年級(jí)專題練習(xí))閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù).

己知：如圖，直線4∣τn∣∣n,點(diǎn)4在直線上.

求作：等邊三角形4BC,使其點(diǎn)B,C分別落在直線n上.

作法：□在直線Tn上取點(diǎn)D,連接4。，向右作等邊三角形使點(diǎn)E落在直線I,m之間；

口在直線m上取點(diǎn)P(點(diǎn)P在點(diǎn)。左側(cè))，作/4EC=乙4。P交直線n于點(diǎn)C；

□在射線。P上截取DB=CE；

口連接AB,AC,BC.

Δ4BC就是所求作的等邊三角形.

--------------------------------------------n

(1)使用直尺和圓規(guī)，依上述作法補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡)；

(2)請(qǐng)你根據(jù)上述作法，證明△48C所求作的等邊三角形.

【答案】(1)過(guò)程見詳解

(2)過(guò)程見詳解

【分析】(1)依據(jù)題意作圖即可，

(2)由/￡)E是等邊三角形，可知∕O=4E,DAE=60。,有根據(jù)尺規(guī)作圖的信息可知

OADP=AEC,DB=EC,貝IJ有△4。B三△4EC,進(jìn)而有∕8=4C,BAD=CAE,根據(jù)

□C^Λ+□C4Z>60o,可得口840+□(740=60。，結(jié)合43=NC可知/8C是等邊三角形.

【詳解】(1)作圖如下：

作LSDP=口ZEC的步驟：以4尸為半徑，/為圓心作弧，再以。P為半徑，以E為圓心作弧,

再將兩段弧的交點(diǎn)與E連接，交直線〃于點(diǎn)C,連接EC,即得；

(2)□□ZZ)E是等邊三角形，

UAD=AE,DAE=GO0,

DD