高斯定理在引力場(chǎng)中的應(yīng)用

高斯定理在引力場(chǎng)中的應(yīng)用摘要：本文根據(jù)庫(kù)侖定律和萬有引力定律的相似性，從靜電場(chǎng)的的電場(chǎng)強(qiáng)度、高斯定理出發(fā)，運(yùn)用類比法，導(dǎo)出引力場(chǎng)的高斯定理。運(yùn)用引力場(chǎng)的高斯定理在求解某些具有對(duì)稱性的引力場(chǎng)問題時(shí)可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算過程。關(guān)鍵詞:高斯定理，庫(kù)侖定律，引力場(chǎng)，萬有引力定律1引言萬有引力是自然界普遍存在的一種相互作用，任何實(shí)物之間都存在萬有引力，只要質(zhì)量不為零，它的引力大小就不等于零。在天體中質(zhì)量還算很小的地球，對(duì)其他的物體的萬有引力具有巨大的影響，它把人類、大氣和所有地面物體束縛在地球上，它使月球和人造地球衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)而不離去。萬有引力是四種基本相互作用中最弱的，但是在天文學(xué)和天體物理領(lǐng)域，引力作用起著主導(dǎo)作用，引力是支配天體運(yùn)動(dòng)的唯一的一種力，引力也是促使天體演化的重要因素。利用萬有引力我們發(fā)現(xiàn)了天王星，冥王星等等一些星體。同時(shí)它和熱是維持恒星和星系生存的一對(duì)矛盾。計(jì)算萬有引力我們一般用積分的方法，有的時(shí)候計(jì)算過程會(huì)很繁瑣，比如說一個(gè)質(zhì)點(diǎn)到一球殼距離一定，求該質(zhì)點(diǎn)受到的萬有引力等等。如果能夠找到另一種更簡(jiǎn)單方法解決之，那么就能節(jié)省許多復(fù)雜的計(jì)算過程。本文找到一種方法。前人對(duì)此做了一些研究[1～5]，本文跟著前人的腳步，從萬有引力定律與庫(kù)侖定律的相似性出發(fā)，運(yùn)用類比的方法，即由靜電場(chǎng)和引力場(chǎng)類似性質(zhì)，來引入引力場(chǎng)的高斯定理。然后處理一些具有對(duì)稱性的引力場(chǎng)問題。像球殼問題等等一些比較典型的問題。2萬有引力定律與庫(kù)侖定律的對(duì)比2.1兩個(gè)定律的表述2.1任何二物體間存在相互吸引力。若物體可視為質(zhì)點(diǎn)，則二質(zhì)點(diǎn)的相互吸引力沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線方向，與二質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和乘積成正比，與它們之間的距離的平方成反比[7]。比例系數(shù)為任何彼此吸引的物體都適用的普適常量。叫做引力常量。數(shù)學(xué)表達(dá)式是(2-1-1)2.1(1)在真空中的兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷及之間的相互作用與與的乘積成正比，和它們之間的距離成反比[8]。(2)作用力的方向沿它們的聯(lián)線；同號(hào)電荷相互排斥，異號(hào)電荷相互吸引。令代表給力。代表到方向的單位矢量(2-1-2)2.2萬有引力與庫(kù)侖力的疊加原理2.質(zhì)點(diǎn)受多個(gè)質(zhì)點(diǎn)(i=1,2,……n)引力的作用時(shí)，受到的總的引力是各質(zhì)點(diǎn)單獨(dú)存在時(shí)所受引力的矢量和，。若求質(zhì)點(diǎn)與連續(xù)體之間的萬有引力時(shí)，利用疊加原理，將連續(xù)體看成許多“質(zhì)點(diǎn)”組成，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)為微元，所以F可以用積分的方法求的(為連續(xù)體的密度)2.2當(dāng)空間有兩個(gè)以上的點(diǎn)電荷時(shí)，作用于每個(gè)電荷上的總靜電力等于其它電荷單獨(dú)存在時(shí)，作用該電荷的靜電力的矢量和。若求點(diǎn)電荷于連續(xù)帶電體Q之間的庫(kù)侖力，利用疊加原理，可將連續(xù)的帶電體看成許多“點(diǎn)電荷”組成，每個(gè)點(diǎn)電荷為一微元。庫(kù)侖力用積分求的得(為帶電體的電荷體密度。不考慮的方向)2.3小結(jié)綜上所述，不難發(fā)現(xiàn)(1)萬有引力定律與庫(kù)侖定律的數(shù)學(xué)表述即(2-1-1)式和(2-1-2)式都是平方反比定律。(2)萬有引力定律與庫(kù)侖定律表述上相似。(3)同時(shí)兩定律在可疊加性上也驚人的相似。電磁學(xué)中學(xué)過靜電場(chǎng)的高斯定理是由庫(kù)侖定律和場(chǎng)強(qiáng)的疊加原理導(dǎo)出來的[9]，那么我們可不可以這樣想呢？在引力場(chǎng)中也存在高斯定理。同時(shí)這個(gè)高斯定理是由萬有引力定律和類似靜電場(chǎng)中場(chǎng)強(qiáng)即引力場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)的疊加原理導(dǎo)出來的。同時(shí)我們還知道萬有引力場(chǎng)和靜電場(chǎng)也有相似性，存在引力場(chǎng)強(qiáng)度，電場(chǎng)強(qiáng)度；引力線和引力通量，電力線和電通量。這就更加的說明靜電場(chǎng)的高斯定理可以類比到引力場(chǎng)來。換句話說引力場(chǎng)中也存在著高斯定理。那么下面我們就應(yīng)用類比的方法由靜電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)和高斯定理來引入引力場(chǎng)的強(qiáng)度和引力場(chǎng)的高斯定理。3引力場(chǎng)的高斯定理3.1類比法簡(jiǎn)介類比[6]，在古希臘中，它的原意是表示比例，后來它被賦予了多種含義，成為一個(gè)多義詞。廣義的類比不僅指兩個(gè)對(duì)象之間的類比相符或有同樣的關(guān)系，還指修辭中的隱喻和比擬。本文所討論的類比就是邏輯學(xué)中定義的“類比推理”。類比推理就是根據(jù)兩(個(gè))類對(duì)象之間在某些方面的類似或同一，推斷它們?cè)谄渌矫嬉部赡茴愃苹蛲坏倪壿嬎枷敕椒āＫ且员容^為基礎(chǔ)的。通過對(duì)兩個(gè)(類)不同的對(duì)象進(jìn)行比較,找出它們之間的相似點(diǎn)或相同點(diǎn),然后以此為根據(jù),把其中某一對(duì)象的有關(guān)知識(shí)或結(jié)論推移到另一個(gè)(類)對(duì)象中去。也簡(jiǎn)稱為類比或類推。它的本質(zhì)是歸納和演繹的辯證綜合。在傳統(tǒng)的基本原理可用下列公式表示：對(duì)象A具有屬性,,,式中，、是指不同的對(duì)象；對(duì)象的屬性a、b、c與B對(duì)象的屬性、、、可能相同，也可能相似；對(duì)于推理結(jié)果，與對(duì)象的屬性可能相同，也可能相似。3.2兩種場(chǎng)的強(qiáng)度3.2.1某處電場(chǎng)強(qiáng)度矢量定理為這樣的一個(gè)矢量，其大小與單位電荷在該處所受電場(chǎng)力的大小，其方向與正電荷在該處所受電場(chǎng)力的方向。(3-2-1)3.2.2萬有引力場(chǎng)中某點(diǎn)的強(qiáng)度稱為某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)[5]，它是單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)在該點(diǎn)所受的場(chǎng)力。就是一個(gè)試驗(yàn)物體在該處所受的場(chǎng)力除以試驗(yàn)物體的質(zhì)量。場(chǎng)強(qiáng)可以用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)得。場(chǎng)強(qiáng)是場(chǎng)的性質(zhì)的表征。場(chǎng)強(qiáng)是矢量。在國(guó)際單位制中場(chǎng)強(qiáng)的單位是牛頓/千克。在距離地心遠(yuǎn)處，質(zhì)量為的物體所受地球的引力為：(3-2-2)所以在距地心遠(yuǎn)處，地球引力場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為：(3-2-3)當(dāng)然兩場(chǎng)的強(qiáng)度都有相似的疊加原理。3.3引力線和引力通量3.3(1)概括的講，如果在電場(chǎng)中作出許多曲線，使這些曲線上的每一點(diǎn)的切線方向和該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向一致，那么所有這樣作出的曲線，叫做電場(chǎng)的電力線。(2)電通量通過一面元的電通量定義為該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的大小與在垂直于場(chǎng)強(qiáng)方向的投影面積的乘積(3-3-1)對(duì)于非無限小的曲面來說(3-3-2)對(duì)于所有的面元趨于無限小時(shí)(3-3-3)3.3(1)抽象地認(rèn)為引力場(chǎng)中有一系列曲線，這些曲線上的點(diǎn)的切線方向?yàn)樵擖c(diǎn)的引力場(chǎng)強(qiáng)度的方向，那么這樣的曲線，叫做萬有引力場(chǎng)的引力線。(2)通過某一面元的引力通量為為該點(diǎn)引力場(chǎng)強(qiáng)的大小與在垂直引力場(chǎng)強(qiáng)度方向的投影面積的乘積(3-3-4)對(duì)于非無限小的曲面(3-3-5)對(duì)于所有的面元趨于無限小是(3-3-6)綜上所述，不難發(fā)現(xiàn)兩種場(chǎng)的強(qiáng)度是相似的，同時(shí)引力線、引力通量與電力線、電通量之間也對(duì)應(yīng)著相似的，對(duì)照類比公式，更加的說明萬有引力場(chǎng)中也存在高斯定理，并由萬有引力定律和引力場(chǎng)的強(qiáng)度的疊加原理導(dǎo)出來的。3.4引力場(chǎng)高斯定理3.4通過一個(gè)任意閉合曲面的電通量等于該面所包圍的素有電荷電量的代數(shù)和除以，與閉合面外的電荷無關(guān)。用數(shù)學(xué)公式表達(dá)高斯定理，則有(3-4-1)這里表示沿一個(gè)閉合曲面的積分，這個(gè)閉合曲面習(xí)慣是那個(gè)叫做高斯面。事實(shí)上，高斯定理的可以由庫(kù)侖定律和場(chǎng)強(qiáng)的疊加原理導(dǎo)出的。那么萬有引力定律和引力場(chǎng)強(qiáng)度的疊加原理就可以導(dǎo)出引力場(chǎng)的高斯定理。3.4.2前面的論證已經(jīng)說明用萬有引力定律和場(chǎng)強(qiáng)的疊加原理可以導(dǎo)出引力場(chǎng)的高斯定理。下面我們就來導(dǎo)出引力場(chǎng)中的高斯定理。我們先用類比的方法導(dǎo)出引力場(chǎng)的高斯定理，再用上面的方法來證明一下。類比出的結(jié)果是：導(dǎo)出過程：(1)通過包圍質(zhì)點(diǎn)的同心球面的引力通量都等于。以質(zhì)點(diǎn)所在處為中心，任意半徑作一球面。在球面上任意取一面元，其外法線矢量是沿半徑方向向外的，與夾角所以通過的引力通量為(3-4-2)整個(gè)通過閉合球面的引力通量為：(3-4-3)(2)通過包圍質(zhì)點(diǎn)的任意閉合面S的引力通量都是。為了把結(jié)論(3-4-2)推廣到任意曲面，我們需要借助立體角的概念。因此在每個(gè)元立體角內(nèi)引力通量是。如果我們把立體角的錐面延長(zhǎng)，使閉合面上截去一個(gè)面元。設(shè)到質(zhì)點(diǎn)的距離為，的法線與矢徑的夾角為，則通過的引力通量為：(3-4-4)式中的是在垂直于矢徑方向投影面積，所以即為立體角。由此可見，通過面元的引力通量和通過球面上與對(duì)應(yīng)的面元的引力通量一樣，都等于乘以它們的共同的立體角，所以通過整個(gè)閉合面s的引力通量都必定和通過球面的的引力通量一樣，等于×4=(3)通過不包圍質(zhì)點(diǎn)的任意閉合曲面的引力通量恒為0(4)多個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力通量等于它們單獨(dú)存在時(shí)的引力通量的代數(shù)和。當(dāng)物體由多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成時(shí)，它們?cè)诟咚姑嫔厦總€(gè)面元dS處產(chǎn)生的總的強(qiáng)度為：…。因此各質(zhì)點(diǎn)總引力場(chǎng)的引力通量為…=…因?yàn)閭€(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)存在時(shí)通過的總的引力通量為所以引力場(chǎng)的高斯定理的數(shù)學(xué)表述為：令即則上式就變?yōu)椋?3-4-5)比較(3-4-1)和(3-4-5)式我們發(fā)現(xiàn)兩者驚人的相似。這就論證了引力場(chǎng)和靜電場(chǎng)是相似的，更論證了我們前面所講的引力場(chǎng)的高斯定理可以通過靜電場(chǎng)的高斯定理類比過來的。4應(yīng)用4.1密度分布不均勻問題一個(gè)密度關(guān)于對(duì)稱分布(即密度僅為半徑的函數(shù))的大球，對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)的吸引作用就好像球的質(zhì)量集中在球心一樣[2],而直接應(yīng)用萬有引力定律：圖1對(duì)稱質(zhì)量分布的大球與封閉的球面牛頓對(duì)此進(jìn)行了證明，常用的證明方法是:將大球細(xì)分成薄的球殼,球殼再細(xì)分成圓環(huán)，再把圓環(huán)細(xì)分成質(zhì)元，而后應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力定律和矢量迭加原理而得證。但計(jì)算復(fù)雜，這里不再贅余現(xiàn)應(yīng)用引力場(chǎng)的高斯定理公式圖1對(duì)稱質(zhì)量分布的大球與封閉的球面已知對(duì)稱質(zhì)量分布的大球密度為,質(zhì)量為,半徑為,球心為O,球外質(zhì)點(diǎn)在距球心O的距離為()點(diǎn),如圖1所示,設(shè)點(diǎn)的萬有引力場(chǎng)強(qiáng)度為，現(xiàn)以為心,r為半徑,作一封閉的球面,則由得到：根據(jù)球?qū)ΨQ性。所以球外質(zhì)點(diǎn)受到得引力的大小為：。證畢。從這個(gè)問題中我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)用引力場(chǎng)的高斯定理該問題實(shí)際上是一個(gè)相當(dāng)簡(jiǎn)單得問題。比前面說的分割法簡(jiǎn)單的多了。4.2引力場(chǎng)的球殼問題4.2圖2球殼外一質(zhì)點(diǎn)引力一個(gè)密度均勻分布球殼[10],對(duì)球殼外質(zhì)點(diǎn)的吸引作用就好像球殼的質(zhì)量集中在中心一樣。圖2球殼外一質(zhì)點(diǎn)引力已知質(zhì)量為,半徑為,中心為,球殼外質(zhì)點(diǎn)在距中心的距離為()點(diǎn)。厚度為。(比它的半徑小的多)證明：證法一(牛頓法)考慮球上的一個(gè)環(huán)帶，該環(huán)帶長(zhǎng)為，寬為，厚度為。因此，它的體積為。設(shè)其密度為，則環(huán)帶的質(zhì)量為：對(duì)位于P點(diǎn)處質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)所施的力是水平的，其值為：(4-2-1由(4-2-2由(4-2-3將(4-2-2),(4-2-3)代入(4-2-1)因?yàn)?，所以的范圍為由于證法二：引力場(chǎng)的高斯定理法，首先我們作一半徑為的高斯面，考慮到對(duì)稱性，則有所以球外質(zhì)點(diǎn)m受到得引力的大小為：。證畢。比較上面兩種方法，可以發(fā)現(xiàn)第一種方法計(jì)算過程相當(dāng)?shù)姆爆?，而第二種方法計(jì)算過程相當(dāng)簡(jiǎn)單。下面我們就來再來應(yīng)用引力場(chǎng)高斯定理求多球殼的問題。4.如圖3，兩個(gè)密度均勻的的同心球殼的質(zhì)量各為和，試求出作用在質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)的引力的大小。假設(shè)它在eq\o\ac(○,1)處；eq\o\ac(○,2)處；eq\o\ac(○,3)處。為球殼中心量起的距離。解：eq\o\ac(○,1)以為球心，為半徑作一高斯面，設(shè)處萬有引力場(chǎng)的強(qiáng)度為，由萬有引力場(chǎng)的高斯定理根據(jù)球?qū)ΨQ性所以。質(zhì)點(diǎn)在r=a處的引力的大小為：圖3質(zhì)量為，圖3質(zhì)量為，的密度均勻的同心球殼eq\o\ac(○,2)以為球心，為半徑作一高斯面，設(shè)處萬有引力場(chǎng)的強(qiáng)度為，由引力場(chǎng)的高斯定理得根據(jù)球?qū)ΨQ性所以質(zhì)點(diǎn)在處的引力的大小為：eq\o\ac(○,3)以為球心，為半徑作一高斯面，設(shè)處萬有引力場(chǎng)的強(qiáng)度為，由引力場(chǎng)的高斯定理得根據(jù)球的對(duì)稱性得=0，所以質(zhì)點(diǎn)在處不受力。4.3周期問題圖4質(zhì)點(diǎn)在地球隧道中的運(yùn)動(dòng)示意圖rRPSOm如圖4，假設(shè)能沿著地球直徑挖一條通過地心的隧道，試證明落入隧道的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)[4]。并求出它的周期。這里略去所有摩擦力，并假設(shè)地球的圖4質(zhì)點(diǎn)在地球隧道中的運(yùn)動(dòng)示意圖rRPSOm證明設(shè)質(zhì)點(diǎn)在距離球心為r處的萬有引力場(chǎng)強(qiáng)為g,以球心為中心,r為半徑作一高斯面。由高斯定理得到根據(jù)球?qū)ΨQ性得到即：所以隧道中的質(zhì)點(diǎn)受的引力的大小為：令:=常數(shù),即。由上式可知：力與位移成正比，且方向與位移方向相反，故質(zhì)點(diǎn)在隧道內(nèi)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)?！呒按氲谩唷唷啵霐?shù)據(jù)R=6400km，所以4.4無限大平面問題圖5均勻無限大平面的引力圖5均勻無限大平面的引力證明：假設(shè)該質(zhì)點(diǎn)到薄板的距離為，該質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為，設(shè)薄板的面密度為。證法一：定義法。如圖5所示。，因?yàn)?。所以又因?yàn)檠貁方向才有效。即。又，∴?！?。這里，，都是已知量。所以該質(zhì)點(diǎn)受到的引力只與該質(zhì)點(diǎn)本身的質(zhì)量有關(guān)。證法二：引力場(chǎng)的高斯定理法圖6均勻無限大平面引力場(chǎng)的強(qiáng)度先作一高斯面圖6均勻無限大平面引力場(chǎng)的強(qiáng)度∴。這里，，都是已知量所以該質(zhì)點(diǎn)受到的引力只與該質(zhì)點(diǎn)本身的質(zhì)量有關(guān)。結(jié)束語綜上所述，我們從萬有引力定律和庫(kù)侖定律的相似出發(fā)，運(yùn)用類比法得出了引力場(chǎng)的高斯定理。同時(shí)發(fā)現(xiàn)運(yùn)用引力場(chǎng)的高斯定理處理具有對(duì)稱性的引力場(chǎng)問題計(jì)算過程大大簡(jiǎn)化了。這說明事物之間存在相似點(diǎn)或相同點(diǎn)，這使類比成為可能。同時(shí)說明物理規(guī)律之間存在著必然聯(lián)系，只要注意這種聯(lián)系，就能更好的理解物理規(guī)律。由上面所說的，我們能不能思考這個(gè)問題，是不是所有的平方反比有心力場(chǎng)都存在高斯定理呢，它們之間的形式是不是一樣的呢?參考文獻(xiàn)[1]陳學(xué)文，李彥敏．萬有引力場(chǎng)的強(qiáng)度與萬有引力場(chǎng)的高斯定理．商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，21(5)：161~163[2]蔡香民．萬有引力與高斯定理—類比在物理學(xué)中的應(yīng)用．安徽師范大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2002，25(2)：147~150[3]高雁．引力場(chǎng)中的高斯定理．山西師范大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2006，20(4)：62~63[4]高贈(zèng)禹．對(duì)萬有引力場(chǎng)的討論．鞍山師專學(xué)報(bào)，1993，03：95~99[5]趙景員，王淑賢．力學(xué)．北京：人民教育出版社，1979，371~373[6]袁希娟，龔耘．淺談?lì)惐确ǎ颖崩砉W(xué)院學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版)，2003，01：84~88[7]漆安慎，杜嬋英．力學(xué)．北京：高等教育出版社，1997，171~173[8]趙凱華，陳熙謀