2023年中考數(shù)學(xué)情境類題目練習(xí)：數(shù)與式

2023年中考情境類題目練習(xí)：數(shù)與式

學(xué)校」姓名：班級：一—考號：一

一、選擇題

1.我們發(fā)現(xiàn)：√6T3=3,√6+√673=3-，6+?+后5'=3,…，V6+?/e+^++√6+√6T3=3,

〃個朝-

一般地，對于正整數(shù)。，b,如果滿足如出+如+屈屈^=。時，稱(。1)為一組完美方根數(shù)

―-

對.如上面(3,6)是一組完美方根數(shù)對.則下面4個結(jié)論：①(4,12)是完美方根數(shù)對；②(9,91)是完美

方根數(shù)對；③若(4,38O)是完美方根數(shù)對，則a=20;④若(羽田是完美方根數(shù)對，則點(diǎn)尸(乂?在拋物

線y=∕-χ上.其中正確的結(jié)論有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.對多項式x-y-z-%-〃任意加括號后仍然只含減法運(yùn)算并將所得式子化簡，稱之為“加算操

作”,例如：(x-y')-(z-m-n')=x-y-z+m+n,x-y-(z-ni)-n=x-y-z+m-n,???,給出下

列說法：

①至少存在一種“加算操作”，使其結(jié)果與原多項式相等；

②不存在任何“加算操作”，使其結(jié)果與原多項式之和為0;

③所有的“加算操作”共有8種不同的結(jié)果.

以上說法中正確的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

二、填空題

3.閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法.例如“已知3α-b=2,求代數(shù)式6α-2%-l的值.”可

以這樣解：6α-2Λ-l=2(3α-")-l=2x2-l=3?根據(jù)閱讀材料，解決問題：若x=2是關(guān)于X的一元

一次方程Or+b=3的解，則代數(shù)式4〃+4ab+b2+4a+2b-↑的值是.

4.數(shù)學(xué)活動課上，小云和小王在討論張老師出示的一道代數(shù)式求值問題：

ba

2

已知實(shí)數(shù)。力同時滿足/+24=b+2,b+2b=a+2f求代數(shù)式,+石的值.

結(jié)合他們的對話，請解答下列問題：

(1)當(dāng)4=b時，a的值是.

(2)當(dāng)出〃時，代數(shù)式2+/的值是

ab

三、解答題

5.【材料閱讀】2020年5月27日，2020珠峰高程測量登山隊成功登頂珠穆朗瑪峰，將用中國科技

“定義”世界新高度.其基本原理之一是三角高程測量法，在山頂上立一個規(guī)標(biāo)，找到2個以上測量

點(diǎn)，分段測量山的高度，再進(jìn)行累加.因?yàn)榈厍蛎娌⒉皇撬降?，光線在空氣中會發(fā)生折射，所以當(dāng)

兩個測量點(diǎn)的水平距離大于300m時，還要考慮球氣差，球氣差計算公式為f=2強(qiáng)C（其中d為兩

R

點(diǎn)間的水平距離，R為地球的半徑，RMX6400000m）,即：山的海拔高度=測量點(diǎn)測得山的高度+測

量點(diǎn)的海拔高度+球氣差.

【問題解決】某?？萍夹〗M的同學(xué)參加了一項野外測量某座山的海拔高度活動.如圖，點(diǎn)A,B的水

平距離d=800m,測量儀AC=1.5m,覘標(biāo)DE=2m,點(diǎn)E,D,B在垂直于地面的一條直線上，在測量

點(diǎn)A處用測量儀測得山項覘標(biāo)頂端E的仰角為37°,測量點(diǎn)A處的海拔高度為1800m.

（1）數(shù)據(jù)6400000用科學(xué)記數(shù)法表示為；

（2）請你計算該山的海拔高度.（要計算球氣差，結(jié)果精確到0.0Im）

（參考數(shù)據(jù)：sin37o七0.60,cos37o^0.80,tan37oPO.75）

6.“通過等價變換，化陌生為熟悉，化未知為己知”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中解決問題的基本思維方式，例如:

解方程x-4=0,就可以利用該思維方式，設(shè)√7=y,將原方程轉(zhuǎn)化為：V-y=O這個熟悉的關(guān)

于y的一元二次方程，解出y,再求X,這種方法又叫“換元法”.請你用這種思維方式和換元法解

'5x2y2+2x+2y=133

決下面的問題.已知實(shí)數(shù)X,y滿足χ+y22,求產(chǎn)+產(chǎn)的值.

-^-+,2xiyl=51

7.某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖1表示此

人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列.

［觀察思考］

當(dāng)正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖2）；當(dāng)正方形地磚有2塊時，等腰直

角三角形地磚有8塊（如圖3）；以此類推，

圖1圖2圖3

［規(guī)律總結(jié)］

（1）若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加塊；

（2）若一條這樣的人行道一共有n（n為正整數(shù)）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為一（用

含n的代數(shù)式表示）.

［問題解決］

（3）現(xiàn)有2021塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚剩余

最少，則需要正方形地磚多少塊？

8.（1）計算：（-l）4χ∣-8∣+（-2）'x［;1.

（2）下面是小明同學(xué)解不等式的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

2x-l3x-2

------>----------11

32

解：2(2%一1)>3(38一2)-6第一步

4x-2>9x-6-6第二步

4x-9x>-6-6+2第三步

-5x>T()第四步

x>2第五步

任務(wù)一：填空：

①以上解題過程中，第二步是依據(jù)(運(yùn)算律)進(jìn)行變形的；

②第步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是；

任務(wù)二：請直接寫出該不等式的正確解集.

9.閱讀下面的材料：

如果函數(shù)y=f(χ)滿足：對于自變量X取值范圍內(nèi)的任意七，々，

⑴若石<。,都有〃再)</(>),則稱/(χ)是增函數(shù)；

(2)X1<X2,W/(X1)>/U2),則稱/(X)是減函數(shù).

例題：證明函數(shù)f(x)=/(X>0)是增函數(shù).

證明：任取用<々，且XI>0，匕>0

xxxx

則/(?l)-/*2)=I-2=(Xl+-X2)(l-2)

?.?X∣<*2且&>0,-V2>0

.?.xl+x2>0,xl-x2<0

Λ(x,+x2)(x∣-x2)<0,即((Xl)-f(%)<0,/(xl)</(X2)

.?.函數(shù)F(x)=x2(x>0)是增函數(shù).

根據(jù)以上材料解答下列問題：

(1)函數(shù)/(X)=L(X>0),/(D=γ=l,/(2)=i/(3)=______,/(4)=______；

X12

(2)猜想AX)=L(X>0)是函數(shù)—(填“增”或“減”)，并證明你的猜想.

X

10.閱讀下列材料

定義運(yùn)算：min∣<2,?∣,當(dāng)α≥b時，min∣α,?∣=b;當(dāng)α<b時,min∣α,?∣=a.例如:min∣-l,3∣=-l；

nτin∣-l,-2∣=-2.

完成下列任務(wù)

⑴①min∣(-3)°,2∣=；②min卜√jZ,-4∣=

⑵如圖，已知反比例函數(shù)X=V和一次函數(shù)為=-2x+。的圖像交于A、8兩點(diǎn).當(dāng)-2<x<0時,

X

min-,~2x+b=(x+l)(x-3)-x2.求這兩個函數(shù)的解析式.

11.下面是某分式化簡過程，請認(rèn)真閱讀并完成任務(wù).

X12

X2-4x+2j'x—2

(Xx-2?X—2

第一步

(χ2-4X2-4)2

x-x-2,x—2

第二步

X2-4~2~

-2X—2

第三步

(x+2)(x-2)2

=一一?第四步

x+2

任務(wù)一：填空

①以上化簡步驟中，第步是通分，通分的依據(jù)是.

②第步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是

任務(wù)二：直接寫出該分式化簡后的正確結(jié)果.

12.發(fā)現(xiàn)兩個已知正整數(shù)之和與這兩個正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示

為兩個正整數(shù)的平方和.驗(yàn)證：如，（2+1）2+（2-1）2=10為偶數(shù)，請把10的一半表示為兩個正整數(shù)

的平方和.探究：設(shè)“發(fā)現(xiàn)”中的兩個已知正整數(shù)為m,n,請論證“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論正確.

13.閱讀以下材料，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.NPIer,1550—1617年）是對數(shù)的創(chuàng)始人，他發(fā)明對

數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（EVIer.1707—1783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對

數(shù)之間的聯(lián)系.

對數(shù)的定義：一般地.若a*=N（4>0且αxl）,那么X叫做以a為底N的對數(shù)，

記作X=log,,N,比如指數(shù)式T=16可以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式4=Iog216,對數(shù)式2=Iog39可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)

式32=9.我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質(zhì)：

logβ(MJV)=log,,M+]ogllN(a>0,a≠},M>0,∕V>0),理由如下:

設(shè)IogdM=w,loguN=n,則M="皿,N=.

n+n

.?M-N=a"'-a"=a'.由對數(shù)的定義得m+n=IOg(J(M?N)

又1m+n=?ogaM+log?N

log,,(Λ/?N)=IoguM+IoguN.

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，解答下列問題：

(1)填空：①logz32=；②log327=,③l0g7l=；

M

(2)求證：Iog,,—=log?M-IogoN(a>0,a≠1,M>0,∕V>0)；

(3)拓展運(yùn)用:計算logs125+logs6-logs30.

14.數(shù)學(xué)課外活動小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)了完全平方公式之后，針對兩個正數(shù)之和與這兩個正數(shù)之積的算

術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系進(jìn)行了探究，請閱讀以下探究過程并解決問題.

猜想發(fā)現(xiàn)：由5+5=2√^=10;，+，=2JIXi=2；0.4+0.4=2√0.4×0.4=0.8;-+5>2,-×5=2;

33丫3335Y5

0.2+3.2>2?Vθ?2×3.2=1.6:—I—>2.-×—=—

28V282

猜想：如果“>0,h>0,那么存在4+22疝(當(dāng)且僅當(dāng)α=A時等號成立).

猜想證明：???(&-揚(yáng)Y≥0

，①當(dāng)且僅當(dāng)G-揚(yáng)=0,即α=6時，a-2>Jab+b=0,a+b=2?[ab；

-?[b≠0,B∣Ja'〃時，a-2?[ab÷?>0??tz+?>2>∕ab.

綜合上述可得：若白>0,人>0,貝IJa+b≥2>∕^成立(當(dāng)且僅當(dāng)α=b時等號成立).

猜想運(yùn)用：(1)對于函數(shù)y=χ+g(χ>o),當(dāng)X取何值時，函數(shù)y的值最?。孔钚≈凳嵌嗌?？

變式探究：(2)對于函數(shù)y=—?+x(x>3),當(dāng)X取何值時，函數(shù)y的值最??？最小值是多少？

拓展應(yīng)用：(3)疫情期間、為了解決疑似人員的臨隔離問題.高速公路榆測站入口處，檢測人員利

用檢測站的一面墻(墻的長度不限)，用63米長的鋼絲網(wǎng)圍成了9間相同的長方形隔離房，如圖.設(shè)

每間離房的面積為S(米2).問：每間隔離房的長、寬各為多少時，可使每間隔離房的面積S最大？

最大面積是多少？

/////////////////////1//華)

15.閱讀材料:

材料1：若關(guān)于X的一元二次方程aχ2+bx+c=0(aWO)的兩個根為x”x,則xι+x2=-?^^,XiX

2a2

_c

a

材料2：已知一元二次方程χ2-χ-l=O的兩個實(shí)數(shù)根分別為m,n,求n?+nu√的值.

解：；一元二次方程χ2-x—1=0的兩個實(shí)數(shù)根分別為m,n,

Λm÷n=1,mn=-1,

則∏r'n+mn2=mn(m÷n)=-1X1=—1

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：

2

(1)材料理解：一元二次方程2x-3χ-l=0的兩個根為X.,X2,則x>+x2=；x1x2=.

Mιγι

(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程2χ2-3χ-1=0的兩根分別為m、n,求上+竺的值.

mn

⑶思維拓展：己知實(shí)數(shù)s、t滿足2—-3S-I=0,2t2-3t-l=0,且s≠t,求的值.

st

16.【算一算】

如圖①，點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上，B為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)A表示-3,點(diǎn)B表示1,則點(diǎn)C表示的數(shù)為,

AC長等于；

【找一找】

如圖②，點(diǎn)MN、P、Q中的一點(diǎn)是數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別表示實(shí)數(shù)變-1、也+1,Q是AB的

22

中點(diǎn)，則點(diǎn)—是這個數(shù)軸的原點(diǎn)；

【畫一畫】

如圖③，點(diǎn)A、B分別表示實(shí)數(shù)c-n、c+n,在這個數(shù)軸上作出表示實(shí)數(shù)n的點(diǎn)E(要求：尺規(guī)作圖，

不寫作法，保留作圖痕跡)；

【用一用】

學(xué)校設(shè)置了若干個測溫通道，學(xué)生進(jìn)校都應(yīng)測量體溫，已知每個測溫通道每分鐘可檢測a個學(xué)生.凌

老師提出了這樣的問題：假設(shè)現(xiàn)在校門口有m個學(xué)生，每分鐘又有b個學(xué)生到達(dá)校門口.如果開放3

個通道，那么用4分鐘可使校門口的學(xué)生全部進(jìn)校；如果開放4個通道，那么用2分鐘可使校門口的

學(xué)生全部進(jìn)校.在這些條件下，a、m、b會有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

愛思考的小華想到了數(shù)軸，如圖④，他將4分鐘內(nèi)需要進(jìn)校的人數(shù)m+4b記作+(m+4b),用點(diǎn)A表示；

將2分鐘內(nèi)由4個開放通道檢測后進(jìn)校的人數(shù)，即校門口減少的人數(shù)8a記作-8a,用點(diǎn)B表示.

①用圓規(guī)在小華畫的數(shù)軸上分別畫出表示+(m+2b)、-12a的點(diǎn)F、G,并寫出+(m+2b)的實(shí)際意義；

②寫出a、m的數(shù)量關(guān)系：.

BC

—A4---------?-------?-->

-301

圖①

MANPQB、

—?—F*------?-----------?------?------------------------Fe~>

?-i縣1

22

圖②

AB

----------------------------?--------1-----------------------------------?→

C-W0C÷Λ

圖③

?B1---------A?A

-Sa0冽-45

圖④

17.實(shí)際問題：

某商場為鼓勵消費(fèi)，設(shè)計了投資活動.方案如下：根據(jù)不同的消費(fèi)金額，每次抽獎時可以從IOO張面

值分別為1元、2元、3元、…、Ioo元的獎券中(面值為整數(shù))，一次任意抽取2張、3張、4張、…

等若干張獎券，獎券的面值金額之和即為優(yōu)惠金額.某顧客獲得了一次抽取5張獎券的機(jī)會，小明想

知道該顧客共有多少種不同的優(yōu)惠金額？

問題建模：

從1,2,3,…，”(〃為整數(shù)，且“≥3)這〃個整數(shù)中任取α(l<α<")個整數(shù)，這。個整數(shù)之和共

有多少種不同的結(jié)果？

模型探究：

我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進(jìn)，從中找出解決問題的方法.

探究一：

(1)從1,2,3這3個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？

表①

所取的2個整數(shù)1,21,3,2,3

2個整數(shù)之和345

如表①，所取的2個整數(shù)之和可以為3,4,5,也就是從3到5的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3,最大是

5,所以共有3種不同的結(jié)果.

(2)從1,2,3,4這4個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？

表②

所取的2個整數(shù)1,21,3,1,42,32,43,4

2個整數(shù)之和345567

如表②，所取的2個整數(shù)之和可以為3,4,5,6,7,也就是從3到7的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3,

最大是7,所以共有5種不同的結(jié)果.

(3)從1,2,3,4,5這5個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.

(4)從1,2,3,…，n("為整數(shù)，且〃≥3)這"個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有—

種不同的結(jié)果.

探究二：

(1)從1,2,3,4這4個整數(shù)中任取3個整數(shù)，這3個整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.

(2)從1,2,3,…，〃(”為整數(shù)，且"24)這〃個整數(shù)中任取3個整數(shù)，這3個整數(shù)之和共有

種不同的結(jié)果.

探究三：

從1,2,3,…，”(〃為整數(shù)，且〃≥5)這〃個整數(shù)中任取4個整數(shù)，這4個整數(shù)之和共有一

種不同的結(jié)果.

歸納結(jié)論：

從1,2,3,…，?("為整數(shù)，且〃23)這〃個整數(shù)中任取α(l<a<")個整數(shù)，這“個整數(shù)之和共

有種不同的結(jié)果.

問題解決：

從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎券中(面值為整數(shù))，一次任意抽取5張獎

券，共有種不同的優(yōu)惠金額.

拓展延伸：

(1)從1,2,3,…，36這36個整數(shù)中任取多少個整數(shù)，使得取出的這些整數(shù)之和共有204種不同

的結(jié)果？（寫出解答過程）

（2）從3,4,5,〃+3（〃為整數(shù)，且〃≥2）這（〃+1）個整數(shù)中任取α（l<α</+l）個整數(shù)，這

?個整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.

18.問題提出：

最長邊長為128的整數(shù)邊三角形有多少個？（整數(shù)邊三角形是指三邊長度都是整數(shù)的三角形.）

問題探究：

為了探究規(guī)律，我們先從最簡單的情形入手，從中找到解決問題的方法，最后得出一般性的結(jié)論.

（1）如表①，最長邊長為1的整數(shù)邊三角形，顯然，最短邊長是1,第三邊長也是L按照（最長邊

長，最短邊長，第三邊長）的形式記為（LU）,有1個，所以總共有IXI=I個整數(shù)邊三角形.

表①

最長邊最短邊整數(shù)邊三角形個計算方

（最長邊長，最短邊長，第三邊長）算式

長長數(shù)法

11(Si)11個1Ixl

（2）如表②，最長邊長為2的整數(shù)邊三角形，最短邊長是1或2.根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三

邊，當(dāng)最短邊長為1時，第三邊長只能是2,記為（2,1,2）,有1個；當(dāng)最短邊長為2時，顯然第三邊

長也是2,記為（2,2,2）,有1個，所以總共有1+I=lx2=2個整數(shù)邊三角形.

表②

最長邊最短邊整數(shù)邊三角形個計算方

（最長邊長，最短邊長，第三邊長）算式

長長數(shù)法

1(2,1,2)1

22個11×2

2(2,2,2)1

（3）下面在表③中總結(jié)最長邊長為3的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況:

表③

最長邊最短邊整數(shù)邊三角形個計算方

（最長邊長，最短邊長，第三邊長）算式

長長數(shù)法

1(3,1,3)1

32個22×2

2(3,2,2),(3,2,3)2

3(3,3,3)1

（4）下面在表④中總結(jié)最長邊長為4的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況:

表④

最長邊最短邊整數(shù)邊三角形個計算方

(最長邊長，最短邊長，第三邊長)算式

長長數(shù)法

1（4,1,4）1

2（4,2,3）,（4,2,4）2

43個22×3

3（4,3,3）,（4,3,4）2

4（4,4,4）1

(5)請在表⑤中總結(jié)最長邊長為5的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況并填空:

表⑤

最長邊最短邊整數(shù)邊三角形個計算方

(最長邊長，最短邊長，第三邊長)算式

長長數(shù)法

1（5,1,5）1

2（5,2,4）,（5,2,5）2

53——

4（5,4,4）,（5,4,5）2

5（5,5,5）1

問題解決：

(1)最長邊長為6的整數(shù)邊三角形有一個.

(2)在整數(shù)邊三角形中，設(shè)最長邊長為〃，總結(jié)上述探究過程，當(dāng)〃為奇數(shù)或〃為偶數(shù)時，整數(shù)邊三

角形個數(shù)的規(guī)律一樣嗎？請寫出最長邊長為〃的整數(shù)邊三角形的個數(shù).

(3)最長邊長為128的整數(shù)邊三角形有個.

拓展延伸：

在直三棱柱中，若所有棱長均為整數(shù)，則最長棱長為9的直三棱柱有個.

參考答案:

1.【分析】根據(jù)定義逐項分析判斷即可.

解：/2+4=4,

(4,12)是完美方根數(shù)對；

故①正確；

√91+9=10≠9

(9,91)不是完美方根數(shù)對；

故②不正確；

若(。，380)是完美方根數(shù)對，則回F=

即a2=380+?

解得a=20或“=-19

。是正整數(shù)

則α=20

故③正確；

若(χ,y)是完美方根數(shù)對，則屈=X

:.y+X=X2,

即y=/一X

故④正確

故選C

【點(diǎn)評】本題考查了求算術(shù)平方根，解一元二次方程，二次函數(shù)的定義，理解定義是解題的關(guān)鍵.

2.【分析】給X-V添加括號，即可判斷①說法是否正確；根據(jù)無論如何添加括號，無法使得X的符

號為負(fù)號，即可判斷②說法是否正確；列舉出所有情況即可判斷③說法是否正確.

解：V^x-y)-z-m-n=x-y-z-m-n

，①說法正確

VX-y-z-m-n-x+y+z+m+n-O

又?.?無論如何添加括號，無法使得X的符號為負(fù)號

???②說法正確

③第1種：結(jié)果與原多項式相等；

第2種：X-(y-z)-m-n=χ-y+z-m-n；

第3種：χ-(y-z)-(m-n)=χ-y+z-m+n;

第4種：X-(y-z-m)-n=χ-y+z+m-∏;

第5種：χ-(y-z-m-∏)=χ-y+z+m+n;

第6種：χ-y-(z-?n)-n=χ-y-z+m-n;

第7種：χ-y-(z-m-∏)=χ-y-z+m+n;

第8種：χ-y-z-(m-n)=χ-y-z-m+n;故③符合題意；

共有8種情況

.?.③說法正確

.?.正確的個數(shù)為3

故選D.

【點(diǎn)評】本題考查了新定義運(yùn)算，認(rèn)真閱讀，理解題意是解答此題的關(guān)鍵.

3.【分析】先根據(jù)x=2是關(guān)于X的一元一次方程依+6=3的解，得到2α+6=3,再把所求的代數(shù)式

變形為(2”+32+2(2〃+3-1,把24+6=3整體代入即可求值.

解：?.?χ=2是關(guān)于X的一元一次方程依+匕=3的解，

.,.2a+h=3,

??4a~+4ab+Z>~+4α+2Z?—1

=(2a+?)2+2(2α+?)-l

=32+2×3-l

=14.

故答案為：14.

【點(diǎn)評】本題考查了代數(shù)式的整體代入求值及一元一次方程解的定義，把所求的代數(shù)式利用完全平方

公式變形是解題的關(guān)鍵.

4.【分析】(1)將a=人代入°2+2α=b+2解方程求出“，6的值，再代入匕z+2b=α+2進(jìn)行驗(yàn)證

即可；

(2)當(dāng)出/,時，求出a+〃+3=0,再把通分變形，最后進(jìn)行整體代入求值即可.

解：已知乜"實(shí)數(shù)"，b同時滿足①,②，

?2+2?=67+2(2)

①-②得，a2-b2+3a-3b=0

.?.(?！?。+3)=0

.?.a-b=0或a+b+3=0

①+②得，a2+b2=4-a-b

(1)當(dāng)α=〃時，將α=〃代入/+24=6+2得,

a2+a-2=0

解得，4=1,出=-2

.?.a=1,b2=-2

把α=6=l代入/+28=4+2得，3=3,成立；

把α=6=-2代入〃+如=4+2得，0=0,成立;

.?.當(dāng)a=〃時，a的值是1或-2

故答案為：1或-2；

(2)當(dāng)αl〃時，則α+6+3=0,B∣la+b=-3

?.?a2+b2=4-a-b

a2+b2=7

.?(a+b)2=a2+2ab+b2=9

ah=?

.bacr+b2Ir

abah1

故答案為：7.

【點(diǎn)評】此題主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代數(shù)式的值和分式的運(yùn)

算等知識，熟練掌握運(yùn)算法則和乘法公式是解答此題的關(guān)鍵.

5.【分析】(1)科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其中l(wèi)≤∣a∣＜10,n為整數(shù).確定n的

值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕

對值＞1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù).

(2)如圖，過點(diǎn)C作CHLBE于H.解直角三角形求出DB,加上海拔高度，加上球氣差即可.

解:(1)6400000=6.4XlO6,

故答案為6.4×IO6.

(2)如圖，過點(diǎn)C作CHJ_BE于H.

由題意AB=CH=800m,AC=BH=I.5m,

在RtZXECH中，EH=CH?tan37°≈?600(m),

ΛDB=600-DE+BH≈599.5(m),

0.43X8002

由題意s≈0.043(m),

6400000

二山的海拔高度=599.5+0.043+180022399.54(m).

【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，科學(xué)記數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會構(gòu)造直角

三角形解決問題.

6.【分析】通過“換元”的思路，可以將所要求的方程組中的元素進(jìn)行換元，兩個式子中都有尤和

x+y,因此可以令D=α,x+y=6,列出方程組，從而求出a,b的值，再求出9+產(chǎn)的值.

解：令孫=",x+y=b,則原方程組可化為:

5/+2匕=133

5∕+2?=133①

整理得:

-+2cr=5116/+2/?=408②

4

②-①得：11/=275,

解得：/=25,代入②可得：b=4,

。二5

.??方程組的解為:

6=4

X2+y2=(x+y)2-2xy=h2-2a,

當(dāng)α=5時，

：.x+y=4,xy=5,

：.x=4-y,代入母=5,

可得V-4y+5=0,此時A=16-20<0,方程無解，故不符合題意；

當(dāng)a=—5時，f+y2=26,

因此f+—的值為26.

【點(diǎn)評】此題主要考查了高次方程的解法以及完全平方公式的運(yùn)用，利用換元的思想，將高次方程轉(zhuǎn)

化為二元一次方程組是解題關(guān)鍵.

7.【分析】(1)由圖觀察即可；

(2)由每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚，再結(jié)合題干中的條件正方形地磚

只有F塊時，等腰直角三角形地磚有6塊，遞推即可；

(3)利用上一小題得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地磚剩余最少時需要正方形地磚

的數(shù)量.

解：(1)由圖可知，每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚；

故答案為：2；

(2)由(1)可知，每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚；

當(dāng)正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊，即2+4；

所以當(dāng)?shù)卮u有n塊時，等腰直角三角形地磚有(2〃+4)塊；

故答案為：2/7+4；

(3)令2"+4=2021貝U“=1008.5

當(dāng)〃=1008時，2/7+4=2020

此時，剩下一塊等腰直角三角形地磚

二需要正方形地磚1008塊.

【點(diǎn)評】本題為圖形規(guī)律題，涉及到了一元一次方程、列代數(shù)式以及代數(shù)式的應(yīng)用等，考查了學(xué)生的

觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納以及應(yīng)用的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能列代數(shù)式表示其中的規(guī)律等.

8.【分析】(1)根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則計算即可；

(2)根據(jù)不等式的性質(zhì)3判斷并計算即可.

(1)解：原式=lx8+(-8)χ[

=8+(—2)=6.

(2)①乘法分配律(或分配律)

②五不等式兩邊都除以一5,不等號的方向沒有改變(或不符合不等式的性質(zhì)3)；

任務(wù)二：不等式兩邊都除以一5,改變不等號的方向得：x<2.

【點(diǎn)評】本題主要考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，不等式的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則以及不等式的

性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

9.【分析】(1)根據(jù)題目中函數(shù)解析式可以解答本題：

(2)根據(jù)題目中例子的證明方法可以證明(1)中的猜想成立.

解：(1)/(3)=∣,

/(4)=7

4

(2)猜想：∕?(x)=!(x>O)是減函數(shù)；

X

證明：任取斗<與，%>0，々>0,則

∕α,)-∕u2)=l--

X1x2xix2

*/x1<x2?>O,x2>0

.?.x2-X1>O,xix2>O

Λ?ΞΛ>O,即/(%)-/(當(dāng))>0

x?x2

函數(shù)/(x)=L(X>0)是減函數(shù).

X

【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)圖象上的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，

找出所求問題需要的條件，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答.

10.【分析】(1)根據(jù)材料中的定義進(jìn)行計算，即可求出答案；

kk

(2)由函數(shù)圖像可知當(dāng)一2<x<0時，-2x+b<2,則min-,-2x+6=-2x+6,結(jié)合已知可得

XX

-2x+?=(x+l)(x-3)-√,即可求出b,得到一次函數(shù)解析式，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法

求出反比例函數(shù)解析式.

⑴解:根據(jù)題意,

Vmin∣tz,?∣,當(dāng)α≥b時，min∣α,?∣=?;當(dāng)α<6時,min∣0,6∣=α,

.?.①min卜3)°,2卜1；

,/-√14>-4，

/.②min∣-T14,-4∣=-4；

故答案為：①1；②T；

(2)解：由函數(shù)圖像可知當(dāng)一2<x<0時，-2x+Z)<K,

X

k

.?.min—,-2x+?=-2x+b,

X

又?.?min—,-2x+?=(x÷l)(x-3)-x2,

?，?-2x+/?=(x+l)(x-3)—M,

I.h=-39

上一次函數(shù)%=一2%一3,

當(dāng)x=-2時，%=1,

ΛA(一2,1),

將A(—2,1)代入y=人得Z=—2x1=—2,

X

2

???反比例函I數(shù)y

X

【點(diǎn)評】本題考查了新定義的運(yùn)算法則，零次幕，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是

掌握題意，正確的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想求解.

11.【分析】任務(wù)一：①根據(jù)分式的基本性質(zhì)分析即可；②利用去括號法則得出答案；

任務(wù)二：利用分式的混合運(yùn)算法則計算得出答案.

任務(wù)一：①以上化簡步驟中，第一步是通分，通分的依據(jù)是分式的性質(zhì).

②第二步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是去括號沒有變號.

故答案為：①一，分式的性質(zhì)；②二，去括號沒有變號.

任務(wù)二：

f?-?k?

\X2-4x+2)x-2

_(Xx—2]x—2

?x2-4X2-4J2

_x-x+2x-2

X2-42^-

2X?2

^(x÷2)(x-2)'?

]

x+2.

【點(diǎn)評】本題考查了分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì).

12.【分析】通過觀察分析驗(yàn)證10的一半為5,22+/=5;將in和n代入發(fā)現(xiàn)中驗(yàn)證即可證明.

證明：驗(yàn)證：10的一半為5,22+l2=5;

設(shè)“發(fā)現(xiàn)”中的兩個已知正整數(shù)為m,n,

：.(/W÷/?)2÷(∕n-n)2=2(>+"),其中2(加+川)為偶數(shù)，

且其一半療+/正好是兩個正整數(shù)m和n的平方和，

???“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論正確.

【點(diǎn)評】本題考查列代數(shù)式，根據(jù)題目要求列出代數(shù)式是解答本題的關(guān)鍵.

13.【分析】(1)直接根據(jù)定義計算即可；

(2)結(jié)合題干中的過程，同理根據(jù)同底數(shù)幕的除法即可證明；

M

(3)根據(jù)公式：Ioga(M?N)=IOgaM+1OgaN和IogaF?=1OgaMTogaN的逆用，將所求式子表示為：

N

125x6由一妨…、人

1logs30，計算可得結(jié)論.

5

W：(1)①???2=32,ΛI(xiàn)og232=5,

②；33=27,，log327=3,

③：7°=1,ΛI(xiàn)og7I=O;

(2)設(shè)logaM=m,logaN=n,

?*?am=M1an=N9

..M

??∣0g,,R?=機(jī)

...log,,—=loguM-log,,N；

(3)Iog5125+Iog56-Iog530

=Iog325

【點(diǎn)評】本題考查整式的混合運(yùn)算、對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系與相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確新

定義，明白指數(shù)與對數(shù)之間的關(guān)系與相互轉(zhuǎn)化關(guān)系.

14.【分析】猜想運(yùn)用：根據(jù)材料以及所學(xué)完全平方公式證明求解即可：

變式探究：將原式轉(zhuǎn)換為>=一1+x-3+3,再根據(jù)材料中方法計算即可；

拓展應(yīng)用：設(shè)每間隔離房與墻平行的邊為X米，與墻垂直的邊為y米，依題意列出方程，然后根據(jù)兩

個正數(shù)之和與這兩個正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系探究最大值即可.

猜想運(yùn)用：

Vx>0,

??y—X—≥2Jx,一=2,

，當(dāng)X=??時，‰in=2,

X

此時f=1,

只取x=l,

即X=I時，函數(shù)y的最小值為2.

變式探究：

Vx>3,

.*.X-3>0?------>0,

???當(dāng)U=X-3時，‰in=5,

此時(X-3)2=1,

.?.?i=4,X2=2（舍去）,

即尤=4時，函數(shù)y的最小值為5.

拓展應(yīng)用：

設(shè)每間隔離房與墻平行的邊為X米，與墻垂直的邊為y米，依題意得:

9%+12y=63,

即3x+4y=21,

V3x>0,4y>0f

φ

..3x+4y≥2λ∕3x?4y,

即21N2j3x?4y,

147

整理得：,

Io

即SW㈣，

16

147

???當(dāng)3x=4y時SX=M

maIo

此時X=：7,y=2?1,

28

7?i147

即每間隔離房長為:米，寬為4米時，S的最大值為2米2.

2816

【點(diǎn)評】本題主要考查根據(jù)完全平方公式探究兩個正數(shù)之和與這兩個正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之

間的關(guān)系，熟練運(yùn)用完全平方公式并參照材料中步驟進(jìn)行計算是解題關(guān)鍵，屬于創(chuàng)新探究題.

15,【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系直接進(jìn)行計算即可；

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系先求出然后將“+%進(jìn)行變形求解即可；

22mn

3111

（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系先求出s+f==,sr=-；,然后求出s-t的值，然后將?L-L進(jìn)行變形求解

22Sf

即可.

（1）解：一元二次方程2d-3χ-l=0的兩個根為X”x2,

31

故答案為：—;--.

22

(2)：一元二次方程2χ2-3XT=O的兩根分別為m、n,

?-33CI

..m+n=——=-----=一,mn=一=——,

a22a2

.nmιτr2+n~2

??—+——-----

mnmn

("z+∕ι)~-2mn

mn

2

13

^2

（3）,?,實(shí)數(shù)s、t滿足2S2-3S-1=0,2t2-3t-l=0,

???s、t可以看作方程2χ2-3XT=O的兩個根,

?：（Z-5）2=（，+Sy-Ast

17

-T

“S.叵或一=一叵,

22

√∏

當(dāng)/-S=姮時，?-?=-=-?=-√∏,

2SfSr?

~2

_7n

當(dāng)f-s=—姮時，?-?=-=—^-=√∏,

2StSt?

^2

綜上分析可知，」-1的值為＞/萬或-a.

St

【點(diǎn)評】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形計算，根據(jù)根與系數(shù)的

關(guān)系求出"S=M□或LS=-姮，是解答本題的關(guān)鍵.

22

16.【分析】(1)根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)A對應(yīng)-3,點(diǎn)B對應(yīng)1,求得AB的長，進(jìn)而根據(jù)AB=BC可求得AC

的長以及點(diǎn)C表示的數(shù)；

(2)可設(shè)原點(diǎn)為0,根據(jù)條件可求得AB中點(diǎn)表示的數(shù)以及線段AB的長度，根據(jù)AB=2,可得AQ=

BQ=I,結(jié)合OQ的長度即可確定N為數(shù)軸的原點(diǎn)：

(3)設(shè)AB的中點(diǎn)為M,先求得AB的長度，得到AM=BM=n,根據(jù)線段垂直平分線的作法作圖即可；

c_一一?ιn+4b=12a

(4)①根據(jù)每分鐘進(jìn)校人數(shù)為b,每個通道每分鐘進(jìn)入人數(shù)為a,列方程組?,。，根據(jù)m+2b

=0F,m+4b=12a,即可畫出F,G點(diǎn)，其中m+2b表示兩分鐘后，校門口需要進(jìn)入學(xué)校的學(xué)生人數(shù)；

②解①中的方程組，即可得到m=4a?

解：(1)【算一算】：記原點(diǎn)為0,

VAB=I-(-3)=4,

.?AB=BC=4,

Λ0C=0B+BC=5,AC=2AB=8.

所以點(diǎn)C表示的數(shù)為5,AC長等于8.

故答案為：5,8；

(2)【找一找］:記原點(diǎn)為0,

VAB=-+1-(―-1)=2,

22

ΛAQ=BQ=1,

AOQ=OB-BQ=-+1-1=—,

22

AN為原點(diǎn).

故答案為：N.

(3)【畫一畫】：記原點(diǎn)為0,

F∣lAB=c+n-(c-n)=2n,

作AB的中點(diǎn)M,

得AM=BM=n,

以點(diǎn)0為圓心，

AM=n長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)E,

則點(diǎn)E即為所求；

AOEB

—?