（江蘇專(zhuān)用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 4.5 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

1．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3．公式的逆用、變形等(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)；(2)cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)存在實(shí)數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)(2)在銳角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不確定．(×)(3)公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)可以變形為tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且對(duì)任意角α，β都成立．(×)(4)存在實(shí)數(shù)α，使tan2α＝2tanα.(√)(5)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√)1．已知sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，則sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝.答案eq\f(17,18)解析由sinα＋cosα＝eq\f(1,3)兩邊平方得1＋sin2α＝eq\f(1,9)，解得sin2α＝－eq\f(8,9)，所以sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α)),2)＝eq\f(1－sin2α,2)＝eq\f(1＋\f(8,9),2)＝eq\f(17,18).2．若eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，則tan2α＝.答案eq\f(3,4)解析由eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，等式左邊分子、分母同除cosα得，eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(1,2)，解得tanα＝－3，則tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(3,4).3．(2015·重慶改編)若tanα＝eq\f(1,3)，tan(α＋β)＝eq\f(1,2)，則tanβ＝.答案eq\f(1,7)解析tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝eq\f(tanα＋β－tanα,1＋tanα＋βtanα)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq\f(1,7).4．(教材改編)sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝.答案eq\f(\r(2),2)解析sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝eq\f(\r(2),2).5．設(shè)α為銳角，若cos(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(4,5)，則sin(2α＋eq\f(π,12))的值為．答案eq\f(17\r(2),50)解析∵α為銳角，cos(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(4,5)，∴α＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，∴sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(3,5)，∴sin(2α＋eq\f(π,3))＝2sin(α＋eq\f(π,6))cos(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(24,25)，∴cos(2α＋eq\f(π,3))＝2cos2(α＋eq\f(π,6))－1＝eq\f(7,25)，∴sin(2α＋eq\f(π,12))＝sin(2α＋eq\f(π,3)－eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)[sin(2α＋eq\f(π,3))－cos(2α＋eq\f(π,3))]＝eq\f(17\r(2),50).題型一三角函數(shù)公式的基本應(yīng)用例1(1)已知sinα＝eq\f(3,5)，α∈(eq\f(π,2)，π)，則eq\f(cos2α,\r(2)sinα＋\f(π,4))＝.(2)設(shè)sin2α＝－sinα，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則tan2α的值是．答案(1)－eq\f(7,5)(2)eq\r(3)解析(1)eq\f(cos2α,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝eq\f(cos2α－sin2α,\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinα＋\f(\r(2),2)cosα)))＝cosα－sinα，∵sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosα＝－eq\f(4,5).∴原式＝－eq\f(7,5).(2)∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，∴cosα＝－eq\f(1,2)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinα＝eq\f(\r(3),2)，tanα＝－eq\r(3)，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(－2\r(3),1－－\r(3)2)＝eq\r(3).思維升華(1)使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征．(2)使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值．(1)若α∈(eq\f(π,2)，π)，tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1,7)，則sinα＝.(2)已知cos(x－eq\f(π,6))＝－eq\f(\r(3),3)，則cosx＋cos(x－eq\f(π,3))的值是．答案(1)eq\f(3,5)(2)－1解析(1)∵tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(1,7)，∴tanα＝－eq\f(3,4)＝eq\f(sinα,cosα)，∴cosα＝－eq\f(4,3)sinα.又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝eq\f(9,25).又∵α∈(eq\f(π,2)，π)，∴sinα＝eq\f(3,5).(2)cosx＋cos(x－eq\f(π,3))＝cosx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\f(3,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)(eq\f(\r(3),2)cosx＋eq\f(1,2)sinx)＝eq\r(3)cos(x－eq\f(π,6))＝－1.題型二三角函數(shù)公式的靈活應(yīng)用例2(1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值為．(2)(2015·重慶改編)若tanα＝2taneq\f(π,5)，則eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝.答案(1)eq\f(\r(2),2)(2)3解析(1)原式＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).(2)eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,5))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝eq\f(sinαcos\f(π,5)＋cosαsin\f(π,5),sinαcos\f(π,5)－cosαsin\f(π,5))＝eq\f(\f(tanα,tan\f(π,5))＋1,\f(tanα,tan\f(π,5))－1)＝eq\f(2＋1,2－1)＝3.思維升華運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多種變形等．公式的逆用和變形應(yīng)用更能開(kāi)拓思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力．(1)在斜三角形ABC中，sinA＝－eq\r(2)cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－eq\r(2)，則角A的值為．(2)函數(shù)f(x)＝2sin2(eq\f(π,4)＋x)－eq\r(3)cos2x的最大值為．答案(1)eq\f(π,4)(2)3解析(1)由題意知：sinA＝－eq\r(2)cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－eq\r(2)cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC兩邊同除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－eq\r(2)，又tan(B＋C)＝eq\f(tanB＋tanC,1－tanBtanC)＝－1＝－tanA，所以A＝eq\f(π,4).(2)f(x)＝1－coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\f(π,4)＋x))－eq\r(3)cos2x＝sin2x－eq\r(3)cos2x＋1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋1，可得f(x)的最大值是3.題型三角的變換問(wèn)題例3(1)設(shè)α、β都是銳角，且cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq\f(3,5)，則cosβ＝.(2)已知cos(α－eq\f(π,6))＋sinα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，則sin(α＋eq\f(7π,6))的值是．答案(1)eq\f(2\r(5),25)(2)－eq\f(4,5)解析(1)依題意得sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(2\r(5),5)，cos(α＋β)＝±eq\r(1－sin2α＋β)＝±eq\f(4,5).又α，β均為銳角，所以0<α<α＋β<π，cosα>cos(α＋β)．因?yàn)閑q\f(4,5)>eq\f(\r(5),5)>－eq\f(4,5)，所以cos(α＋β)＝－eq\f(4,5).于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－eq\f(4,5)×eq\f(\r(5),5)＋eq\f(3,5)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(2\r(5),25).(2)∵cos(α－eq\f(π,6))＋sinα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，∴eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\f(3,2)sinα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，eq\r(3)(eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα)＝eq\f(4,5)eq\r(3)，eq\r(3)sin(eq\f(π,6)＋α)＝eq\f(4,5)eq\r(3)，∴sin(eq\f(π,6)＋α)＝eq\f(4,5)，∴sin(α＋eq\f(7π,6))＝－sin(eq\f(π,6)＋α)＝－eq\f(4,5).思維升華(1)解決三角函數(shù)的求值問(wèn)題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示．①當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；②當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．(2)常見(jiàn)的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝(α＋eq\f(β,2))－(eq\f(α,2)＋β)等．若0＜α＜eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)＜β＜0，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,3)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(\r(3),3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))＝.答案eq\f(5\r(3),9)解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))，∵0＜α＜eq\f(π,2)，∴eq\f(π,4)＜eq\f(π,4)＋α＜eq\f(3π,4)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(2\r(2),3).又－eq\f(π,2)＜β＜0，則eq\f(π,4)＜eq\f(π,4)－eq\f(β,2)＜eq\f(π,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(\r(6),3).故coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),3)＋eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(5\r(3),9).5．三角函數(shù)求值忽視角的范圍致誤典例(1)已知0＜β＜eq\f(π,2)＜α＜π，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(1,9)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(2,3)，則cos(α＋β)的值為．(2)已知在△ABC中，sin(A＋B)＝eq\f(2,3)，cosB＝－eq\f(3,4)，則cosA＝.易錯(cuò)分析(1)角eq\f(α,2)－β，α－eq\f(β,2)的范圍沒(méi)有確定準(zhǔn)確，導(dǎo)致開(kāi)方時(shí)符號(hào)錯(cuò)誤．(2)對(duì)三角形中角的范圍挖掘不夠，忽視隱含條件，B為鈍角．解析(1)∵0＜β＜eq\f(π,2)＜α＜π，∴－eq\f(π,4)＜eq\f(α,2)－β＜eq\f(π,2)，eq\f(π,4)＜α－eq\f(β,2)＜π，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)))＝eq\f(\r(5),3)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2))))＝eq\f(4\r(5),9)，∴coseq\f(α＋β,2)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,9)))×eq\f(\r(5),3)＋eq\f(4\r(5),9)×eq\f(2,3)＝eq\f(7\r(5),27)，∴cos(α＋β)＝2cos2eq\f(α＋β,2)－1＝2×eq\f(49×5,729)－1＝－eq\f(239,729).(2)在△ABC中，∵cosB＝－eq\f(3,4)，∴eq\f(π,2)＜B＜π，sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(\r(7),4).∵eq\f(π,2)＜B＜A＋B＜π，sin(A＋B)＝eq\f(2,3)，∴cos(A＋B)＝－eq\r(1－sin2A＋B)＝－eq\f(\r(5),3)，∴cosA＝cos[(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cosB＋sin(A＋B)sinB＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＋eq\f(2,3)×eq\f(\r(7),4)＝eq\f(3\r(5)＋2\r(7),12).答案(1)－eq\f(239,729)(2)eq\f(3\r(5)＋2\r(7),12)溫馨提醒在解決三角函數(shù)式的求值問(wèn)題時(shí)，要注意題目中角的范圍的限制，特別是進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算時(shí)一定要注意所求三角函數(shù)值的符號(hào)．另外，對(duì)題目隱含條件的挖掘也是容易忽視的問(wèn)題，解題時(shí)要加強(qiáng)對(duì)審題深度的要求與訓(xùn)練，以防出錯(cuò)．[方法與技巧]1．巧用公式變形：和差角公式變形：tanx±tany＝tan(x±y)·(1?tanx·tany)；倍角公式變形：降冪公式cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，配方變形：1±sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)±cos\f(α,2)))2，1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).2．重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角：對(duì)角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱(chēng)；變式：對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等．在解決求值、化簡(jiǎn)、證明問(wèn)題時(shí)，一般是觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明)問(wèn)題的整體形式中的差異，再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃危甗失誤與防范]1．運(yùn)用公式時(shí)要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對(duì)性，要注意升次、降次的靈活運(yùn)用，要注意“1”的各種變通．2．在三角函數(shù)求值時(shí)，一定不要忽視題中給出的或隱含的角的范圍.A組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)1．eq\f(cos85°＋sin25°cos30°,cos25°)＝.答案eq\f(1,2)解析原式＝eq\f(sin5°＋\f(\r(3),2)sin25°,cos25°)＝eq\f(sin30°－25°＋\f(\r(3),2)sin25°,cos25°)＝eq\f(\f(1,2)cos25°,cos25°)＝eq\f(1,2).2．若θ∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]，sin2θ＝eq\f(3\r(7),8)，則sinθ＝.答案eq\f(3,4)解析由sin2θ＝eq\f(3\r(7),8)和sin2θ＋cos2θ＝1得(sinθ＋cosθ)2＝eq\f(3\r(7),8)＋1＝(eq\f(3＋\r(7),4))2，又θ∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]，∴sinθ＋cosθ＝eq\f(3＋\r(7),4).同理，sinθ－cosθ＝eq\f(3－\r(7),4)，∴sinθ＝eq\f(3,4).3．若tanθ＝eq\r(3)，則eq\f(sin2θ,1＋cos2θ)＝.答案eq\r(3)解析eq\f(sin2θ,1＋cos2θ)＝eq\f(2sinθcosθ,1＋2cos2θ－1)＝tanθ＝eq\r(3).4．已知cosα＝－eq\f(\r(5),5)，tanβ＝eq\f(1,3)，π<α<eq\f(3,2)π，0<β<eq\f(π,2)，則α－β的值為．答案eq\f(5,4)π解析因?yàn)棣?lt;α<eq\f(3,2)π，cosα＝－eq\f(\r(5),5)，所以sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，tanα＝2，又tanβ＝eq\f(1,3)，所以tan(α－β)＝eq\f(2－\f(1,3),1＋\f(2,3))＝1，由π<α<eq\f(3,2)π，－eq\f(π,2)<－β<0得eq\f(π,2)<α－β<eq\f(3,2)π，所以α－β＝eq\f(5,4)π.5．已知tan(α＋β)＝eq\f(2,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(1,4)，那么taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝.答案eq\f(3,22)解析因?yàn)棣粒玡q\f(π,4)＋β－eq\f(π,4)＝α＋β，所以α＋eq\f(π,4)＝(α＋β)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝eq\f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))))＝eq\f(3,22).6.eq\f(sin250°,1＋sin10°)＝.答案eq\f(1,2)解析eq\f(sin250°,1＋sin10°)＝eq\f(1－cos100°,21＋sin10°)＝eq\f(1－cos90°＋10°,21＋sin10°)＝eq\f(1＋sin10°,21＋sin10°)＝eq\f(1,2).7．已知α、β均為銳角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，則tanα＝.答案1解析根據(jù)已知條件：cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，cosβ(cosα－sinα)＋sinβ(cosα－sinα)＝0，即(cosβ＋sinβ)(cosα－sinα)＝0.又α、β為銳角，則sinβ＋cosβ＞0，∴cosα－sinα＝0，∴tanα＝1.8．函數(shù)f(x)＝2cosxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的最大值為．答案1－eq\f(\r(3),2)解析∵f(x)＝2cosxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝2cosxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx－\f(\r(3),2)cosx))＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)cos2x－eq\f(\r(3),2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－eq\f(\r(3),2)，∴f(x)的最大值為1－eq\f(\r(3),2).9．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝－eq\f(1,4)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).(1)求sin2α的值；(2)求tanα－eq\f(1,tanα)的值．解(1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,4)，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,2).∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，∴2α＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(4π,3)))∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)，∴sin2α＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))coseq\f(π,3)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))sineq\f(π,3)＝eq\f(1,2).(2)∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，∴2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))，又由(1)知sin2α＝eq\f(1,2)，∴cos2α＝－eq\f(\r(3),2).∴tanα－eq\f(1,tanα)＝eq\f(sinα,cosα)－eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(sin2α－cos2α,sinαcosα)＝eq\f(－2cos2α,sin2α)＝－2×eq\f(－\f(\r(3),2),\f(1,2))＝2eq\r(3).10．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(6),2).(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－eq\f(3,5)，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求cosβ的值．解(1)因?yàn)閟ineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(6),2)，兩邊同時(shí)平方，得sinα＝eq\f(1,2).又eq\f(π,2)<α<π，所以cosα＝－eq\f(\r(3),2).(2)因?yàn)閑q\f(π,2)<α<π，eq\f(π,2)<β<π，所以－π<－β<－eq\f(π,2)，故－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2).又sin(α－β)＝－eq\f(3,5)，得cos(α－β)＝eq\f(4,5).cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝－eq\f(\r(3),2)×eq\f(4,5)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq\f(4\r(3)＋3,10).B組專(zhuān)項(xiàng)能力提升(時(shí)間：20分鐘)11．已知tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1,2)，且－eq\f(π,2)<α<0，則eq\f(2sin2α＋sin2α,cosα－\f(π,4))＝.答案－eq\f(2\r(5),5)解析由tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(1,2)，得tanα＝－eq\f(1,3).又－eq\f(π,2)<α<0，所以sinα＝－eq\f(\r(10),10).故eq\f(2sin2α＋sin2α,cosα－\f(π,4))＝eq\f(2sinαsinα＋cosα,\f(\r(2),2)sinα＋cosα)＝2eq\r(2)sinα＝－eq\f(2\r(5),5).12．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且sin2α－sinαcosα－2cos2α＝0，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝.答案eq\f(8－5\r(3),11)解析∵sin2α－sinαcosα－2cos2α＝0，cosα≠0，∴tan2α－tanα－2＝0.∴tanα＝2或tanα＝－1，∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴tanα＝2，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(tan\f(π,3)－tanα,1＋tan\f(π,3)tanα)＝eq\f(\r(3)－2,1＋2\r(3))＝eq\f(\r(3)－22\r(3)－1,2\r(3)－12\r(3)＋1)＝eq\f(8－5\r(3),12－1)＝eq\f(8－5\r(3),11).13．已知cos4α－sin4α＝eq\f(2,3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝.答案eq\f(2－\r(15),6)解析∵cos4α－sin4α＝(