（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 加練半小時 專題8 立體幾何 第60練 表面積與體積 文（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第60練表面積與體積[基礎(chǔ)保分練]1.母線長為1的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于eq\f(4,3)π，則該圓錐的體積為________.2.用平面α截球O所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為eq\r(2)，則此球的體積為________.3.如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1的體積為________.4.長方體ABCD－A1B1C1D1的同一頂點的三條棱長分別為3,4,5，則該長方體的外接球表面積為________.5.直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，側(cè)棱長等于底面三角形的斜邊長，若其外接球的體積為eq\f(32π,3)，則該三棱柱體積的最大值為________.6.在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm，母線長最短為50cm，最長為80cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝________cm2.7.在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為________.8.(2019·江蘇省如東中學(xué)調(diào)研)在正四棱錐S—ABCD中，點O是底面中心，SO＝2，側(cè)棱SA＝2eq\r(3)，則該棱錐的體積為________.9.棱長為a的正方體有一內(nèi)切球，該球的表面積為________.10.已知圓柱M的底面半徑與球O的半徑相同，且圓柱M與球O的表面積相等，則它們的體積之比V圓柱∶V球＝________.[能力提升練]1.已知正三棱柱ABC—A1B1C1的高為6，AB＝4，點D為棱BB1的中點，則四棱錐C—A1ABD的表面積是________.2.三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，PA＝eq\r(3)，則該三棱錐外接球的表面積為________.3.(2018·江蘇泰州中學(xué)月考)如圖所示的圖形是一個底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為6cm，高為20cm的圓錐體鉛錘，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降________cm.4.菱形ABCD的邊長為2，且∠BAD＝60°，將三角形ABD沿BD折起，得到三棱錐A－BCD，則三棱錐A－BCD體積的最大值為________.5.已知正四面體P－ABC的棱長為2，若M，N分別是PA，BC的中點，則三棱錐P－BMN的體積為________.6.已知三棱錐P－ABC滿足PA⊥底面ABC，△ABC是邊長為4eq\r(3)的等邊三角形，D是線段AB上一點，且AD＝3BD，球O為三棱錐P－ABC的外接球，過點D作球O的截面，若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為34π，則球O的表面積為________.答案精析基礎(chǔ)保分練1.eq\f(4\r(5),81)π2.4eq\r(3)π解析如圖，設(shè)平面α截球O所得圓的圓心為O1，則OO1＝eq\r(2)，O1A＝1，∴球的半徑R＝OA＝eq\r(2＋1)＝eq\r(3)，∴球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.3.eq\f(\r(3),12)解析三棱錐B1－ABC1的體積等于三棱錐A－B1BC1的體積，易知三棱錐A－B1BC1的高為eq\f(\r(3),2)，底面積為eq\f(1,2)，故其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).4.50π5.4eq\r(2)解析設(shè)三棱柱底面直角三角形的直角邊為a，b，則棱柱的高h(yuǎn)＝eq\r(a2＋b2)，設(shè)外接球的半徑為r，則eq\f(4,3)πr3＝eq\f(32π,3)，解得r＝2，∵上下底面三角形斜邊的中點連線的中點是該三棱柱的外接球的球心，∴eq\r(2)h＝2r＝4.∴h＝2eq\r(2)，∴a2＋b2＝h2＝8≥2ab，∴ab≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時“＝”成立.∴三棱柱的體積V＝Sh＝eq\f(1,2)abh＝eq\r(2)ab≤4eq\r(2).6.2600π7.eq\f(5π,3)解析如圖，過點D作BC的垂線，垂足為H.則由旋轉(zhuǎn)體的定義可知，該梯形繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體為一個圓柱挖去一個圓錐.其中圓柱的底面半徑R＝AB＝1，高h(yuǎn)1＝BC＝2，其體積V1＝πR2h1＝π×12×2＝2π；圓錐的底面半徑r＝DH＝1，高h(yuǎn)2＝1，其體積V2＝eq\f(1,3)πr2h2＝eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(π,3).故所求幾何體的體積為V＝V1－V2＝2π－eq\f(π,3)＝eq\f(5π,3).8.eq\f(32,3)解析∵在正四棱錐S－ABCD中，側(cè)棱SA＝2eq\r(3)，高SO＝2，∴底面中心到頂點的距離AO＝eq\r(SA2－SO2)＝2eq\r(2)，因此，底面正方形的邊長AB＝4，底面積S＝AB2＝16，該棱錐的體積為V＝eq\f(1,3)SABCD·SO＝eq\f(1,3)×16×2＝eq\f(32,3).9.πa210.eq\f(3,4)能力提升練1.2eq\r(39)＋4eq\r(3)＋36解析∵正三棱柱的高為6，AB＝4，∴四棱錐C－A1ABD的表面A1DC為等腰三角形，A1D＝CD＝5，A1C＝2eq\r(13)，D到A1C距離為eq\r(25－13)＝2eq\r(3)，∴＝eq\f(1,2)×2eq\r(13)×2eq\r(3)＝2eq\r(39)，＝＋S△BDC＋＋S△ABC＋＝eq\f(1,2)(6＋3)×4＋eq\f(1,2)×4×3＋eq\f(1,2)×6×4＋eq\f(\r(3),4)×16＋2eq\r(39)＝2eq\r(39)＋4eq\r(3)＋36.2.5π解析∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又∵AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC，由直角三角形的性質(zhì)可得PB中點到四點距離相等，∴PB是三棱錐P－ABC的外接球直徑.∵Rt△PBA中，AB＝eq\r(2)，PA＝eq\r(3)，∴PB＝eq\r(5)，可得外接球半徑R＝eq\f(1,2)PB＝eq\f(\r(5),2)，∴外接球的表面積S＝4πR2＝5π.3.0.6解析因為圓錐形鉛錘的體積為eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))2×20＝60π(cm3).設(shè)水面下降的高度為xcm，則小圓柱的體積為π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,2)))2×x＝100πx(cm3).所以60π＝100πx，解得x＝0.6.則鉛錘取出后，杯中水面下降了0.6cm.4.1解析由于三棱錐A－BCD底面積固定，所以高最高的時候取得體積的最大值，此時高為eq\f(1,2)AC.故體積的最大值為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×BD×eq\f(1,2)AC×eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,24)×2×2eq\r(3)×2eq\r(3)＝1.5.eq\f(\r(2),6)解析連結(jié)AN，作MD⊥PN，交PN于D，∵正四面體P－ABC的棱長為2，M，N分別是PA，BC的中點，∴AN⊥BC，PN⊥BC，MN⊥AP，且AN＝PN＝eq\r(3)，∵AN∩PN＝N，AN，PN?平面PNA，∴BC⊥平面PNA，∵M(jìn)D?平面PNA，∴MD⊥BC，∵BC∩PN＝N，BC，PN?平面PBN，∴MD⊥平面PBN，MN＝eq\r(PN2－PM2)＝eq\r(2)，∵eq\f(1,2)PN·MD＝eq\f(1,2)PM·MN，∴MD＝eq\f(PM·MN,PN)＝eq\f(1×\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3)，∴三棱錐P－BMN的體積VP－BMN＝VM－PBN＝eq\f(1,3)×S△PBN×MD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2),6).6.100π解析將三棱錐P－ABC補成正三棱柱，且三棱錐和該正三棱柱的外接球都是球O，記三角形ABC的中心為O1，設(shè)球的半徑為R，PA＝2x，則球心O到平面ABC的距離為x，即OO1＝x，連結(jié)O1C，則O1C＝4，∴R2＝x2＋16，在三角形ABC中，取AB的中點為E，連結(jié)O1D，O1E，則O1E＝eq\f(1,2)O1C＝2，DE＝eq\f(1,