（江蘇專用）高考數學二輪復習 附加題滿分練1 理-人教版高三數學試題

附加題滿分練11.如圖，過點P作圓O的切線PC，切點為C，過點P的直線與圓O交于點A，B(PA<PB)，且AB的中點為D.若圓O的半徑為2，PC＝4，圓心O到直線PB的距離為eq\r(2)，求線段PA的長.解連結OC，OD，因為O為圓心，AB中點為D，∴OD⊥AB，又PC為圓O的切線，∴OC⊥PC，由條件可知OD＝eq\r(2)，∴AB＝2eq\r(OA2－OD2)＝2eq\r(2)，由切割線定理可得PC2＝PA·PB，即16＝PA·(PA＋2eq\r(2))，解得PA＝2eq\r(2).2.(2018·江蘇省鹽城中學調研)已知矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0a,b0))滿足：Mai＝λiai，其中λi(i＝1,2)是互不相等的實常數，ai(i＝1,2)是非零的平面列向量，λ1＝1，a2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))，求矩陣M.解由題意，λ1，λ2是方程f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－a,－bλ))＝λ2－ab＝0的兩根.因為λ1＝1，所以ab＝1.又因為Ma2＝λ2a2，所以eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0a,b0))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))＝λ2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))，從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝λ2，,b＝λ2，))所以λeq\o\al(2,2)＝ab＝1.因為λ1≠λ2，所以λ2＝－1，從而a＝b＝－1，故矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0－1,－10)).3.(2018·蘇州、南通等六市模擬)在極坐標系中，求以點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))為圓心且與直線l:ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝2相切的圓的極坐標方程.解以極點為原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系xOy.則點P的直角坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\r(3))).將直線l:ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝2的方程變形為：ρsinθcoseq\f(π,3)－ρcosθsineq\f(π,3)＝2，化為普通方程得eq\r(3)x－y＋4＝0.∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\r(3)))到直線l:eq\r(3)x－y＋4＝0的距離為eq\f(4,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))2))＝2.∴所求圓的普通方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\r(3)))2＝4，化為極坐標方程得ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6))).4.已知實數x>0，y>0，z>0，證明：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(2,y)＋\f(3,z)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(y,4)＋\f(z,6)))≥eq\f(9,2).證明因為x>0，y>0，z>0，所以eq\f(\f(1,x)＋\f(2,y)＋\f(3,z),3)≥eq\r(3,\f(6,xyz))，eq\f(\f(x,2)＋\f(y,4)＋\f(z,6),3)≥eq\r(3,\f(xyz,48))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(2,y)＋\f(3,z)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(y,4)＋\f(z,6)))≥eq\f(9,2).當且僅當x∶y∶z＝1∶2∶3時，等號成立.5.已知點A(1,2)在拋物線F：y2＝2px上.(1)若△ABC的三個頂點都在拋物線F上，記三邊AB，BC，CA所在直線的斜率分別為k1，k2，k3,求eq\f(1,k1)－eq\f(1,k2)＋eq\f(1,k3)的值；(2)若四邊形ABCD的四個頂點都在拋物線F上，記四邊AB，BC，CD，DA所在直線的斜率分別為k1，k2，k3，k4，求eq\f(1,k1)－eq\f(1,k2)＋eq\f(1,k3)－eq\f(1,k4)的值.解(1)由點A(1,2)在拋物線F上，得p＝2，∴拋物線F：y2＝4x，設Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)，y1))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)，y2))，∴eq\f(1,k1)－eq\f(1,k2)＋eq\f(1,k3)＝eq\f(\f(y\o\al(2,1),4)－1,y1－2)－eq\f(\f(y\o\al(2,2),4)－\f(y\o\al(2,1),4),y2－y1)＋eq\f(1－\f(y\o\al(2,2),4),2－y2)＝eq\f(y1＋2,4)－eq\f(y2＋y1,4)＋eq\f(2＋y2,4)＝1.(2)另設Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,3),4)，y3))，則eq\f(1,k1)－eq\f(1,k2)＋eq\f(1,k3)－eq\f(1,k4)＝eq\f(y1＋2,4)－eq\f(y2＋y1,4)＋eq\f(y3＋y2,4)－eq\f(2＋y3,4)＝0.6.已知fn(x)＝Ceq\o\al(0,n)xn－Ceq\o\al(1,n)(x－1)n＋…＋(－1)kCeq\o\al(k,n)(x－k)n＋…＋(－1)nCeq\o\al(n,n)(x－n)n，其中x∈R，n∈N*，k∈N，k≤n.(1)試求f1(x)，f2(x)，f3(x)的值；(2)試猜測fn(x)關于n的表達式，并證明你的結論.解(1)f1(x)＝Ceq\o\al(0,1)x－Ceq\o\al(1,1)(x－1)＝1，f2(x)＝Ceq\o\al(0,2)x2－Ceq\o\al(1,2)(x－1)2＋Ceq\o\al(2,2)(x－2)2＝x2－2(x－1)2＋(x－2)2＝2，f3(x)＝Ceq\o\al(0,3)x3－Ceq\o\al(1,3)(x－1)3＋Ceq\o\al(2,3)(x－2)3－Ceq\o\al(3,3)(x－3)3＝x3－3(x－1)3＋3(x－2)3－(x－3)3＝6.(2)猜測fn(x)＝n！，n∈N*.以下用數學歸納法證明.①當n＝1時，f1(x)＝1，等式成立.②假設當n＝m(m≥1，m∈N*)時，等式成立，即fm(x)＝eq\i\su(k＝0,m,)(－1)kCeq\o\al(k,m)(x－k)m＝m！.當n＝m＋1時，則fm＋1(x)＝eq\i\su(k＝0,m＋1,)(－1)kCeq\o\al(k,m＋1)·(x－k)m＋1.因為Ceq\o\al(k,m＋1)＝Ceq\o\al(k,m)＋Ceq\o\al(k－1,m)，kCeq\o\al(k,m＋1)＝(m＋1)·Ceq\o\al(k－1,m)，其中k＝1,2，…，m，且Ceq\o\al(0,m＋1)＝Ceq\o\al(0,m)，Ceq\o\al(m＋1,m＋1)＝Ceq\o\al(m,m)，所以fm＋1(x)＝eq\i\su(k＝0,m＋1,)(－1)kCeq\o\al(k,m＋1)(x－k)m＋1＝xeq\i\su(k＝0,m＋1,)(－1)kCeq\o\al(k,m＋1)(x－k)m－eq\i\su(k＝0,m＋1,)(－1)kkCeq\o\al(k,m＋1)(x－k)m＝xeq\i\su(k＝0,m,)(－1)kCeq\o\al(k,m)(x－k)m＋xeq\i\su(k＝1,m＋1,)(－1)kCeq\o\al(k－1,m)(