（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 回扣5 不等式試題 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

回扣5不等式1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步驟：一化(將二次項系數(shù)化為正數(shù))；二判(判斷Δ的符號)；三解(解對應(yīng)的一元二次方程)；四寫(大于取兩邊，小于取中間).解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個方面來考慮：①二次項系數(shù)，它決定二次函數(shù)的開口方向；②判別式Δ，它決定根的情形，一般分Δ＞0，Δ＝0，Δ<0三種情況；③在有根的條件下，要比較兩根的大小.2.一元二次不等式的恒成立問題(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ<0.))(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))3.分式不等式eq\f(fx,gx)＞0(<0)?f(x)g(x)＞0(<0)；eq\f(fx,gx)≥0(≤0)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0≤0，,gx≠0.))4.基本不等式(1)eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a，b∈(0，＋∞))，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號.(2)在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件.5.線性規(guī)劃(1)可行域的確定，“線定界，點定域”.(2)線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點處取得.(3)線性目標(biāo)函數(shù)的最值也可在可行域的邊界上取得，這時滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個.1.不等式兩端同時乘以一個數(shù)或同時除以一個數(shù)，不討論這個數(shù)的正負(fù)，從而出錯.2.解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0時，易忽視系數(shù)a的討論導(dǎo)致漏解或錯解，要注意分a＞0，a<0進行討論.3.應(yīng)注意求解分式不等式時正確進行同解變形，不能把eq\f(fx,gx)≤0直接轉(zhuǎn)化為f(x)·g(x)≤0，而忽視g(x)≠0.4.容易忽視使用基本不等式求最值的條件，即“一正、二定、三相等”導(dǎo)致錯解，如求函數(shù)f(x)＝eq\r(x2＋2)＋eq\f(1,\r(x2＋2))的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函數(shù)y＝x＋eq\f(3,x)(x<0)時應(yīng)先轉(zhuǎn)化為正數(shù)再求解.5.解線性規(guī)劃問題，要注意邊界的虛實；注意目標(biāo)函數(shù)中y的系數(shù)的正負(fù)；注意最優(yōu)整數(shù)解.6.求解線性規(guī)劃問題時，不能準(zhǔn)確把握目標(biāo)函數(shù)的幾何意義導(dǎo)致錯解，如eq\f(y－2,x＋2)是指已知區(qū)域內(nèi)的點(x，y)與點(－2，2)連線的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知區(qū)域內(nèi)的點(x，y)到點(1,1)的距離的平方等.1.函數(shù)y＝eq\r(3－2x－x2)的定義域是________.答案[－3,1]解析由3－2x－x2≥0，得x2＋2x－3≤0，解得x∈[－3,1].2.若不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)≥0的解集為空集，則實數(shù)k的取值范圍是____________.答案(－3,0]解析由題意可知，2kx2＋kx－eq\f(3,8)＜0恒成立，當(dāng)k＝0時成立，當(dāng)k≠0時需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＜0，,Δ＜0，))代入求得－3＜k＜0，所以實數(shù)k的取值范圍是(－3,0].3.二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,3)或x＞\f(1,2)))))，則關(guān)于x的不等式cx2－bx＋a＞0的解集為________.答案{x|－3＜x＜－2}解析由已知，－eq\f(b,a)＝eq\f(5,6)，eq\f(c,a)＝eq\f(1,6)，且a＜0，則b＝－eq\f(5,6)a，c＝eq\f(1,6)a，故不等式cx2－bx＋a＞0可化為x2＋5x＋6＜0，解得－3＜x＜－2.4.若x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,y≥x＋1，))則x－2y的最大值為________.答案－2解析令z＝x－2y，則y＝eq\f(1,2)x－eq\f(z,2).當(dāng)在y軸上截距最小時，z最大.即過點(0,1)時，z取最大值，z＝0－2×1＝－2.5.要制作一個容積為4m3，高為1m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是20元/m2，側(cè)面造價是10元/m2，則該容器的最低總造價是________元.答案160解析由題意知，體積V＝4m3，高h(yuǎn)＝1m，所以底面積S＝4m2，設(shè)底面矩形的一條邊長是xm，則另一條邊長是eq\f(4,x)m，又設(shè)總造價是y元，則y＝20×4＋10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(8,x)))≥80＋20eq\r(2x·\f(8,x))＝160，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝eq\f(8,x)，即x＝2時取得等號.6.設(shè)P是函數(shù)y＝eq\r(x)(x＋1)圖象上異于原點的動點，且該圖象在點P處的切線的傾斜角為θ，則θ的取值范圍是________.答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))解析因為y′＝eq\f(1,2\r(x))(x＋1)＋eq\r(x)＝eq\f(3x＋1,2\r(x))＝eq\f(3,2)eq\r(x)＋eq\f(1,2\r(x))(x＞0)≥2eq\r(\f(3\r(x),2)·\f(1,2\r(x)))＝eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,3)時取等，所以k＝tanθ≥eq\r(3)，又θ∈[0，π)，所以θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).7.若不等式eq\f(t,t2＋9)≤a≤eq\f(t＋2,t2)在t∈(0,2]上恒成立，則a的取值范圍是______________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,13)，1))解析∵eq\f(t,t2＋9)＝eq\f(1,t＋\f(9,t))，而t＋eq\f(9,t)在區(qū)間(0,2]上單調(diào)遞減，∴t＋eq\f(9,t)≥2＋eq\f(9,2)＝eq\f(13,2)，eq\f(t,t2＋9)＝eq\f(1,t＋\f(9,t))≤eq\f(2,13)(當(dāng)且僅當(dāng)t＝2時等號成立)，又eq\f(t＋2,t2)＝eq\f(1,t)＋eq\f(2,t2)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)＋\f(1,4)))2－eq\f(1,8)，∵eq\f(1,t)≥eq\f(1,2)，∴2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)＋\f(1,4)))2－eq\f(1,8)≥1(當(dāng)且僅當(dāng)t＝2時等號成立)，故a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,13)，1)).8.若a，b均為非負(fù)實數(shù)，且a＋b＝1，則eq\f(1,a＋2b)＋eq\f(4,2a＋b)的最小值為________.答案3解析方法一令a＋2b＝s,2a＋b＝t，則eq\f(1,a＋2b)＋eq\f(4,2a＋b)＝eq\f(1,s)＋eq\f(4,t).由題意知，s≥0，t≥0，且s＋t＝3(a＋b)＝3，所以eq\f(1,s)＋eq\f(4,t)＝eq\f(s＋t,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,s)＋\f(4,t)))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(t,s)＋\f(4s,t)))≥eq\f(1,3)×9＝3，當(dāng)且僅當(dāng)s＝1，t＝2時等號成立.所以eq\f(1,a＋2b)＋eq\f(4,2a＋b)的最小值為3.方法二因為a＋b＝1，所以eq\f(1,a＋2b)＋eq\f(4,2a＋b)＝eq\f(1,1＋b)＋eq\f(4,1＋a)，令1＋b＝s，a＋1＝t，則eq\f(1,1＋b)＋eq\f(4,1＋a)＝eq\f(1,s)＋eq\f(4,t)，由題意知，s≥1，t≥1，且s＋t＝3，所以eq\f(1,s)＋eq\f(4,t)＝eq\f(s＋t,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,s)＋\f(4,t)))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(t,s)＋\f(4s,t)))≥eq\f(1,3)×9＝3，當(dāng)且僅當(dāng)s＝1，t＝2時等號成立.所以eq\f(1,a＋2b)＋eq\f(4,2a＋b)的最小值為3.9.解關(guān)于x的不等式eq\f(x2＋ax－2,x－1)≤x＋1.解原不等式可化為eq\f(x2＋ax－2,x－1)－(x＋1)≤0，即eq\f(ax－1,x－1)≤0，當(dāng)a＝0時，有eq\f(－1,x－1)≤0，所以x＞1，當(dāng)a≠0時，①當(dāng)a＜0時，有eq\f(x－\f(1,a),x－1)≥0，且eq\f(1,a)＜1，所以x≤eq\f(1,a)或x＞1；②當(dāng)0＜a＜1時，有eq\f(x－\f(1,a),x－1)≤0，且eq\f(1,a)＞1，所以1＜x≤eq\f(1,a)；③當(dāng)a＝1時，有eq\f(x－1,x－1)≤0，所以x∈?，④當(dāng)a＞1時，有eq\f(x－\f(1,a),x－1)≤0，且eq\f(1,a)＜1，所以eq\f(1,a)≤x＜1，綜上，當(dāng)a＜0時，原不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,a)))∪(1，＋∞)，當(dāng)a＝0時，原不等式的解集為(1，＋∞)，當(dāng)0＜a＜1時，原不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(1,a)))，當(dāng)a＝1時，原不等式的解集為?，當(dāng)a＞1時，原不等式的解集為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1)).10.如圖，有一塊平行四邊形綠地ABCD，經(jīng)測量BC＝2百米，CD＝1百米，∠BCD＝120°，擬過線段BC上一點E設(shè)計一條直路EF(點F在四邊形ABCD的邊上，不計路的寬度)，將綠地分為面積之比為1∶3的左右兩部分，分別種植不同的花卉，設(shè)EC＝x百米，EF＝y(tǒng)百米.(1)當(dāng)點F與點D重合時，試確定點E的位置；(2)試求x的值，使直路EF的長度y最短.解(1)∵S?ABCD＝2×eq\f(1,2)×1×2sin120°＝eq\r(3)(平方百米)，當(dāng)點F與點D重合時，由已知S△CDE＝eq\f(1,4)S?ABCD＝eq\f(\r(3),4)(平方百米)，又∵S△CDE＝eq\f(1,2)CE·CD·sin120°＝eq\f(\r(3),4)x＝eq\f(\r(3),4)，∴x＝1，∴E是BC的中點.(2)①當(dāng)點F在CD上，即1≤x≤2時，利用面積關(guān)系可得CF＝eq\f(1,x)百米，再由余弦定理可得y＝eq\r(x2＋\f(1,x2)＋1)≥eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號.②當(dāng)點F在DA上時，即0≤x＜1時，利用面積關(guān)系可得DF＝(1－x)百米.(i)當(dāng)CE＜DF時，過E作EG∥CD交DA于點G，在△EGF中，EG＝1百米，GF＝(1－2x)百米，∠EGF＝60°，利用余弦定理得y＝eq\r(4x2－2x＋1).(ii)同理當(dāng)CE≥DF時，過E作EG∥CD交DA于點G，在△