（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 解答題專項(xiàng)練1 立體幾何 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

1.立體幾何1.(2018·江蘇省金陵中學(xué)月考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP＝AD，點(diǎn)M在棱PD上，AM⊥PD，點(diǎn)N是棱PC的中點(diǎn)，求證：(1)MN∥平面PAB；(2)AM⊥平面PCD.證明(1)因?yàn)樵凇鱌AD中，AP＝AD，AM⊥PD，所以點(diǎn)M是棱PD的中點(diǎn).又點(diǎn)N是棱PC的中點(diǎn)，所以MN是△PDC的中位線，所以MN∥DC.因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以AB∥DC，所以MN∥AB.又AB?平面PAB,MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,CD?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD.又AM?平面PAD，所以CD⊥AM.因?yàn)镻D⊥AM，CD⊥AM,CD∩PD＝D，CD?平面PCD，PD?平面PCD，所以AM⊥平面PCD.2.已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝60°，DC＝1，AD＝eq\r(3)，PB＝PC，且M，N分別為BC，PA的中點(diǎn).(1)求證：DN∥平面PBC；(2)求證：MN⊥BC.證明(1)取PB的中點(diǎn)E，連結(jié)NE，CE，AC，因?yàn)锳BCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝60°，DC＝1，AD＝eq\r(3)，易得AC＝CB＝AB＝2.又N為PA的中點(diǎn)，所以NE∥CD且NE＝CD，所以四邊形CDNE是平行四邊形，所以DN∥CE.又CE?平面PBC，DN?平面PBC，所以DN∥平面PBC.(2)連結(jié)AM，PM.因?yàn)镻B＝PC，所以PM⊥BC，因?yàn)锳C＝AB，所以AM⊥BC，又AM∩PM＝M，AM，PM?平面PAM，所以BC⊥平面PAM.因?yàn)镸N?平面APM，所以MN⊥BC.3.(2018·揚(yáng)州市邗江區(qū)模擬)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H為BC的中點(diǎn).(1)求證：FH∥平面EDB；(2)求證：AC⊥平面EDB.證明(1)設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為G，連結(jié)GE，GH，如圖，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以eq\o(HB,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))，eq\o(HF,\s\up6(→))的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，令BH＝1，則A(1，－2,0)，B(1,0,0)，C(－1,0,0)，D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(xiàn)(0,0,1)，G(0，－1,0)，∴eq\o(GE,\s\up6(→))＝(0,0,1),又∵eq\o(HF,\s\up6(→))＝(0,0,1)，∴eq\o(GE,\s\up6(→))∥eq\o(HF,\s\up6(→))，GE?平面EDB，HF?平面EDB，∴FH∥平面EDB.(2)∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，eq\o(GE,\s\up6(→))＝(0,0,1)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(GE,\s\up6(→))＝0，∴AC⊥GE.又AC⊥BD，且GE?平面EDB，BD?平面EDB，GE∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.4.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別為棱A1C1和AB的中點(diǎn).(1)求證：MN∥平面BCC1B1；(2)若平面ACC1A1⊥平面A1B1C1，且A1B1＝B1C1，求證：平面B1MN⊥平面ACC1A1.證明(1)方法一如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為H，連結(jié)NH，HC1.在△ABC中，因?yàn)镹為AB的中點(diǎn)，所以NH∥AC，且NH＝eq\f(1,2)AC，在三棱柱ABC－A1B1C1中，因?yàn)锳C∥A1C1，且AC＝A1C1，M為A1C1的中點(diǎn)，所以MC1∥AC，且MC1＝eq\f(1,2)AC，所以NH∥MC1，且NH＝MC1，所以四邊形MC1HN為平行四邊形，所以MN∥C1H，又MN?平面BCC1B1，C1H?平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1.方法二如圖2，在側(cè)面ACC1A1中，連結(jié)AM并延長(zhǎng)交直線CC1于點(diǎn)Q，連結(jié)BQ.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1∥CC1，所以eq\f(AM,MQ)＝eq\f(A1M,MC1)，因?yàn)镸為A1C1的中點(diǎn)，所以M為AQ的中點(diǎn).又因?yàn)镹為AB中點(diǎn)，所以MN∥BQ，又MN?平面BCC1B1，BQ?平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1.方法三如圖3，取A1B1的中點(diǎn)O，連結(jié)OM，ON.在△A1B1C1中，因?yàn)镺，M分別為A1B1，A1C1的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥B1C1.因?yàn)镺M?平面BCC1B1，B1C1?平面BCC1B1，所以O(shè)M∥平面BCC1B1.在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1∥AB且A1B1＝AB，又因?yàn)镺，N分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，所以O(shè)B1∥NB，OB1＝NB，所以四邊形OB1BN為平行四邊形，所以O(shè)N∥B1B，又ON?平面BCC1B1，B1B?平面BCC1B1，所以O(shè)N∥平面BCC1B1.因?yàn)镺M∥平面BCC1B1，ON∥平面BCC1B1，OM∩ON＝O，OM?平面OMN，ON?平面OMN，所以平面OMN∥平面BCC1B1，又MN?平面OMN，所以MN∥平面BCC1B1.(2)因?yàn)锳1B1＝B1C1,M為A1C1的中點(diǎn)，所以B1M⊥A1C1，因?yàn)槠矫鍭CC1A1⊥平面A1B1C1，平面ACC1A1∩平面A1B1C1＝A1C1，B1M?平面A1B1C1，所以B1M⊥平面ACC1A1，又B1M?平面B1MN，所以平面B1MN⊥平面ACC1A1.5.如圖，O是圓錐底面圓的圓心，圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，C為底面圓周上一點(diǎn).(1)若弧BC的中點(diǎn)為D，求證：AC∥平面POD；(2)如果△PAB的面積是9，求此圓錐的表面積.(1)證明方法一設(shè)BC∩OD＝E，∵D是弧BC的中點(diǎn)，∴E是BC的中點(diǎn).又∵O是AB的中點(diǎn)，∴AC∥OE.又∵AC?平面POD，OE?平面POD，∴AC∥平面POD.方法二∵AB是底面圓的直徑，∴AC⊥BC.∵弧BC的中點(diǎn)為D，∴OD⊥BC.又AC，OD共面，∴AC∥OD.又AC?平面POD，OD?平面POD，∴AC∥平面POD.(2)解設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l，∵圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，∴h＝r，l＝eq\r(2)r.由S△PAB＝eq\f(1,2)×2r×h＝r2＝9，得r＝3，∴S表＝πrl＋πr2＝πr×eq\r(2)r＋πr2＝9(1＋eq\r(2))π.6.已知四棱錐S－ABCD的底面ABCD為正方形，頂點(diǎn)S在底面ABCD上的射影為其中心O，高為eq\r(3)，設(shè)E，F(xiàn)分別為AB，SC的中點(diǎn)，且SE＝2，M為CD邊上的點(diǎn).(1)求證：EF∥平面SAD；(2)試確定點(diǎn)M的位置，使得平面EFM⊥底面ABCD.(1)證明取SB的中點(diǎn)P，連結(jié)PF，PE.∵F為SC的中點(diǎn)，∴PF∥BC，又底面ABCD為正方形，∴BC∥AD，即PF∥AD，又PE∥SA，PE∩PF＝P，SA∩AD＝A，∴平面PFE∥平面SAD.∵EF?平面PFE，∴EF∥平面SAD.(2)解連結(jié)AC，AC的中點(diǎn)即為點(diǎn)O，連結(jié)SO，由題意知SO⊥平面ABCD，取OC的中點(diǎn)H，連結(jié)FH，則FH∥SO，∴FH⊥平面ABCD，∴平面EFH⊥平面ABCD，