（江蘇專用）高考數(shù)學二輪復習 專題六 概率、統(tǒng)計、復數(shù)、算法、推理與證明 高考熱點追蹤（六）練習 文 蘇教版-蘇教版高三數(shù)學試題

高考熱點追蹤(六)1．復數(shù)eq\f(1＋ai,i)(a>0)在復平面內(nèi)對應的點在第________象限．[解析]eq\f(1＋ai,i)(a>0)＝a－i，對應的點(a，－1)在第四象限．[答案]四2．(2019·南通市高三模擬)電視臺組織中學生知識競賽，共設有5類試題，主題分別是：立德樹人、社會主義核心價值觀、依法治國理念、中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、創(chuàng)新能力．某參賽隊從中任選2個主題作答，則“立德樹人”主題被該隊選中的概率是________．[解析]依次記5類試題為A，B，C，D，E，則共有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10個事件，其中4個事件中含有“立德樹人”主題，故所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)．[答案]eq\f(2,5)3．(2019·南京調(diào)研)某校為了解高三同學暑假期間的學習情況，抽查了100名同學，統(tǒng)計他們每天的平均學習時間，繪成頻率分布直方圖(如圖)，則這100名同學中學習時間在6～8小時內(nèi)的人數(shù)為________．[解析]由直方圖知，學習時間在6～8小時內(nèi)的頻率為1－(0．04＋0．12＋0．14＋0．05)×2＝0．3，所以100名同學中學習時間在6～8小時內(nèi)的人數(shù)為0．3×100＝30．[答案]304．(2019·成都質(zhì)檢改編)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出s的值為________．[解析]第一次循環(huán)結束，得s＝0＋2＝2，k＝2×2－1＝3；第二次循環(huán)結束，得s＝2＋3＝5，k＝2×3－1＝5；第三次循環(huán)結束，得s＝5＋5＝10，k＝2×5－1＝9；第四次循環(huán)結束，得s＝10＋9＝19，k＝2×9－1＝17>10，此時退出循環(huán)．故輸出s的值為19．[答案]195．已知coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，coseq\f(π,5)coseq\f(2π,5)＝eq\f(1,4)，coseq\f(π,7)coseq\f(2π,7)coseq\f(3π,7)＝eq\f(1,8)，…，根據(jù)這些結果，猜想出的一般結論是________．[答案]coseq\f(π,2n＋1)coseq\f(2π,2n＋1)…coseq\f(nπ,2n＋1)＝eq\f(1,2n)6．(2019·南通市高三模擬)將一顆骰子連續(xù)拋擲2次，向上的點數(shù)分別為m，n，則點P(m，n)在直線y＝eq\f(1,2)x下方的概率為________．[解析]點P(m，n)所有的結果有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36種，其中在直線y＝eq\f(1,2)x下方的情況有(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，共6種，則所求概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)．[答案]eq\f(1,6)7．(2019·蘇州質(zhì)檢)觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導函數(shù)，則g(－x)＝________．[解析]由已知得偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)．[答案]－g(x)8．(2019·江蘇四星級學校聯(lián)考)設A，B兩名學生均從兩位數(shù)學教師和兩位英語教師中選擇一位教師給自己補課，若A，B不選同一位教師，則學生A選擇數(shù)學教師，學生B選擇英語教師的概率為________．[解析]設兩位數(shù)學教師用1，2表示，兩位英語教師用3，4表示，不妨讓A先選，B后選(不重復)，則他們所有的選擇結果如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12種情況，其中學生A選擇數(shù)學教師，學生B選擇英語教師(數(shù)學在前，英語在后)的結果有(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)共4種情況，所以所求概率為P＝eq\f(1,3)．[答案]eq\f(1,3)9．(2019·泰州期末)數(shù)列{an}的前n項和是Sn，若數(shù)列{an}的各項按如下規(guī)律排列：eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(2,3)，eq\f(1,4)，eq\f(2,4)，eq\f(3,4)，eq\f(1,5)，eq\f(2,5)，eq\f(3,5)，eq\f(4,5)，eq\f(1,6)，…若存在整數(shù)k，使Sk<10，Sk＋1≥10，則ak＝________．[解析]由題目可以看出同分母的和依次成等差數(shù)列，且公差為eq\f(1,2)．又eq\f(1,2)＋1＋eq\f(3,2)＋2＋eq\f(5,2)＋3＝10．5>10，此時最后一列數(shù)的分母為7，而10．5－eq\f(6,7)<10，故ak＝eq\f(5,7)．[答案]eq\f(5,7)10．(2019·瀘州模擬)學校餐廳每天供應500名學生用餐，每星期一有A、B兩種菜可供選擇．調(diào)查表明，凡是在這星期一選A菜的，下星期一會有20%的可能改選B菜；而選B菜的，下星期一會有30%的可能改選A菜．用an表示第n個星期一選A菜的人數(shù)，如果a1＝428，則a6的值為________．[解析]依題意有：an＝eq\f(4,5)an－1＋eq\f(3,10)(500－an－1)＝eq\f(1,2)an－1＋150(n≥2，n∈N*)，即an－300＝eq\f(1,2)(an－1－300)(n≥2，n∈N*)，an＝128·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)＋300．因此a6＝128·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5)＋300＝304．[答案]30411．隨機抽取某中學高三年級甲、乙兩班各10名同學，測量出他們的身高(單位：cm)，獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖，其中甲班有一個數(shù)據(jù)被污損．(1)若已知甲班同學身高平均數(shù)為170cm，求污損處的數(shù)據(jù)；(2)現(xiàn)從乙班這10名同學中隨機抽取2名身高不低于173cm的同學，求身高176cm的同學被抽中的概率．[解](1)甲班同學身高的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋a＋182,10)＝170．解得a＝179，所以污損處是9．(2)設“身高176cm的同學被抽中”的事件為A，從乙班10名同學中抽取2名身高不低于173cm的同學有{181，173}，{181，176}，{181，178}，{181，179}，{179，173}，{179，176}，{179，178}，{178，173}，{178，176}，{176，173}，10個基本事件．而事件A含有4個基本事件，所以P(A)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)．12．觀察下列三角形數(shù)表，假設第n行的第二個數(shù)為an(n≥2，n∈N*)．(1)依次寫出第六行的所有6個數(shù)字；(2)歸納出an＋1與an的關系式并求出an的通項公式．[解](1)第六行的所有6個數(shù)字分別是6，16，25，25，16，6．(2)依題意an＋1＝an＋n(n≥2)，a2＝2，an＝a2＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋2＋3＋…＋(n－1)＝2＋eq\f(（n－2）（n＋1）,2)．所以an＝eq\f(1,2)n2－eq\f(1,2)n＋1(n≥2)．13．已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＋c＝0，f(x)在[－1，1]上的最大值為2，最小值為－eq\f(5,2)．求證：a≠0且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))<2．[證明]假設a＝0或eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))≥2．(1)當a＝0時，由a＋c＝0，得f(x)＝bx，顯然b≠0．由題意得f(x)＝bx在[－1，1]上是單調(diào)函數(shù)，所以f(x)的最大值為|b|，最小值為－|b|．由已知條件，得|b|＋(－|b|)＝2－eq\f(5,2)＝－eq\f(1,2)，這與|b|＋(－|b|)＝0相矛盾，所以a≠0．(2)當eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))≥2時，由二次函數(shù)的對稱軸為x＝－eq\f(b,2a)，知f(x)在[－1，1]上是單調(diào)函數(shù)，故其最值在區(qū)間的端點處取得．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）＝a＋b＋c＝2，,f（－1）＝a－b＋c＝－\f(5,2)，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）＝a＋b＋c＝－\f(5,2)，,f（－1）＝a－b＋c＝2．))又a＋c＝0，則此時b無解，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))<2．由(1)(2)，得a≠0且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))<2．14．定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)，如果對任意x∈(0，＋∞)，恒有f(kx)＝kf(x)(k≥2，k∈N*)成立，則稱f(x)為k階縮放函數(shù)．(1)已知函數(shù)f(x)為二階縮放函數(shù)，且當x∈(1，2]時，f(x)＝1＋logeq\s\do9(\f(1,2))x，求f(2eq\r(2))的值；(2)已知函數(shù)f(x)為二階縮放函數(shù)，且當x∈(1，2]時，f(x)＝eq\r(2x－x2)，求證：函數(shù)y＝f(x)－x在(1，8)上無零點．[解](1)由eq\r(2)∈(1，2]得，f(eq\r(2))＝1＋logeq\s\do9(\f(1,2))eq\r(2)＝eq\f(1,2)，由題中條件得f(2eq\r(2))＝2f(eq\r(2))＝2×eq\f(1,2)＝1．(2)證明：當x∈(2i，2i＋1](i＝0，1，2)時，eq\f(x,2i)∈(1，2]，依題意可得：f(x)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＝22feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,22)))＝…＝2ifeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2i)))＝2ieq