（江蘇專用）高考數(shù)學專題復習 專題8 立體幾何與空間向量 第54練 向量法求解立體幾何問題練習 理-人教版高三數(shù)學試題

訓練目標會用空間向量解決立體幾何的證明、求空間角、求距離問題．訓練題型(1)用空間向量證明平行與垂直；(2)用空間向量求空間角；(3)求長度與距離．解題策略(1)選擇適當?shù)目臻g坐標系；(2)求出相關(guān)點的坐標，用坐標表示直線的方向向量及平面的法向量；(3)理解并記住用向量表示的空間角和距離的求解公式；(4)探索性問題，可利用共線關(guān)系設變量，引入?yún)?shù)，列方程求解.1.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.(1)設eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，異面直線AC1與CD所成角的余弦值為eq\f(9\r(10),50)，求實數(shù)λ的值；(2)若點D是AB的中點，求二面角D－CB1－B的余弦值．2．(2016·甘肅天水一模)如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為梯形，AD∥BC，AD⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，SD＝2，∠SDC＝120°.(1)求SC與平面SAB所成角的正弦值；(2)求平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值．3．(2017·南昌月考)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90°，D為AC的中點，AB⊥B1D.(1)求證：平面ABB1A1⊥平面ABC；(2)在線段CC1(不含端點)上，是否存在點E，使得二面角E－B1D－B的余弦值為－eq\f(\r(7),14)？若存在，求出eq\f(CE,CC1)的值；若不存在，說明理由．4．(2017·太原質(zhì)檢)如圖所示，該幾何體是由一個直三棱柱ADE－BCF和一個正四棱錐P－ABCD組合而成的，AD⊥AF，AE＝AD＝2.(1)證明：平面PAD⊥平面ABFE；(2)求正四棱錐P－ABCD的高h，使得二面角C－AF－P的余弦值是eq\f(2\r(2),3).

答案精析立體幾何問題1．解(1)由AC＝3，BC＝4，AB＝5得∠ACB＝90°，以C為原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系C－xyz.則A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，設D(x，y，z)，則由eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\o(CD,\s\up6(→))＝(3－3λ，4λ，0)，又eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(－3,0,4)，由題意知|cos〈eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉|＝eq\f(9\r(10),50)＝eq\f(|－9＋9λ|,5\r(25λ2－18λ＋9))，解得λ＝eq\f(1,5)或λ＝－eq\f(1,3).(2)由題意得D(eq\f(3,2)，2,0)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\f(3,2)，2,0)，eq\o(CB1,\s\up6(→))＝(0,4,4)，設平面CDB1的法向量為n1，因為eq\o(CD,\s\up6(→))·n1＝0，eq\o(CB1,\s\up6(→))·n1＝0，所以可取n1＝(4，－3,3)；同理，平面CBB1的一個法向量為n2＝(1,0,0)，并且〈n1，n2〉與二面角D－CB1－B相等或互補，所以二面角D－CB1－B的余弦值為|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(2\r(34),17).2．解如圖，在平面SCD中，過點D作DC的垂線交SC于E，以D為原點，DA，DC，DE所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系D－xyz.則有D(0,0,0)，S(0，－1，eq\r(3))，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(1,2,0)．(1)設平面SAB的法向量為n＝(x，y，z)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,2,0)，eq\o(AS,\s\up6(→))＝(－2，－1，eq\r(3))，eq\o(AB,\s\up6(→))·n＝0，eq\o(AS,\s\up6(→))·n＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋2y＝0，,－2x－y＋\r(3)z＝0，))取y＝eq\r(3)，得n＝(2eq\r(3)，eq\r(3)，5)．又eq\o(SC,\s\up6(→))＝(0,3，－eq\r(3))，設SC與平面SAB所成角為θ，則sinθ＝|cos〈eq\o(SC,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(2\r(3),2\r(3)×2\r(10))＝eq\f(\r(10),20)，故SC與平面SAB所成角的正弦值為eq\f(\r(10),20).(2)設平面SAD的法向量為m＝(a，b，c)，∵eq\o(DA,\s\up6(→))＝(2,0,0)，eq\o(DS,\s\up6(→))＝(0，－1，eq\r(3))，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(DA,\s\up6(→))·m＝0，,\o(DS,\s\up6(→))·m＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝0，,－b＋\r(3)c＝0，))取b＝eq\r(3)，得m＝(0，eq\r(3)，1)．∴cos〈n，m〉＝eq\f(n·m,|n||m|)＝eq\f(8,2\r(10)×2)＝eq\f(\r(10),5)，故平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值是eq\f(\r(10),5).3．(1)證明取AB的中點O，連結(jié)OD，OB1.因為B1B＝B1A，所以OB1⊥AB.又AB⊥B1D，OB1∩B1D＝B1，OB1?平面B1OD，B1D?平面B1OD，所以AB⊥平面B1OD，因為OD?平面B1OD，所以AB⊥OD.由已知條件知，BC⊥BB1，又OD∥BC，所以OD⊥BB1.因為AB∩BB1＝B，AB?平面ABB1A1，BB1?平面ABB1A1，所以OD⊥平面ABB1A1.因為OD?平面ABC，所以平面ABB1A1⊥平面ABC.(2)解由(1)知OB，OD，OB1兩兩垂直，所以以O為坐標原點，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(OB1,\s\up6(→))的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，|eq\o(OB,\s\up6(→))|為單位長度1，建立如圖所示的空間直角坐標系O－xyz，連結(jié)B1C.由題設知，B1(0,0，eq\r(3))，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(－1,0,0)，C(1,2,0)，C1(0,2，eq\r(3))，∴eq\o(B1D,\s\up6(→))＝(0,1，－eq\r(3))，eq\o(B1B,\s\up6(→))＝(1,0，－eq\r(3))，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝(－1,0，eq\r(3))，eq\o(B1C,\s\up6(→))(1,2，－eq\r(3))，設eq\o(CE,\s\up6(→))＝λeq\o(CC1,\s\up6(→))(0＜λ＜1)，由eq\o(B1E,\s\up6(→))＝eq\o(B1C,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝(1－λ，2，eq\r(3)(λ－1))，設平面BB1D的法向量為m＝(x1，y1，z1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(B1D,\s\up6(→))＝0，,m·\o(B1B,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1－\r(3)z1＝0，,x1－\r(3)z1＝0，))令z1＝1，則x1＝y(tǒng)1＝eq\r(3)，所以平面BB1D的法向量為m＝(eq\r(3)，eq\r(3)，1)．設平面B1DE的法向量為n＝(x2，y2，z2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(B1D,\s\up6(→))＝0，,n·\o(B1E,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2－\r(3)z2＝0，,1－λx2＋2y2＋\r(3)λ－1z2＝0，))令z2＝1，則x2＝eq\f(\r(3)λ＋1,λ－1)，y2＝eq\r(3)，所以平面B1DE的一個法向量n＝(eq\f(\r(3)λ＋1,λ－1)，eq\r(3)，1)．設二面角E－B1D－B的大小為θ，則cosθ＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(\f(3λ＋3,λ－1)＋3＋1,\r(7)·\r(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ＋1,λ－1)))2＋4))＝－eq\f(\r(7),14)，解得λ＝eq\f(1,3).所以在線段CC1上存在點E，使得二面角E－B1D－B的余弦值為－eq\f(\r(7),14)，此時eq\f(CE,CC1)＝eq\f(1,3)(負值舍去)．4．(1)證明在直三棱柱ADE－BCF中，AB⊥平面ADE，AD?平面ADE，所以AB⊥AD.又AD⊥AF，AB∩AF＝A，AB?平面ABFE，AF?平面ABFE，所以AD⊥平面ABFE.因為AD?平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABFE.(2)解由(1)知AD⊥平面ABFE，以A為原點，AB，AE，AD所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系A－xyz，則A(0,0,0)，F(xiàn)(2,2,0)，C(2,0,2)，P(1，－h(huán),1)，其中h為點P到平面ABCD的距離．eq\o(AF,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,0,2)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(1，－h(huán),1)．設平面AFC的一個法向量為m＝(x1，y1，z1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(AF,\s\up6(→))＝2x1＋2y1＝0，,m·\o(AC,\s\up6(→))＝2x1＋2z1＝0，))取x1＝1，則y1＝z1＝－1，所以m＝(1，－1，－1)．設平面AFP的一個法向量為n＝(x2，y2，z2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(